Совокупности и отношения

Разбить на страницы

Показывать лекцию целиком

Совокупности и отношения

Часто, и не только в математике, рассматриваются совокупности элементов, объектов или процессов, объединенных какими-то общими признаками.

Множество - это совокупность элементов реального или идеального происхождения, различимых между собой, объединяемых по некоторому правилу и имеющих одно имя, которое позволяет ссылаться на эту совокупность как на один объект, то есть мыслится как единое целое. Принадлежность произвольного элемента x множеству X обозначается как $$x\in X$$, а непринадлежность - $$x\notin X$$.

Записывают множество X из элементов x, удовлетворяющих правилу P, в виде: X={x:P} или X={x|P}.

Если число элементов множества X конечно, то множество X называется конечным , в противном случае - бесконечным множеством и обозначаются, например, X (конечное) и Y (бесконечное), как X={x₁, x₂, ..., x_n} или $$X= \{x_i\}^n_1$$ и Y={y₁, y₂, ..., y_n,...} или $$Y=\{y_i\}^\infty_1$$.

Пустое множество - это множество, формально вводимое в рассмотрение, но не содержащее ни одного элемента; обозначается пустое множество символом $$\emptyset$$ (это фиктивное множество играет роль нуля).

Универсальное множество ( универсум ) - это также формально вводимое множество, мыслимое как множество, содержащее все элементы всех множеств. Обозначается это множество 1 или I (оно играет роль единицы).

Подмножество множества X - это часть множества X, некоторая совокупность элементов из множества X . Подмножество множества само является множеством. Обозначают факт, что множество Y является подмножеством множества X, так: $$Y\subset X$$ или $$Y\subseteq X$$, если Y может полностью совпадать с X. Полное совпадение X и Y обозначается равенством вида X=Y.

Количество элементов конечного множества X называется мощностью этого множества и обозначается |X|. Для бесконечных множеств также рассматривается аналог этого понятия. Все множества, элементы которых можно "пересчитать" натуральными числами, имеют одну мощность, которая называется мощностью счетного множества; прочие именуются несчетными множествами.

Операциями, определенными над множествами, являются операции взятия подмножества множества, сравнения на совпадение (несовпадение), объединения, пересечения, дополнения, произведения множеств.

Объединение множеств X и Y - множество Z, полученное слиянием элементов X и Y, без дублирования совпадающих (одинаковых) элементов X и Y, например, получаемого добавлением к элементам множества X элементов множества Y, отличных от элементов X . Обозначается это объединение множеств как $$Z=X\cup Y$$. Это аналог операции суммирования.

Пересечением множеств X и Y называется множество Z, получаемое выделением всех совпадающих (одинаковых) элементов X и Y в отдельное множество Z . Обозначается $$Z=X\cap Y$$ и является аналогом произведения.

Дополнением ( до универсального множества ) множества X называется множество (обозначаемое как X или C(X) ), состоящее из всех элементов универсального множества 1, кроме элементов самого X . Дополнением (относительным) множества X до множества Y называется множество Z=X_Y (или Z=C_Y(X)), которое состоит из всех элементов Y, не вошедших в X.

Декартовым произведением множеств X и Y называется множество Z (обозначение $$X\times Y$$ ) всевозможных пар элементов вида (x,y), $$x\in X$$, $$y\in Y$$

Пример. Если X={a,b}, Y={a,c,d}, то $$X\cup Y=\{a,b,c,d\}$$, $$X\cap Y=\{a\}$$, $$X\times Y=\{(a,a), (a,c), (a,d), (b,a), (b,c), (b,d)\}$$, $$2^X=\{\emptyset, \{a\},\{b\},\{a,b\}\}$$, C_Y(X)={c,d}, |X|=2.

Характеристическую функцию f множества X определим словесно (как и функцию Дирихле выше): если $$x\in X$$, то f(X)=1, иначе, то есть при $$x\notin X$$, значение f(X)=0.

Пусть X, Y - некоторые непустые множества точек на числовой оси, то есть $$X=\{x: x\inR\}$$, $$Y=\{y: y\inR\}$$. Если каждому элементу $$x\in X$$ однозначно поставлен в соответствие некоторый элемент $$y\in Y$$, то говорят, что задана однозначная функция y=f(x) на множестве X со значениями во множестве Y . Множество X - это область определения функции, Y - область изменения функции f .Эти множества часто обозначают соответственно как D(f) и E(f). Переменная (независимая от другой переменной) x называется аргументом функции, переменная y (зависимая от x ) - значением функции (зависимой переменной),а правило, закон сопоставления каждому аргументу значения функции, - функцией. Функция - это зависимость переменной y от переменной x, если каждому значению x соответствует единственное значение y .

Определенная таким образом функция является числовой функцией , так как X и Y являются числовыми множествами, $$X\subset R$$ и $$Y\subset R$$.

Иногда вместо термина "функция" используют термин "отображение" (множества X на множество Y или во множество Y ). Поэтому справедливо эквивалентное определение числовой функции: числовая функция есть отображение некоторого числового множества X (области определения функции) на другое числовое множество Y (являющееся множеством значений функции).

Обозначают отображения в общем случае в виде записи: $$f:X\to Y$$.

В функциональной зависимости y=f(x), переменная x означает независимую переменную (то есть переменную, выбор значений которой из X независим), а y - зависимую переменную (то есть переменную, выбор значения которой из множества Y зависит от выбора x и правила f ), f - закон или правило, по которому выбирается y из множества Y .

Большинство закономерностей в природе и обществе описываются различными функциональными зависимостями, в которых одна величина (зависимая переменная) зависит от двух и более величин (независимых переменных). Функция может иметь много независимых переменных (зависимая переменная - одна, а каждое ее значение, соответствующее определенному набору независимых переменных, мы будем считать определяемой однозначно). Такие функции называются функциями нескольких переменных или функциями многих переменных.

Пример. Путь, проходимый телом при движении s=s(v,t), зависит от двух переменных: скорости тела v и времени движения t. Объем продукции первого типа, выпускаемой предприятием, равен x₁, второго типа - x₂, n - го типа - x_n. Стоимость единицы продукции первого типа - p₁ руб., второго типа - p₂, n -го типа - p_n. Тогда стоимость всей продукции будет определяться функцией n переменных: s=s(x₁,x₂,..., x_n) = p₁x₁ + p₂x₂ + ... + p_nx_n.

Итак, переменная z называется функцией переменных (x₁,x₂,...,x_n), если каждому допустимому набору значений переменных (x₁,x₂,...,x_n), или вектору x соответствует одно и только одно значение переменной z . Обозначается функция многих переменных как z=f(x₁,x₂,...,x_n) или z=f(x). Следовательно, каждому вектору x=(x₁,x₂,...,x_n) по некоторому закону f ставится в соответствие некоторое определенное число z.

Область определения

Чтобы задать функцию, нужно указать некоторый способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции, то есть способ описания закона f. Функция может задаваться аналитическим, графическим, табличным или словесным способом.

Аналитическое выражение - формула, указывающая, какие математические действия надо произвести над аргументом x, чтобы получить соответствующие значения y. Способ задания значений функции с помощью аналитического выражения называется аналитическим способом задания функции . Функция может быть задана и с помощью нескольких различных аналитических выражений с разными областями определения. В этом случае область определения функции - область определения каждого из этих аналитических выражений (при условии, что эти отдельные области нигде "не конфликтуют"). Аналитически функция задается, если область ее определения не является конечной, особенно, в теоретических проблемах.

Пример.Рассмотрим кусочно-аналитически заданную функцию$$f(x) = \begin{cases} x^2, -2<x<0, \\ 0 , 0\le x\le 1, \\ x+1, 1<x<3. \end{cases}$$ Область определения этой функции X={x : -2<x<3}.

При табличном задании функции ряд дискретных значений аргумента x₁, x₂,..., x_n и соответствующих им значений функции y₁, y₂,..., y_n задаются в виде таблицы.

Пример.Различные статистические и социологические данные записывают в виде таблиц: уровня жизни, динамики безработицы, численности населения и т.п.

Третьим способом задания функции является графический способ.

Абсциссой x точки (x;y) на плоскости xOy называется длина отрезка [O;x], отсекаемого от точки отсчета O оси Ox плоскости. Ординатой этой точки называется длина отрезка [O;y] оси Oy плоскости xOy .

Графиком функции y=f(x) называется множество точек (x;y) на плоскости xOy (геометрическое место точек на плоскости), каждая из которых обладает тем свойством, что ее абсцисса есть значение аргумента функции, а ордината - соответствующее этому аргументу значение функции. Графически функция определяется обычно в экспериментальных науках, например, в разделах физики, химии.

Пример.График кусочно-заданной на интервале (-2;3) функции f(x), приведенной выше, будет иметь вид, изображенный рис. 4.1. Хотя этот график и состоит из трех "вроде бы" самостоятельных частей (часть параболы; часть оси Ox ; часть прямой, параллельной биссектрисе координатного угла), тем не менее, это один график (график одной кусочно-заданной функции). График функции может не быть непрерывной линией. При x=1 указанный на рис. 4.1. график теряет свойство быть непрерывным. Функция имеет при x=1 разрыв (о разрывах функции мы подробнее поговорим ниже).

(рис 4.1) График кусочно-заданной функции

При словесном задании функции словесно указываются множества X, Y и закон f.

Пример. Функция Дирихле, рассмотренная нами выше, была определена словесно, так как значения из множеств X, Y - "словесны, расплывчаты".

Если задана некоторая однозначная функция $$y=f(x)$$, $$x\in X$$, $$y\in Y$$, то каждому значению $$x\in X$$ ставится в соответствие только одно значение $$y\in Y$$. Если при этом каждому значению $$y\in Y$$ соответствует лишь одно значение $$x\in X$$, то говорят, что отображение f есть взаимно однозначное отображение .

Так как каждому $$y\in Y$$ в этом случае ставится в соответствие одно значение $$x\in X$$, то можно говорить, что определена функция вида $$x=\varphi (y)$$ с областью определения $$Y$$ и областью значений $$X$$.

Функция $$x=\varphi (y)$$ называется функцией, обратной к (прямой) функции y=f(x) . Обратную к f функцию g часто обозначают f_-1 (g=f_-1).

Если дана функция y=f(x) и для любого значения $$y_0\in Y$$ уравнение f(x)=y₀ имеет единственный корень $$x_0\in X$$, то функция y=f(x) обратима. Если функция $$f:X\to Y$$ определена и возрастает (убывает) на промежутке X, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция $$g:Y\to X$$ определена и возрастает (убывает) на Y. Таким образом, график обратной функции $$y=\varphi (x)$$ симметричен с графиком данной функции y=f(x) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Пример. Функция y=x² с областью определения D(f)=R, областью изменения $$E(f)=\{x\,:\, x\in [0;+\infty)\}$$ и функция $$x=\pm\sqrt{y}$$ не является взаимно однозначной, а функция y=x³ с обратной однозначной функцией $$x=\sqrt[3]{y}$$ - взаимно однозначная.

Пусть дано некоторое соотношение, связывающее две переменные x и y. Если все его члены перенести в левую часть, то оно запишется в виде: F(x,y)=0. Если существуют различные пары действительных чисел (x,y), удовлетворяющих данному соотношению, то соотношение F(x,y)=0 можно считать способом задания переменной y как функции от x. С помощью этого соотношения каждому значению $$x\in X$$ ставится в соответствие $$y\in Y$$ (фиксируем каждый раз x, решаем, при фиксированном x, уравнение и находим y ). Функция от x, определяемая соотношением F(x,y)=0, называется неявно заданной функцией .

Пример.Соотношение 2x-y+1=0 неявно задает y как функцию от x ; эту функцию можно выразить явно, разрешив уравнение относительно y: y=1+2x. Соотношение x²+y²-1=0 неявно задает двухзначную функцию $$y=\pm \sqrt{1-x^2}$$ ; уравнение $$e^{xy}+y\cos x=5$$ задает неявную функцию y (не выражаемую явно через x ).

Функция f(x) называется четной, если f(x)=f(-x) для всех $$x\in X$$, где X - область определения функции y=f(x) . График четной функции симметричен относительно оси Oy. Функция называется нечетной, если f(x)=-f(-x), для любого $$x\in X$$ . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Области определения четной и нечетной функции симметричны относительно начала координат. Функция может быть ни нечетной, ни четной.

Пример. Функция y=x²cos(x) - четная, так как y(-x)=(-x)²cos(-x)= x²cos(x)=y(x), а функция y=x²sin(x) - нечетная, так как y(-x)=(-x)²sin(-x)=-x²sin(x)=-y(x). Функция y=x+2 не является ни четной, ни нечетной, так как y(-x)=-x+2.

Функция называется периодической с периодом T $$(T\ne 0)$$, если для всех $$x\in X$$ выполнено: $$f(x)=f(x+T)$$, то есть значения функции повторяются через каждый промежуток длины $$T$$ . График такой функции получается повторением части графика, определенного на интервале $$Ox$$ длины $$T$$.

Пример.Функция y=sin(x) является периодической с периодом $$T=2\pi$$.

Функция y=f(x) называется монотонно возрастающей на некотором участке области определения функции, если для всех $$x_1,x_2\in X$$, таких, что x₁<x₂, имеет место неравенство f(x₁) < f(x₂) .

Функция y=f(x) называется монотонно убывающей на некотором участке области определения функции, если для всех $$x_1, x_2\in X$$, таких, что x₁<x₂, имеет место неравенство f(x₁)> f(x₂) .

Пример. Функция y=x² монотонно убывает на промежутке $$({-\infty};0)$$ и монотонно возрастает на промежутке $$(0;{+\infty})$$. Действительно, из 0<x₁<x₂ следует, что f(x₁)<f(x₂), а из $$x_1<x_2<0$$ следует, что f(x₁)>f(x₂), f(x₂)=x₂², f(x₁)= $$x_1^2$$.

График функции y=f(x) - некоторая линия в плоскости xOy. Выясним, что является графиком функции нескольких переменных, для наглядности ограничиваясь двумя переменными, то есть функцией z=f(x₁,x₂)=f(x,y). Область D(f) - множество точек на плоскости xOy. Каждой точке M(x₀;y₀) на плоскости соответствует число z₀=f(x₀;y₀), то есть тройка связанных функцией z=f(x,y) чисел (x₀;y₀;z₀) определяет точку N₀(x₀;y₀;z₀). Совокупность всех точек N(x;y;z)=N(x;y;f(x,y)), $$(x,y)\in D(f)$$ образует некоторую поверхность в пространстве xyz - график функции z=f(x,y) (геометрическое место точек N, рис. 4.2.).

(рис 4.2) График функции двух переменных

Пример. Дана функция $$z=\sqrt{r^2-x^2-y^2}$$. Область определения $$D(f)=\{(x;y)\,:\, r^2-x^2-y^2\ge 0\} = \{(x,y)$$: $$x^2+y^2\le r^2\}$$ - круг радиуса r с центром O(0;0). График функции - верхняя половина сферы с радиусом r (рис. 4.3). Связь координат произвольной точки на этой полусфере:$$x^2+y^2+z^2= r^2 \ \implies \ r^2-x^2-y^2=z^2 \ \implies \\ \implies \begin{cases} z=\sqrt{r^2-x^2-y^2} \ \text{--- верх сферы}, \\ z=-\sqrt{r^2-x^2-y^2}\ \text{--- низ сферы}. \end{cases}$$

(рис 4.3) Верхняя полусфера

С графиками функций можно выполнять следующие операции и процедуры: сложение, вычитание, сдвиги относительно осей координат, сжатие и растяжение и др.

Многие науки часто имеют дело со сравнениями множеств, с выяснением связей элементов множеств. Для формализации таких процессов используется понятие "отношение".

Отношение r, определенное над элементами множества X, - это некоторое правило, по которому каждый элемент $$x\in X$$ связывается с другим (другими) элементом (элементами) $$y\in X$$ . Отношение r называется n - арным отношением, если оно связывает n различных элементов X . При n=1 - отношение называется унарным , при n=2 - бинарным , при n=3 - тернарным .Множество пар (x,y), которые находятся в бинарном ( 2 -арном) отношении друг к другу, - подмножество декартового множества $$X\times Y$$. Отношение r элементов $$x\in X$$, $$y\in Y$$ обозначают как $$x \to\limits^{r} y$$, r(x,y) или r(X,Y).

Пример.Рассмотрим классическую схему ЭВМ из устройств: 1 - ввода, 2 - логикоарифметическое, 3 - управления, 4 - запоминающее, 5 - вывода. Отношение "информационный обмен" определим так: устройство i находится в отношении r с устройством j, если из устройства i в устройство j поступает информация. Тогда можно это отношение задать матрицей R отношений (наличие r на пересечении строки i и столбца j матрицы означает, что устройство i находится в этом отношении с устройством j, а наличие $$\emptyset$$ - что отношение отсутствует):$$R= \begin{Vmatrix} \emptyset r r r \emptyset \cr \emptyset \emptyset r r r \cr r r \emptyset r r \cr \emptyset r r \emptyset r \cr \emptyset \emptyset r \emptyset \emptyset \end{Vmatrix}$$

Отношение, задаваемое фразой "для каждого x из множества X ", обозначается $$\forall x\in X$$ и называется квантором общности , а отношение "существует такое x из множества X " - имеет обозначение $$\exists x\in X$$ и называется квантором существования . Факт, что элементы $$x\in X$$ связаны, выделены некоторым отношением r, обозначают как X={x:r} или записывают в виде $$X=\{x\mid r\}$$.

Композиция ( произведение ) $$r=r_1\circ r_2$$ отношений r₁ и r₂ заданных над одним и тем же множеством X - это третье отношение r, определяемое так:$$x \to\limits^{r} y \ \iff \ \Bigl (\exists z\in X\,:\, (x \to\limits^{r} z), \ (z \to\limits^{r} y) \Bigr).$$

Отношение r называется отношением тождества, если выполнено условие$$x \to\limits^{r} y \ \iff \ (x=y).$$

Отношение r называется рефлексивным, если выполнено условие$$((\forall x\in X)\,:\, x \to\limits^{r} x).$$

Отношение r называется транзитивным, если выполнено условие$$((x \to\limits^{r} y), \ (y \to\limits^{r} z)) \ \implies \ (x \to\limits^{r} z).$$

Отношение r называется симметричным, если выполнено условие$$(x \to\limits^{r} y ) \ \implies \ (y \to\limits^{r} x).$$

Пример. Бинарное отношение, определяемое знаком " = " - рефлексивно, транзитивно. Бинарное отношение "иметь общий делитель" - симметрично. Бинарное отношение " $$\subseteq$$ " вложенности множеств - рефлексивно, антисимметрично, транзитивно. Отношение параллельности двух прямых - транзитивно, рефлексивно, симметрично. Проверим предпоследнее утверждение. Рефлексивность следует из соотношения $$X\subseteq X$$ (для любого множества). Симметричность не выполняется, так как из условия $$X\subseteq Y$$ не следует $$Y\subseteq X$$ для любых X, Y. Транзитивность следует из того, что из условий $$X\subseteq Y$$, $$Y\subseteq Z$$ следует и условие $$X\subseteq Z$$.

Частично упорядоченным по отношению r множеством X называется множество, на котором задано отношение r(X), являющееся транзитивным, несимметричным, рефлексивным. Упорядоченное по отношению r(X) множество - это множество X, такое, что $$\forall x,y\in X$$, либо $$x \to\limits^{r} y$$, либо $$y \to\limits^{r} x$$ . Для частично упорядоченного множества отношение определено не для всех (связываемых этим отношением) элементов множества.

Отношение частичного упорядочивания называется просто порядком , а отношение упорядочивания - полным порядком .

Пример. Отношение r(x,y): " x кратно y " (или $$\mod (x,y)=0$$ ), определенное на множестве натуральных чисел N, как легко проверить, является отношением частичного порядка. Отношение r(x,y): " $$x\le y$$ " определенное на множестве вещественных чисел R, - отношение частичного порядка и полного порядка. Отношение r(x,y): " x<y " определенное на R, не является отношением полного порядка (не рефлексивно). Отношение вложенности множеств (см. выше) " $$x\subseteq y$$ " - отношение частичного упорядочивания множеств, определенное на множестве всех множеств, но оно не является отношением полного порядка (не для любых двух множеств имеет место включение в ту или иную сторону; множества могут быть и различной природы).

Транзитивное, рефлексивное, симметричное отношение r(X) называется отношением эквивалентности . Такие отношения очень важны и нужны, так как они разбивают множество X на классы, классы эквивалентности - непустые и непересекающиеся подмножества, каждое из которых вместе с любым своим элементом содержит также все элементы X, эквивалентные ему по отношению r(X), и не содержит других $$x\in X$$ .

Пример.В различных исследованиях часто используется группировка и классификация заданных объектов по некоторым признакам, например, при исследовании уровня социальной защищенности необходимо рассматривать различные социальные группы. При решении таких задач используют те или иные отношения классификации, группировки, отношения эквивалентности. Например, отношение "средний годовой доход социальной группы" позволяет группировать население для опроса и социологических исследований.

Соответствие S - это бинарное отношение r над множеством $$X\times Y$$:$$S= \bigl\{(x,y) \,:\, (x \to\limits^{r} y), \ (x,y)\in X\times Y\bigr\}.$$

Обратное соответствие к r - это соответствие $$S^{-1}\subseteq Y\times X$$ вида:$$S^{-1}= \bigl\{(y,x) \,:\, (x \to\limits^{r} y), \ (x,y)\in X\times Y\bigr\}.$$

Изоморфизм двух упорядоченных (по отношению r ) множеств X и Y - такое взаимно-однозначное соответствие $$f:X\to Y$$, что из того, что $$x_1\in X$$ и $$x_2\in X$$ находятся в отношении r, следует, что y₁=f(x₁) и y₂=f(x₂) находятся в отношении r, и наоборот.

Страницы: