Уравнения и неравенства

Разбить на страницы

Показывать лекцию целиком

Уравнения и неравенства

Один из основных вопросов, который "занимает" математиков - решение различных рода и типа уравнений или неравенств, систем уравнений (неравенств) или, как говорят математики, исследование уравнений на их разрешимость. Это выражение включает множество смежных аспектов - вывод уравнения (неравенства), нахождение решения, выяснение его однозначности, единственности и т.д. Нас будут интересовать два основных вопроса (как "нематематика") - вывод уравнения (неравенства) и нахождение его решения (хотя другие вопросы иногда могут оказаться не менее значимыми, интересными и сложными).

Уравнением называется некоторое определенное равенство, связывающее хотя бы один неизвестный объект (из некоторого, заранее определенного множества объектов) хотя бы с одним известным объектом из этого (чаще всего) или из другого множества.Если эти объекты - числового происхождения, то уравнение называется числовым (скалярным). Если объекты - векторы, то уравнение называется векторным. Если объекты - матрицы, то уравнение называется матричным и т.д.

Решением уравнения называется любое конкретное значение неизвестного объекта, которое при подстановке в уравнение превращает его в верное (истинное) равенство, то есть в тождество. Если такой допустимый объект не существует, то уравнение не имеет решения или неразрешимо в данном множестве объектов. Множество допустимых значений неизвестного объекта называется допустимым множеством решений или областью определения уравнения .

Количество известных и неизвестных объектов уравнения существенно влияет на разрешимость уравнения.

Пример. Уравнение 2x+3=7 - простое скалярное уравнение, относительно неизвестного числа x. Уравнение 2x+3y=z - также скалярное, но уже относительно трех неизвестных. Это уравнение - несравнимо более сложное и в общем виде не имеющее решения (то есть не имеющее метода, алгоритма поиска неизвестных x, y, z ).

Если решается уравнение вида f(x)=0 и найдено его решение x=a (иначе говоря, f(a)=0 ), то x=a называют нулем функции f(x) .

Неравенство - некоторое соотношение, связывающее неизвестный объект (неизвестные объекты) с известными объектами с помощью знаков неравенства (знаков $$\ne$$, $$\ge$$, $$\le$$, <, > ).

Неравенства, как и уравнения, могут быть различного типа: скалярные, векторные и т.д.

Решение системы уравнений (неравенств) должно обращать в тождество каждое уравнение (неравенство) системы. Для решения системы уравнений (неравенств) необходимо решить каждое уравнение (неравенство), найти множества решений каждого уравнения (неравенства) и взять их пересечение (то есть подмножество, где каждое уравнение или неравенство обращается в верное числовое равенство или неравенство).

Решить уравнение ( неравенство ) означает найти все допустимые объекты, превращающие уравнение (неравенство) в истинное равенство (неравенство). Решением уравнения (неравенства) называют часто также и сам процесс нахождения таких объектов.

Пример. Получим (как говорят математики, "выведем") и затем решим скалярное уравнение (уравнение с числовым неизвестным) по следующим исходным данным (по следующей содержательной постановке задачи): расстояние между станциями A и B по железной дороге равно 96 км, при этом первый поезд, идущий со средней скоростью на 12 км/час больше, чем второй, проходит это расстояние на 40 мин. быстрее, чем второй; необходимо найти скорости обоих поездов. Для получения уравнения проанализируем условие задачи и выпишем содержательно связь между параметрами (элементами) задачи, то есть выпишем содержательное уравнение вида (Время на AB второго поезда) - (Время на AB первого поезда) = 40 мин.

Теперь видно, что для нахождения неизвестных объектов (времени) этого уравнения необходимо ввести неизвестное - скорость (так как путь известен). Итак, обозначим через x (км/час) - скорость первого поезда, тогда скорость второго поезда будет по условию задачи равна x-12 (км/час). Из содержательно и не формализованно записанного соотношения, получаем уже формализованное, алгебраическое уравнение вида$$\frac{96}{x-12}- \frac{96}{x} = \frac{40}{60}.$$

Решаем это уравнение. Для этого приводим к общему знаменателю: $$288x-288(x-12) = 2x(x-12) \ \implies \ x^2-12x -1728 =0 \ \implies \ x_{1{,}2} = 6\pm 42$$.

Отбрасывая затем один из неподходящих двух корней ( x=-36 ), получаем скорость первого поезда - 48 км/час, а скорость второго поезда (находим по условию задачи) - 36 км/час.

Особый класс уравнений и неравенств образуют уравнения и неравенства, связывающие текущие координаты точки на прямой, плоскости, пространстве и описывающие геометрические свойства, геометрическую (топологическую) структуру множества точек, удовлетворяющих такому соотношению, то есть решений таких уравнений или неравенств. Такие уравнения часто называют уравнениями линий, поверхностей (фигур, тел).

Рассмотрим некоторые основные, простые (канонические, как говорят в математике) типы таких уравнений и неравенств. Отметим попутно, что уравнения, определяющие линии на плоскости, часто в каноническом виде представлять не удается.

Окружность - это геометрическое место точек плоскости, отстоящих от некоторой фиксированной точки M(x₀; y₀) (называемой центром окружности) на одинаковом расстоянии r (называемой радиусом окружности). Задается неявным уравнением (x-x₀)²+(y-y₀)²=r².

Пример. Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 3 единицы масштаба координатной системы, можно изобразить как на рис. 6.1.

Эллипс - это геометрическое место (рис. 6.2) точек (рис 6.1) График окружности

Легко проверить (по известной из школы формуле расстояния между двумя точками), что верны следующие равенства:$$\begin{align*} r_1=\sqrt{(x-c)^2+y^2}, \\ r_2=\sqrt{(x+c)^2+y^2}. \end{align*}$$

Поэтому из равенства r₁+r₂=2a получаем:$$\sqrt{(x-c)^2+y^2} + \sqrt{(x+c)^2+y^2} =2a,$$ или (a²-c²)x²+a²y² = a²(a²-c²), а так как a>c (или 2a>2c в треугольнике MF₂F₁ ), то a²-c²>0. Обозначим b²=a²-c², тогда получим b²x²+a²y² = a²b², или соотношение вида:$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1.$$

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса, величины r₁ и r₂ - фокальные радиусы точки M(x;y), F₁, F₂ - фокусы эллипса, x=0, y=0 - оси симметрии, величина 2a - большая ось, 2b - малая ось, 2c=|F₁F₂| - фокусное расстояние, величина $$E= \frac ca<1$$ - эксцентриситет эллипса.

(рис 6.2) График эллипса

Гипербола - геометрическое место точек (рис. 6.3), разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная. Задается уравнением$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1.$$

(рис 6.3) График гиперболы

Это уравнение можно вывести, как и вышеприведенное уравнение эллипса.

Парабола - геометрическое место точек, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Задается уравнением: y²=2px (рис. 6.4а , директриса параллельна оси Oy ), y=2px² (рис. 6.4б, директриса параллельна оси Ox ).

(рис 6.4) Графики парабол

Это уравнение можно вывести, как и вышеприведенное уравнение эллипса. Общее неявное уравнение для линий на плоскости имеет вид Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0, где параметры уравнения A, B, C, D, E, F - const.

Уравнение линии задано явно в виде y=f(x), где x, y - координаты точки на плоскости xOy. Если x, а, следовательно, и y, изменяются в зависимости от некоторого параметра t (например, времени), то получим параметрические уравнения линии: x=x(t), y=y(t).

Пример. Если взять за t - угол $$\varphi$$, то, используя полярные координаты, получим параметрические уравнения окружности:$$\left. \begin{aligned} {x=R\cos t,} \\ {y=R\sin t.} \end{aligned} \right\}$$

Перейдем от параметрических уравнений к уравнению в прямоугольной системе координат. Для этого, учитывая основное тригонометрическое равенство и координаты x, y текущей точки, получаем: x²+y²=R²(sin²t+cos²t)=1.

Перейдем от параметрических уравнений окружности к уравнению в полярной системе координат; для этого полагаем $$R=\rho , \quad t=\varphi$$.

Уравнением линии или поверхности как геометрического места точек в пространстве называется уравнение, которое связывает декартовы координаты x,y,z любой точки, принадлежащей этой линии или поверхности; уравнению линии (поверхности) не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих линии (поверхности).

Итак, уравнение линии (поверхности) будет иметь общий вид: F(x,y,z)=0.

Координаты произвольной точки M(x;y;z) принадлежащей линии или поверхности, называются текущими координатами . Чтобы найти уравнение линии (поверхности), надо найти устойчивую, справедливую для всех точек связь между текущими координатами.

Пример. Найти уравнение множества S точек в пространстве переменных x, y, z, удаленных от точки C(x₀;y₀;z₀) на расстояние r - const (рис. 6.5).

(рис 6.5) Геометрическое изображение свойства точек

Пусть M(x;y;z) - текущая точка множества S. По свойству точек этого множества S имеем: |CM|=r.

Так как в координатной форме можно записать вектор CM=({x-x₀} ; {y-y₀}; {z-z₀}), то получаем, что справедливо равенство вида:$$|\overrightarrow{CM}| = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 }.$$

Из этого равенства получаем (x-x₀)² + (y-y₀)² + (z-z₀)² = r².

Мы нашли связь между координатами текущей точки M, то есть уравнение множества точек S в пространстве. Это уравнение определяет поверхность, называемую сферой. Любая точка M(x;y;z), удовлетворяющая этому уравнению, лежит на этой сфере. Отметим, что верхняя полусфера описывается уравнением$$\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 } =r > 0$$ , но этому уравнению не удовлетворяет ни одна точка нижней полусферы.

Если точка M(x;y;z) лежит внутри сферы, то ее координаты удовлетворяют неравенству |CM|² = (x-x₀)² + (y-y₀)² + (z-z₀)² < r².

Если точка M(x;y;z) лежит вне сферы, то ее координаты удовлетворяют неравенству вида: |CM|² = (x-x₀)² + (y-y₀)² + (z-z₀)² > r². Поэтому неравенство$$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 \le r^2.$$ определяет шар с центром в точке C(x₀; y₀; z₀) и радиусом r.

Любая линия в пространстве может быть представлена как пересечение двух поверхностей. Если F₁(x,y,z)=0, F₂(x,y,z)=0 - уравнения двух поверхностей в пространстве, то система$$\begin{cases} F_1(x,y,z) =0, \\ F_2(x,y,z) =0 \end{cases}$$ определяет линию в пространстве.

Пример. Линию пересечения двух сфер определяет система:$$\begin{cases} (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 =9, \\ x^2+y^2+z^2 =4. \end{cases}$$

Для того чтобы найти на плоскости точки пересечения двух линий, заданных своими уравнениями f(x,y)=0, g(x,y)=0, необходимо решить систему из этих уравнений (так как эти точки должны лежать на каждой из этих линий, то есть удовлетворять уравнениям этих линий). Обратно, любое решение этой системы определяет точку пересечения линий.

Плоскость - поверхность (бесконечная в любом направлении), в которой каждая прямая, имеющая две общие точки, целиком лежит на этой поверхности. Из школьной стереометрии известна одна из основных аксиом (стереометрии): существует хотя бы одна прямая и одна плоскость, а каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек, причем прямая, проходящая через две различные точки плоскости, лежит в этой плоскости.

Пусть P - некоторая плоскость, определенная в координатном пространстве.

Нормалью к плоскости P называется ненулевой вектор, перпендикулярный к P (нулевой вектор - неинтересен, тривиален, так как он всегда перпендикулярен любому вектору - почему?). Любая плоскость в пространстве однозначно ориентирована, если задана точка $$M_0(x_0;y_0;z_0)\in P$$ и какой-нибудь вектор нормали n=(A;B;C) к ней (рис. 6.6).

(рис 6.6) Вектор нормали к плоскости ориентирует плоскость

Нужно найти связь между координатами текущей точки M(x; y; z) на P. Так как $$M\in P$$, то$$\overrightarrow{M_0M} \perp \vec n \ \implies \ (\overrightarrow{M_0M}, \vec n) =0, \\ \overrightarrow{M_0M} = (x-x_0; y-y_0;z-z_0), \\ \vec n= (A;B;C).$$ Поэтому A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) =0. Так как точка $$M\in P$$ является произвольной, то этому уравнению удовлетворяют все точки на P. Следовательно, это уравнение определяет плоскость, проходящую через точку M₀(x₀;y₀;z₀) перпендикулярно к вектору нормали n=(A;B;C).

Теорема Любая плоскость в пространстве определяется уравнением вида: Ax+By+Cz+D=0. Обратно, всякое уравнение такого вида, где хотя бы один из постоянных коэффициентов A, B, C не равен нулю, задает некоторую плоскость в пространстве.

Вместо доказательства этой теоремы рассмотрим полезный (и работающий на понимание теоремы) пример.

Пример.

Возьмем возможные частные случаи этого уравнения:

если D=0, Ax+By+Cz=0, то плоскость P проходит через точку O(0;0;0).

если A=0, By+Cz+D=0, то плоскость P параллельна оси Ox ( $$\vec n= (0;B;C)\perp Ox)$$.

если B=0, Ax+Cz+D=0, то плоскость P параллельна оси Oy ( $$\vec n= (A;0;C)\perp Oy)$$.

если C=0, Ax+By+D=0, то плоскость P параллельна оси Oz ( $$\vec n= (A;B;0)\perp Oz)$$.

если A=D=0, By+Cz=0, то плоскость P проходит через ось Ox.

если B=D=0, Ax+Cz=0, то плоскость P проходит через ось Oy.

если C=D=0, Ax+By=0, то плоскость P проходит через ось Oz.

если A=B=0, Cz+D=0, то плоскость P параллельна плоскости xOy.

если B=C=0, Ax+D=0, то плоскость P параллельна плоскости yOz.

если A=C=0, By+D=0, то плоскость P параллельна плоскости xOz.

если A=B=D=0, Cz=0 (z=0), то плоскость P совпадает с плоскостью xOy.

если A=C=D=0, By=0 (y=0), то плоскость P совпадает с плоскостью xOz.

если B=C=D=0, Ax=0 (x=0), то плоскость P совпадает с плоскостью yOz.

Сделайте графические иллюстрации (рисунки) к каждому случаю самостоятельно.

Пусть заданы плоскости P₁ и P₂ в пространстве своими общими уравнениями P₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, P₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

Эти плоскости будут коллинеарны (параллельны), если коллинеарны будут их нормали, и перпендикулярны (ортогональны), если будут ортогональны их нормали. Из условий коллинеарности и ортогональности векторов получаем соответствующие условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей: $$\frac {A_1}{A_2} = \frac {B_1}{B_2} = \frac {C_1}{C_2}$$, A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ =0.

Направляющим вектором для прямой (или направляющим вектором прямой) $$\lambda$$ называется любой вектор, коллинеарный данной прямой. Часто в качестве направляющего вектора берется единичный вектор (орт) данного направления.

Любая прямая $$\lambda$$ определяется однозначно заданием какой-то точки $$M_0(x_0;y_0;z_0)\in \lambda$$ и направляющего вектора S=(m;n;p) прямой $$\lambda$$. Найдем уравнение $$\lambda$$ (рис. 6.7). Пусть точка M(x;y;z) - текущая точка. Тогда M_0M =(x-x₀; y-y₀; z-z₀). Так как вектор M_0M коллинеарен вектору S, то из условия коллинеарности векторов находим$$\frac {x-x_0}{m} = \frac {y-y_0}{n} = \frac {z-z_0}{p}.$$

(рис 6.7) Направляющий вектор прямой

Это уравнение определяет $$\lambda$$ и называется каноническим уравнением прямой. Пусть точки M₁(x₁;y₁;z₁), $$M_2(x_2;y_2;z_2)\in\lambda$$. Тогда за направляющий вектор можно взять M₀M =(x₂-x₁; y₂-y₁; z₂-z₁) =S.

Из предыдущего уравнения получим (полагая $$M_0\equiv M_1$$ ) соотношение вида$$\frac {x-x_1}{x_2-x_1} = \frac {y-y_1}{y_2-y_1} = \frac {z-z_1}{z_2-z_1} .$$

Это уравнение определяет прямую, проходящую через две точки M₁, M₂, и называется каноническим уравнением прямой в пространстве.

Пример. Если даны две точки A(1;3;2) и B(3,5,1), то в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через эти точки, можно взять вектор AB(2; 2; -1). Уравнение прямой имеет вид$$\frac {x-1}2 = \frac {y-3}2 = \frac {z-2}{-1}.$$

Страницы: