Интегрирование

Производную любой функции, если она существует, можно найти с помощью правил дифференцирования. Для любой непрерывной функции существует первообразная, то есть неопределенный интеграл от этой функции.

Однако нет способа нахождения этой первообразной в общем случае, для произвольной функции. Более того, может оказаться, что эту первообразную вообще нельзя найти через элементарные функции. Существуют интегралы, которые не выражаются через элементарные функции с помощью конечного числа алгебраических операций и их композиций. Такие интегралы называются неквадрируемыми. Квадрируемость означает вычислимость площади (вспомним, что вычисление интеграла сводится к вычислению площади фигуры, квадратуры). К таким интегралам относятся, например, интегралы следующего вида:

Хотя такие интегралы не вычисляются в элементарных функциях, но они часто встречаются на практике.

Рассмотрим одну задачу, приводящую к понятию определенного интеграла.

Задача о площади. Требуется определить площадь фигуры (криволинейная трапеция) лежащей под графиком функции y=f(x) (см., например, рис. 9.1).

Разобьем отрезок [a;b]: a=x0<x1<x2<...<xn=b. В каждом промежутке [xi;xi+1], i=0, 1, 2,..., n-1 выберем произвольную точку $$\xi _i$$ (но точку мы заранее указать не можем, это является одной из причин недетерминированности и не конструктивности интегрирования) и построим прямоугольник с высотой $$f(\xi _i)$$ и основанием $$\Delta x_i=x_{i+1}-x_i$$. Площадь его равна: $$S_i=f(\xi _i)\Delta x_i$$. Тогда можно записать приближенное равенство вида $$S= S_{ABB_1A_1} \approx \sum^{n-1}_{i=0} S_i = \sum^{n-1}_{i=0} f(\xi_i)(x_{i+1} -x_i)$$.

Если $$h=\max \Delta x_i$$ мало при всех $$0\le i\le n-1$$, то можно записать $$S= \lim\limits_{h\to \0} \sum^{n-1}_{i=0} f(\xi _i)\Delta x_i , \quad \xi _i \in [x_i,x_{i+1}]$$.

Рассмотрим сумму, отвлекаясь от конкретного (физического, геометрического или др.) содержания интегрируемой функции f(x).

Пусть на [a;b] задана произвольная функция y=f(x). Разобьем [a;b]: a=x0<x1<...<xn=b. В каждом [xi;xi+1], i=0, 1, 2,..., n-1 возьмем точку $$\xi_i$$. Сумма вида $$S_n = \sum^{n-1}_{i=0} f(\xi_i)\Delta x_i$$ называется интегральной суммой Дарбу для функции f(x) с областью определения D(f)=[a;b] . Эта сумма зависит от выбора разбиения $$\{x_i\}^n_{i=0}$$ и выбора точки $$\xi_i$$ на заданном отрезке [a;b].

Пусть $$h=\max_{0\le l\le n-1} \Delta x_i$$. Если существует предел I интегральных сумм Sn при $$h\to 0$$ и этот предел не зависит от способа разбиения $$\{x_i\}$$ и от выбора точек $$\xi_i\in [x_i; x_{i+1}]$$, то число I называется определенным интегралом от функции f(x) по [a;b]: $$I=\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim\limits_{h\to \infty} \sum^{n-1}_{i=0} f(\xi_i)\Delta x_i$$.

Из сравнения суммы в задаче о площади с интегральной суммой заключаем: геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что площадь фигуры (криволинейной трапеции) ограниченной линиями: y=f(x), y=0, x=a, x=b, численно равна абсолютной величине интеграла от функции f(x) в пределах от a до b .

Пример. С помощью определенного интеграла можно вычислять площадь не только криволинейной трапеции, но и более сложных фигур. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y=2-x2, y=x (рис. 9.1) .

Определяем точки пересечения кривых. В точке пересечения ординаты равны, отсюда получаем, что x=2-x2. Решая это квадратное уравнение, находим x1=-2, x2=1. Тогда точками пересечения будут точки M1(-2;-2), M2(1;1). Искомая площадь определяется как интеграл от разности двух функций - "верхней" y=2-x2 и "нижней" y=x: $$S=\int_{-2}^{1} (2-x^2-x)\,dx = \Bigl[2x-\frac {x^3}{3}-\frac {x^2}{2} \Bigr]^1_{-2} = \frac 92 \ \ \text{(кв.\ единиц)}$$.

Необходимым условием интегрируемости f(x) на [a;b] является ее ограниченность на этом отрезке.

Достаточным условием интегрируемости f(x) на [a;b] в каждой точке является ее непрерывность на [a;b], возможно, за исключением конечного числа точек из [a;b] .

Отметим, что значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Пример. $$\int_{0}^{1} x\,dx = \int_{0}^{1} \,t\,dt = 1-0 =1$$.

Определение интеграла через интегральную сумму является конструктивным, но на практике интегралы через интегральные суммы не вычисляют, ибо это неудобно и громоздко. На практике используется следующее " рабочее " определение: определенным интегралом от непрерывной функции f(x) на [a;b] называется приращение ее первообразной $$I=\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$, где F(x) - некоторая первообразная для f(x) .

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Свойства определенного интеграла аналогичны свойствам неопределенного, но есть и специфические. Приведем эти свойства:

Для вычисления определенных интегралов мы, как и отмечалось выше, будем рассматривать наиболее часто используемые методы - замену переменной и интегрирование по частям.

Для определенного интеграла возможность замены вытекает из следующей теоремы.

Теорема (о замене переменной в определенном интеграле). Если функция f(x) непрерывна на [a;b], функция прямой замены $$x=\varphi (t)$$, $$\alpha \le t\le \beta$$ - непрерывна вместе со своей первой производной $$\varphi '(t)$$ на промежутке $$[\alpha ;\beta ]$$, причем все значения $$x=\varphi (t)$$ принадлежат [a;b], а $$\varphi (\alpha )=a$$, $$\varphi (\beta )=b$$, то тогда справедлива формула (замены переменной в определенном интеграле): $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi (t))\varphi '(t)\,dt$$.

Интегрирование по частям позволяет осуществлять следующая теорема.

Теорема (об интегрировании по частям в определенном интеграле). Если $$u=\varphi (x)$$, $$v=\psi(x)$$ непрерывны вместе со своими первыми производными на отрезке [a;b], то справедлива формула (интегрирования по частям в определенном интеграле) $$\int_{a}^{b} u\,dv = (uv)\Bigl|^b_a - \int_{a}^{b} v\,du$$, или $$\int_{a}^{b} \varphi (x)\psi'(x)\,dx = \varphi (x)\psi(x)\Bigl|^b_a - \int_{a}^{b} \psi(x)\varphi '(x)\,dx$$.

Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b]. Рассмотрим интеграл вида $$\int_{a}^{x} f(t)\,dt$$, где $$a\le x\le b$$.

Этот интеграл имеет определенное для каждого значения x числовое значение, которое находится по формуле $$\int_{a}^{x} f(t)\,dt = F(x)-F(a)$$, зависимое от x, то есть может рассматриваться как функция от x. Обозначим интеграл $$\int_{a}^{x} f(t)\,dt = \Phi(x)$$.

Отметим следующую важную теорему.

Теорема (о дифференцировании интеграла с верхним переменным пределом). Верна формула $$\Phi'(x) = \frac {d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)\,dt = f(x)$$.

Следствие. Аналогично можно утверждать, что $$\frac {d}{dx} \int_{x}^{b} f(t)\,dt = -f(x), \quad a\le x\le b$$.

Если подынтегральная функция имеет разрыв или хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен, то такие интегралы называются несобственными .

Пример. Несобственными являются интегралы $$\int_{1}^{12} \frac {1}{x-5}\,dx, \quad \int_{-\infty}^{2} x\sin x\,dx, \quad \int_{0}^{1} \ln x\,dx, \quad \int_{0}^{+\infty} e^{-x}\,dx$$.

При вычислении несобственных интегралов их сводят к собственным интегралам, то есть "избавляют" подынтегральную функцию от разрывов или интеграл - от бесконечных пределов.

Пример. Первый интеграл можно вычислить следующим образом: $$\int_{1}^{12} \frac {1}{x-5} \,dx = \lim\limits_{y\to 0} \Bigl(\int_{1}^{5-y} \frac {1}{x-5}\,dx + \int_{5+y}^{12} \frac {1}{x-5}\,dx\Bigr) =\\ =\lim\limits_{y\to 0} \Bigl(\ln |x-5|\, \bigr|^{x=5-y}_{x=1} \Bigr) +\lim\limits_{y\to 0} \Bigl(\ln |x-5|\, \bigr|^{x=12}_{x=5+y} \Bigr) = \\ =\lim\limits_{y\to 0} (\ln y-\ln 4+\ln 7-\ln y) = \ln 7-\ln 4 = \ln \frac74$$.

При вычислении интегралов важно правильно определить метод интегрирования, наиболее подходящий к данному интегралу (если он существует).

Если функция двух переменных f(x,y), $$a\le x\le b$$, $$c\le y\le d$$ сперва интегрируется по переменной y (при этом переменная x принимается за неизвестный числовой параметр), а затем полученное выражение (функция от x ) интегрируется по переменной x, то говорят о повторном интегрировании или о повторном интеграле вида $$\int dx \int f(x,y)\,dy$$.

Если функция двух переменных f(x,y), $$a\le x\le b$$, $$c\le y\le d$$ сперва интегрируется по переменной x (при этом переменная y принимается за неизвестный числовой параметр), а затем полученное выражение (функция от y ) интегрируется по переменной y, то говорят о повторном интеграле вида $$\int dy\int f(x,y)\,dx$$.

Аналогично рассматриваются двойной интеграл вида $$\iint f(x,y)\,dx\,dy = \int dx \int f(x,y)\,dy = \int dy\int f(x,y)\,dx$$.

Выше мы отмечали ряд интегралов (Пуассона, Френеля и др.), которые не выражаются (не вычисляются) с помощью элементарных функций. Они имеют большое значение в математике. Например, интеграл Пуассона известен в теории вероятностей и математической статистике как интеграл ошибок. Численные, приближенные значения любых интегралов можно находить с помощью приближенных, численных методов (см. ниже). Имеются соответствующие, достаточно качественные математические пакеты программ для компьютера (например, MathCAD ).