Введение в математику

Координаты и векторы

Разбить на страницы
Показывать лекцию целиком

Координаты и векторы

Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой определены: точка O - начало отсчета; положительное направление, указываемое стрелкой; масштаб измерения (принцип отложения чисел на оси, часто с указанием единицы измерения). Условное изображение числовой прямой (числового луча) приведено на рис. 3.1.

(рис 3.1) Числовая прямая

Для каждого действительного числа x на числовой оси R определена единственная точка, соответствующая его количеству (изображающая это число с учетом выбранного масштаба и отсчета) и наоборот, то есть совокупность R и множество точек числовой оси могут быть связаны общим, однозначно определяемым правилом, законом.

Пример. Числу 5 на числовой оси соответствует точка, удаленная на расстояние в 5 единиц масштаба от начальной точки (точки отсчета 0 ).

Пример. Точке A, удаленной на расстояние 3 единицы масштаба от начала координат O можно сопоставить число 3.

Числовая прямая, расположенная обычно на плоскости горизонтально к рассматривающему, называется осью x ( Ox ), а числовая прямая, расположенная обычно вертикально к нему, - осью y (Oy) .Эти прямые образуют систему ориентации каждой точки на плоскости по двум ее координатам.

Плоскость, определяемая этими двумя перпендикулярными (или, как говорят в математике, ортогональными) числовыми прямыми, называется плоскостью xy (xOy) .

Каждая пара вещественных значений (x;y) задает одну единственную точку M(x;y) на этой плоскости, которая определяется как точка пересечения перпендикулярных (ортогональных) прямых, проходящих через значения x оси Ox и значение y оси Oy. Наоборот, каждой точке (x;y) можно сопоставить пару вещественных чисел: x - на оси Ox и y - на оси Oy. Так определенная система двух перпендикулярных числовых прямых называется прямоугольной декартовой системой координат на плоскости (рис. 3.2).

(рис 3.2) Декартова система координат на плоскости

Оси координат обычно помечаются буквами.

Ось Ox называется осью абсцисс , ось Oy - осью ординат .Эти оси делят плоскость xOy на 4 части (координатных угла или, как их еще называют, квадранта).

Упорядоченная система трех взаимно перпендикулярных осей с общим началом отсчета (началом координат) и общей единицей измерения длины (масштабом) называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве .Обозначается такая система Oxyz или xyz. Ось Ox называется осью абсцисс, Oy - осью ординат, Oz - осью аппликат .

Кроме декартовой системы координат, часто используют и другие удобные, не обязательно прямоугольные, системы координат.

Одной из наиболее часто используемых является полярная система координат, определяющая, как и в декартовой системе, однозначное положение точки на плоскости с помощью двух параметров.

Возьмем на плоскости точку O (называемую полюсом ) и выходящую из этой точки полупрямую (называемую полярной осью ). Если на этой прямой задать масштаб и положительное направление, то мы определим полярную систему координат. Положение точки M на плоскости в полярной системе координат задается двумя числовыми величинами: $$\rho$$ - расстоянием точки M от полюса, то есть $$|OM|=\rho$$ и $$\varphi$$ - углом, образованным отрезком OM с положительным направлением полярной оси. Обозначим точку с полярными координатами в виде $$M(\rho;\varphi )$$. Обычно считают, что $$0\le \varphi <2\pi$$, $$\rho>0$$. Эти значения называются главными значениями. Каждая точка на плоскости однозначно определяется полярными координатами. Исключение составляет единственная точка $$O(0;\varphi )$$, где угол $$\varphi$$ может быть любым. Условно, в этом случае берется угол $$\varphi = 0$$.

Найдем зависимость между координатами точки M(x;y) в прямоугольной декартовой системе координат и ее координатами $$M(\rho;\varphi )$$ в полярной системе.

Построим прямоугольную систему xOy, где ось Ox совпадает с полярной осью, O(0;0) - начала координат, а положительные направления этих осей совпадают (рис. 3.3).

(рис 3.3) Декартова и полярная системы координат на плоскости

Используя прямоугольные треугольники и тригонометрические функции, получим следующие основные соотношения:$$\aligned x=\rho \cos \varphi , \\ y=\rho \sin \varphi . \endaligned$$

Таким образом, зная полярные координаты точки, можно найти прямоугольные координаты этой же точки. Кроме того, если использовать основное тригонометрическое соотношение и определение тангенса угла из школьного курса (нужно сложить квадраты x, y, а затем поделить y на x ), то справедливы следующие соотношения:$$\aligned \rho = \sqrt{x^2+y^2}, \\ \tg\varphi = \frac {y}{x}. \endaligned$$ Таким образом, если мы знаем прямоугольные координаты точки, то можем определить соответствующие полярные декартовы координаты.

Пример. Если $$\rho=4$$, $$\varphi =\pi/4$$, то по соответствующим формулам получаем$$\sqrt{x^2+y^2} =4,$$ $$\frac {y}{x}=1.$$ Отсюда выводим систему: y=x, x2+y2=16 или $$x=y=2\sqrt{2}$$.

Пример. Уравнение окружности с центром в начале координат и радиуса r в декартовой системе координат, как известно, имеет вид: x2+y2=r2. Уравнение окружности в полярных координатах будет иметь вид$$\rho^2\cos^2\varphi +\rho ^2\sin^2\varphi = r^2 \ \implies \ \rho ^2=r^2 \ \implies \ \rho =r.$$ Итак, это уравнение намного проще по виду: $$\rho = r$$. Кроме того, это уравнение освобождено от "лишнего" параметра $$\varphi$$, который в данном случае считается любым из диапазона $$0\le\varphi <2\pi$$. Работать с объектами в полярной системе координат часто проще на практике, в геодезии, астрономии и др.

Удобной в пространстве системой координат является и так называемая сферическая система координат. В этой системе положение точки M(x;y;z) в пространстве однозначно определяется ее расстоянием r от начала координат (длиной отрезка OM ), углом $$\theta$$ $$(0\le\theta\le\pi)$$ между OM и положительной полуосью Oz и углом $$\varphi$$ ( $$0\le \varphi \le2\pi)$$ между проекцией OM на плоскость xOy и положительной полуосью Ox (рис. 3.4).

Выясним форму связи сферических и декартовых координат. По рис. 3.4:$$\aligned MP = r\sin \Bigl(\frac {\pi}{2} -\theta \Bigr) = r\cos\theta , \quad OP = r\cos \Bigl(\frac {\pi}{2} -\theta \Bigr) = r\sin\theta , \\ x=OP\cos\varphi , \quad y=OP\sin\varphi . \endaligned$$ (рис 3.4) Сферическая координатная системаОтсюда получаем связь вида $$x=r\sin\theta \cos\varphi , \quad y=r\sin\theta \sin\varphi , \quad z=r\cos\theta$$.

Численные величины подразделяются на скалярные (для которых важна лишь числовая характеристика) и векторные (для которых важна и ориентация).

Пример. Скорость автомобиля в некоторый определенный момент времени, количество студентов, словарный запас - скалярные величины. Скорость движения автомобиля (от начала до конца движения) - векторная величина.

Геометрическим вектором ( вектором ) называется направленный отрезок либо отрезок с указанием его ориентации на плоскости (плоскостной или двумерный вектор) или же в пространстве (пространственный вектор или трехмерный вектор). Он определяется парой точек - началом A и концом B и обозначается обычно как AB, a. Длина отрезка называется модулем вектора и обозначается |AB|, |a|. Это количественная характеристика вектора.

Если начало и конец вектора совпадают, то есть вектор вырождается в точку, то он называется нулевым .

Векторы a и b коллинеарны ( параллельны ), если они лежат на одной прямой или же на параллельных прямых, компланарны, если они лежат в одной плоскости или параллельно одной плоскости, и равны, если модули и направления этих векторов совпадают.

Угол $$\varphi$$ между векторами a и b обозначается как $$\varphi=(\widehat{\vec a, \vec b})$$.

Радиус-вектор точки M(x;y) на плоскости Oxy или точки M(x;y;z) в пространстве Oxyz - это вектор OM .

Пусть AB - произвольный вектор, A1, B1 - проекции точек A и B на некоторую ось L. Вектор A1B1 называется вектор-проекцией вектора AB .

Число |A1B1| называется проекцией AB на ось L (рис. 3.5). и обозначается $$\proj_L{\overarrow{AB}}$$. Как легко заключить из чертежа, справедливы равенства |A1B1| = ПрLAB, |B1A1| = ПрLAB=|A1B1|.

(рис 3.5) Вектор и его проецирование на ось L

Спроецируем радиус-вектор OM на координатные оси Ox, Oy, Oz: x=Прx OM, y=Прy OM, z=Прz OM. Вектор OM с помощью этих проекций задается тройкой чисел OM={x, y, z}.

Пример. Если рассмотреть вектор a=(1; 2; -3), то его проекции на оси координат x, y, z будут равны, соответственно, 1, 2, -3.

Вектор единичной длины и направления, совпадающего с направлением координатной оси, называется единичным вектором или ортом этой оси.

Пусть i, j, k - орты осей Ox, Oy, Oz, то есть радиус-векторы точек Mx(1,0,0), My(0,1,0), Mz(0,0,1). Тогда |i| = |j| =|k| =1.

Теорема. Любой вектор a может быть разложен по ортам осей (рис. 3.6)., причем справедливо равенство $$\overarrow{OM} = x\cdot \vec i + y\cdot \vec j + z\cdot \vec k$$.

Последнее равенство называется разложением вектора по координатным осям, а числа x, y, z называют координатами вектора a.

(рис 3.6) Разложение вектора по координатным осям

Перейдем теперь от геометрического вектора к алгебраическому (математическому) вектору в его общей форме.

Вектором ( n -мерным) будем называть упорядоченный набор из n действительных чисел.Упорядоченность понимается в смысле указания порядка следования чисел друг за другом, то есть эти числа перенумерованы.

Записывается такой вектор в виде x=(x1,x2,...,xn) или x=(x1,...,xn). Число xi, i=1,2,...,n называется i -ой координатой вектора x , а число n - размерностью вектора.

Пример. Вектор a=(2) - одномерный вектор. Геометрически ему соответствует вектор (радиус-вектор) длины 2 и ориентированный в сторону положительного направления на числовой прямой. Вектор b=(-2) направлен в противоположную сторону и имеет длину 2. Вектор c=(7, -4) - двумерный вектор, геометрически ему соответствует вектор или радиус-вектор на плоскости с проекцией длины 7 на положительную полуось оси Ox и проекцией длины 4 на отрицательную полуось оси Oy. Вектор d=(-1, 2, 8) - трехмерный вектор, геометрически ему соответствует вектор или радиус-вектор в пространстве, x=(1, 3, -4, 6, 0) - пятимерный вектор, "геометрически" можно домыслить себе еще две координатные оси и тогда ему будет соответствовать радиус-вектор в пространстве пяти измерений.

Если два вектора, заданные в координатной форме, равны, то равны соответствующие координаты этих векторов, то есть справедливо x=(x1,...,xn) $$\equiv$$ y=(y1,...,yn) $$\iff $$ xi = yi i = 1, 2,..., n.

Вектор (0, 0, ..., 0) называется нулевым , обозначается 0, а векторы (1,0,...,0), (0,1,...,0), ..., (0,0,...,1) - единичными векторами, ортами .

Суммой двух векторов a, b называется вектор c, c=a+b, начало которого совпадает с началом a, конец - с концом b, при условии, что начало b приложено к концу a .

Разностью двух векторов a и b называется вектор c, для которого c+b =a . Для его построения необходимо совместить концы уменьшаемого вектора a и вычитаемого b ; тогда начало c совпадает с началом a, а конец вектора c - с началом b (рис. 3.7).

(рис 3.7) Сумма и разность векторов

Произведением вектора a на скаляр $$\lambda$$ называется вектор $$\vec b=\lambda \vec a$$, который коллинеарен вектору a, направлен как $$\vec a$$ при $$\lambda >0$$ и в противоположную сторону при $$\lambda <0$$ и имеет длину, равную $$|\vec b|=|\lambda |\cdot |\vec a|$$ .

Все введенные операции справедливы для любых n-мерных векторов.

Введенные операции над векторами удовлетворяют следующим основным аксиомам:

  • a+b=b+a (переместительный закон сложения векторов);
  • a+(b+c)=(a+b)+c (сочетательный закон сложения);
  • a+0=a (закон существования нулевого вектора);
  • a+(-1)a=0 (закон существования противоположного вектора);
  • $$(\alpha \beta)\vec a =\alpha (\beta \vec a)$$, $$\alpha ,\beta$$ - скаляры, числа (сочетательный закон умножения скаляра на вектор);
  • $$(\alpha +\beta) \vec a=\alpha \vec a+\beta \vec a$$ (дистрибутивный закон умножения векторов на скаляр);
  • $$\alpha (\vec a+\vec b)=\alpha \vec a+\alpha \vec b$$ (дистрибутивный закон сложения векторов);
  • $$1\cdot \vec a=\vec a$$ (закон умножения на скалярную единицу).
    •

    Скалярным произведением двух ненулевых векторов a, b называется число (скалярное значение), равное произведению длин этих векторов на косинус угла $$\varphi$$ между ними: $$\vec a\cdot \vec b = |\vec a|\cdot |\vec b|\cdot \cos\varphi$$ .

    Свойства скалярного произведения:

  • (a,b)=(b,a) ;
  • $$(\lambda \vec a, \vec b)=\lambda (\vec a,\vec b)$$ ;
  • (a,a)=|a|2 ;
  • (a,b+c)=(a,b)+(a,c).
    •

    Если углы вектора a с осями координат в пространстве xyz обозначить как $$\alpha =\widehat{(\vec i,\vec a)}$$, $$\beta =\widehat{(\vec j,\vec a)}$$, $$\gamma=\widehat{(\vec k,\vec a)}$$, то эти углы можно определить по координатам вектора формулами $$\cos\alpha =\frac {x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \quad \cos\beta =\frac {y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \quad \cos\gamma =\frac {z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.$$

    Косинусы углов $$\alpha$$, $$\beta$$, $$\gamma$$ называются направляющими косинусами .

    Через координаты вектора можно выражать и результаты операции над векторами. Запишем операции над векторами, заданными в координатной форме.

    Пусть a={x1, y1, z1}, b={x2, y2, z2}.

    Справедливы следующие свойства:

  • a=b $$\iff$$ x1=x2, y1=y2, z1=z2 ;
  • $$\lambda \vec a=\{\lambda x_1, \lambda y_1, \lambda z_1\}$$ ;
  • $$\vec a\pm \vec b=\{x _1\pm x_2, y_1\pm y_2, z_1\pm z_2\}$$ ;
  • (i,i)=(j,j) = (k,k)=1 ; (i,j)=(i,k)=(j,k)=0 ;
  • (a,b)= x1x2 +y1y2 + z1z2 ;
  • $$|\vec a|=\sqrt{(\vec a,\vec a)}=\sqrt{x_1^2+y^2_1+z^2_1}$$ ;
  • условие ортогональности векторов a, b: x1x2+y1y2+z1z2=0 ;
  • условие коллинеарности векторов a, b: $$x_2=\lambda x_1$$, $$y_2=\lambda y_1$$, $$z_2=\lambda z_1$$, или $$\frac {x_2}{x_1} =\frac {y_2}{y_1}=\frac {z_2}{z_1}$$ ;
  • угол между векторами$$\cos(\widehat{\vec a,\vec b}) = \frac {(\vec a,\vec b)} {|\vec a|\cdot |\vec b|}= \frac {x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2} {\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1} \sqrt{x^2_2+y^2_2+z^2_2} }.$$

    • Выше мы определили один из методов перемножения векторов (скалярное произведение), которое давало нам в качестве результата число (скаляр). Можно ввести операцию умножения и так, чтобы в результате опять получать вектор.

    Векторное произведение - вектор, который:

  • перпендикулярен плоскости перемножаемых векторов;
  • имеет длину, равную площади параллелограмма, построенного на этих векторах;
  • имеет такое направление, что если смотреть с конца вектора произведения, то движение от первого из перемножаемых векторов ко второму вектору должно происходить против часовой стрелки.
    •

    Рассмотрим алгебраические векторы, не связанные с их возможными геометрическими интерпретациями на плоскости или в пространстве, то есть n -мерные векторы или векторы, имеющие $$n$$ координат, компонент. Для различения геометрических и алгебраических векторов мы у алгебраических векторов не будем изображать стрелку над именем вектора.

    Пусть даны два n -мерных вектора x=(x1,...,xn), y=(y1,...,yn).

    Сумма векторов x, y определяется как вектор x+y=(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn).

    Разность векторов определяется как вектор x-y=(x1-y1, x2-y2,..., xn-yn).

    Произведение скаляра $$\lambda=\const$$ на вектор x=(x1,x2,...,xn) определяется как вектор $$\lambda x=(\lambda x_1,\lambda x_2,\dotsc,\lambda x_n)$$.

    Противоположный вектор для x определяется как вектор -x=(-x1,-x2, ...,-xn).

    Скалярное произведение векторов x, y определяется как число (x,y)=x1y1+x2y2+...+xnyn.

    Длина вектора x=(x1,x2,...,xn) - число, равное $$|x|= \sqrt{(x,x)} = \sqrt{x_1^2+x^2_2+\dotsc+x^2_n}$$, угол между двумя векторами x и y определяется как$$\cos\varphi = \frac {(\vec a,\vec b)} {|\vec a|\cdot |\vec b|}= \frac {x_1y_1+x_2y_2+\dotsc+x_ny_n} {\sqrt{x^2_1+x^2_2+\dotsc+x^2_n} \sqrt{y^2_1+y^2_2+\dotsc+y^2_n}}$$

    Эти операции над векторами удовлетворяют всем введенным выше законам и свойствам для операции с геометрическими векторами.

    Страницы:

    Координаты и векторы

    Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой определены: точка O - начало отсчета; положительное направление, указываемое стрелкой; масштаб измерения (принцип отложения чисел на оси, часто с указанием единицы измерения). Условное изображение числовой прямой (числового луча) приведено на рис. 3.1.

    (рис 3.1) Числовая прямая

    Для каждого действительного числа x на числовой оси R определена единственная точка, соответствующая его количеству (изображающая это число с учетом выбранного масштаба и отсчета) и наоборот, то есть совокупность R и множество точек числовой оси могут быть связаны общим, однозначно определяемым правилом, законом.

    Пример. Числу 5 на числовой оси соответствует точка, удаленная на расстояние в 5 единиц масштаба от начальной точки (точки отсчета 0 ).

    Пример. Точке A, удаленной на расстояние 3 единицы масштаба от начала координат O можно сопоставить число 3.

    Числовая прямая, расположенная обычно на плоскости горизонтально к рассматривающему, называется осью x ( Ox ), а числовая прямая, расположенная обычно вертикально к нему, - осью y (Oy) .Эти прямые образуют систему ориентации каждой точки на плоскости по двум ее координатам.

    Плоскость, определяемая этими двумя перпендикулярными (или, как говорят в математике, ортогональными) числовыми прямыми, называется плоскостью xy (xOy) .

    Каждая пара вещественных значений (x;y) задает одну единственную точку M(x;y) на этой плоскости, которая определяется как точка пересечения перпендикулярных (ортогональных) прямых, проходящих через значения x оси Ox и значение y оси Oy. Наоборот, каждой точке (x;y) можно сопоставить пару вещественных чисел: x - на оси Ox и y - на оси Oy. Так определенная система двух перпендикулярных числовых прямых называется прямоугольной декартовой системой координат на плоскости (рис. 3.2).

    (рис 3.2) Декартова система координат на плоскости

    Оси координат обычно помечаются буквами.

    Ось Ox называется осью абсцисс , ось Oy - осью ординат .Эти оси делят плоскость xOy на 4 части (координатных угла или, как их еще называют, квадранта).

    Упорядоченная система трех взаимно перпендикулярных осей с общим началом отсчета (началом координат) и общей единицей измерения длины (масштабом) называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве .Обозначается такая система Oxyz или xyz. Ось Ox называется осью абсцисс, Oy - осью ординат, Oz - осью аппликат .

    Кроме декартовой системы координат, часто используют и другие удобные, не обязательно прямоугольные, системы координат.

    Одной из наиболее часто используемых является полярная система координат, определяющая, как и в декартовой системе, однозначное положение точки на плоскости с помощью двух параметров.

    Возьмем на плоскости точку O (называемую полюсом ) и выходящую из этой точки полупрямую (называемую полярной осью ). Если на этой прямой задать масштаб и положительное направление, то мы определим полярную систему координат. Положение точки M на плоскости в полярной системе координат задается двумя числовыми величинами: $$\rho$$ - расстоянием точки M от полюса, то есть $$|OM|=\rho$$ и $$\varphi$$ - углом, образованным отрезком OM с положительным направлением полярной оси. Обозначим точку с полярными координатами в виде $$M(\rho;\varphi )$$. Обычно считают, что $$0\le \varphi <2\pi$$, $$\rho>0$$. Эти значения называются главными значениями. Каждая точка на плоскости однозначно определяется полярными координатами. Исключение составляет единственная точка $$O(0;\varphi )$$, где угол $$\varphi$$ может быть любым. Условно, в этом случае берется угол $$\varphi = 0$$.

    Найдем зависимость между координатами точки M(x;y) в прямоугольной декартовой системе координат и ее координатами $$M(\rho;\varphi )$$ в полярной системе.

    Построим прямоугольную систему xOy, где ось Ox совпадает с полярной осью, O(0;0) - начала координат, а положительные направления этих осей совпадают (рис. 3.3).

    (рис 3.3) Декартова и полярная системы координат на плоскости

    Используя прямоугольные треугольники и тригонометрические функции, получим следующие основные соотношения:$$\aligned x=\rho \cos \varphi , \\ y=\rho \sin \varphi . \endaligned$$

    Таким образом, зная полярные координаты точки, можно найти прямоугольные координаты этой же точки. Кроме того, если использовать основное тригонометрическое соотношение и определение тангенса угла из школьного курса (нужно сложить квадраты x, y, а затем поделить y на x ), то справедливы следующие соотношения:$$\aligned \rho = \sqrt{x^2+y^2}, \\ \tg\varphi = \frac {y}{x}. \endaligned$$ Таким образом, если мы знаем прямоугольные координаты точки, то можем определить соответствующие полярные декартовы координаты.

    Пример. Если $$\rho=4$$, $$\varphi =\pi/4$$, то по соответствующим формулам получаем$$\sqrt{x^2+y^2} =4,$$ $$\frac {y}{x}=1.$$ Отсюда выводим систему: y=x, x2+y2=16 или $$x=y=2\sqrt{2}$$.

    Пример. Уравнение окружности с центром в начале координат и радиуса r в декартовой системе координат, как известно, имеет вид: x2+y2=r2. Уравнение окружности в полярных координатах будет иметь вид$$\rho^2\cos^2\varphi +\rho ^2\sin^2\varphi = r^2 \ \implies \ \rho ^2=r^2 \ \implies \ \rho =r.$$ Итак, это уравнение намного проще по виду: $$\rho = r$$. Кроме того, это уравнение освобождено от "лишнего" параметра $$\varphi$$, который в данном случае считается любым из диапазона $$0\le\varphi <2\pi$$. Работать с объектами в полярной системе координат часто проще на практике, в геодезии, астрономии и др.

    Удобной в пространстве системой координат является и так называемая сферическая система координат. В этой системе положение точки M(x;y;z) в пространстве однозначно определяется ее расстоянием r от начала координат (длиной отрезка OM ), углом $$\theta$$ $$(0\le\theta\le\pi)$$ между OM и положительной полуосью Oz и углом $$\varphi$$ ( $$0\le \varphi \le2\pi)$$ между проекцией OM на плоскость xOy и положительной полуосью Ox (рис. 3.4).

    Выясним форму связи сферических и декартовых координат. По рис. 3.4:$$\aligned MP = r\sin \Bigl(\frac {\pi}{2} -\theta \Bigr) = r\cos\theta , \quad OP = r\cos \Bigl(\frac {\pi}{2} -\theta \Bigr) = r\sin\theta , \\ x=OP\cos\varphi , \quad y=OP\sin\varphi . \endaligned$$ (рис 3.4) Сферическая координатная системаОтсюда получаем связь вида $$x=r\sin\theta \cos\varphi , \quad y=r\sin\theta \sin\varphi , \quad z=r\cos\theta$$.

    Численные величины подразделяются на скалярные (для которых важна лишь числовая характеристика) и векторные (для которых важна и ориентация).

    Пример. Скорость автомобиля в некоторый определенный момент времени, количество студентов, словарный запас - скалярные величины. Скорость движения автомобиля (от начала до конца движения) - векторная величина.

    Геометрическим вектором ( вектором ) называется направленный отрезок либо отрезок с указанием его ориентации на плоскости (плоскостной или двумерный вектор) или же в пространстве (пространственный вектор или трехмерный вектор). Он определяется парой точек - началом A и концом B и обозначается обычно как AB, a. Длина отрезка называется модулем вектора и обозначается |AB|, |a|. Это количественная характеристика вектора.

    Если начало и конец вектора совпадают, то есть вектор вырождается в точку, то он называется нулевым .

    Векторы a и b коллинеарны ( параллельны ), если они лежат на одной прямой или же на параллельных прямых, компланарны, если они лежат в одной плоскости или параллельно одной плоскости, и равны, если модули и направления этих векторов совпадают.

    Угол $$\varphi$$ между векторами a и b обозначается как $$\varphi=(\widehat{\vec a, \vec b})$$.

    Радиус-вектор точки M(x;y) на плоскости Oxy или точки M(x;y;z) в пространстве Oxyz - это вектор OM .

    Пусть AB - произвольный вектор, A1, B1 - проекции точек A и B на некоторую ось L. Вектор A1B1 называется вектор-проекцией вектора AB .

    Число |A1B1| называется проекцией AB на ось L (рис. 3.5). и обозначается $$\proj_L{\overarrow{AB}}$$. Как легко заключить из чертежа, справедливы равенства |A1B1| = ПрLAB, |B1A1| = ПрLAB=|A1B1|.

    (рис 3.5) Вектор и его проецирование на ось L

    Спроецируем радиус-вектор OM на координатные оси Ox, Oy, Oz: x=Прx OM, y=Прy OM, z=Прz OM. Вектор OM с помощью этих проекций задается тройкой чисел OM={x, y, z}.

    Пример. Если рассмотреть вектор a=(1; 2; -3), то его проекции на оси координат x, y, z будут равны, соответственно, 1, 2, -3.

    Вектор единичной длины и направления, совпадающего с направлением координатной оси, называется единичным вектором или ортом этой оси.

    Пусть i, j, k - орты осей Ox, Oy, Oz, то есть радиус-векторы точек Mx(1,0,0), My(0,1,0), Mz(0,0,1). Тогда |i| = |j| =|k| =1.

    Теорема. Любой вектор a может быть разложен по ортам осей (рис. 3.6)., причем справедливо равенство $$\overarrow{OM} = x\cdot \vec i + y\cdot \vec j + z\cdot \vec k$$.

    Последнее равенство называется разложением вектора по координатным осям, а числа x, y, z называют координатами вектора a.

    (рис 3.6) Разложение вектора по координатным осям

    Перейдем теперь от геометрического вектора к алгебраическому (математическому) вектору в его общей форме.

    Вектором ( n -мерным) будем называть упорядоченный набор из n действительных чисел.Упорядоченность понимается в смысле указания порядка следования чисел друг за другом, то есть эти числа перенумерованы.

    Записывается такой вектор в виде x=(x1,x2,...,xn) или x=(x1,...,xn). Число xi, i=1,2,...,n называется i -ой координатой вектора x , а число n - размерностью вектора.

    Пример. Вектор a=(2) - одномерный вектор. Геометрически ему соответствует вектор (радиус-вектор) длины 2 и ориентированный в сторону положительного направления на числовой прямой. Вектор b=(-2) направлен в противоположную сторону и имеет длину 2. Вектор c=(7, -4) - двумерный вектор, геометрически ему соответствует вектор или радиус-вектор на плоскости с проекцией длины 7 на положительную полуось оси Ox и проекцией длины 4 на отрицательную полуось оси Oy. Вектор d=(-1, 2, 8) - трехмерный вектор, геометрически ему соответствует вектор или радиус-вектор в пространстве, x=(1, 3, -4, 6, 0) - пятимерный вектор, "геометрически" можно домыслить себе еще две координатные оси и тогда ему будет соответствовать радиус-вектор в пространстве пяти измерений.

    Если два вектора, заданные в координатной форме, равны, то равны соответствующие координаты этих векторов, то есть справедливо x=(x1,...,xn) $$\equiv$$ y=(y1,...,yn) $$\iff $$ xi = yi i = 1, 2,..., n.

    Вектор (0, 0, ..., 0) называется нулевым , обозначается 0, а векторы (1,0,...,0), (0,1,...,0), ..., (0,0,...,1) - единичными векторами, ортами .

    Суммой двух векторов a, b называется вектор c, c=a+b, начало которого совпадает с началом a, конец - с концом b, при условии, что начало b приложено к концу a .

    Разностью двух векторов a и b называется вектор c, для которого c+b =a . Для его построения необходимо совместить концы уменьшаемого вектора a и вычитаемого b ; тогда начало c совпадает с началом a, а конец вектора c - с началом b (рис. 3.7).

    (рис 3.7) Сумма и разность векторов

    Произведением вектора a на скаляр $$\lambda$$ называется вектор $$\vec b=\lambda \vec a$$, который коллинеарен вектору a, направлен как $$\vec a$$ при $$\lambda >0$$ и в противоположную сторону при $$\lambda <0$$ и имеет длину, равную $$|\vec b|=|\lambda |\cdot |\vec a|$$ .

    Все введенные операции справедливы для любых n-мерных векторов.

    Введенные операции над векторами удовлетворяют следующим основным аксиомам:

  • a+b=b+a (переместительный закон сложения векторов);
  • a+(b+c)=(a+b)+c (сочетательный закон сложения);
  • a+0=a (закон существования нулевого вектора);
  • a+(-1)a=0 (закон существования противоположного вектора);
  • $$(\alpha \beta)\vec a =\alpha (\beta \vec a)$$, $$\alpha ,\beta$$ - скаляры, числа (сочетательный закон умножения скаляра на вектор);
  • $$(\alpha +\beta) \vec a=\alpha \vec a+\beta \vec a$$ (дистрибутивный закон умножения векторов на скаляр);
  • $$\alpha (\vec a+\vec b)=\alpha \vec a+\alpha \vec b$$ (дистрибутивный закон сложения векторов);
  • $$1\cdot \vec a=\vec a$$ (закон умножения на скалярную единицу).
    •

    Скалярным произведением двух ненулевых векторов a, b называется число (скалярное значение), равное произведению длин этих векторов на косинус угла $$\varphi$$ между ними: $$\vec a\cdot \vec b = |\vec a|\cdot |\vec b|\cdot \cos\varphi$$ .

    Свойства скалярного произведения:

  • (a,b)=(b,a) ;
  • $$(\lambda \vec a, \vec b)=\lambda (\vec a,\vec b)$$ ;
  • (a,a)=|a|2 ;
  • (a,b+c)=(a,b)+(a,c).
    •

    Если углы вектора a с осями координат в пространстве xyz обозначить как $$\alpha =\widehat{(\vec i,\vec a)}$$, $$\beta =\widehat{(\vec j,\vec a)}$$, $$\gamma=\widehat{(\vec k,\vec a)}$$, то эти углы можно определить по координатам вектора формулами $$\cos\alpha =\frac {x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \quad \cos\beta =\frac {y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \quad \cos\gamma =\frac {z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.$$

    Косинусы углов $$\alpha$$, $$\beta$$, $$\gamma$$ называются направляющими косинусами .

    Через координаты вектора можно выражать и результаты операции над векторами. Запишем операции над векторами, заданными в координатной форме.

    Пусть a={x1, y1, z1}, b={x2, y2, z2}.

    Справедливы следующие свойства:

  • a=b $$\iff$$ x1=x2, y1=y2, z1=z2 ;
  • $$\lambda \vec a=\{\lambda x_1, \lambda y_1, \lambda z_1\}$$ ;
  • $$\vec a\pm \vec b=\{x _1\pm x_2, y_1\pm y_2, z_1\pm z_2\}$$ ;
  • (i,i)=(j,j) = (k,k)=1 ; (i,j)=(i,k)=(j,k)=0 ;
  • (a,b)= x1x2 +y1y2 + z1z2 ;
  • $$|\vec a|=\sqrt{(\vec a,\vec a)}=\sqrt{x_1^2+y^2_1+z^2_1}$$ ;
  • условие ортогональности векторов a, b: x1x2+y1y2+z1z2=0 ;
  • условие коллинеарности векторов a, b: $$x_2=\lambda x_1$$, $$y_2=\lambda y_1$$, $$z_2=\lambda z_1$$, или $$\frac {x_2}{x_1} =\frac {y_2}{y_1}=\frac {z_2}{z_1}$$ ;
  • угол между векторами$$\cos(\widehat{\vec a,\vec b}) = \frac {(\vec a,\vec b)} {|\vec a|\cdot |\vec b|}= \frac {x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2} {\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1} \sqrt{x^2_2+y^2_2+z^2_2} }.$$

    • Выше мы определили один из методов перемножения векторов (скалярное произведение), которое давало нам в качестве результата число (скаляр). Можно ввести операцию умножения и так, чтобы в результате опять получать вектор.

    Векторное произведение - вектор, который:

  • перпендикулярен плоскости перемножаемых векторов;
  • имеет длину, равную площади параллелограмма, построенного на этих векторах;
  • имеет такое направление, что если смотреть с конца вектора произведения, то движение от первого из перемножаемых векторов ко второму вектору должно происходить против часовой стрелки.
    •

    Рассмотрим алгебраические векторы, не связанные с их возможными геометрическими интерпретациями на плоскости или в пространстве, то есть n -мерные векторы или векторы, имеющие $$n$$ координат, компонент. Для различения геометрических и алгебраических векторов мы у алгебраических векторов не будем изображать стрелку над именем вектора.

    Пусть даны два n -мерных вектора x=(x1,...,xn), y=(y1,...,yn).

    Сумма векторов x, y определяется как вектор x+y=(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn).

    Разность векторов определяется как вектор x-y=(x1-y1, x2-y2,..., xn-yn).

    Произведение скаляра $$\lambda=\const$$ на вектор x=(x1,x2,...,xn) определяется как вектор $$\lambda x=(\lambda x_1,\lambda x_2,\dotsc,\lambda x_n)$$.

    Противоположный вектор для x определяется как вектор -x=(-x1,-x2, ...,-xn).

    Скалярное произведение векторов x, y определяется как число (x,y)=x1y1+x2y2+...+xnyn.

    Длина вектора x=(x1,x2,...,xn) - число, равное $$|x|= \sqrt{(x,x)} = \sqrt{x_1^2+x^2_2+\dotsc+x^2_n}$$, угол между двумя векторами x и y определяется как$$\cos\varphi = \frac {(\vec a,\vec b)} {|\vec a|\cdot |\vec b|}= \frac {x_1y_1+x_2y_2+\dotsc+x_ny_n} {\sqrt{x^2_1+x^2_2+\dotsc+x^2_n} \sqrt{y^2_1+y^2_2+\dotsc+y^2_n}}$$

    Эти операции над векторами удовлетворяют всем введенным выше законам и свойствам для операции с геометрическими векторами.

    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^