Пусть дана некоторая последовательность перенумерованных чисел x1, x2,..., xn,..., которую обозначим коротко $$\{x_n\}^\infty_{n=1}$$ или {xn}. Эту последовательность можно записать как функцию от номера n: xn=f(n), $$n\in\ N$$ или x1=f(1), x2=f(2),..., xn=f(n),....
Любая последовательность будет задана, если будет указано правило образования ее членов. Последовательность, как правило, задается формулами вида xn=f(n) или xn=f(xn-1), xn=f(xn-1, xn-2) и т.д., где $$n\in\ N$$.
Пример.Последовательность 2, 4, 8, 16, ... задана формулой xn=2n ;
геометрическая прогрессия a1, a2,..., an, ... может быть определена формулой an=a1qn-1 или an=an-1q ;
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... определяются формулами xn=xn-1+xn-2, n=3, 4, ..., x1=1, x2=1.
{xn} образуется множеством точек Mn(n;f(n)) на плоскости nOx, то есть
{xn} называется
{xn} называется
{xn} называется
{xn} называется
Такие последовательности называются
Пример.Ряд из чисел - числовой ряд. Ряд из функций -
Порядок следования элементов ряда - существенен. Поменяв порядок, из тех же элементов получим другой ряд.
Нас здесь интересует лишь числовой ряд и его сумма, записываемая пока формально (не конструктивно, не формализованно), то есть сумма всех членов некоторой бесконечной числовой последовательности u1, u2,..., un,..., или u1+u2+...+un+.... Этот ряд можно записать компактно в виде$$\sum^\infty_{n=1} u_n.$$
Знак $$\sum$$ - знак "сигма" или знак суммы, последовательного суммирования всех элементов un от нижнего предела n=1 (указывается внизу, может быть как любым конечным, так и отрицательной бесконечностью) до верхнего предела $$n=\infty$$ (указывается вверху, может быть любым числом, большим или равным нижнему пределу, а также положительной бесконечностью).
Числа un (n=1, 2, ...) называются un -
Пример.В школьном курсе математики дается геометрическая бесконечно убывающая прогрессия a=aq+aq2+...+aqn-1+..., |q|<1, u1=a, u2=aq, ..., un= aqn-1. Сумма этого ряда (прогрессии), как известно из школьного курса, равна S=a/(1-q).
Пример.
Числовой ряд будет считаться заданным, то есть каждый его элемент будет определен однозначно, если указано правило нахождения его общего члена или дана некоторая un=f(n).
Пример.Если $$u_n=\frac {n}{n+1}$$, то задан ряд $$\frac 12+\frac 23+\frac 34+\dotsc + \frac {n}{n+1} +\dotsc$$, или в компактной записи:$$\sum^\infty_{n=1} \frac {n}{n+1}.$$
Если задан
Дадим определение конечной
Конечная сумма n первых членов ряда называется его n -ой частичной суммой и обозначается через Sn:$$S_n=u_1+u_2+\dotsc+u_n = \sum^{n}_{i=1} u_i.$$
Эта сумма находится по обычным правилам суммирования чисел. Таких сумм можно составить бесконечно много, то есть для каждого ряда можно рассматривать ряд, составленный из частичных сумм: S1, S2,... , Sn, ...
или последовательность частичных сумм, построенных для этого ряда: $$\{S_i\}^\infty_{i=1}$$.
M, которого не превосходят все члены последовательности, то есть если выполнено следующее условие:$$\exists M = const, \quad \forall n\,: \ \ x_n<M.$$
m, которое превосходят все члены последовательности, то есть если выполнено условие:$$\exists m = const, \quad \forall n\,: \ \ x_n>m.$$
m и M, которые удовлетворяют условию:$$\exists m,M = const\,:\, \ m<x_n<M \ \ \quad \forall n.$$
a называется {xn}, если существует такое малое число $$\varepsilon >0$$, что все члены последовательности, за исключением некоторого конечного числа первых членов, попадают в $$\varepsilon$$ - окрестность числа a, то есть, в конце концов, сгущаются около точки a xi, i=N0, N0+1, N0+2, ... последовательности. При этом номер N0 зависит от выбранного числа $$\varepsilon$$, то есть $$N_0=N_0(\varepsilon )$$ (рис. 7.1).
(рис 7.1) Иллюстрация зависимости номера от размера окрестностиМатематически существование предела последовательности можно записать в виде:$$\forall \varepsilon >0, \ \ \exists N_0\in \mathbb{N}, \ \ \forall n>N_0\,:\ \
|x_n-a|<\varepsilon .$$
Этот факт записывают коротко в виде $$\lim\limits_{n\to \infty} x_n=a$$ или $$x_n \mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits^{n\to \infty}} a$$, и говорят, что $${x_n}$$ a.
Из определения предела $${x_n}$$ непосредственно следует: если отбросить, добавить или изменить конечное число членов последовательности, то
Пример.Положим, что $$\lim\limits_{n\to \infty} x_n=1$$, где $$x_n=\frac {n}{n+1}$$, то есть $$\frac 12$$, $$\frac 23$$, $$\frac 34, \dotsc, \frac {n}{n+1}\to 1$$.
Этот факт легко доказывается, но мы пока берем его в качестве доказанного факта. Тогда $$\forall \varepsilon >0$$ $$\exists N_0$$, $$\forall n>N_0$$: $$1-\Bigl|\frac {n}{n+1}\Bigr| <\varepsilon$$. Найдем значение номера $$N_0=N_0(\varepsilon )$$ (если такой номер существует). Рассмотрим $$|x_n-1| = \Bigl|\frac{n}{n+1}-1\Bigr|=\frac {1}{n+1}$$. Верно следующее соотношение:$$\frac {1}{n+1}<\varepsilon \implies n>\frac {1}{\varepsilon}-1$$
Поэтому, если возьмем номер $$N_0 > \Bigl|\frac {1}{\varepsilon }-1\Bigr|$$, то неравенство будет выполнено. Например, при значении $$\varepsilon =0,01$$, получаем номер N0=99, то есть $$\forall n>N_0=99$$, |xn-1|<0,01. Чем меньше значение $$\varepsilon$$ - тем больше значение N0. Например, если $$\varepsilon =0,001$$, то N0=999.
Дадим теперь два эквивалентных определения y=f(x) определена $$\forall x\in X=D(f)$$, кроме, может быть, точки x=x0, которая является предельной точкой D(f). В этой точке функция может быть не задана (не определена) или может иметь разрыв.
a называется f(x) при $$x\to x_0$$, если верно условие$$\forall \{x_n\}, \ \ x_n
\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits^{n\to\infty}} x_0, \ \
x_n\ne x_0, \ \
\lim\limits_{n\to \infty} x_n=x_0\ \implies \ \lim\limits_{n\to
\infty}f(x_n)=a.$$
{xn} стремится к x0, то последовательность значений функций {f(xn)} стремится к a.
a называется f(x) при $$x\to x_0$$, если верно условие$$\forall\varepsilon >0\ \ \exists \delta >0\,:\ \
|x-x_0|<\delta \ \implies \ |f(x)-a|<\varepsilon ,\ \ \forall x\in X.$$
x берется из некоторой x0, то значение функции f(x) оказывается в некоторой a (см. рис. 7.2).
Записывают факт существования
(рис 7.2) Иллюстрация к определению предела функцииПример.Рассмотрим функцию y=x2, $$x\in [1, 3]$$, $$x\to x_0=2$$, $$y\to 4$$. Пусть выполнено условие $$|x_n-x_0|=|x_n-2|<\delta$$, тогда получаем$$|y(x_n)-4| = |x^2_n-4| = |(x_n-2)(x_n+2)| = |x_n-2|\cdot |x_n+2|.$$
Так как $$x\in [1;3]$$, то $$x_n\in [1;3]$$ и $$|x_n+2|\le 5$$. Следовательно, можно заключить, что верно условие$$|y(x_n) -4|\le 5|x_n-2|\le 5\cdot \delta =\varepsilon \ \implies \
y(x_n) \mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits^{n\to\infty}} 4.$$
a называется f(x) при $$x\to \pm \infty$$ (
Записывают это условие (этот факт) так:$$\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=a.$$
a=0, то функция f(x) при $$x\to x_0$$ называется f(x) - бесконечно малая при $$x\to x_0$$, если $$\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=0$$, и бесконечно большая при $$x\to x_0$$, если $$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\pm \infty$$ (заметим, что это не предел во введенном выше смысле, так как $$a=\pm \infty$$ - не число). Поэтому полезно пользоваться эквивалентным определением (равенством) для бесконечно больших величин: $$\lim\limits_{x\to x_0}\frac {1}{f(x)}=0$$.
Бесконечно малые и большие нельзя путать с очень малыми или большими, но все же конечными, числами.
Пример.Функция f(x)=10-100 - не бесконечно малая, f(x)=100100 - не бесконечно большая.
Пример.Функция f(x)=x2, $$x\to x_0=0$$ - бесконечно малая; f(x)=x2, $$x\to x_0=\infty$$ - бесконечно большая; $$f(x)=\frac {1}{x-1}$$, $$x\to x_0=1$$ - бесконечно большая; f(x)=x-1, $$x\to x_0=1$$ - бесконечно малая.
Теорема существования числа $$e$$ .Последовательность {xn}, где$$x_n=\Bigl(1+\frac {1}{n}\Bigr)^n$$
$$n=1{,}2, \dotsc$$ сходится и$$\lim\limits_{n\to \infty} \Bigl(1+\frac 1n \Bigr)^n=e, \quad 2<e=const <3.$$
Впервые ввел это число Леонард Эйлер в XVII веке. Число e - e=2,718281828.... С этим числом связаны экспоненциальная функция или ex или $$\exp(x)$$ ) и e играет большую роль в различных областях науки.
Пример.Рост народонаселения, рост количества бактерий, рост растений, рост некоторой суммы капитала a при n - количество лет, а также ряд других процессов описываются экспоненциальными функциями.
В математике часто используют так называемые замечательные пределы, то есть пределы специального вида.
Здесь e - натуральное число (натуральное основание). Из этого соотношения можно получить ряд полезных следствий:$$\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to 0} (1+x)^{\frac {1}x} =e, \\
\lim\limits_{x\to \infty} \Bigl(1+\frac {\alpha }{x} \Bigr)^{\beta
x}=e^{\alpha \beta }, \\
\lim\limits_{x\to \infty} (1+\alpha x) ^{\frac {\beta }{x}}
=e^{\alpha \beta }.
\end{aligned}$$
Эти пределы находят много различных приложений.
Пример.Закон роста народонаселения (который в начальный период равен k0 и нет пока смертности и лимитирующих факторов) имеет вид$$k(t) = k_0 e^{\frac {pt}{100}}.$$
Сформулируем свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин.
Теорема.
f(x) при $$x\to x_0$$ - бесконечно малая, то $$\frac {1}{f(x)}$$ при $$x\to x_0$$ - бесконечно большая.x=x0, есть бесконечно малая при $$x \to x_0$$.Пример.Неопределенности дают пределы вида:$$ \lim\limits_{x\to 1} \frac {x^2-2x+1}{\sqrt{x+3}-2} =\frac 00, \quad \lim\limits_{x\to\infty} \frac {x+1}{x-1} =\frac \infty\infty.$$
Для вычисления таких пределов необходимо преобразовать (раскрыть) неопределенность $$\frac {f(x)}{g(x)}$$ так, чтобы ее предел уже не давал неопределенность.
Пример.Раскроем некоторые неопределенности:
1.$$\displaystyle \lim\limits_{x\to \infty} \frac {3x^3+x^2-1}{5x^3+6x^2+x+2} = \lim\limits_{x\to \infty} \frac {3+\frac 1x-\frac {1}{x^3}} {5+\frac 6x+\frac {1}{x^2}+\frac {2}{x^3} } =\\ \newline= \frac {\lim\limits_{x\to \infty} \Bigl(3+\frac 1x-\frac {1}{x^3} \Bigr)} {\lim\limits_{x\to \infty} \Bigl(5+\frac 6x+ \frac {1}{x^2}+\frac {2}{x^3} \Bigr)} = \frac {3+0-0}{5+0+0+0} =\frac 35.$$
2.$$\displaystyle \lim\limits_{x\to 3} \frac {x^2-4x+3}{x^2-9} = \lim\limits_{x\to 3} \frac {x-1}{x+3} =\frac 26=\frac 13.$$
3.$$\displaystyle \lim\limits_{x\to 1} \frac {x-1}{\sqrt{x+3}-2} = \lim\limits_{x\to 1} \frac {(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} {(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)} =\\ \newline= \lim\limits_{x\to 1} \frac {(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}{x-1} = \lim\limits_{x\to 1} (\sqrt{x+3}+2) =4.$$
Теорема.Если $$y(x)$$ - бесконечно малая величина при $$x\to x_0$$, то справедливы следующие соотношения эквивалентности:$$\sin y\sim y, \\ \tg y \sim y, \\ \arcsin y \sim y, \\ \arctg y \sim y, \\ 1-\cos y \sim y^2/2, \\ \log_a(1+y) \sim y, \\ a^y-1\sim y \ln a, \\ (1+y)^n -1 \sim ny, \\ \sqrt[n]{1+y}-1 \sim y/n.$$
Пример. В частности, используя 7-е и 9-е соотношения, вычислим
Перейдем к функциям многих переменных, ограничиваясь двумя переменными: z=f(x,y).
Последовательность точек M1(x1,y1), M2(x2,y2), ..., Mn(xn,yn), ... M0(x0,y0), если для каждой точки Mn расстояние ее до точки M0 стремится к нулю при $$n\to \infty$$: $$|\overrightarrow{M_nM_0}| = \sqrt{(x_n-x_0)^2 + (y_n-y_0)^2} \to 0$$.
Пример.Рассмотрим пределы, вычисляемые непосредственной подстановкой координат предельной точки: $$\lim\limits_{(x,y)\to (1, 2)}(x^2+y^2-2) =3$$. Наоборот, функция $$z=\frac {x^2-y^2}{x^2+y^2}$$ при $$(x,y)\to (0, 0)$$ не имеет предела. Действительно, если выбрать последовательность точек {Mi} = {(x1,0), (x2,0), ..., (xn,0)}, то$$\lim _{\substack{ {x\to 0} \\ {y\to 0} }}
f(x,y) = \lim\limits_{n\to \infty} \frac {x_n^2-y^2_n}{x^2_n+y^2_n} =
\lim _{n\to \infty} \frac {x^2_n}{x^2_n} =1.$$
Если же выбрать последовательность точек {Mi} = {(0,y1), (0,y2), ..., (0,yn)}, то$$\lim _{\substack{ {x\to 0} \\ {y\to 0} }}
f(x,y) = \lim\limits_{n\to \infty} \frac {0-y^2_n}{0+y^2_n} =-1.$$
Так как точки Mi выбраны произвольно и предел не должен зависеть от способа выбора точки Mi и способа их стремления к точке M0(x0,y0), то предел функции в этой точке не существует.
Пусть задана функция y=f(x) с D(f) и областью изменения E(f). Возьмем произвольную точку $$x_0\in D(f)$$ и x0 будет равно (см. рис. 7.3):$$\Delta y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$
(рис 7.3) Приращения аргумента и функцииДадим некоторые определения
y=f(x) называется x соответствуют бесконечно малые приращения $$\Delta y$$ функции f(x)
y=f(x) называется
Сравнивая это определение с определением f(x) при $$x\to 0$$, заключаем, что можно дать эквивалентное третье определение непрерывной функции.
y=f(x) называется
X
Пример.Функция y=x2 непрерывна в каждой точке $$x_0 \in D(y)$$, поскольку $$\Delta y = (x+\Delta x)^2-x^2 =2x\Delta x + (\Delta x)^2$$ и если $$\Delta x \to 0$$, то $$\Delta y \to 0$$.
y=f(x) в точке x0 не является непрерывной, то точка x=x0 называется
Разрыв у функции может быть по двум причинам:
f(x0), $$f(x_0+\Delta x)$$ не определены, или $$f(x_0)=\pm \infty$$.Пример.Пусть $$f(x)=\frac 1x$$. Точка x0=0 - точка разрыва, так как $$f(0)=\infty$$. Функция$$\begin{cases}
x, x\le 0, \\
x+1, x>0
\end{cases}$$
имеет в точке x0=0 разрыв, так как при $$\Delta x>0$$ она стремится к 1, а при $$\Delta x<0$$ - стремится к 0, то есть предел в точке x0=0 не существует.
Теорема Вейерштрасса.Функция f(x), непрерывная на [a;b], принимает на этом промежутке свое наибольшее (M) и наименьшее (m) значения.
Доказательства (строгого) этой теоремы мы не приводим. Ее суть очевидна геометрически: если график - непрерывная линия на отрезке, на этой линии есть хотя бы одна наиболее "высокая" и наиболее "низкая" точка.
Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x,y).
z=f(x,y) по переменной x называется разность вида: $$\Delta _xz=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$$, а приращением по y - $$\Delta _yz=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$$
Непрерывное и дискретное не существуют друг без друга, переходят друг в друга, взаимно дополняют и взаимно обогащают друг друга. Дискретность невозможна без непрерывности при каких-то условиях. Непрерывность реализуется через дискретность.
Пример.Непрерывность функции определяется через дискретность - приращения аргумента и значения функции. Приращения функции невозможно рассматривать ни на одном промежутке $$[x;x+\Delta x]$$ изменения аргумента, не допустив непрерывности функции на этом промежутке.
Ниже мы рассмотрим и другие примеры непрерывного и дискретного, их взаимодействия и взаимообогащения.
Пусть дана некоторая последовательность перенумерованных чисел x1, x2,..., xn,..., которую обозначим коротко $$\{x_n\}^\infty_{n=1}$$ или {xn}. Эту последовательность можно записать как функцию от номера n: xn=f(n), $$n\in\ N$$ или x1=f(1), x2=f(2),..., xn=f(n),....
Любая последовательность будет задана, если будет указано правило образования ее членов. Последовательность, как правило, задается формулами вида xn=f(n) или xn=f(xn-1), xn=f(xn-1, xn-2) и т.д., где $$n\in\ N$$.
Пример.Последовательность 2, 4, 8, 16, ... задана формулой xn=2n ;
геометрическая прогрессия a1, a2,..., an, ... может быть определена формулой an=a1qn-1 или an=an-1q ;
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... определяются формулами xn=xn-1+xn-2, n=3, 4, ..., x1=1, x2=1.
{xn} образуется множеством точек Mn(n;f(n)) на плоскости nOx, то есть
{xn} называется
{xn} называется
{xn} называется
{xn} называется
Такие последовательности называются
Пример.Ряд из чисел - числовой ряд. Ряд из функций -
Порядок следования элементов ряда - существенен. Поменяв порядок, из тех же элементов получим другой ряд.
Нас здесь интересует лишь числовой ряд и его сумма, записываемая пока формально (не конструктивно, не формализованно), то есть сумма всех членов некоторой бесконечной числовой последовательности u1, u2,..., un,..., или u1+u2+...+un+.... Этот ряд можно записать компактно в виде$$\sum^\infty_{n=1} u_n.$$
Знак $$\sum$$ - знак "сигма" или знак суммы, последовательного суммирования всех элементов un от нижнего предела n=1 (указывается внизу, может быть как любым конечным, так и отрицательной бесконечностью) до верхнего предела $$n=\infty$$ (указывается вверху, может быть любым числом, большим или равным нижнему пределу, а также положительной бесконечностью).
Числа un (n=1, 2, ...) называются un -
Пример.В школьном курсе математики дается геометрическая бесконечно убывающая прогрессия a=aq+aq2+...+aqn-1+..., |q|<1, u1=a, u2=aq, ..., un= aqn-1. Сумма этого ряда (прогрессии), как известно из школьного курса, равна S=a/(1-q).
Пример.
Числовой ряд будет считаться заданным, то есть каждый его элемент будет определен однозначно, если указано правило нахождения его общего члена или дана некоторая un=f(n).
Пример.Если $$u_n=\frac {n}{n+1}$$, то задан ряд $$\frac 12+\frac 23+\frac 34+\dotsc + \frac {n}{n+1} +\dotsc$$, или в компактной записи:$$\sum^\infty_{n=1} \frac {n}{n+1}.$$
Если задан
Дадим определение конечной
Конечная сумма n первых членов ряда называется его n -ой частичной суммой и обозначается через Sn:$$S_n=u_1+u_2+\dotsc+u_n = \sum^{n}_{i=1} u_i.$$
Эта сумма находится по обычным правилам суммирования чисел. Таких сумм можно составить бесконечно много, то есть для каждого ряда можно рассматривать ряд, составленный из частичных сумм: S1, S2,... , Sn, ...
или последовательность частичных сумм, построенных для этого ряда: $$\{S_i\}^\infty_{i=1}$$.
M, которого не превосходят все члены последовательности, то есть если выполнено следующее условие:$$\exists M = const, \quad \forall n\,: \ \ x_n<M.$$
m, которое превосходят все члены последовательности, то есть если выполнено условие:$$\exists m = const, \quad \forall n\,: \ \ x_n>m.$$
m и M, которые удовлетворяют условию:$$\exists m,M = const\,:\, \ m<x_n<M \ \ \quad \forall n.$$
a называется {xn}, если существует такое малое число $$\varepsilon >0$$, что все члены последовательности, за исключением некоторого конечного числа первых членов, попадают в $$\varepsilon$$ - окрестность числа a, то есть, в конце концов, сгущаются около точки a xi, i=N0, N0+1, N0+2, ... последовательности. При этом номер N0 зависит от выбранного числа $$\varepsilon$$, то есть $$N_0=N_0(\varepsilon )$$ (рис. 7.1).
(рис 7.1) Иллюстрация зависимости номера от размера окрестностиМатематически существование предела последовательности можно записать в виде:$$\forall \varepsilon >0, \ \ \exists N_0\in \mathbb{N}, \ \ \forall n>N_0\,:\ \
|x_n-a|<\varepsilon .$$
Этот факт записывают коротко в виде $$\lim\limits_{n\to \infty} x_n=a$$ или $$x_n \mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits^{n\to \infty}} a$$, и говорят, что $${x_n}$$ a.
Из определения предела $${x_n}$$ непосредственно следует: если отбросить, добавить или изменить конечное число членов последовательности, то
Пример.Положим, что $$\lim\limits_{n\to \infty} x_n=1$$, где $$x_n=\frac {n}{n+1}$$, то есть $$\frac 12$$, $$\frac 23$$, $$\frac 34, \dotsc, \frac {n}{n+1}\to 1$$.
Этот факт легко доказывается, но мы пока берем его в качестве доказанного факта. Тогда $$\forall \varepsilon >0$$ $$\exists N_0$$, $$\forall n>N_0$$: $$1-\Bigl|\frac {n}{n+1}\Bigr| <\varepsilon$$. Найдем значение номера $$N_0=N_0(\varepsilon )$$ (если такой номер существует). Рассмотрим $$|x_n-1| = \Bigl|\frac{n}{n+1}-1\Bigr|=\frac {1}{n+1}$$. Верно следующее соотношение:$$\frac {1}{n+1}<\varepsilon \implies n>\frac {1}{\varepsilon}-1$$
Поэтому, если возьмем номер $$N_0 > \Bigl|\frac {1}{\varepsilon }-1\Bigr|$$, то неравенство будет выполнено. Например, при значении $$\varepsilon =0,01$$, получаем номер N0=99, то есть $$\forall n>N_0=99$$, |xn-1|<0,01. Чем меньше значение $$\varepsilon$$ - тем больше значение N0. Например, если $$\varepsilon =0,001$$, то N0=999.
Дадим теперь два эквивалентных определения y=f(x) определена $$\forall x\in X=D(f)$$, кроме, может быть, точки x=x0, которая является предельной точкой D(f). В этой точке функция может быть не задана (не определена) или может иметь разрыв.
a называется f(x) при $$x\to x_0$$, если верно условие$$\forall \{x_n\}, \ \ x_n
\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits^{n\to\infty}} x_0, \ \
x_n\ne x_0, \ \
\lim\limits_{n\to \infty} x_n=x_0\ \implies \ \lim\limits_{n\to
\infty}f(x_n)=a.$$
{xn} стремится к x0, то последовательность значений функций {f(xn)} стремится к a.
a называется f(x) при $$x\to x_0$$, если верно условие$$\forall\varepsilon >0\ \ \exists \delta >0\,:\ \
|x-x_0|<\delta \ \implies \ |f(x)-a|<\varepsilon ,\ \ \forall x\in X.$$
x берется из некоторой x0, то значение функции f(x) оказывается в некоторой a (см. рис. 7.2).
Записывают факт существования
(рис 7.2) Иллюстрация к определению предела функцииПример.Рассмотрим функцию y=x2, $$x\in [1, 3]$$, $$x\to x_0=2$$, $$y\to 4$$. Пусть выполнено условие $$|x_n-x_0|=|x_n-2|<\delta$$, тогда получаем$$|y(x_n)-4| = |x^2_n-4| = |(x_n-2)(x_n+2)| = |x_n-2|\cdot |x_n+2|.$$
Так как $$x\in [1;3]$$, то $$x_n\in [1;3]$$ и $$|x_n+2|\le 5$$. Следовательно, можно заключить, что верно условие$$|y(x_n) -4|\le 5|x_n-2|\le 5\cdot \delta =\varepsilon \ \implies \
y(x_n) \mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits^{n\to\infty}} 4.$$
a называется f(x) при $$x\to \pm \infty$$ (
Записывают это условие (этот факт) так:$$\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=a.$$
a=0, то функция f(x) при $$x\to x_0$$ называется f(x) - бесконечно малая при $$x\to x_0$$, если $$\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=0$$, и бесконечно большая при $$x\to x_0$$, если $$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\pm \infty$$ (заметим, что это не предел во введенном выше смысле, так как $$a=\pm \infty$$ - не число). Поэтому полезно пользоваться эквивалентным определением (равенством) для бесконечно больших величин: $$\lim\limits_{x\to x_0}\frac {1}{f(x)}=0$$.
Бесконечно малые и большие нельзя путать с очень малыми или большими, но все же конечными, числами.
Пример.Функция f(x)=10-100 - не бесконечно малая, f(x)=100100 - не бесконечно большая.
Пример.Функция f(x)=x2, $$x\to x_0=0$$ - бесконечно малая; f(x)=x2, $$x\to x_0=\infty$$ - бесконечно большая; $$f(x)=\frac {1}{x-1}$$, $$x\to x_0=1$$ - бесконечно большая; f(x)=x-1, $$x\to x_0=1$$ - бесконечно малая.
Теорема существования числа $$e$$ .Последовательность {xn}, где$$x_n=\Bigl(1+\frac {1}{n}\Bigr)^n$$
$$n=1{,}2, \dotsc$$ сходится и$$\lim\limits_{n\to \infty} \Bigl(1+\frac 1n \Bigr)^n=e, \quad 2<e=const <3.$$
Впервые ввел это число Леонард Эйлер в XVII веке. Число e - e=2,718281828.... С этим числом связаны экспоненциальная функция или ex или $$\exp(x)$$ ) и e играет большую роль в различных областях науки.
Пример.Рост народонаселения, рост количества бактерий, рост растений, рост некоторой суммы капитала a при n - количество лет, а также ряд других процессов описываются экспоненциальными функциями.
В математике часто используют так называемые замечательные пределы, то есть пределы специального вида.
Здесь e - натуральное число (натуральное основание). Из этого соотношения можно получить ряд полезных следствий:$$\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to 0} (1+x)^{\frac {1}x} =e, \\
\lim\limits_{x\to \infty} \Bigl(1+\frac {\alpha }{x} \Bigr)^{\beta
x}=e^{\alpha \beta }, \\
\lim\limits_{x\to \infty} (1+\alpha x) ^{\frac {\beta }{x}}
=e^{\alpha \beta }.
\end{aligned}$$
Эти пределы находят много различных приложений.
Пример.Закон роста народонаселения (который в начальный период равен k0 и нет пока смертности и лимитирующих факторов) имеет вид$$k(t) = k_0 e^{\frac {pt}{100}}.$$
Сформулируем свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин.
Теорема.
f(x) при $$x\to x_0$$ - бесконечно малая, то $$\frac {1}{f(x)}$$ при $$x\to x_0$$ - бесконечно большая.x=x0, есть бесконечно малая при $$x \to x_0$$.Пример.Неопределенности дают пределы вида:$$ \lim\limits_{x\to 1} \frac {x^2-2x+1}{\sqrt{x+3}-2} =\frac 00, \quad \lim\limits_{x\to\infty} \frac {x+1}{x-1} =\frac \infty\infty.$$
Для вычисления таких пределов необходимо преобразовать (раскрыть) неопределенность $$\frac {f(x)}{g(x)}$$ так, чтобы ее предел уже не давал неопределенность.
Пример.Раскроем некоторые неопределенности:
1.$$\displaystyle \lim\limits_{x\to \infty} \frac {3x^3+x^2-1}{5x^3+6x^2+x+2} = \lim\limits_{x\to \infty} \frac {3+\frac 1x-\frac {1}{x^3}} {5+\frac 6x+\frac {1}{x^2}+\frac {2}{x^3} } =\\ \newline= \frac {\lim\limits_{x\to \infty} \Bigl(3+\frac 1x-\frac {1}{x^3} \Bigr)} {\lim\limits_{x\to \infty} \Bigl(5+\frac 6x+ \frac {1}{x^2}+\frac {2}{x^3} \Bigr)} = \frac {3+0-0}{5+0+0+0} =\frac 35.$$
2.$$\displaystyle \lim\limits_{x\to 3} \frac {x^2-4x+3}{x^2-9} = \lim\limits_{x\to 3} \frac {x-1}{x+3} =\frac 26=\frac 13.$$
3.$$\displaystyle \lim\limits_{x\to 1} \frac {x-1}{\sqrt{x+3}-2} = \lim\limits_{x\to 1} \frac {(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} {(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)} =\\ \newline= \lim\limits_{x\to 1} \frac {(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}{x-1} = \lim\limits_{x\to 1} (\sqrt{x+3}+2) =4.$$
Теорема.Если $$y(x)$$ - бесконечно малая величина при $$x\to x_0$$, то справедливы следующие соотношения эквивалентности:$$\sin y\sim y, \\ \tg y \sim y, \\ \arcsin y \sim y, \\ \arctg y \sim y, \\ 1-\cos y \sim y^2/2, \\ \log_a(1+y) \sim y, \\ a^y-1\sim y \ln a, \\ (1+y)^n -1 \sim ny, \\ \sqrt[n]{1+y}-1 \sim y/n.$$
Пример. В частности, используя 7-е и 9-е соотношения, вычислим
Перейдем к функциям многих переменных, ограничиваясь двумя переменными: z=f(x,y).
Последовательность точек M1(x1,y1), M2(x2,y2), ..., Mn(xn,yn), ... M0(x0,y0), если для каждой точки Mn расстояние ее до точки M0 стремится к нулю при $$n\to \infty$$: $$|\overrightarrow{M_nM_0}| = \sqrt{(x_n-x_0)^2 + (y_n-y_0)^2} \to 0$$.
Пример.Рассмотрим пределы, вычисляемые непосредственной подстановкой координат предельной точки: $$\lim\limits_{(x,y)\to (1, 2)}(x^2+y^2-2) =3$$. Наоборот, функция $$z=\frac {x^2-y^2}{x^2+y^2}$$ при $$(x,y)\to (0, 0)$$ не имеет предела. Действительно, если выбрать последовательность точек {Mi} = {(x1,0), (x2,0), ..., (xn,0)}, то$$\lim _{\substack{ {x\to 0} \\ {y\to 0} }}
f(x,y) = \lim\limits_{n\to \infty} \frac {x_n^2-y^2_n}{x^2_n+y^2_n} =
\lim _{n\to \infty} \frac {x^2_n}{x^2_n} =1.$$
Если же выбрать последовательность точек {Mi} = {(0,y1), (0,y2), ..., (0,yn)}, то$$\lim _{\substack{ {x\to 0} \\ {y\to 0} }}
f(x,y) = \lim\limits_{n\to \infty} \frac {0-y^2_n}{0+y^2_n} =-1.$$
Так как точки Mi выбраны произвольно и предел не должен зависеть от способа выбора точки Mi и способа их стремления к точке M0(x0,y0), то предел функции в этой точке не существует.
Пусть задана функция y=f(x) с D(f) и областью изменения E(f). Возьмем произвольную точку $$x_0\in D(f)$$ и x0 будет равно (см. рис. 7.3):$$\Delta y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$
(рис 7.3) Приращения аргумента и функцииДадим некоторые определения
y=f(x) называется x соответствуют бесконечно малые приращения $$\Delta y$$ функции f(x)
y=f(x) называется
Сравнивая это определение с определением f(x) при $$x\to 0$$, заключаем, что можно дать эквивалентное третье определение непрерывной функции.
y=f(x) называется
X
Пример.Функция y=x2 непрерывна в каждой точке $$x_0 \in D(y)$$, поскольку $$\Delta y = (x+\Delta x)^2-x^2 =2x\Delta x + (\Delta x)^2$$ и если $$\Delta x \to 0$$, то $$\Delta y \to 0$$.
y=f(x) в точке x0 не является непрерывной, то точка x=x0 называется
Разрыв у функции может быть по двум причинам:
f(x0), $$f(x_0+\Delta x)$$ не определены, или $$f(x_0)=\pm \infty$$.Пример.Пусть $$f(x)=\frac 1x$$. Точка x0=0 - точка разрыва, так как $$f(0)=\infty$$. Функция$$\begin{cases}
x, x\le 0, \\
x+1, x>0
\end{cases}$$
имеет в точке x0=0 разрыв, так как при $$\Delta x>0$$ она стремится к 1, а при $$\Delta x<0$$ - стремится к 0, то есть предел в точке x0=0 не существует.
Теорема Вейерштрасса.Функция f(x), непрерывная на [a;b], принимает на этом промежутке свое наибольшее (M) и наименьшее (m) значения.
Доказательства (строгого) этой теоремы мы не приводим. Ее суть очевидна геометрически: если график - непрерывная линия на отрезке, на этой линии есть хотя бы одна наиболее "высокая" и наиболее "низкая" точка.
Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x,y).
z=f(x,y) по переменной x называется разность вида: $$\Delta _xz=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$$, а приращением по y - $$\Delta _yz=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$$
Непрерывное и дискретное не существуют друг без друга, переходят друг в друга, взаимно дополняют и взаимно обогащают друг друга. Дискретность невозможна без непрерывности при каких-то условиях. Непрерывность реализуется через дискретность.
Пример.Непрерывность функции определяется через дискретность - приращения аргумента и значения функции. Приращения функции невозможно рассматривать ни на одном промежутке $$[x;x+\Delta x]$$ изменения аргумента, не допустив непрерывности функции на этом промежутке.
Ниже мы рассмотрим и другие примеры непрерывного и дискретного, их взаимодействия и взаимообогащения.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.