Кольцо многочленов от одной переменной

Разбить на страницы

Показывать лекцию целиком

Кольцо многочленов от одной переменной

Пусть K - произвольное поле.

Под многочленом (ненулевым) от одной переменной x с коэффициентами из поля K будем понимать формальное выражение вида f(x)=a₀+a₁x+...+a_n-1x^n-1+a_nxⁿ (иногда удобнее записывать эту сумму одночленов a_ix^i в другом порядке: f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ ), $$a_i\in K$$, $$a_n\ne 0$$ - старший коэффициент ( a_nxⁿ - старший член многочлена f(x) ), a₀ - свободный член, $$n=\deg f(x)$$ - степень ненулевого многочлена f(x) (нулевой многочлен - это f(x)=a₀=0 ).

Можно было вместо формальных выражений рассматривать счетные последовательности$$(a_0,a_1,...,a_n,0,0,...),\quad a_i\in K,$$ в которых почти все a_i (т. е. все, кроме конечного числа) равны нулю (нулевой многочлен - это последовательность, в которой все компоненты равны нулю).

Два многочлена f(x) и g(x) называются равными, если равны соответствующие коэффициенты при каждой степени x^k переменной x.

Через K[x] обозначим множество всех многочленов f(x) с коэффициентами из поля K.

На множестве K[x] введем операции сложения и умножения, для $$f(x)=\sum\limits^n_{i=0}a_ix^i,\quad g(x)=\sum\limits^s_{i=0}b_ix^i$$ полагая $$f(x)+g(x)=\sum\limits_{i\geq 0}d_ix^i,\quad f(x)g(x)=\sum\limits_{i\geq 0}t_ix^i$$, где $$d_i=a_i+b_i,\quad t_i=\sum\limits_{\substack{k+l=i\\ 0\le k,l\le i}} a_kb_l$$.

Теорема 1.13.1. Множество K[x] с операциями сложения и умножения - коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Доказательство.

Так как при сложении складываются коэффициенты при одной степени xⁱ, т. е. d_i=a_i+b_i, то ясно, что K[x] с операцией сложения - коммутативная группа.

Учитывая определение коэффициента$$t_i=\sum\limits_{\substack{k+l=i\\ 0\le k,l\le i}} a_kb_l,$$ заключаем, что операция умножения коммутативна.

Пусть теперь$$h(x)=\sum\limits_{i\geq 0}c_ix^i.$$ Тогда, подсчитывая коэффициенты при степени xⁱ в (f(x)g(x))h(x) и в f(x)(g(x)h(x)), видим, что$$\sum\limits_{u+m=i}\biggl(\,\sum\limits_{k+l=u}a_kb_l\biggr)c_m=\sum\limits_{k+l+m=i}a_kb_lc_m=\sum\limits_{k+v=i}a_k\biggl(\,\sum\limits_{l+m=v}b_lc_m\biggr).$$ Итак, мы проверили ассоциативность умножения многочленов.

Ясно, что f(x)=1 (т. е. a₀=1 ) является нейтральным элементом для операции умножения.

Подсчитывая коэффициенты при степени xⁱ в (f(x)+g(x))h(x) и f(x)h(x)+g(x)h(x), видим, что$$\sum_{k+l=i}(a_k+b_k)c_l=\sum_{k+l=i}a_kc_l+\sum_{k+l=i}b_kc_l,$$ т. е. установлен закон дистрибутивности в K[x].

Замечание 1.13.2. Отображение $$K\to K[x]$$, для которого $$a\mapsto f(x)=a_0=a$$, является инъективным гомоморфизмом колец (т. е. получили вложение поля K в кольцо многочленов K[x] ).

Лемма 1.13.3. Пусть K - поле, $$f(x),g(x)\in K[x]$$, $$0\ne f(x)$$, $$0\ne g(x)$$. Тогда

а) $$\deg(f(x)+g(x))\leq \max(\deg f(x),\deg g(x))$$.

б) $$\deg(f(x)g(x))=\deg f(x)+\deg g(x)$$.

Доказательство.

а) Если $$i>\max(\deg f(x),\deg g(x))$$, то c_i=a_i+b_i=0.

б) Если $$\deg f(x)=n$$, $$\deg g(x)=s$$ и i>n+s, то$$d_i= \sum\limits_{\substack{k+l=i\\ 0\le k,l\le i}}a_kb_l=0.$$ При этом $$d_{n+s}=a_nb_s\ne0$$ (поскольку $$a_n\ne 0$$, $$b_s\ne 0$$ и в поле K нет делителей нуля). Итак, $$d_{n+s}=a_nb_s\ne 0$$ - старший коэффициент многочлена f(x)g(x) - является произведением старших коэффициентов многочленов f(x) и g(x). Таким образом, $$\deg(f(x)g(x))=n+s=\deg f(x)+\deg g(x)$$.

Следствие 1.13.4. Пусть K - поле. В кольце многочленов K[x] нет делителей нуля.

Доказательство. Как мы видели, если $$f(x)\ne 0$$, $$\deg f(x)=n$$, $$a_n\ne 0$$ - старший коэффициент многочлена f(x), $$g(x)\ne0$$, $$\deg f(x)=s$$, $$b_s\ne 0$$ - старший коэффициент многочлена g(x), то $$a_nb_s\ne 0$$ - старший коэффициент многочлена f(x)g(x), т. е. $$f(x)g(x)\ne 0$$.

Следствие 1.13.5. Пусть K - поле. В кольце K[x] (как в любом кольце без делителей нуля) можно сокращать на ненулевой многочлен, т. е. из f(x)g(x)=f(x)h(x), $$f(x)\ne 0$$, следует, что g(x)=h(x).

Следствие 1.13.6. Пусть K - поле. $$U(K[x])=K\setminus \{0\}$$ (здесь U(R) - группа обратимых элементов кольца R ).

Доказательство. Если $$0\ne a\in K$$, то $$a^{-1}\in K\subseteq K[x]$$, т. е. $$a\in U(K[x])$$.

Если f(x)g(x)= 1, то $$f(x)\ne 0$$, $$g(x)\ne 0$$, $$\deg f(x)+\deg g(x)=0$$, и поэтому $$\deg f(x)=0=\deg g(x)$$, т. е. $$f(x)=a_0\ne 0$$, $$a_0\in K$$.

Упражнение 1.13.7. (ax+b)(cx+d)=acx²+(ad+bc)x+bd, требующее четырех умножений ( ac, ad, bc, bd ) и одного сложения ( ad+bc ), может быть вычислено с помощью трех умножений и четырех сложений и вычитаний: $$ac,\quad bd,\quad u=(a+b)(c+d),\quad ad+bc=u-ac-bd$$.

А. А. Карацуба использовал это соображение для построения быстрых алгоритмов умножения чисел и многочленов.

Теорема 1.13.8 (алгоритм деления с остатком в кольце многочленов). Для любых многочленов $$f(x),g(x)\in K[x]$$, $$g(x)\ne 0$$, существуют (и притом единственные) многочлены $$q(x),r(x)\in K[x]$$ такие, что:

f(x)=g(x)q(x)+r(x) ;

либо r(x)=0, либо $$r(x)\ne 0$$, $$\deg r(x)<\deg g(x)$$.

Доказательство-алгоритм (деление многочленов столбиком).

Пусть f(x) = a_nxⁿ+...+a₁x+a₀, g(x) = b_sx^s+...+b₁x+b₀, $$b_s\ne 0$$.

Если n<s, то утверждение 1) очевидно:$$f(x)=g(x)\cdot 0+f(x).$$ Пусть $$n\geq s$$. Тогда:

$$\begin{fl} f(x)-\frac{a_n}{b_s}x^{n-s}g(x)=f_1(x)= a_{1,n_1}x^{n_1}+..., s \leq n_1<n,\\ f_1(x)-\frac{a_{1,n_1}}{b_s}x^{n_1-s}g(x)= \lefteqn{f_2(x)=a_{2,n_1}x^{n_2}+...,}\\[-\jot] s \leq n_2<n_1,\\ ...\\ f_{k-2}(x)-\frac{a_{k-2,n_{k-2}}}{b_s}x^{n_{k-2}-s}g(x)= \lefteqn{f_{k-1}(x)=a_{k-1,n_{k-1}}x^{n_{k-1}}+...,} \\ s \leq n_{k-1}<n_{k-2},\\ f_{k-1}(x)-\frac{a_{k-1,n_{k-1}}}{b_s}x^{n_{k-1}-s}g(x)= \lefteqn{f_k(x)=a_{k,n_k}x^{n_k}+...,}\\* \begin{cases} f_k(x)=0\text{ или}\\ n_k<\!s,\ n_k<n_{k-1}. \end{cases} \end{fl}$$

Складывая все эти равенства и сокращая, получаем$$f(x)-\left(\frac{a_n}{b_s}x^{n-s}+...+ \frac{a_{k-1,n_{k-1}}}{b_s}x^{n_{k-1}-s}\right)g(x)=f_k(x),$$ т. е. f(x)=q(x)g(x)+r(x), где$$\begin{ga} q(x)=\frac{a_n}{b_s}x^{n-s}+...+ \frac{a_{k-1,n_{k-1}}}{b_s}x^{n_{k-1}-s},\\ r(x)=f_k(x),\quad r(x)=0 \text{ или } \deg(r(x))<s=\deg g(x). \end{ga}$$

Если f(x)=g(x)q(x)+r(x)=g(x)q'(x)+r'(x), при этом r(x),r'(x) или равны нулю, или имеют степень, меньшую чем $$\deg g(x)=s$$, то g(x)(q(x)-q'(x))=r'(x)-r(x). Если $$q(x)-q'(x)\ne 0$$, то получаем противоречие, поскольку степень левой части $${\ge}\,\deg g(x)$$, а многочлен в правой части или нулевой, или его степень $${<}\,\deg g(x)$$. Итак, q(x)=q'(x), и поэтому r'(x)=r(x).

Замечание 1.13.9. Если K - подполе поля K' (например, $$K=Q \subset R=K'$$ ), $$f(x),g(x)\in K[x]\subseteq K'[x]$$, f(x)=g(x)q(x)+r(x) - деление с остатком в кольце многочленов K'[x], то $$q(x),r(x)\in K[x]$$.

Определение 1.13.10. Пусть $$f(x),\varphi(x)\in K[x]$$, $$\varphi(x)\ne 0$$. Будем говорить, что многочлен f(x) делится на $$\varphi(x)$$, если $$f(x)=\varphi(x)q(x)$$ (т. е. остаток r(x) при делении на $$\varphi(x)$$ равен нулю).

Замечание 1.13.11. Совокупность $$\varphi(x)K[x]=\{\varphi(x) f(x)\mid \allowbreak f(x)\in K[x]\}$$ всех многочленов, делящихся на $$\varphi(x)$$, является идеалом в кольце K[x] (называемым главным идеалом, порожденным $$\varphi(x)$$ ).

Упражнение 1.13.12. Пусть K - поле. Покажите, что кольцо многочленов K[x] является коммутативным кольцом главных идеалов.

Отметим ряд свойств делимости многочленов.

Лемма 1.13.13. Если f(x) делится на g(x), g(x) делится на h(x), то f(x) делится на h(x).

Доказательство. Действительно, если f(x)=g(x)q(x), $$g(x)=h(x)\tilde q(x)$$, то $$f(x)=h(x)\tilde q(x)q(x)$$.

Лемма 1.13.14. Если f(x) и g(x) делятся на h(x), то f(x)+g(x), f(x)-g(x) делятся на h(x).

Доказательство. Действительно, если f(x)=h(x)q(x), $$g(x)=h(x)\tilde q(x)$$, то $$f(x)\pm g(x)=h(x)(q(x)\pm\tilde q(x))$$.

Лемма 1.13.15. Если многочлен f(x) делится на h(x), $$g(x)\in K[x]$$, то f(x)g(x) делится на h(x).

Доказательство. Действительно, если f(x)=h(x)q(x), то f(x)g(x)=h(x)(q(x)g(x)).

Лемма 1.13.16. Если f₁(x),...,f_k(x) делятся на h(x), $$g_1(x),..., \allowbreak g_k(x)\in K[x]$$, то f₁(x)g₁(x)+...+f_k(x)g_k(x) делится на h(x).

Доказательство. Действительно, это вытекает из лемм 1.13.15 и 1.13.14.

Лемма 1.13.17. Если $$0\ne c\in K$$, то любой многочлен $$f(x)\in K[x]$$ делится на c.

Доказательство.Действительно, f(x)=c(c^-1f(x)).

Лемма 1.13.18. Если f(x) делится на $$\varphi(x)$$ и $$0\ne c\in K$$, то f(x) делится на $$c\varphi(x)$$.

Доказательство.Действительно, если $$f(x)=\varphi(x)q(x)$$, то $$f(x)=(c\varphi(x))(c^{-1}q(x))$$.

Лемма 1.13.19. Многочлены вида cf(x), $$0\ne c\in K$$, и только они являются делителями многочлена f(x), имеющими степень $$\deg f(x)$$.

Лемма 1.13.20. Многочлен f(x) делится на g(x) и g(x) делится на f(x) тогда и только тогда, когда g(x)=cf(x), $$0\ne c\in K$$.

Лемма 1.13.21. Многочлены f(x) и cf(x), $$0\ne c\in K$$, обладают одинаковым запасом делителей в кольце K[x].

Определение 1.13.22. Пусть $$f(x),g(x)\in K[x]$$. Многочлен $$d(x)\in K[x]$$ называется наибольшим общим делителем (НОД) многочленов f(x) и g(x), если:

d(x) - общий делитель многочленов f(x) и g(x) (т. е. f(x)=d(x)q(x), $$g(x)=d(x)\tilde q(x)$$ );

для любого общего делителя d'(x) многочленов f(x) и g(x) многочлен d(x) делится на d'(x).

Обозначение: $$d(x)=\NOD(f(x),g(x))$$.

Замечание 1.13.23. Из 2) следует, что deg d(x) >= deg d'(x), т. е. что $$d(x)$$ - общий делитель наибольшей степени. Правда, нам еще надо установить существование $$\NOD$$ в нашем смысле.

Теорема 1.13.24 (алгоритм Евклида). Для любых $$f(x),g(x)\in K[x]$$:

существует наибольший общий делитель d(x) многочленов f(x) и g(x) ;

$$d(x)=\NOD(f(x),g(x))$$ находится по процедуре последовательного деления,восходящей к Евклиду;

наибольший делитель d(x) определен однозначно с точностью до ненулевой константы $$0\ne c\in K$$.

Доказательство. 1), 2) Рассмотрим процедуру Евклида:

$$\begin{alignat*}{2} f(x)=g(x)q_1(x)+r_1(x), \deg r_1(x)<\deg g(x);\\ g(x)=r_1(x)q_2(x)+r_2(x), \deg r_2(x)<\deg r_1(x);\\ r_1(x)=r_2(x)q_3(x)+r_3(x), \deg r_3(x)<\deg r_2(x);\\ ...\\ r_{k-3}(x)=r_{k-2}(x)q_{k-1}(x)\!+\! r_{k-1}(x), \quad \deg r_{k-1}(x)<\deg r_{k-2}(x);\\ r_{k-2}(x)=r_{k-1}(x)q_k(x)+r_k(x), \deg r_k(x)<\deg r_{k-1}(x);\\ r_{k-1}(x)=r_k(x)q_{k+1}(x). \end{alignat*} $$

а) Поднимаясь последовательно вверх, мы видим, что r_k(x) - общий делитель многочленов g(x) и f(x).

б) Если d'(x) - общий делитель многочленов f(x) и g(x), то, опускаясь последовательно вниз, мы видим, что d'(x) - делитель многочлена d(x).

3) Если d(x) и d'(x) - два наибольших общих делителя, то они делятся друг на друга, и поэтому d'(x)=cd(x), $$0\ne c\in P$$. Ясно, что если d(x) - наибольший общий делитель и $$0\ne c\in P$$, то cd(x) - также наибольший общий делитель.

Теорема 1.13.25 (о выражении наибольшего общего делителя через исходные многочлены). Если $$f(x),g(x)\in K[x]$$ и $$d(x)=\NOD(f(x),g(x))$$, то существуют многочлены $$u(x),v(x)\in K[x]$$ такие, что d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x) (если при этом $$\deg f(x)>0$$, $$\deg g(x)>0$$, то можно считать, что$$\begin{align*} \deg u(x)<\deg g(x),\\ \deg v(x)<\deg f(x); \end{align*}$$ это позволяет искать многочлены u(x), v(x) с неопределенными коэффициентами).

Доказательство. Существование таких многочленов u(x), v(x) следует из алгоритма Евклида нахождения d(x)=r_k(x). Мы выражаем последовательно r_k(x) сначала через r_k-2(x) и r_k-1(x), потом, подставляя выражение r_k-1(x) через r_k-3(x) и r_k-2(x), через r_k-3(x) и r_k-2(x) и, завершая подъем, через g(x) и f(x).

Если найдены "плохие" u(x) и v(x), пусть, например, $$\deg u(x)\pgeq \deg g(x)$$, то u(x)=g(x)q(x)+r(x), и поэтому d(x)=f(x)r(x)+g(x)[v(x)+f(x)q(x)]. Из сравнения степеней следует, что $$\deg(v(x)\+f(x)q(x))\!<\!\deg f(x)$$, поскольку $$\deg(f(x)r(x))\!<\!\deg f(x)\!+\!\deg g(x)$$, $$\deg d(x)\pleq\deg f(x)$$, $$\deg d(x)\pleq\deg g(x)$$.

Определение 1.13.26. Многочлены $$f(x),g(x)\in K[x]$$ из кольца многочленов K[x] над полем K называются взаимно простыми, если их наибольший делитель d(x) равен 1 (т. е. их общие делители - это лишь ненулевые многочлены нулевой степени $$0\ne c\in K$$ ).

Теорема 1.13.27. Многочлены $$f(x),g(x)\in K[x]$$ взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены $$u(x),v(x)\in K[x]$$, что f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

Доказательство.

Если многочлены f(x) и g(x) взаимно просты, то для их наибольшего делителя d(x) имеем равенство d(x)=1. Принимая во внимание выражение многочлена d(x) через f(x) и g(x), получаем, что для некоторых $$u(x),v(x)\in K[x]$$ f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

Если для $$u(x),v(x)\in K[x]$$ имеем f(x)u(x)+g(x)v(x)=1, то любой общий делитель многочленов f(x) и g(x) является делителем многочлена 1. Таким образом, $$\NOD(f(x),g(x))=1$$, другими словами, многочлены f(x) и g(x) взаимно просты.

Замечание 1.13.28. Многочлены f(x) и g(x) взаимно просты тогда и только тогда, когда K[x]f(x)+K[x]g(x)=K[x] (идеал кольца K[x], порожденный многочленами f(x) и g(x), совпадает со всем кольцом многочленов K[x] ).

Теорема 1.13.29 (основные свойства взаимно простых многочленов). Пусть $$f(x),g(x),\varphi(x),\psi(x)\in K[x]$$.

Если $$\NOD(f,\varphi)=1$$, $$\NOD(f,\psi)=1$$, то $$\NOD(f,\varphi\psi)=1$$.

Если fg делится на $$\varphi$$ и $$\NOD(f,\varphi)=1$$, то g делится на $$\varphi$$.

Если f делится на $$\varphi$$ и делится на $$\psi$$, $$\NOD(\varphi,\psi)=1$$, то f делится на $$\varphi\psi$$.

Доказательство.

1) Пусть $$fu+\varphi v=1$$ для $$u(x),v(x)\in K[x]$$. Умножая это равенство на $$\psi$$, получаем $$f(u\psi)+(\varphi\psi)v=\psi$$. Отсюда следует, что любой общий делитель многочленов f и $$\varphi\psi$$ является делителем многочлена $$\psi$$, но многочлены f и $$\psi$$ взаимно просты. Таким образом, $$\NOD(f,\varphi\psi)=1$$.

2) Пусть для $$u(x),v(x)\in K[x]$$ имеем $$fu+\varphi v=1$$. Умножив это равенство на g(x), получим $$(fg)u+\varphi(vg)=g$$, и поэтому многочлен g делится на $$\varphi$$, поскольку оба слагаемых в левой части делятся на $$\varphi$$.

3) Пусть $$f=\varphi q$$, где $$q(x)\in K[x]$$. Так как $$f=\varphi q$$ делится на $$\psi$$ и $$\NOD(\varphi,\psi)=1$$, то, в силу 2), $$q=\psi\chi$$, где $$\chi(x)\in K[x]$$. Итак: $$f=\varphi q=(\varphi\psi)\chi$$

Замечание 1.13.30. Определив наибольший общий делитель $$d(x)=\NOD(f_1(x),...,f_s(x))$$ многочленов $$f_1(x),...,f_s(x)\in K[x],\quad s \geq 1$$, как такой делитель этих многочленов f₁(x),...,f_s(x), который делится на любой их общий делитель, получаем, проводя индукцию по s, что $$d(x)=\NOD(f_s(x),\NOD(f_1(x),...,f_{s-1}(x)))$$.

Упражнение 1.13.31. Если $$f(x)=x(x-1),\ g(x)=x(x-2),\ h(x)=(x-1)(x-2) \in R[x]$$, то $$\begin{ga} \NOD(f,g)=x,\quad \NOD(f,h)=x-1,\\ \NOD(g,h)=x-2,\quad \NOD(f,g,h)=1. \end{ga}$$

Замечание 1.13.32. В алгоритме Евклида можно для удобства делимое и делитель на каждом шаге умножать на любые ненулевые числа (при этом мы не заботимся о точном вычислении коэффициентов в частных q_i(x) ).

Пример 1.13.33. Найти $$\NOD(f(x),g(x))$$, где

$$\begin{align*} f(x) = 2x^4+2x^3+x^2-x-1,\\ g(x) = 3x^4+2x^2-x+2. \end{align*} $$

Решение. 3f(x)=g(x)q₁(x)+r₁(x), где q₁(x)=2, r₁(x)=6x³-x²-x-7. Делим 2g(x) на r₁(x):

$$\begin{array}{r@{}r@{}r@{}r@{}rr@{}c@{}r@{}r@{}r} 6x^4 {}+{}0x^3 {}+{}4x^2 {}-{}2x \multicolumn{1}{r|}{{}+{}4} {}6x^3 {}-{} x^2 {}-{}x {}-{}7\\ \cline{6-9} 6x^4 {}-{}x^3 {}-{}x^2 {}-{}7x \multicolumn{1}{r|}{} x\hphantom{{}^3} \vdots 1\hphantom{{}^2}\\ \cline{1-5} \rule{0pt}{15pt} x^3 {}+{}5x^2 {}+{}5x {}+{}4\\ \multicolumn{4}{@{}c@{}}{\dotfill}\\ 6x^3 {}+{}30x^2 {}+{}30x {}+{}24\\ 6x^3 {}-{}x^2 {}-{}x {}-{}7\\ \cline{2-5} \rule{0pt}{15pt} 31x^2 {}+{}31x {}+{}31 \end{array}$$

Многоточием ... отмечено место, в котором мы произвели домножение на 6 (соответственно многоточие $$\vdots$$ показывает, что мы не находим точные коэффициенты для q₂(x) ). Таким образом, g(x)=r₁(x)q₂(x)+r₂(x), где с точностью до ненулевого множителя r₂(x)=x²+x+1. Далее,

$$\begin{array}{r@{}r@{}r@{}rr@{}r@{}r} 6x^3 {}-{}x^2 {}-{}x \multicolumn{1}{r|}{{}-{}7} x^2 {}+{}x {}+{}1\\ \cline{5-7} 6x^3 {}+{}6x^2 {}+{}6x \multicolumn{1}{r|}{} 6x {}-{}7\\ \cline{1-4} \rule{0pt}{15pt} {}-{}7x^2 {}-{}7x {}-{}7\\ {}-{}7x^2 {}-{}7x {}-{}7\\ \cline{2-4} \rule{0pt}{15pt} 0 \end{array}$$

То есть r₁(x) делится нацело на r₂(x). Итак, $$\NOD(f(x),g(x))=x^2+x+1$$.

Упражнение 1.13.34. Наибольший общий делитель d(x) многочленов f(x) = 3x⁵-4x⁴+x³-3x²+4x-1 и g(x) = 3x⁵+5x⁴+x³-x²-3x+1 представить в виде d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x), где u(x), v(x) - многочлены степеней, меньших чем степени многочленов g(x) и f(x) соответственно.

Решение. Сначала с помощью алгоритма Евклида находим d(x)=3x³+2x²+2x-1, при этом

$$\begin{align*} f_1(x) = \frac{f(x)}{d(x)} = x^2-2x+1,\\ g_1(x) = \frac{g(x)}{d(x)} = x^2+x-1. \end{align*} $$

Ищем многочлены u(x) и v(x) такие, что 1=f₁(x)u(x)+g₁(x)v(x).

Так как степени многочленов u(x) и v(x) должны быть меньше двух, то u(x)=ax+b, v(x)=cx+d, где $$a,b,c,d\inR$$. Приравнивая в коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, получаем систему линейных уравнений для a, b, c, d. Решая эту систему, получаем, что a=3, b=5, c=-3, d=4. Итак, d(x)=3x³+2x²+2x-1=f(x)(3x+5)+g(x)(-3x+4).

Определение 1.13.35. Пусть K - поле, $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\in K[x],\quad a_n,...,a_0\in K$$. Если $$c\in K$$, то элемент $$f(c)=a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+...+a_1c+a_0\in K$$ назовем значением многочлена f(x) при x=c. Таким образом, получаем отображения: $$f: K\to K,\quad c\mapsto f(c)$$ (полиномиальная функция, определяемая многочленом f(x) ); $$K[x]\to K,\quad f(x)\mapsto f(c)$$ (ясно, что если f(x)=g(x) в K[x], то f(c)=g(c) для всех $$c\in K$$ ).

Лемма 1.13.36. Если в K[x] $$\varphi(x)=f(x)+g(x),\quad \psi(x)=f(x)g(x)$$ и $$c\in K$$, то $$\varphi(c)=f(c)+g(c),\quad \psi(c)=f(c)g(c)$$. Таким образом, отображение $$\Delta_c: K[x]\to K,\quad f(x)\mapsto f(c)$$, является гомоморфизмом колец (при этом $$\text{Ker}\Delta_c=\{f(x)\in K[x] \mid\allowbreak f(c)=0\}$$ ).

Доказательство следует из определения сложения и умножения многочленов в кольце K[x].

Определение 1.13.37. Элемент $$c\in K$$ называется корнем многочлена $$f(x)\in K[x]$$, если f(c)=0 .

Теорема 1.13.38 (Безу). Пусть $$c\in K$$. Остаток от деления многочлена f(x) в кольце K[x] на множитель x-c равен значению f(c) многочлена f(x) при x=c.

Доказательство. В силу алгоритма деления f(x)=(x-c)q(x)+r(x), где или r(x)=0, или $$\deg r(x)=0$$, и поэтому $$r(x)=r\in K$$. Итак, f(x)=(x-c)q(x)+r, следовательно, f(c)=(c-c)q(c)+r=r, и поэтому f(x)=(x-c)q(x)+f(c).

Следствие 1.13.39. Элемент $$c\in K$$ является корнем многочлена $$f(x)\in K[x]$$ тогда и только тогда, когда многочлен f(x) делится на x-c.

Замечание 1.13.40.

Если $$a,b\in K$$, $$a\ne 0$$, то делимость многочлена $$f(x)\in K[x]$$ на многочлен $$ax+b=a\left(x-\left(-\sfrac{b}{a}\right)\right)$$ равносильна делимости на многочлен x-c, $$c=-\sfrac{b}{a}$$, и поэтому нахождение корней многочлена $$f(x)\in K[x]$$ в поле K равносильно нахождению его линейных делителей в кольце K[x].

Если $$c\in K$$, $$\Delta_c: K[x]\to K$$, $$\Delta_c(f)=f(c)$$, то $$\text{Ker}\Delta_c=\{f(x)\in K[x]\mid f(c)=0\}= (x-c)K[x]=I_c$$ (главный идеал в кольце K[x], порожденный многочленом x-c ).

Замечание 1.13.41 (схема (алгоритм) Горнера деления многочлена $$\boldsymbol{f(x)\in K[x]}$$ на линейный многочлен $$\boldsymbol{x-c}$$, $$\boldsymbol{c\in K}$$ )

Пусть $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\in K[x]$$,

$$\begin{gathe} f(x)=(x-c)q(x)+r,\quad r\in K, \\ q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0\in K[x]. \end{gathe} $$

Тогда, приравнивая коэффициенты при xⁿ,x^n-1,...,x,1, соответственно получаем

$$\begin{align*} a_n = b_{n-1}; \\ a_{n-1}=b_{n-2}-cb_{n-1}; \\ a_{n-2}=b_{n-3}-cb_{n-2}; \\[-1pt] ... \\[-1pt] a_k = b_{k-1}-cb_k; \\[-1pt] ... \\[-1pt] a_1=b_0-cb_1; \\ a_0=r-cb_0. \end{align*} $$

Пересчитывая, получаем

$$\begin{align*} b_{n-1}=a_n; \\ b_{n-2}=cb_{n-1}+a_{n-1}; \\ b_{n-3}=cb_{n-2}+a_{n-2}; \\[-1pt] ... \\[-1pt] b_{k-1}=cb_k+a_k; \\[-1pt] ... \\[-1pt] b_0=cb_1+a_1; \\ r=cb_0+a_0. \end{align*} $$

Таким образом, коэффициенты частного

Пример 1.13.42. Пусть f(x)=2x⁴-x²+3x-2, c=-2. Тогда

$$\renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} 2 0 -1 3 -2 \\ \hline -2 2 -4 7 -11 20 \end{array}\ \$$

поэтому f(x)=(x+2)q(x)+20, где q(x)=(x+2)(2x³-4x²+7x-11).

Замечание 1.13.43.

Схема Горнера дает быстрый алгоритм вычисления значения r=f(c) многочлена $$f(x)\in K[x]$$ в точке c (минимизируя число умножений).

Последовательное применение схемы Горнера позволяет построить эффективный алгоритм записи многочлена f(x) в виде формулы Тейлора по степеням (x-c). А именно, при первом применении схемы Горнера крайний правый коэффициент равен f(c), при втором применении крайний справа коэффициент равен f'(c), при третьем - $$\frac{f''(c)}{2!}$$, и так далее. Таким образом, если $$\deg f(x)=n$$, то $$f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2+...+ \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n$$ (формула Тейлора).

Например, для f(x)=x⁴-6x³-2x²+5x-4 и c=5 имеем

$$\renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{array}{c|c|c|c|c|l} 1 -6 -2 5 -4\ \vline \\ \cline{1-6} 5 1 -1 -7 -30 -154=f(5) \\ \cline{1-5} 5 1 4 13 \multicolumn{2}{l}{\lefteqn{35=f'(5)}} \\ \cline{1-4} 5 1 9 \multicolumn{3}{l}{\lefteqn{58=\sfrac{f''(5)}{2!}}} \\ \cline{1-3} 5 1 \multicolumn{4}{l}{\lefteqn{14=\sfrac{f^{(3)}(5)}{3!}}} \\ \cline{1-2} \multicolumn{5}{l}{1=\lefteqn{\sfrac{f^{(4)}(5)}{4!}}} \end{array}$$

Таким образом, f(x)=(x-5)⁴+14(x-5)³+58(x-5)²+35(x-5)-154.

Определение 1.13.44.Пусть $$f(x)\in K[x]$$, $$c\in K$$, и c - корень многочлена f(x), т. е. f(c)=0. По теореме Безу многочлен f(x) делится на x-c. Возможно, многочлен f(x) делится на более высокие степени многочлена x-c. Пусть $$k\inN$$ - такое натуральное число, что f(x) делится на (x-c)^k, но не делится на (x-c)^k+1, поэтому $$f(x)=(x-c)^k \varphi(x)$$, многочлен $$\varphi(x)\in K[x]$$ уже не делится на x-c (это равносильно тому, что $$\varphi(c)\ne 0$$ ). В этом случае число k назовем кратностью корня c многочлена f(x), а сам корень c - k -кратным корнем многочлена f(x). Если k=1, то корень c называется простым корнем многочлена f(x).

Замечание 1.13.45. Понятие абстрактного линейного пространства мы детально рассмотрим в лекции 9, после того как изучим ряд конкретных линейных пространств.

Понятие алгебры над полем (как кольца, являющегося к тому же и линейным пространством) будет рассмотрено в лекции 8.

Страницы: