Введение в математику. Практикум

Дифференцирование

Показывать лекцию целиком

Задачи

  • Исходя лишь из определения производной, найти производную функции вида:

  • $$y=\sin x+\cos x$$ ;
  • $$y=\sqrt{x}$$ ;
  • $$y=x^3+3$$.
    •

    Указание: оценить отношение$$\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y(x+\Delta x)}{\Delta x},\, \Delta x\to0$$

  • Найти производную функции:

  • $$f(x)=\cfrac{2x^3-5x+1}{x^2-x+2}$$ ;
  • $$f(x)=\cfrac{e^x+2}{1-e^{-x}}$$ ;
  • $$f(x)=xe^x+\sin x \cos x$$.

    • Указание: использовать формулы дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и таблицу производных.

  • Найти производную функции:

  • $$f(x)=xe^{2x+2}+\sin x \cos{2x}$$ ;
  • $$f(x)=\cfrac{2(x-4)^3-5\sin{(3x+1)}}{\cos{x^2}-2}$$ ;
  • $$f(x)=\cfrac{\ln{(e^x+2)}}{\sin{e^{-x}}}$$.

    • Указание: использовать формулы дифференцирования сложной функции, суммы, разности, произведения, дроби и таблицу производных.

  • Найти частные производные до второго порядка включительно для функции z=x2y-xy2+5ln(x+y). Указание: использовать формулы uxx=(ux)x, uyy=(uy)y, uxy=uyx= (ux)y=(uy)x.
  • Найти промежутки возрастания и убывания, точки перегиба и экстремума функции y=e—x+ex. Указание: это значения х, для которых, соответственно, y/>0, y/<0, y/=0.
  • Найти экстремум, наибольшее и наименьшее значения функции y=sinx+cosx на промежутке [0;5). Указание: так как х<5, то y(5) вычислять не нужно.

  • Найти экстремум, наибольшее и наименьшее значения функции

    $$f(x)=\cfrac{e^x+2}{1-e^{-x}}$$

    на отрезке [0;1]. Указание: исследовать тип экстремума в критической точке.

  • Исследовать по полной схеме исследования функцию вида: y=2—3x+x2. Указание: найти области D(y), E(y), монотонности, периодичности, разрывы, перегибы, экстремумы, асимптоты, поострить график (эскиз).
  • Исследовать по полной схеме исследования функцию вида: y=3e-2x+ex. Указание: найти области D(y), E(y), монотонности, периодичности, разрывы, перегибы, экстремумы, асимптоты, поострить график (эскиз).
  • Исследовать по полной схеме исследования функцию вида: y=ln(x2+1). Указание: найти области D(y), E(y), монотонности, периодичности, разрывы, перегибы, экстремумы, асимптоты, поострить график (эскиз).

    • Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

  • Производная, ее происхождение.
  • Различные смыслы (геометрический, физический, экономический и др.) производной.
  • Исторические предпосылки формирования элементов дифференциального исчисления.
  • Дифференциальное исчисление и его эволюция.
  • Приложения дифференцирования в социально-экономических областях.
  • Приложения дифференцирования в гуманитарных областях.
  • Дифференцирование функции многих переменных.
  • Экстремумы функций и их приложения.
  • Методы дифференцирования.
  • Фундаментальность дифференциального исчисления как метода исследования законов природы и общества.
    •
    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^