Кольца. Поля. Идеалы и гомоморфизмы колец

Кольца

Множество R с двумя бинарными операциями (сложением + и умножением $$\cdot$$ ) называется ассоциативным кольцом с единицей , если:

Если операция умножения коммутативна, то кольцо $$(R,{+},{\cdot})$$ называется коммутативным кольцом. Коммутативные кольца являются одним из главных объектов изучения в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.

Замечания 1.10.1.

Примеры 1.10.2 (примеры ассоциативных колец).

Мы уже убедились, что группа вычетов (Zn,+)={C0,C1,...,Cn-1}, Ck=k+nZ, по модулю n с операцией сложения $$C_k+C_l=C_{k+l}=C_r,\ \ \text{где}\ \ k+l=nq+r,\ 0 \leq r \leq n-1$$, является коммутативной группой (см. пример 1.9.4, 2)).

Определим операцию умножения, полагая $$C_k\cdot C_l=C_{kl}=C_s,\ \ \text{где}\ \ kl=n\tilde q+s,\ 0 \leq s \leq n-1$$. Проверим корректность этой операции. Если Ck=Ck', Cl=Cl', то k'=k+nu, l'=l+nv, $$k'\cdot l'=kl+n(kv+ul+nuv)$$, и поэтому Ck'l'=Ckl.

Так как (CkCl)Cm=C(kl)m=Ck(lm)=Ck(ClCm), CkCl=Ckl=Clk=ClCk, C1Ck=Ck=CkC1, (Ck+Cl)Cm=C(k+l)m=Ckm+lm=CkCm+ClCm, то $$(Z_n,{+},{\cdot})$$ является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей C1 кольцом вычетов по модулю n ).

Свойства колец (R,+,.)

Лемма 1.10.3 (бином Ньютона). Пусть R - кольцо с 1, $$n\in N$$, $$a,b,a_1,a_2,...,a_s\in R$$. Тогда:

Доказательство.

Определение 1.10.4. Подмножество S кольца R называется подкольцом, если:

а) S - подгруппа относительно сложения в группе (R,+) ;

б)для $$a,b\in S$$ имеем $$ab\in S$$ ;

в)для кольца R с 1 предполагается, что $$1\in S$$.

Примеры 1.10.5 (примеры подколец). $${\mathbb Z} \subset {\mathbb Q} \subset {\mathbb R}$$

Задача 1.10.6. Описать все подкольца в кольце вычетов Zn по модулю n.

Замечание 1.10.7. В кольце Z10 элементы, кратные 5, образуют кольцо с 1, не являющееся подкольцом в Z10 (у этих колец различные единичные элементы).

Определение 1.10.8. Если R - кольцо, $$a,b\in R$$ и $$a\ne 0$$, $$b\ne 0$$, ab=0, то элемент a называется левым делителем нуля в R, элемент b называется правым делителем нуля в R.

Замечание 1.10.9. В коммутативных кольцах, естественно, нет различий между левыми и правыми делителями нуля.

Пример 1.10.10. В Z, Q, R нет делителей нуля.

Пример 1.10.11. Кольцо непрерывных функций C[0,1] имеет делители нуля. Действительно, еслито $$f\ne 0$$, $$g\ne 0$$, fg=0.

Пример 1.10.12. Если n=kl, 1<k,l<n, то $$C_k\ne C_0$$, $$C_l\ne C_0$$, но CkCl=C0, т. е. кольцо вычетов Z_n по составному числу n имеет делители нуля.

Лемма 1.10.13. Если в кольце R нет (левых) делителей нуля, то из ab=ac, где $$0\ne a\in R$$, $$b,c\in R$$, следует, что b=c (т. е. возможность сокращать на ненулевой элемент слева, если нет левых делителей нуля; и справа, если нет правых делителей нуля).

Доказательство. Если ab=ac, то a(b-c)=0. Так как a не является левым делителем нуля, то b-c=0, т. е. b=c.

Определение 1.10.14. Элемент $$x\in R$$ называется нильпотентным, если xn=0 для некоторого $$0<n\in N$$ . Наименьшее такое натуральное число n называется степенью нильпотентности элемента .

Ясно, что нильпотентный элемент является делителем нуля (если n>1, то $$x\cdot x^{n-1}=0$$, $$x^{n-1}\ne 0$$ ). Обратное утверждение неверно (в Z6 нет нильпотентных элементов, однако 2, 3, 4 - ненулевые делители нуля).

Упражнение 1.10.15. Кольцо Zn содержит нильпотентные элементы тогда и только тогда, когда n делится на m2, где $$m\in N$$, $$m\ne 1$$.

Определение 1.10.16. Элемент x кольца R называется идемпотентом, если x2=x . Ясно, что 02=0, 12=1. Если x2=x и $$x\ne 0$$, $$x\ne 1$$, то x(x-1)=x2-x=0, и поэтому нетривиальные идемпотенты являются делителями нуля.

Через U(R) обозначим множество обратимых элементов ассоциативного кольца R, т. е. тех $$r\in R$$, для которых существует обратный элемент s=r-1 (т. е. rr-1=1=r-1r ).

Лемма 1.10.17. U(R) является группой относительно операции умножения.

Доказательство.

Пример 1.10.18. U(Z)={1,-1}, $$U(Q)=Q^*=Q\setminus\{0\}$$, U(R)=R*.

Пример 1.10.19. $$U(C[0,1])=\{f\in C[0,1]\mid f(x)\ne 0\ \forall x\in [0,1]\}$$.

Пример 1.10.20. Пусть Zm={C0,C1,...,Cm-1}, Ck=k+mZ, - кольцо вычетов по модулю m. Отметим, что $$k+mZ\in U(Z_m)$$, $$k\inZ$$, тогда и только тогда, когда (k+mZ)(l+mZ)=1+mZ для некоторого $$l\inZ$$, т. е. kl+mZ=1+mZ, что означает kl=1+mq, $$q\inZ$$, т. е. (k,m)=1.

Итак, $$|U(Z_m)|=\varphi(m)$$, где $$\varphi(m)$$ - число натуральных чисел $$1 \leq k<m$$, не имеющих нетривиальных общих делителей с числом m (функция Эйлера). В частности, $$\varphi(1)=1$$, $$\varphi(2)=1$$, $$\varphi(3)=2$$, $$\varphi(4)=2$$, $$\varphi(p)=p-1$$ для простого числа p. Более того, если $$p\in N$$, то $$\varphi(p)=p-1$$ тогда и только тогда, когда p - простое число.

Задача 1.10.21. Докажите, что группа U(Zn) циклическая тогда и только тогда, когда $$n\in \{2,4,p^{\alpha}, 2p^{\alpha}\}$$, где p - нечетное простое число.

Поля

Определение 1.11.1. Ассоциативное коммутативное кольцо K с 1, в котором для любого ненулевого элемента $$a\in K$$ существует обратный элемент a-1, называется полем .

Лемма 1.11.2. Если K - поле, то уравнение ax=b, где $$a\ne 0$$, имеет одно и только одно решение (именно, a-1b ).

Доказательство. Если ax=b, то x=a-1ax=a-1b. Если x=a-1b, то ax=a(a-1b)=b.

Теорема 1.11.3. В поле K нет делителей нуля.

Доказательство. Допустим, что $$a,b\in K$$, $$a\ne 0$$, $$b\ne 0$$ и ab=0. Тогда b=a-1(ab)=a-10=0, противоречие.

Замечание 1.11.4. Обратное утверждение неверно. В кольце Z целых чисел нет делителей нуля, но оно не является полем.

Пример 1.11.5. Q, R, Z2 - поля.

Теорема 1.11.6. Кольцо вычетов Zn является полем полем вычетов тогда и только тогда, когда n=p является простым числом.

Доказательство. Если n=p - простое число, то Zp - кольцо без делителей нуля (действительно, если CkCl=C0, $$C_k\ne C_0$$, $$C_l\ne C_0$$, то kl=pq, но k и l не делятся на p, что приводит к противоречию). Доказательство завершает следующая лемма.

Лемма 1.11.7. Конечное коммутативное кольцо без делителей нуля является полем.

Доказательство. Пусть R={r0=0,r1=1,...,rn-1} - кольцо из n элементов без делителей нуля. Для $$r_k\ne 0$$, $$1 \leq k \leq n-1$$, все произведения rkr1,...,rkrn-1 различны, поскольку r_k не является делителем нуля. Следовательно, найдется i, для которого rkri=1, т. е. $$r_i=r_k^{-1}$$.

Лемма 1.11.8. Пересечение $$\bigcap\limits_{i\in I}K_i$$ любого семейства подполей Ki, $$i\in I$$, поля K является подполем.

Упражнение 1.11.9. Через $$Q[\sqrt{2}]$$ обозначим наименьшее подполе в R, содержащее поле Q и элемент $$\sqrt{2}$$ (существующее по лемме 1.11.8). Покажите, что поля $$Q[\sqrt{2}]$$ и $$Q[\sqrt{3}]$$ не являются изоморфными.

Определение 1.11.10. Рассмотрим поле K как абелеву группу (K,+) относительно сложения, пусть O(1) - порядок элемента 1 в этой группе. Если $$O(1)=\infty$$, то говорят, что характеристика char K поля K равна 0 (т. е. для любых целых чисел $$k,l\in Z$$ из $$k\ne l$$ следует, что $$k\cdot 1\ne l\cdot 1$$ в K ). Если $$O(1)=p<\infty$$, то полагают char K=p и говорят, что K - поле конечной характеристики p (т. е. p - наименьшее натуральное число, для которого $$p\cdot 1=\smash[b]{\underbrace{1+...+1}_p}=0$$ ).

Примеры 1.11.11.

Теорема 1.11.12. Если K - поле и char K=p>0, то p - простое число.

Доказательство. Допустим противное, т. е. что p=st, где 1<s,t<p. Тогда$$(s\cdot 1)(t\cdot 1)= (\underbrace{1+...+1}_s)(\underbrace{1+...+1}_t)= st\cdot 1=p\cdot 1=0,$$ но $$s\cdot 1\ne 0$$, $$t\cdot 1\ne 0$$ в поле K, что противоречит отсутствию делителей нуля в поле.

Идеалы и гомоморфизмы колец

Определение 1.12.1. Пусть R - кольцо. Подмножество $$\emptyset\ne I\subset R$$ называется левым идеалом кольца R, если:

Аналогично определяется правый идеал: вместо 2) условие

2') $$Ir\subseteq I$$ для любого элемента $$r\in R$$ (т. е. $$ir\in I$$ для всех $$i\in I$$ ).

Если подмножество I в кольце R является и левым и правым идеалом, то I называется двусторонним идеалом кольца R (т. е. I - подгруппа в (R,+), $$rI\subseteq I$$, $$Ir\subseteq I$$ для всех $$r\in R$$ ). Для двустороннего идеала I кольца R будем использовать обозначение $$I\lhd R$$.

Примеры 1.12.2.

Упражнение 1.12.3. Покажите, что в кольце целых чисел $$(Z,{+},{\cdot})$$ каждый идеал имеет вид Z n, $$n\inZ$$, т. е. каждый идеал является главным (такие коммутативные кольца называются кольцами главных идеалов).

Пусть R и R' - кольца. Отображение $$f: R\to R'$$ называется гомоморфизмом колец, если f(a+b)=f(a)+f(b) и f(ab)=f(a)f(b) для всех $$a,b\in R$$ .

Через Im f обозначим образ гомоморфизма f, т. е. $$\text{Im} f =\{f(r)\in R'\mid r\in R\};$$ через Ker f - ядро гомоморфизма f, т. е. $$\text{Ker} f=\{a\in R\mid f(a)=0\}$$. Если гомоморфизм f является биекцией, то f называется изоморфизмом колец .

Отметим ряд свойств гомоморфизмов колец $$f: R\to R'$$.

Упражнение 1.12.4. Если R - коммутативное кольцо, то R - поле тогда и только тогда, когда в R нет идеалов, отличных от {0} и R.

Упражнение 1.12.5. Отображение $$Z_3\toZ_6$$, при котором $$k+3Z\mapsto 4k+6Z$$, является инъективным гомоморфизмом колец.