Величины и их значения

Разбить на страницы

Показывать лекцию целиком

Величины и их значения

Любое практическое применение числа ассоциируется (явно или неявно, интуитивно) с некоторым количеством, некоторой совокупностью предметов, объектов.

Пример. Число "четыре" может означать число стульев в комнате, число ножек у стула, число отличников в группе, число времен года и т.д. Все такие четырехэлементные совокупности можно отождествить, когда нас интересует лишь количество элементов в совокупности, и связать с элементом натурального ряда чисел "4".

Как люди в практической деятельности пришли к абстракции такого общего свойства совокупностей, как число?

Первоначально они не отделяли свойства числа от самих считаемых вещей. Счет, как правило, велся с помощью рук, пальцев, палочек, камешков и т.д. С дальнейшим развитием экономической жизни и общения совершенствовалась и техника счета. Общее свойство всех равночисленных совокупностей начинает выражаться через свойство какой-либо особенной совокупности. Дальнейшее развитие обмена между различными племенами, народами наталкивалось на определенное неудобство: эталон сравнения при счете у различных народов был различен, - у одних это были палочки, у других - ракушки, у третьих - зазубрины на дощечках. Поэтому в результате длительного исторического развития понятие числа освобождается от его конкретной общественной оболочки (палочек, камешков, зазубрин на доске и т.п.) и начинает выступать как абстракция - как число вообще, как натуральный ряд чисел.

В истории формирования понятия натурального числа можно выделить четыре основных этапа (по развитию техники счета):

Установление равной численности различных совокупностей предметов.

Выражение численности какой-то определенной совокупности предметов через ряд эквивалентных ей совокупностей.

Определенная совокупность начинает уже выступать в качестве эталона количества.

Общее свойство всех эквивалентных совокупностей выступает в "чистом" виде, как абстрактное понятие натурального числа.

Этот этап был объективно подготовлен длительной предшествующей практикой человечества.

"Чтобы считать, надо иметь не только предметы, но и обладать способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств, кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития" (Ф. Энгельс).

Далее математика отвлекается (абстрагируется) от конкретного количества, связанного с числами (от "числового содержания величин"), и вводятся дроби, отрицательные числа, операции над символами конкретных чисел и т.д.

Пример.Отрицательные числа позволили удобно отображать величину долга. Дроби позволили выделять части площадей.

Натуральными числами называют числа 1, 2, 3,... то есть целые положительные числа. Обозначают эту совокупность чисел буквой N. Эти числа были введены, например, для натурального счета, для перечисления и нумерации, каждое новое образовывалось добавлением к предыдущему единицы (новой палочки при счете палочками).

Совокупность всех целых чисел ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... обозначают буквой Z. Эти числа были также введены ради практических нужд, например, для того чтобы было удобно работать с "долгами", налогами.

Рациональными числами называют все целые и дробные числа (как положительные, так и отрицательные), включая и нуль. Любое рациональное число представимо в виде дроби p/q, p - целое число, q - натуральное число. Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей. Эти числа были введены, например, для работы с частями целого, для представления частей целого.

Совокупность рациональных чисел часто обозначают буквой Q.

Иррациональные числа - это числа, представимые бесконечными, но не периодическими десятичными дробями. Их совокупность обозначают часто буквой I. Эти числа введены, например, для нахождения сторон квадратов, равновеликих (равных по площади) другим фигурам.

Действительными (вещественными числами) называют совокупность иррациональных и рациональных чисел. Обозначают ее буквой R. Эти числа ввели для объединения всех ранее введенных чисел в одно целое, в более крупный числовой формализм.

Пример. Укажем, каким совокупностям чисел принадлежат числа $$2$$, $$\sqrt {3}$$, $$\frac {10}{5}$$, $$-\frac {20}{3}$$. Число $$2$$ принадлежит совокупности $$N$$, а, следовательно, и совокупностям $$Z$$, $$Q$$, $$R$$; число $$\sqrt {3}$$ принадлежит совокупностям $$I$$, $$R$$ ; число $$\frac {10}{5}=2$$ принадлежит совокупностям $$N$$, $$Z$$, $$Q$$, $$R$$ ; число $$-\frac {20}{3}$$ принадлежит совокупностям $$Q$$, $$R$$.

Комплексное число - это число, представимое символически в виде суммы вида c=a+bi, где a, b - некоторые вещественные числа, а i - корень уравнения i²=-1. Величина $$i=\sqrt{-1}$$ называется мнимой единицей . Число a - действительная составляющая комплексного числа c, а b - мнимая составляющая этого числа c. Совокупность комплексных чисел обозначается обычно буквой C и включает в себя совокупность R, а следовательно, и совокупности Q, I, N. Эти числа были введены, например, для того, чтобы можно было находить решения квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами, когда решение таких уравнений стало необходимостью.

Постоянной ( константой ) называется величина, численное значение которой не изменяется (считается неизменным). Если для некоторой постоянной неважно ее значение, а важно лишь то, что она постоянная, то обычно эту постоянную в математике обозначают сокращением const (константа).

Переменной называется величина, принимающая различные числовые значения при различных условиях, в различных задачах. Для переменных используют буквенные или буквенно-цифровые обозначения. Кроме них, для переменных необходимо указывать и второй их атрибут - совокупность значений, которые может принимать данная переменная. Эта совокупность называется областью изменения переменной.

Пример. Переменная a для работы с длинами отрезков имеет область изменения [0;M], где M - любое конечное число.

Совокупность значений переменной с областью изменения от вещественного числа a включительно до вещественного числа b включительно называется отрезком ( замкнутым интервалом, промежутком ) и обозначается как [a;b]. Если одно из чисел a, b не включается в область изменения, то промежуток (интервал) называется полуоткрытым (или полузамкнутым) и обозначается как (a;b] или [a;b), а если оба эти числа не включаются, то промежуток называется открытым интервалом или просто интервалом и обозначается как (a;b).

Длиной промежутков [a;b], (a;b], [a;b), (a;b) назовем число, равное b-a . В математике есть два совершенно особых числа. Это, на самом деле, и не числа вовсе (в выше введенном понимании, то есть отождествляемые с конкретными определенными количествами), а некоторые математические абстракции, удобные обобщения "очень больших" положительных и "очень больших" отрицательных чисел. Эти "числа" обозначаются как $$+\infty$$ (положительная бесконечность) и $$-\infty$$ (отрицательная бесконечность) и играют очень важную роль в математике.

Пример. Числа совокупности $$R$$ можно определить как промежуток $$(-\infty; +\infty)$$. Если взять произвольную точку (число) из $$R$$, то $$\delta$$ - окрестностью точки $$a$$ будем называть открытый интервал длиной $$2\delta$$ с центром в точке $$a$$, то есть промежуток $$(a-\delta ; a+\delta )$$ ; $$\delta$$ - радиус окрестности, $$a$$ - центр окрестности. При этом предполагаем, часто неявно, что величина $$\delta$$ - достаточно малое число, так как понятие окрестности, в отличие от интервала, вводится именно для обозначения достаточно малой длины интервала с центром в точке $$a$$.

Пример. Укажем промежутки, образующие $$\delta$$ -окрестности чисел -2 ; 0 ; $$\sqrt{3}$$ ; 10,5, если $$\delta =0,01$$. Эти промежутки, соответственно, (-2,01; -1,99), (-0,01; 0,01), $$(\sqrt{3}-0,01;\sqrt{3}+0,01)$$, (10,49;10,51).

Упорядоченной переменной величиной называется некоторая переменная $$x$$, если для этой переменной известна область ее изменения и определен порядок любых двух значений (то есть известно, какое из них предыдущее, а какое - последующее). Возрастающей переменной величиной называется упорядоченная переменная величина, каждое последующее значение которой больше предыдущего. Убывающей переменной величиной называется упорядоченная переменная величина, каждое последующее значение которой меньше предыдущего. Монотонными величинами (монотонными переменными) называют возрастающие или убывающие переменные величины. Ограниченной сверху переменной величиной называется переменная x, для которой существует такая постоянная M (M=const), что каждое значение a из области изменения переменной x удовлетворяет неравенству: $$a \le M$$ . Ограниченная снизу переменная величина - переменная x, для которой существует такая постоянная m ( m=const ), что каждое значение a из области изменения переменной x удовлетворяет неравенству: $$m \le a$$ . Ограниченная сверху и снизу переменная x называется просто ограниченной переменной .

Пример. Пусть переменная x принимает последовательность значений: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -n, n, .... Переменная x не является ни монотонной, ни ограниченной.

Пример. Пусть переменная y принимает последовательность значений: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., 1/n, .... Переменная y ограничена (например, сверху числом 1, снизу числом 0 ), монотонно убывает.

Пример. Пусть переменная $$z$$ принимает последовательность значений: 1, 2, 4, 8, 16, ..., 2ⁿ, .... Переменная z ограничена снизу (например, числом 1 ) и монотонно возрастает.

Пример. Переменная со значениями 0,9; 0,99; 0,999; ... ограничена сверху (например, можно взять M=1, при этом само число 1 не является элементом этого ряда).

Пример. Переменная со значениями 0,1; 0,12; 0,123; ... - ограничена снизу (например, числом m=0 - не принадлежащим значениям переменной, или числом m=0,1, принадлежащим этим значениям).

Абсолютной величиной ( модулем ) переменной a называется связанная с этой переменной другая переменная (функция), принимающая только неотрицательное, действительное значение (называемое модулем значения или модулем числа) и обозначаемая |a| по следующему правилу:$$$$ |a|= \begin{cases} a, a>0, \\ 0, a=0, \\ -a, a<0. \end{cases} $$$$ Сигнумом ( знаком ) переменной a называется связанная с этой переменной другая дискретная переменная (или функция, называемая сигнумом значения или числа a и обозначаемая sign(a), sgn(a) ), принимающая только три значения по следующему правилу:$$$$ sign (a)= \begin{cases} +1, a>0, \\ 0, a=0, \\ -1, a<0. \end{cases} $$$$

На практике почти всегда имеют дело с числами, значения которых известны лишь приближенно.

Приближенным значением числа A с ошибкой $$\alpha$$ называется число a, такое, что $$A-a =\alpha$$. Записывают это так: $$A\approx a$$. Если a<A, то $$\alpha >0$$ и a - приближенное значение A с недостатком; если a>A, то $$\alpha <0$$ и a - приближенное значение A с избытком.

Абсолютной погрешностью (обозначается $$\Delta a$$ ) числа A, приближенное значение которого a, называется величина $$\Delta a = |A-a|$$ . Если $$\Delta a \le e$$, то e - предельная абсолютная погрешность или граница абсолютной погрешности. Абсолютная погрешность не дает достаточной информации о точности измерения (измерительного прибора или метода, технологии измерения).

Результат приближения принято оценивать по той доле, которую составляет ошибка от измеряемой величины, то есть по относительной ошибке.

Относительной погрешностью (обозначается как $$\delta a$$ ) числа a, являющегося приближением числа A, называется отношение абсолютной погрешности $$\Delta a$$ к абсолютной величине a: $$\delta a=\Delta a/|a|$$ . Относительная погрешность дает информацию о точности измерения (измерительного прибора).

Пример. Если $$A=\sqrt{2}=1,41$$, а его приближение вычислено как a=1,4, то $$\Delta a=|A-a|= |1,41-1,4|=0,01$$, $$\delta a=\Delta a/|a|= 0,01/1,4 \approx 0,007$$.

При вычислениях не только значения, но и источники погрешностей могут быть различными.

Пример. Чтобы вычислить, например, площадь круглой пластины, пользуются формулой $$S=\pi R^2$$, где R - радиус круга. Полученный при вычислении результат не совпадает с реальной площадью круга, так как:

реальная пластина, как правило, не имеет форму математического, идеального круга;

величина R получена путем измерений, а ее точность зависит от точности измерительного инструмента;

число $$\pi$$ есть иррациональное число и при реальных вычислениях приходится заменять его приближенным рациональным значением, например, равным 3,14 ;

площадь S получается путем выполнения арифметических операций над исходными приближенными числами, а точность результата будет зависеть от типа операций, например, при возведении в квадрат по формуле для S при R=2,509 получим соответствующую погрешность.

Выражение "приближенное число" без указания границы погрешности e не имеет смысла. На практике оперируют с приближенными числами только при известных границах погрешностей. Однако, в разговоре употребляют выражение "приближенное число", не указывая границ, подразумевая при этом, хотя бы на интуитивном уровне, то или иное приемлемое значение погрешности (обычно разумное его значение).

Пример. Определим границу погрешности числа a=3,14, которая была использована для замены числа $$\pi$$ при вычислении площади круглой пластины по вышеприведенной формуле для S. Из известного неравенства $$3,14<\pi <3,15$$ можно записать $$|3,14-\pi|<0,01$$ и, следовательно, граница погрешности e=0,01. Если учесть, что $$3,14<\pi <3,142$$, то в качестве границы погрешности будем иметь более точную оценку e=0,002.

Для погрешностей справедливы законы оперирования с погрешностями. Поясним это на нижеследующем примере.

Пример. Найдем сумму двух приближенных чисел и границ погрешности: $$a=1,28\pm 0,007$$ и $$b=3,17\pm 0,0012$$. Наибольшая сумма приближенных значений равна a+b=1,28+3,17=4,45.

Рассмотрим ряд часто используемых числовых функций и процедур, которые нам будут необходимы ниже.

Функция взятия целой части от вещественного числа x имеет результат, обозначаемый как [x], и называется антье-функцией .Результат функции округления вещественного числа x (обозначим его через {x} ) может быть записан как [x+0,5].

Натуральное число x называется простым, если у него нет ни одного делителя, отличного от единицы и самого себя (а эти делители есть у всякого натурального числа).Все остальные числа - непростые. Задача нахождения закона (формулы, алгоритма проверки или построения) для нахождения простых чисел - одна из древних задач математики, и она до сих пор не решена полностью, хотя получены ряд формул и теорем, гарантирующих простоту (или не простоту) заданного числа.

К некоторым числовым величинам специального вида мы вернемся ниже.

Страницы: