Введение в математику. Практикум

Интегрирование

Показывать лекцию целиком

Задачи

  • Исходя из определения первообразной найти первообразную для функции вида:

  • $$y=\sin x+\cos x$$ ;
  • $$y=\sqrt{x}$$ ;
  • $$y=x^3+e^x+3$$.
    •

    Указание: использовать свойство первообразной $$(F'(x)=f(x))$$.

  • Найти первообразную функции по формулам:

  • $$f(x)=x^2-\sin x + 4$$ ;
  • $$f(x)=(2x-7)^3$$ ;
  • $$f(x)=\sqrt[3]{x} – 3e^x $$.

    • Указание: а), б) – табличные функции; в) – использовать формулу первообразной от линейного аргумента – $$F'(ax+b)=\cfrac{1}{a}f(ax+b) $$.

  • Найти первообразную функции, предварительно упростив функцию: $$y=\sin x \cos x$$. Указание: использовать формулу синуса двойного угла.

  • Вычислить неопределенный интеграл от функции

    $$f(x)=\cfrac{x^2+2}{x}.$$

    График какой функции из этого семейства первообразных проходит через точку А(1;1)? Указание: произвести предварительно почленное деление.

  • Вычислить определенный интеграл от функции$$f(x)=\cfrac{x^2+2}{x}$$ на отрезке [2;3]. Указание: произвести предварительно почленное деление.
  • Вычислить определенный интеграл от функции $$f(x)=\sin x \cos x + \sin{2x} \cos{2x}$$ на отрезке $$[0;\pi ]$$. Указание: использовать соответствующие школьные тригонометрические формулы.

  • Вычислить интеграл методом замены переменной интегрирования:

  • $$\int\limits_0^{\pi / 2}{\sqrt{1-\sin^2t}\cdot\sin{\left(\cfrac{\pi}{2}-t\right)}}\,dt $$ ;
  • $$\int\limits_0^1{\cfrac{(e^{4x}-e^x)dx}{e^x-1}}$$ ;
  • $$\int\limits_1^e{\cfrac{\ln x dx}{x}}$$.

    • Указание: заменить – а) sint = y ; б) ex=y ; в) ln(x)=y.

  • Вычислить интеграл по частям:

  • $$\int\limits_0^{\pi/3}{\cfrac{x}{\cos^2 x}\cdot\cos{\left(\cfrac{\pi}{2}-x\right)}dx}$$ ;
  • $$\int\limits_{\pi/3}^{\pi}{\cfrac{(xe^x \cos{x}+1)dx}{x}}$$ ;
  • $$\int\limits_1^3{\cfrac{dx}{\sin^2{\pi x}\cos^2{\pi x}}}$$.

    • Указание: предварительно применить – а) формулу приведения; б) почленное деление, а затем двукратное интегрирование по частям ; в) формулу синуса двойного аргумента.

  • Вычислить площадь фигуры ограниченной следующими линиями: y=(x—1)2 , x2—0,5y2=1. Указание: нарисовать эти параболу и гиперболу.
  • Вычислить площадь фигуры ограниченной следующими линиями: y=sinx, y=cosx, x=0. Указание: нарисовать графики линий (эскизы).

    • Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

  • Первообразная, ее происхождение.
  • Исторические предпосылки формирования интегрального исчисления.
  • Интегральное исчисление и его эволюция.
  • Приложения интегрирования в социально-экономических областях.
  • Приложения интегрирования в гуманитарных областях.
  • Интегрирование функции многих переменных.
  • Несобственные интегралы.
  • Методы интегрирования.
  • Фундаментальность интегрального исчисления как метода исследования законов природы и общества.
  • Дифференциал и интеграл – единство и борьба противоположностей.
    •
    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^