Дифференцирование

Разбить на страницы

Показывать лекцию целиком

Пусть задана функция y=f(x), $$x\in D(f)$$, $$y\in E(f)$$ и точка $$x_1=x+\Delta x\in D(f)$$, где $$x\in D(f)$$. Тогда число $$\Delta x=x_1-x$$ называется приращением аргумента в точке x . Приращением функции $$\Delta y$$ в точке x соответствующего приращения $$\Delta x$$ называется число $$\Delta y=y_1-y=f(x+\Delta x)-f(x)$$ .

Рассмотрим несколько задач, которые привели к необходимости введения понятия производной функции.

Пример (Задача о движении). Некоторая точка движется по прямой по закону (рис 8.1) Прямолинейное движение точкиТогда за время $$\Delta t=t_1-t_0$$ точка прошла путь $$|\overrightarrow{AB}|=s(t+\Delta t) - s(t)=\Delta s$$. Средняя скорость за промежуток времени $$\Delta t$$ равна$$V _{\text{ср}} = \frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t} = \frac {\Delta s}{\Delta t}.$$ Если движение равномерное, то $$V_{\text{ср}}=const$$ и этой характеристики достаточно для выяснения быстроты движения. Если же движение неравномерное, то $$V_{\text{ср}}=V_{\text{ср}}(\Delta t)\ne const$$ и поэтому вводится понятие мгновенной скорости прямолинейного движения (или скорость в данный момент времени $$t$$ ) как предельное значение средней скорости:$$V_{\text{мгн}} = \lim\limits_{\Delta t\to 0} \frac {\Delta s}{\Delta t} = \lim\limits_{\Delta t\to 0} \frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}$$ (если этот предел существует и он конечен). Ясно, что $$V_{\text{мгн}} = V_{\text{мгн}}(t)$$.

Пример (Задача о наклоне касательной к кривой). Пусть задана кривая y=f(x). Рассмотрим точки M(x; y) и $$N(x+\Delta x; y+\Delta y)$$ на этой кривой (рис. 8.2).

(рис 8.2) Расположение касательной к секущей кривой

Касательной к линии y=f(x) в точке M называется прямая, которая совпадает с предельным значением прямой MN, когда точка N по кривой стремится к точке M, то есть $$\Delta x\to 0$$ . Так как $$\tg \varphi = \frac {|\overrightarrow{NP}|}{|\overrightarrow{MP}|} = \frac {\Delta y}{\Delta x}$$, то $$\tg\varphi \to \tg\alpha$$ или угловой коэффициент k касательной к кривой можно определять как$$k=\tg\alpha = \lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x}.$$

Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, при условии, что этот предел существует и конечен. Обозначают производную несколькими способами: y', f'(x), $$\frac {dy}{dx}$$, $$\frac {df}{dx}$$. Таким образом,$$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{x\to 0} \frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$$

Значение производной f'(x) при x=a (в точке x=a ) обозначается как:$$y'(a), \ f'(a), \ y'|_{x=a},\ f'(x)|_{x=a} , \ \frac {dy}{dx} \bigl|_{x=a}.$$

Пример. Вычислим y', где $$y=\sqrt{x}$$ при x=1, используя только определение производной.

Находим $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}$$ ;

Находим предел:$$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac {\sqrt {x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac {1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}} = \frac {1}{2\sqrt{x}} \ \implies \\ \implies \ (\sqrt{x})' = \frac {1}{2\sqrt{x}};$$

Подставляя в это выражение x=1, находим $$y'|_{x=1}=\frac {1}{2\sqrt{1}}=\frac 12$$.

В задаче о наклоне касательной мы выяснили, что угловой коэффициент касательной в точке x, проведенной к кривой y=f(x), будет иметь вид $$k=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x}$$. Поэтому $$k=\tg\alpha =f'(x)$$.

Отсюда следует геометрический смысл производной в точке x: значение производной равно тангенсу угла, который образован касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точке M(x; f(x)), с положительным направлением оси Ox . В задаче о движении мы выяснили, что$$V_{\text{мгн}}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac {\Delta s}{\Delta t} \ \implies \ V_{\text{мгн}} =s'(t).$$

Отсюда следует механический смысл производной в точке x: значение производной равно мгновенной скорости (в момент времени x) материальной точки, движущейся по закону движения y=f(x) .

Найдем уравнение невертикальной касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке M₀(x₀;f(x₀)) (если касательная вертикальна, то f'(x) - не существует, так как при этом $$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x}=\infty$$ ). Так как ее угловой коэффициент k=f'(x₀), то уравнение касательной в точке M₀ будет иметь вид: y-f(x₀)=f'(x₀)(x-x₀).

Если у функции y=f(x) существует производная в точке x, то говорят, что функция y=f(x) дифференцируема в точке x.

Теорема(необходимое условие существования производной). Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке $$x_0\in D(f)$$, то она в этой точке непрерывна. Обратное утверждение неверно, то есть непрерывность функции в точке x не является достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке, и функция может быть непрерывной в точке, не имея в этой точке производной.

Теорема(правила дифференцирования функций). Если функции u=f(x) и v=g(x) дифференцируемы в некоторой точке из общей части их областей определения, иначе говоря, в точке $$x\in D(f)\cap D(g)$$, то в этой точке дифференцируемы функции u+v, u-v, $$u\cdot v$$, $$\frac uv$$, причем справедливы, соответственно, формулы (дифференцирования суммы, разности, произведения и частного):

$$(u\pm v)'=u'\pm v'$$,

$$(u\cdot v)' =u'v+uv'$$,

$$\Bigl(\frac uv\Bigr)' = \frac {u'v-v'u}{v^2}$$, $$v(x)\ne 0$$, $$\forall x\in D(g)$$.

Теорема(правило дифференцирования сложной функции). Пусть даны функции $$\smu{1} y=f(u)$$, $$\smu{1} u=g(x)$$, причем $$\smu{1} E(g)\subset D(f)$$. Если существует в точке x₀ производная $$\smu{3} g'(x_0)\equiv \frac {dg}{dx}|_{x=x_0}$$, а в точке $$\smu{3} u_0=g(x_0)$$ существует производная $$\smu{2} f'(u_0)=\frac {df}{du}|_{u=u_0}$$, то сложная функция $$\smu{2} {y=f(g(x))}$$ имеет производную в точке x₀, определяемую из формулы (дифференцирования сложной функции):

$$y'(x)=f'(u)\cdot g'(x)$$ $$(y'_x=f'_u\cdot u'_x)$$.

Найдем производные некоторых элементарных функций.

Теорема.

Производная постоянной равна нулю, то есть (C)'=0, C=const.

Производная функции y=sin x равна y'=cos x.

Производная функции y=cos x равна y'=-sin x.

Производная функции y=ln x равна $$(\ln x)'=\frac 1x$$.

Имеет место формула (xⁿ)'= nx^n-1.

Производная показательной функции при a>0, $$a\ne 1)$$ равна: $$(a^x)'=a^x \cdot \ln a$$,

Следствие. Для экспоненциальной функции (e^x)'=e^x.

Докажем, например, теорему для производной натурального логарифма.

Доказательство. Для всех $$x\in D(\ln x)=(0;+\infty)$$ имеем$$\frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {\ln (x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x} = \frac {\ln \frac {x+\Delta x}{x}}{\Delta x} = \frac {\ln \Bigl(1+\frac {\Delta x}{x}\Bigr)}{\Delta x} = \ln \Bigl(1+\frac {\Delta x}{x} \Bigr)^{\frac {1}{\Delta x}}.$$ Отсюда,$$\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\ln \Bigl(1+\frac {\Delta x}{x} \Bigr)^{\frac {1}{\Delta x}} = \ln \Bigl(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigl(1+\frac {\Delta x}{x} \Bigr)^{\frac {1}{\Delta x}} \Bigr).$$ Из замечательного предела следует, что$$\lim\limits_{\Delta x\to 0} \Bigl(1+\frac {\Delta x}{x} \Bigr)^{\frac {1}{\Delta x}} = e^{\frac {1}{x}}.$$ Следовательно,$$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x} =\ln e^{\frac {1}{x}}=\frac 1x\ln e = \frac 1x.$$ Равенство доказано.

Пример. Рассмотрим некоторые применения указанных теорем (формул):

1. $$(\ln (x^2+\sin x))'=\frac {1}{x^2+\sin x}\cdot (x^2+\sin x)' = \frac {2x+\cos x}{x^2+\sin x}$$.

2. $$(\log_2 \sin x)' = \frac {1}{\sin x\cdot \ln 2}\cdot (\sin x)' = \frac {\cos x}{\ln 2\cdot \sin x}=\frac {\ctg x}{\ln 2}$$.

3. $$\ln (x\sin x^2) = \frac {1}{x\sin x^2} (x\sin x^2)' = \frac {1}{x\sin x^2} (\sin x^2+x\cos x^2\cdot 2x) = \frac {2x^2\cos x^2+\sin x^2}{x\sin x^2} = \frac 1x +2x \ctg x^2$$.

4. y=x²e^x $$\implies$$ y'=2xe^x +x² e^x.

5. $$y=2^{x^2}$$ $$\implies$$ $$y'=2^{x^2} (x^2)' = 2x\cdot 2^{x^2}\ln 2 = 2^{x^2+1} \cdot x\ln 2$$.

6. e^{sin x+cos x} = e^{sin x+cos x}(sin x+cos x)' = e^{sin x+cos x} (cos x-sin x).

Теорема. Если функция y=f(x) имеет обратную функцию $$x=\varphi (y)$$ (то есть функцию с $$D(\varphi )=E(f)$$, $$E(\varphi )=D(f))$$, которая в точке $$y\in D(\varphi )$$ имеет производную $$\varphi '(y)\ne 0$$, то в точке $$x\in D(f)$$ функция y=f(x) имеет производную$$f'(x) = \frac {1}{\varphi '(y)}.$$

Следствие.

$$(\arcsin x)'=\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}$$.

$$(\arccos x)' = -\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}$$.

$$(\arctg x)' = \frac {1}{1+x^2}$$.

$$(\arcctg x)'= -\frac {1}{1+x^2}$$.

Пример. Рассмотрим примеры использования этих формул:

$$\displaystyle y=\arctg (x^2+1) \ \implies \ y'=\frac {1}{1+x^2+1}\cdot (x^2+1)' = \frac {2x}{x^2+2}$$.

$$\smu{2.7}\displaystyle y=\arccos \sqrt{x}\ \implies \ y'=-\frac {1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}}\cdot \frac {1}{2\sqrt{x}} = -\frac {1}{\sqrt{1-x}}\cdot \frac {1}{2\sqrt{x}} ={-}\frac {1}{2\sqrt{x-x^2}}$$.

Следует понять и запомнить основную таблицу дифференциального исчисления.

Таблица основных формул дифференцирования
№	Функция	Производная
1	`y=c`	`y'=0`
2	$$y=x^n, n\in\R $$	`y'=nx^n-1`
3	`y=a^x`	`y'=a^x ln a`
4	`y=log_a x`	$$y'=\frac {1}{x\ln a} $$
5	`y=sin x`	`y'=cos x`
6	`y=cos x`	`y'=-sin x`
7	`y=tg x`	$$y'=\frac {1}{\cos ^2x} $$
8	`y=ctg x`	$$y'=-\frac {1}{\sin^2x} $$
9	`y=sec x`	$$y'=\sec x\cdot \tg x $$
10	`y=cosec x`	$$y'=-\cosec x\cdot \ctg x $$
11	`y=arcsin x`	$$y'=\frac {1}{\sqrt{1-x^2}} $$
12	`y=arccos x`	$$y'=-\frac {1}{\sqrt{1-x^2}} $$
13	`y=arctg x`	$$y'=\frac {1}{1+x^2} $$
14	`y=arcctg x`	$$y'=-\frac {1}{1+x^2} $$

Пусть функция y=f(x) имеет в точке x производную $$\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} =f'(x)$$. Тогда, используя определение предела и бесконечно малой величины, имеем $$\frac {\Delta y}{\Delta x}=f'(x)+\alpha$$, где $$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\alpha =0$$. Отсюда получаем$$\Delta y =f'(x)\Delta x+\alpha \Delta x.$$

Дифференциалом функции f(x) в точке x называется главная, линейная относительно $$\Delta x$$, часть приращения функции. Обозначают дифференциал dy или df(x):$$dy = f'(x)\Delta x.$$

Если y=f(x) дифференцируема $$\forall x\in X$$, то f'(x) - функция от x. Допустим, что опять дифференцируема, тогда (f'(x))' называется второй производной функции y=f(x) . Обозначается вторая производная y'' (читается игрек два штриха). Производная от второй производной, если она существует, называется третьей производной и т.д.

Пример. Пусть y=cos x, y'=-sin x, y''=-cos x, y'''=sin x, $$y^{\scriptscriptstyle\fam0 IV}=\cos x$$ - циклически повторяемая последовательность производных функции y=cos x.

Производная функции помогает определять качественные и количественные характеристики, свойства любых функций - находить максимумы и минимумы, наибольшее и наименьшее значения, выяснять промежутки возрастания и убывания функции, выпуклости и вогнутости и т.д. Рассмотрим некоторые из них.

Функция y=f(x) имеет минимум ( максимум ) в точке x₀, если существует такая окрестность точки x₀: $$\forall x\ne x_0$$ и в этой окрестности имеет место неравенство f(x₀)<f(x) (f(x₀)> f(x)). Точка x₀, в которой функция имеет минимум или максимум называется точкой экстремума , а само значение f(x₀) - экстремумом функции.

Точки, в которых функция может достигать экстремума, определяются следующей теоремой.

Теорема Ферма (необходимое условие существования экстремума). Для того, чтобы дифференцируемая в точке x₀ функция y=f(x) имела в этой точке экстремум, необходимо, чтобы f'(x₀)=0.

Точка x₀, в которой производная равна нулю или не существует, называется критической точкой .

Теорема Ферма отвечает полностью на вопрос, в каких точках функция не имеет экстремум (в точках, где $$f'(x)\ne 0$$ ), но не определяет, имеется ли в данной точке x₀ экстремум или нет. На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема(достаточный признак экстремума по первой производной). Если $$x_0\in D(f)$$ - критическая точка функции f(x) и существует такая $$\delta$$ -окрестность, что слева (то есть в интервале $$(x_0-\delta ; x_0))$$ и справа от точки x₀ (то есть в интервале $$(x_0;x_0+\delta)$$ ) производная f'(x) имеет разные знаки, то в точке x₀ функция имеет экстремум (максимум или минимум), причем:$$\begin{align*} 1) \ \left. \begin{matrix} \forall x\in (x_0-\delta ; x_0) '\ f'(x)>0 \cr \forall x\in (x_0; x_0+\delta ) '\ f'(x)<0 \end{matrix} \right \}\ \text{ - точка максимума}; \\ 2) \ \left. \begin{matrix} \forall x\in (x_0-\delta ; x_0) '\ f'(x)<0 \cr \forall x\in (x_0; x_0+\delta ) '\ f'(x)>0 \end{matrix} \right \}\ \text{ - точка минимума}. \end{align*}$$

Из этих теорем следует правило 1 нахождения экстремума функции:

Найти все критические точки f(x) на D(f), то есть точки x_i, i=1,2,...,n $$(a\le x_1\le x_2\le \dotsc\le x_n\le b)$$, в которых выполнено хотя бы одно из условий: f'(x)=0, $$f'(x)=\pm \infty$$, f'(x) не существует.

Установить знаки производной f'(x) в каждом интервале (a;x₁), (x₁;x₂), (x₂;x₃ ), ..., (x_n;b).

Если знак при переходе через точку x_i (i=1,2,...,n) меняет свой знак с плюса на минус, то в точке x_i функция f(x) имеет максимум, а если меняет знак с минуса на плюс, то - минимум. Для определения знака в (x_i;x_i+1) можно взять любую контрольную точку из этого промежутка.

Теорема(достаточный признак экстремума по второй производной). Если функция f(x) имеет вторую производную в окрестности точки x₀ и f'(x₀)=0, $$f''(x_0)\ne 0$$, то в точке x₀ функция имеет экстремум, причем, если f''(x₀)<0, то имеется максимум, а если f''(x₀)>0, то - минимум.

Из этой теоремы следует правило 2 нахождения экстремума функции:

Найти критические точки x_i (i=1,2,...,n).

Найти знаки $$f''(x_i)$$.

Если $$f''(x_i)>0$$, то в точке x_i - минимум, если $$f''(x_i)<0$$, то - максимум.

Пример. Пусть $$y=\frac x2+\frac 2x$$ на [-5; 5], $$y'=\frac 12-\frac {2}{x^2}$$ $$\implies$$ $$y'=\frac {x^2-4}{2x^2}$$ y'=0 $$\implies$$ $$x_{1{,}2}=\pm 2$$. Критические точки x₁=-2, x₂=2, x₃=0 (в последней точке производная не существует). Исследуем экстремумы функции. По правилу 1 исследуем y' на интервалах: (-5; -2), (-2; 0), (0;2), (2; 5), y'(-3)>0, y'(3)>0, y'(-1)<0 и, следовательно, x=-2 - точка максимума, x=2 - точка минимума, x=0 - нет экстремума, экстремумы равны y(-2)=-2 (максимум), y(2)=2 (минимум) $$y(-2) =-2\to \max$$ $$y(2)=2\to \min$$. По правилу 2 можно заключить следующее: $$y''= \frac {2}{x^3}$$, $$y''(-2) <0\to \max$$, $$y''(2) >0\to \min$$.

По теореме Вейерштрасса, функция f(x), непрерывная на [a;b], принимает на этом промежутке наибольшее и наименьшее значение. Это значение может достигаться либо в критической точке, либо на концах [a;b], то есть можно будет записать:$$\begin{align*} y' _{\substack {\max} {[a,b]}} =\max \{\text{значения функции в критических точках}, \ y(a), \ y(b)\}, \\ y' _{\gen\frac {}{}{0pt}{-1} {\min} {[a,b]}} =\max \{\text{значения функции в критических точках}, \ y(a), \ y(b)\}. \end{align*}$$

Теорема(признак постоянства функции). Если $$\forall x\in X$$ имеем f'(x)=0, то f(x)=const на всем множестве X.

Простейшим геометрическим подтверждением этой теоремы является тот факт, что если производная функции в каждой точке равна нулю, то угловой коэффициент касательной к ней в любой точке равен нулю, то есть касательная к графику в любой точке горизонтальна ( $$\tg\alpha =\tg0=0$$ ), следовательно, график самой функции - горизонтальная прямая. Постройте соответствующий рисунок.

Теорема(признак монотонности функции). Для того чтобы функция f(x) была монотонной на промежутке X, необходимо и достаточно, чтобы f'(x) не меняла свой знак на всем промежутке. При этом, если f'(x)>0, то функция возрастает на этом промежутке, а если f'(x)<0 - то убывает. Если при этом допускается и равенство нулю производной в каких-то точках, то говорят о нестрогом возрастании или убывании.

Приведите геометрическое обоснование этого утверждения и иллюстрирующий рисунок.

Правило исследования монотонности дифференцируемой функции:

Найти все критические точки x_i (i=1,2,...,n), то есть точки, где производная равна нулю, или не существует, или бесконечна.

Исследовать знак производной f'(x) на каждом промежутке между этими точками, то есть на промежутках (x_i;x_i+1), i=1,2,...,n-1. Если f'(x)>0 на (x_i;x_i+1), то функция f(x) строго возрастает на этом интервале; если f'(x)<0, то f(x) - строго убывает; если $$f'(x)\ge 0$$, то f(x) - нестрого возрастает (не убывает); если $$f'(x)\le 0$$, то f(x) - нестрого убывает (не возрастает).

Функция (геометрически - график функции) f(x) называется выпуклой (вогнутой) в точке x₀, если существует $$\delta$$ -окрестность, в которой все точки графика функции расположены ниже (выше - для вогнутой) касательной к кривой f(x) в точке x₀. Точки, в которых выпуклости функции меняются на вогнутости, называются точками перегиба.

Теорема(признак выпуклости или вогнутости функции). Если в каждой точке $$x\in (a;b)$$ вторая производная функции f''(x)>0, то кривая y=f(x) вогнута на этом промежутке. Если в каждой точке $$x\in (a;b)$$ производная f''(x)<0, то кривая y=f(x) выпукла на промежутке.

Асимптотой для графика функции y=f(x) называется прямая, которую график y=f(x) никогда не может пересечь, приближаясь неограниченно к ней.

Есть три вида асимптот: вертикальные асимптоты, уравнения которых имеют вид x=a, горизонтальные асимптоты с уравнениями y=b и наклонные асимптоты с общим уравнением прямой вида y=kx+b.

Для наклонной асимптоты параметры прямой определяются из соотношений вида$$k=\lim\limits_{x\to \infty} \frac {f(x)}{x}, \\ b=\lim\limits_{x\to \infty} [f(x)-kx].$$

Для исследования указанных выше свойств функции f(x) используют обычно следующую (упрощенную) схему:

Найти область определения D(f), область изменения функции E(f).

Исследовать функцию на четность или нечетность (каковы оси симметрии графика функции), на периодичность (какие участки графика повторяются).

Найти точки разрыва (если они есть), то есть разбить область D(f) на области $$D(f)=D_1\cup D_2\cup \dotsc \cup D_n$$, в каждой из которых функция f(x) - непрерывна.

Найти асимптоты (вертикальные, горизонтальные или наклонные).

Найти точки экстремума и экстремумы функции.

Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

Найти интервалы выпуклости, вогнутости кривой, точки ее перегиба.

Найти точки пересечения кривой с осями координат, если они существуют, то есть решение уравнения f(x₀)=0 (A(x₀;0) - точка пересечения с осью Ox ) и f(0)=y₀ (B(0; y₀) - точка пересечения с осью Oy ).

Построить график функции, используя результаты п. 1-8.

Рассмотрим теперь функцию двух переменных z=f(x,y).

Если существует конечный предел отношения приращения функции по переменной x (обозначим приращение $$\Delta_xz$$ ) к приращению аргумента, то есть$$\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac {\Delta _xz}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$$ то он называется частной производной по x от функции f(x,y) и обозначается одним из способов $$\pd zx$$, $$\pd fx$$, z_x, f_x. Таким образом,$$\pd zx= \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}.$$

Аналогично вводится частная производная по y:$$\pd zy= \lim\limits_{\Delta y\to 0}\frac {f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}.$$

Вычисление частных производных по x и по y производится по известным для функции одной переменной правилам, причем при нахождении $$\pd zx$$ этой переменной считается переменная x (переменная y выполняет роль числового параметра при этом), а при нахождении $$\pd zy$$ этой переменной является y (переменная x при этом будет параметром).

Пример. Вычислим частные производные некоторых функций

Функция z=x²a+a² является функцией одной переменной x, a - параметр, поэтому ищем не частную, а обычную производную (от одной переменной): z'(x)=2ax+0=2ax.

Функция z=x²y+y² является функцией двух переменных x и y. Находим частные производные: $$\pd zx=2xy+0=2xy$$, $$\pd zy=x^2+2y$$.

Функция двух переменных $$z=\sin (x^2+y^2)-\ln xy$$. Найдем частные производные:$$\begin{align*} \pd zx=\cos(x^2+y^2) 2x - \frac {1}{xy} \cdot y=2x\cos (x^2+y^2) -\frac 1x, \\ \pd zy=\cos(x^2+y^2) 2y - \frac {1}{xy} \cdot x=2y\cos (x^2+y^2) -\frac 1y. \end{align*}$$

Производные второго и далее порядка определяются как производные от производных предыдущего порядка.

Пример. Для функции $$z=x^2y+x\sin y$$ можно рассматривать две производные первого порядка $$z_x=2xy+\sin y$$, $$z_y=x^2+x\cos y$$ и четыре производные второго порядка: z_xx=(z_x)_x=2y+0=2y, $$(z_x)_y=2x+\cos y$$, $$(z_y)_x=2x+\cos y$$, $$(z_y)_y=0-x\sin y=-\sin y$$. Как отсюда видно, производные (z_x)_y и (z_y)_x равны. Справедливо более общее следующее утверждение.

Теорема(о равенстве смешанных производных). Смешанные производные z_xy и z_yx для любой функции z=f(x,y), у которой обе эти производные существуют, равны между собой в любой допустимой точке.

Такая теорема справедлива и относительно смешанных производных функций трех, четырех и т.д. переменных.

Пример. Для функции трех переменных u=f(x,y,z) равны, в частности, смешанные производные: u_xyy=u_yyx, u_xyz=u_yzx.

Пусть z=f(x,y) определена в области D(f).

Точка (x₀;y₀) называется точкой максимума ( минимума ) функции z=f(x,y), если существует $$\delta$$ -окрестность точки (x₀;y₀) такая, что $$\forall (x,y)\in\delta$$ -окрестности: f(x,y) < f(x₀,y₀) ( f(x,y) > f(x₀,y₀)). Эти точки называются точками экстремума .

Теорема(необходимое условие экстремума). Если функция двух переменных имеет экстремум в точке $$(x_0,y_0)\in D(f)$$, то либо все ее частные производные первого порядка равны нулю, то есть $$\pd fx(x_0,y_0) = \pd fy(x_0,y_0) =0$$, либо хотя бы одна из них не существует.

Точки функции f(x,y), в которых f_x=0, f_y=0 или же эти производные не существуют, называются критическими точками .

Если функция f(x,y) имеет экстремум, то его необходимо искать среди значений функции в критических точках.

Для нахождения критических точек нужно решить систему уравнений$$\begin{cases} f_x(x,y) =0, \\ f_y(x,y) =0. \end{cases}$$

Теорема(достаточное условие экстремума). Пусть (x₀;y₀) - критическая точка функции f(x,y), которая имеет вторые производные, непрерывные в $$\delta$$ -окрестности некоторой критической точки (x₀,y₀). Если $$D(x_0,y_0)=f_{xx}(x_0,y_0) f_{yy}(x_0,y_0)-f_{xy}^2(x_0,y_0)$$, то

при$$\begin{cases} D(x_0,y_0) >0 \\ f_{xx}(x_0,y_0)<0 \end{cases}$$ в точке (x₀,y₀) имеем максимум;

при$$\begin{cases} D(x_0,y_0) >0 \\ f_{xx}(x_0,y_0)>0 \end{cases}$$ в точке имеем минимум;

при D(x₀,y₀) <0 - в точке (x₀,y₀) нет экстремума;

при D(x₀,y₀)=0 - в точке (x₀,y₀) экстремум может быть или не быть.

Если мы работаем с функцией z=f(x₁,x₂,...,x_n), то необходимое условие экстремума будет $$\pd f{x_1} =\pd f{x_2} = \dotsc = \pd f{x_n}=0$$.

Иногда приходится иметь дело с экстремумом функции, который ищут среди точек x, y, удовлетворяющих одному или нескольким условиям связи вида $$\varphi (x,y)=0$$. Такие экстремумы называются условными экстремумами или экстремумами с ограничениями.

Страницы: