Введение в математику. Практикум

Уравнения и неравенства

Показывать лекцию целиком

Задачи

  • Найти графически нуль уравнения: x=sin(x). Предложите один способ приближенного решения этого уравнения. Есть ли нуль уравнения на множестве натуральных чисел? Есть ли нуль уравнения на расширенном множестве натуральных чисел, который получается добавлением нуля к натуральным числам? Указание: постройте графики y=x, y=sin(x).
  • Найти аналитически нуль уравнения: x6+27=x4-3x2+9 на множестве вещественных чисел. Есть ли нуль уравнения на множестве натуральных чисел? Указание: x6+27=(x2)3+33, x4-3x2+9 - разложить на множители, заменив x2=y.
  • Нарисуйте окружность (x—4)2+(y+3)2=16. Найдите его центр и радиус. Запишите уравнение окружности в полярной системе координат. Запишите уравнение концентрической окружности с радиусом равным 2. Указание: заменить x, y по формулам $$x=\rho \cos \varphi$$, $$y=\rho \sin \varphi$$.

  • Нарисуйте эллипс

    $$\cfrac{x^2}{16}+\cfrac{y^2}{9}=1$$

    Найдите его фокальные радиусы, полуоси, эксцентриситет. Запишите уравнение в полярной системе координат. Указание: заменить x, y по формулам $$x=\rho \cos \varphi$$, $$y=\rho \sin \varphi$$.

  • Нарисуйте гиперболу

    $$\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{9}=1$$

    Найдите его фокусы, полуоси. Запишите уравнение гиперболы в полярной системе координат. Указание: заменить x, y по формулам $$x=\rho \cos \varphi$$, $$y=\rho \sin \varphi$$.

  • Нарисуйте следующие графики двух парабол на одном рисунке: y=4x2, x=8y2. Запишите уравнения парабол, симметричных каждой относительно осей координат и нарисуйте их. Указание: оси симметрии парабол – перпендикулярны.
  • Нарисовать сферу (x—1)2+(y—3)2+(z+2)2=9. Укажите ее центр и радиус. Записать уравнение линии, получаемой при пересечении этой сферы и плоскости xOy. Указание: записать уравнение сферы в сферической системе координат.

  • Пересекаются ли две сферы:

    $$\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y-1)^2+(z-3)^2=16\\ (x-1)^2+y^2+z^2=4\end{array} \right ?$$

    Найти их точки пересечения, если они пересекаются. Указание: решить систему.

  • Найдите точки пересечения линий:

    $$\cfrac{x^2}{16}+\cfrac{y^2}{9}=1,\\ \cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{9}=1,$$

    Нарисуйте это пересечение. Указание: сложить уравнения.

  • Даны вектора $$\vec a = (1,0,1),\, \vec b = (-1,1,3),\, \vec c = (0,-2,3)$$. Построить вектор $$\vec d = \vec a + 2 \vec b – 3\vec c$$, записать его в координатной форме. Найти попарно различные скалярные произведения векторов $$\vec a$$, $$\vec b$$, $$\vec c$$, проекцию вектора $$\vec d$$ на вектор $$\vec a$$, угол между векторами $$\vec a$$, $$\vec c$$, уравнение прямой проходящей через начало координат параллельно вектору $$\vec d$$, условие параллельности вектора $$\vec d$$ вектору $$\vec c = (c,-3c,2c)$$, где с – некоторый числовой параметр (найти его). Указание: осуществить прииск по координатными сложением и вычитанием; условие коллинеарности двух векторов – пропорциональность их соответствующих координат.
    •

    Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

  • Уравнения, их происхождение, изучение и использование в истории древних веков.
  • Неравенства, их происхождение, изучение и использование в истории древних веков.
  • Эволюция уравнений и методов их решения.
  • Эволюция неравенств и методов их решений.
  • Изучение и использование решений уравнений и неравенств в современном мире.
  • Кривые второго порядка и их виды, приложения. Примеры наиболее известных кривых.
  • Поверхности второго порядка и их виды, приложения. Примеры наиболее известных поверхностей.
  • Виды и ориентация прямых на плоскости и в пространстве.
  • Виды и ориентация прямой и плоскости в пространстве и относительно друг друга.
  • Уравнения, неравенства, их приложения в социально-гуманитарных областях.
    •
    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^