Одним из основных общематематических понятий является понятие группы.
Определение 1.9.1.
(a*b)*c=a*(b*c) для всех $$a,b,c\in G$$ );g*e=g=e*g для всех $$g\in G$$ );g*g-1=e=g-1*g ).Замечание 1.9.2. Напомним, что нейтральный элемент (при мультипликативной записи называемый единицей группы) единственный. Обратный элемент g-1 для элемента $$g\in G$$ определен однозначно. Коммутативная группа часто называется абелевой группой.
Лемма 1.9.3. Если G - группа, $$a,b\in G$$, то
ax=b имеет, и только одно, решение x=a-1b ;ya=b имеет, и только одно, решение y=ba-1 ;ab=ac, то b=c ; если ba=ca, то b=c ;x2=x, то x=e ;(ab)-1=b-1a-1; (a1... an)-1=an-1... a1-1; (a-1)-1=a.Доказательство.
1) Ясно, что a(a-1b)=b. Если же ax=b для $$x\in G$$, то x=a-1ax=a-1b.
2) Ясно, что (ba-1)a=b. Если же ya=b для $$y\in G$$, то y=(ya)a-1=ba-1.
3) и 4) следуют из 1) и 2).
5) проверяется непосредственно.
Примеры 1.9.4 (примеры групп).
Z, рациональные числа Q, действительные числа R с операцией сложения. Заметим, что: а) натуральные числа N с операцией сложения группой не являются (отсутствует нейтральный элемент); б) натуральные числа с нулем N0 также не являются группой (обратный элемент (в аддитивной записи обычно называемый противоположным элементом) существует только для 0 ; таким образом, например, 1 уже не имеет обратного элемента).Группа вычетов (Zn,+) по модулю n. Пусть (Z,+) - группа целых чисел по сложению, $$1<n\in N$$. Для $$k\in Z$$ пусть $$C_k=k+nZ=\{k+nq\mid q\in Z\}
$$
(сдвиг подгруппы nZ на элемент k ). Ясно, что Ck=Cl, $$l\in Z$$, тогда и только тогда, когда k-l=nq, $$q\in Z$$. Так как $$k=nq+r,\ \ \text{где}\ \ q\inZ,\ \ 0 \leq r<n$$,
то Ck=Cr. Таким образом, множество различных сдвигов Zn={C0,C1,...,Cn-1}
находится в биективном соответствии с множеством остатков {0,1,2,...,n-1} при делении на число n.
Определим операцию сложения на множестве Zn, полагая $$C_k+C_l=C_{k+l}=C_s,\ \ \text{где}\ \
k+l=n\bar q+s,\ \ 0 \leq s \leq n-1,\ \ \bar q\in Z$$.
Проверим корректность этой операции. Если Ck=Ck', Cl=Cl', то k'=k+nu, l'=l+nv, $$u,v\inZ$$, следовательно, k'+l'=(k+nu)+(l+nv)=(k+l)+n(u+v),
и поэтому Ck'+l'=Ck+l.
Так как для $$k,l,m\inZ$$ (Ck+Cl)+Cm=C(k+l)+m=Ck+(l+m)=Ck+(Cl+Cm),
Ck+Cl=Ck+l=Cl+k=Cl+Ck,
то эта операция ассоциативна и коммутативна. Ясно, что C0 является нейтральным элементом в (Zn,+), а элемент C-k является противоположным элементом для Ck.
Итак, (Zn,+) - коммутативная группа, называемая группой вычетов по модулю n (операция сложения - это в точности операция сложения остатков при делении на n по модулю числа n: сначала надо сложить остатки как целые числа, а затем взять остаток от деления этой суммы на n ). Мы отметили, что |Zn|=n.
В частности, имеем таблицы сложения для групп Z2 и Z3:
| + | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| + | 0 | 1 | 2 |
| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 |
Q*=Q\{0}, R*=R\{0} относительно умножения являются группами (называемыми мультипликативными группами соответствующих полей).G={1,-1} с операцией умножения является группой.Замечание 1.9.5. |M|>1 (существуют отображения $$f: M\to M$$, не являющиеся биекциями и, следовательно, не имеющие обратного отображения)
Упражнение 1.9.6.
c>0, $$G=\{r\in R\mid -c<r<c\}$$ (=(-c,c)).
Покажите, что (G,*) - группа, где $$a*b=\frac{a+b}{1+\frac{ab}{c^2}}
$$
(сложение скоростей в специальной теории относительности).G - группа, в которой x2=1 для всех $$x\in G$$, то G - абелева группа.Определение 1.9.7. Пусть G - группа, $$a\in G$$, $$n\in Z$$ - целое число. Положим$$a^n=
\begin{cases}
\underbrace{a\cdot a\cdot...\cdot a}_{n}\,, \text{если } n>0,\\[-3pt]
e, \text{если } n=0,\\[6pt]
\underbrace{a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot...\cdot a^{-1}}_{m=-n}\,,
\text{если } n<0, \text{ где } m=-n>0.
\end{cases}$$
Замечание 1.9.8. Если m>0, то (a-1)m=(am)-1. Действительно, $$(\underbrace{a... a}_m)
(\underbrace{a^{-1}... a^{-1}}_m)=e=
(\underbrace{a^{-1}... a^{-1}}_m)
(\underbrace{a... a}_m)$$.
Теорема 1.9.9. Пусть G - группа, $$a\in G$$, $$m,n\in Z$$ - целые числа. Тогда $$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$.
Доказательство. Формально, мы должны рассмотреть $$3\times 3=9$$ случаев.
Случай 1. m>0, n>0 (следовательно, m+n>0 ). Тогда $$a^m\cdot a^n =
(\underbrace{a... a}_m)\cdot
(\underbrace{a... a}_n)=
\underbrace{a... a}_{m+n}= a^{m+n}$$.
Случай 2. m>0, n<0 (поэтому n'=-n>0 ). Тогда $$\begin{align*} a^m\cdot a^n =
(\underbrace{a... a}_m)\cdot
(\underbrace{a^{-1}... a^{-1}}_{n'=-n})={}
\\ \ \ {}=\!
\begin{cases}
\underbrace{a\cdot a\cdot...\cdot a}_{m-n'=m+n}\,, \text{если }
m>n'=-n\ (\text{т. е. m+n>0}),\\[4pt]
e, \text{если } m=n'=-n\ (\text{т. е. m+n=0}),\\[4pt]
\underbrace{a^{-1}... a^{-1}}_{n'-m=-n-m}\,, \text{если } m<n'=-n\
(\text{т. е. m+n<0})
\end{cases} ={}
\\ \ \ {}=a^{m+n}.
\end{align*}
$$
Аналогично разбираются остальные случаи: 3) m<0, n>0 ; 4) m<0, n<0 ; 5) m=0, n>0 ; 6) m=0, n=0 ; 7) m=0, n<0 ; 8) m>0, n=0 ; 9) m<0, n=0.
Следствие 1.9.10. (am)n=amn для всех $$m,n\in Z$$.
Рассмотрим целые степени элемента a группы G ..., a-3, a-2, a-1, a0=e, a, a2, a3,... Возможны два случая.
Случай 1. Все элементы в этом ряду различны (т. е. $$a^k\ne a^l$$ для всех целых чисел $$k\ne l$$ ). В этом случае будем говорить, что порядок элемента a бесконечный (обозначение: $$O(a)=\infty$$ ).
Случай 2. В этом ряду ak=al для некоторых $$k\ne l$$. Пусть k>l. Тогда ak-1=e, где k-l>0, т. е. встретилась и натуральная степень элемента a, равная e. Рассмотрим множество $$T=\{t\in Z\mid t>0,\ a^t=e\}$$. Это непустое подмножество натуральных чисел. Следовательно, в T существует наименьший элемент n, который мы назовем порядком элемента a и обозначим через O(a).
Таким образом:
an=e, n>0 ;ak=e, k>0, то $$k \ge n$$.Пример 1.9.11. G={1,-1}, a=-1. Тогда a1=-1, a2=1, т. е. O(a)=2.
Лемма 1.9.12. Если $$\O(a)=n<\infty$$, то:
e=a0,a,a2,...,an-1 различны;ak совпадает с одним из e,a,a2,...,an-1.Доказательство.
O(a).k=nq+r, где $$0 \le r<n$$. Следовательно, ak=(an)qar=ear=ar.Лемма 1.9.13. Пусть $$O(a)=n<\infty$$. Тогда ak=e в том и только в том случае, когда k=nq.
Доказательство.
k=nq, то ak=(an)q=eq=e.k=nq+r, где 0<r<n. Тогда $$a^k=(a^n)^qa^r=a^r\ne e$$ (по лемме 1.9.12). Получили противоречие.Лемма 1.9.14. Для непустого подмножества H группы G следующие условия эквивалентны:
H является группой относительно исходной операции в группе G ;H удовлетворяет следующим двум условиям:a) если $$h_1,h_2\in H$$, то $$h_1h_2\in H$$ ;
б) если $$h\in H$$, то $$h^{-1}\in H$$.
H группы G, удовлетворяющее эквивалентным условиям 1) и 2), называется G
Доказательство.
1) $$\implies$$ 2). Если $$h_1,h_2\in H$$, то, поскольку операция определена на H (т. е. не выводит из H ), имеем $$h_1h_2\in H$$, т. е. 2a).
Если e' - нейтральный элемент группы H, то $$e'\cdot e'=e'$$. Умножая в группе G обе стороны равенства на (e')-1, получаем e'=e (здесь e - нейтральный элемент группы G ).
Если h-1 - обратный элемент для элемента $$h\in H$$, то $$h^{-1}\cdot h=e'=e=h\cdot h^{-1}$$,
т. е. $$h^{-1}=h^{-1}\in H$$ (условие 2b)).
2) $$\implies$$ 1). Условие 2a) показывает, что операция определена на множестве H. Конечно, она ассоциативна. Далее, для $$h\in H$$ в силу 2b) $$h^{-1}\in H$$, и поэтому, в силу 2a), $$e=h\cdot h^{-1}\in H$$. Ясно, что e - нейтральный элемент в H, а h-1 - обратный элемент для h в H. Итак, H - группа относительно операции, индуцированной операцией группы G.
Следствие 1.9.15. Если G - группа, $$\emptyset\ne F\subset H\subset G$$, H - подгруппа группы G, F - подгруппа группы H, то F - подгруппа группы G.
Теорема 1.9.16. Пусть G - группа, $$\{H_i\mid i\in I\}$$ - любое семейство подгрупп группы G. Тогда их пересечение $$H=\smash[b]{\bigcap\limits_{i\in I}H_i}$$ также является подгруппой.
Доказательство.
i. Так как Hi - подгруппа, то $$h_1h_2\in H_i$$ для каждого i, и поэтому $$h_1h_2\in\bigcap\limits_{i\in I}H_i=H$$. Если $$h\in H=\bigcap\limits_{i\in I}H_i$$, то $$h\in H_i$$ для каждого i. Так как Hi - подгруппа, то $$h^{-1}\in H_i$$ для каждого i, и поэтому $$h^{-1}\in \smash[b]{\bigcap\limits_{i\in I}H_i}=H$$.
Итак, $$H=\bigcap\limits_{i\in I}H_i$$ - подгруппа группы G.
Примеры 1.9.17 (примеры подгрупп).
2Z - подгруппа в группе целых чисел (Z,+).G имеем наименьшую подгруппу H={e} (и наибольшую подгруппу H=G ).Задача 1.9.18. Группа, имеющая лишь конечное число подгрупп, конечна.
Пусть a - элемент группы G. Рассмотрим в G следующее подмножество: $$(a)=\{a^n\mid n\in Z\}$$ (т. е. совокупность всех целых степеней элемента a ).
Лемма 1.9.19.
Доказательство.
(a) выполнены условия предыдущей леммы, т. е. $$(a)=\{a^n\mid n\in Z\}$$ - подгруппа группы G. Так как aman=am+n=anam, то (a) - коммутативная группа.(a)={...,a-1,e,a,...}, при этом в ряду целых степеней элемента a все элементы различны, т. е. $$|(a)|=\infty$$. Если же $$O(a)=n<\infty$$, то, как мы отметили ранее, (a)={e,a,...,an-1} и |(a)|=n=O(a)Пример 1.9.20. Если G=Z и a=2, то $$(a)=\{na\mid a\in Z\}=2Z$$ (все четные числа).
G называется (a)=G, т. е. все элементы группы G являются (целыми) степенями этого элемента a G. Если $$O(a)=n<\infty$$, то G=(a) - циклическая группа из n элементов; если же $$O(a)=\infty$$, то G=(a) - бесконечная (счетная!) циклическая группа.
Замечание 1.9.21. Любая циклическая группа G=(a) является конечной или счетной коммутативной группой. Поэтому любая некоммутативная группа не является циклической и любая несчетная группа не является циклической группой.
Примеры 1.9.22.
(Z,+)=(1)=(-1) (это показывает, что циклических образующих может быть много!).(R,+) не является счетной, поэтому она не является циклической.(Q,+) рациональных чисел не является циклической.Пусть G и G' - группы. f(ab)=f(a)f(b) для всех элементов $$a,b\in G$$, называется
Пример 1.9.23. Пусть $$G=R^+=\{r\in R\mid r>0\}$$ с операцией умножения, G'=(R,+) с операцией сложения. Так как для отображения $$\ln: R^+\to R$$ имеем $$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$$ для всех $$a,b\in R^+$$, то $$\ln$$ -
Упражнение 1.9.24. Найти все гомоморфизмы $$f: G\to G'$$, где G=(a), O(a)=m, G'=(b), O(b)=n (в частности, для m=12, n=15 ).
Для гомоморфизмов $$f: G\to G'$$ определим: $$\text{Im}f= \{g'\in G'\mid g'=f(g) \text{ для }g\in G\}$$ образ гомоморфизма f ); $$\text{Ker} f=\{g\in G\mid f(g)=e'\}$$, где e' - нейтральный элемент группы G' ядро гомоморфизма f ).
Упражнение 1.9.25. В рассмотренных выше примерах найти образ и ядро гомоморфизма.
Задача 1.9.26. Доказать, что не существует сюръективного гомоморфизма $$(Q,{+})\to (Z,{+})$$.
Указание. В (Q,+) уравнение nx=a имеет (и единственное) решение для любых $$n\in N$$, $$a\in Q$$.
Теорема 1.9.27 (свойства гомоморфизма групп). Пусть G и G' - группы, e и e' соответственно - их нейтральные элементы, $$f: G\to G'$$ -
f(e)=e' ;f(x-1)=(f(x))-1 для всех $$x\in G$$ ;H'= Im f - подгруппа группы G' ;G=(a) - циклическая группа, то Im f=(f(a)) также циклическая группа;f(g-1hg)=(f(g))-1f(h)f(g) ;Ker f - подгруппа группы G, при этом $$g^{-1}(\text{Ker} f)g\subseteq \text{Ker} f$$ для всех элементов $$g\in G$$.Доказательство.
u=f(e)=f(e2)=f(e)f(e)=u2, то u=e', т. е. f(e)=e'.f(x-1)f(x)=f(x-1x)=f(e)=e' и f(x)f(x-1)=f(xx-1)=f(e)=e', то f(x-1)=(f(x))-1.h1'=f(g1) и h2'=f(g2) - элементы из $$\text{Im} f$$, где $$g_1,g_2\in G$$, то $$h_1'h_2'=f(g_1)f(g_2)=f(g_1g_2)\in\text{Im} f$$. Если $$h'=f(g)\in\text{Im} f$$, $$g\in G$$, то $$(h')^{-1}=(f(g))^{-1}=f(g^{-1})\in\text{Im} f$$. Итак, $$\text{Im} f$$ - подгруппа группы G'.G=(a) и $$h'\in\text{Im} f$$, h'=f(g), $$g\in G$$, то g=an, $$n\in Z$$, и поэтому h'=f(g)=f(an)=(f(a))n. Итак, $$\text{Im} f=(f(a))$$ - циклическая группа с образующим f(a).f(h1)=e', f(h2)=e'. Поэтому $$f(h_1h_2)=f(h_1)f(h_2)=e'\cdot e'=e'$$, т. е. $$h_1h_2\in\text{Ker} f$$.Если $$h\in\text{Ker} f$$, то f(h)=e', и поэтому f(h-1)=(f(h))-1=(e')-1=e', т. е. $$h^{-1}\in\text{Ker} f$$. Таким образом, Ker f - подгруппа группы G.
Если $$h\in H=\text{Ker} f$$, то f(h)=e'. Для любого элемента $$g\in G$$ имеем f(g-1hg)=f(g-1)f(h)f(g)=f(g)-1e'f(g)=e'. Таким образом, $$g^{-1}\text{Ker} fg\subseteq\text{Ker} f$$ для всех элементов $$g\in G$$.
Лемма 1.9.28. Если G, G', G'' - группы, $$f: G\to G'$$, $$g: G'\to G''$$ - гомоморфизмы, то $$gf: G\to G''$$ - гомоморфизм.
Доказательство. Пусть $$a,b\in G$$. Тогда (gf)(ab)=g[f(ab)]=g[f(a)f(b)]=[g(f(a))]\,[g(f(b))]=[(gf)(a)]\,[(gf)(b)].
Лемма 1.9.29. Пусть G, G' - группы, $$f: G\to G'$$ -
f - f - биекция в том и только в том случае, когда $$\text{Ker} f =\{e\}$$, $$\text{Im} f=G'$$.Доказательство. Достаточно доказать 1). Если f - f(e)=e', видим, что $$\text{Ker} f=\{e\}$$. Пусть теперь $$\text{Ker} f=\{e\}$$. Если f(a)=f(b) для $$a,b\in G$$, то f(a-1b)=f(a-1)f(b)=[f(a)]-1f(b)=e', т. е. $$a^{-1}b\in\text{Ker} f=\{e\}$$. Поэтому a-1b=e, т. е. a=b. Итак, f -
Определение 1.9.30. Пусть G, G' - группы. Отображение $$f: G\to G'$$ назовем изоморфизмом групп, если:
f - гомоморфизм;f - биекция.G и G' называются
Примеры 1.9.31. Следующие отображения - изоморфизмы групп:
Лемма 1.9.32. Если G, G', G'' - группы, $$f: G\to G'$$, $$g: G'\to G'' $$ - изоморфизмы, то gf и f-1 - изоморфизмы (см. лемму 1.2.2).
Доказательство.
а) По лемме 1.9.29, gf - гомоморфизм. Так как gf и биекция, то gf - изоморфизм.
б) Мы знаем, что f-1 - биекция. Пусть $$w,z\in G'$$. Тогда w=f(x), z=f(y), где $$x,y\in G$$. Следовательно, wz=f(x)f(y)=f(xy). Поэтому f-1(wz)=f-1(f(xy))=xy=f-1(w)f-1(z), т. е. f-1 - гомоморфизм. Итак, f-1 - изоморфизм.
Следствие 1.9.33. Отношение $$G\cong G'$$ является отношением эквивалентности на классе групп.
Замечание 1.9.34.
Пример 1.9.35. Если группы G и G' изоморфны и G - коммутативная группа, то G' - также коммутативная группа. Действительно, пусть $$f: G\to G'$$ - некоторый изоморфизм. Если $$z,w\in G'$$, то z=f(a), w=f(b) для некоторых $$a,b\in G$$. Тогда zw=f(a)f(b)=f(ab)=f(ba)=f(b)f(a)=wz.
Одним из основных общематематических понятий является понятие группы.
Определение 1.9.1.
(a*b)*c=a*(b*c) для всех $$a,b,c\in G$$ );g*e=g=e*g для всех $$g\in G$$ );g*g-1=e=g-1*g ).Замечание 1.9.2. Напомним, что нейтральный элемент (при мультипликативной записи называемый единицей группы) единственный. Обратный элемент g-1 для элемента $$g\in G$$ определен однозначно. Коммутативная группа часто называется абелевой группой.
Лемма 1.9.3. Если G - группа, $$a,b\in G$$, то
ax=b имеет, и только одно, решение x=a-1b ;ya=b имеет, и только одно, решение y=ba-1 ;ab=ac, то b=c ; если ba=ca, то b=c ;x2=x, то x=e ;(ab)-1=b-1a-1; (a1... an)-1=an-1... a1-1; (a-1)-1=a.Доказательство.
1) Ясно, что a(a-1b)=b. Если же ax=b для $$x\in G$$, то x=a-1ax=a-1b.
2) Ясно, что (ba-1)a=b. Если же ya=b для $$y\in G$$, то y=(ya)a-1=ba-1.
3) и 4) следуют из 1) и 2).
5) проверяется непосредственно.
Примеры 1.9.4 (примеры групп).
Z, рациональные числа Q, действительные числа R с операцией сложения. Заметим, что: а) натуральные числа N с операцией сложения группой не являются (отсутствует нейтральный элемент); б) натуральные числа с нулем N0 также не являются группой (обратный элемент (в аддитивной записи обычно называемый противоположным элементом) существует только для 0 ; таким образом, например, 1 уже не имеет обратного элемента).Группа вычетов (Zn,+) по модулю n. Пусть (Z,+) - группа целых чисел по сложению, $$1<n\in N$$. Для $$k\in Z$$ пусть $$C_k=k+nZ=\{k+nq\mid q\in Z\}
$$
(сдвиг подгруппы nZ на элемент k ). Ясно, что Ck=Cl, $$l\in Z$$, тогда и только тогда, когда k-l=nq, $$q\in Z$$. Так как $$k=nq+r,\ \ \text{где}\ \ q\inZ,\ \ 0 \leq r<n$$,
то Ck=Cr. Таким образом, множество различных сдвигов Zn={C0,C1,...,Cn-1}
находится в биективном соответствии с множеством остатков {0,1,2,...,n-1} при делении на число n.
Определим операцию сложения на множестве Zn, полагая $$C_k+C_l=C_{k+l}=C_s,\ \ \text{где}\ \
k+l=n\bar q+s,\ \ 0 \leq s \leq n-1,\ \ \bar q\in Z$$.
Проверим корректность этой операции. Если Ck=Ck', Cl=Cl', то k'=k+nu, l'=l+nv, $$u,v\inZ$$, следовательно, k'+l'=(k+nu)+(l+nv)=(k+l)+n(u+v),
и поэтому Ck'+l'=Ck+l.
Так как для $$k,l,m\inZ$$ (Ck+Cl)+Cm=C(k+l)+m=Ck+(l+m)=Ck+(Cl+Cm),
Ck+Cl=Ck+l=Cl+k=Cl+Ck,
то эта операция ассоциативна и коммутативна. Ясно, что C0 является нейтральным элементом в (Zn,+), а элемент C-k является противоположным элементом для Ck.
Итак, (Zn,+) - коммутативная группа, называемая группой вычетов по модулю n (операция сложения - это в точности операция сложения остатков при делении на n по модулю числа n: сначала надо сложить остатки как целые числа, а затем взять остаток от деления этой суммы на n ). Мы отметили, что |Zn|=n.
В частности, имеем таблицы сложения для групп Z2 и Z3:
| + | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| + | 0 | 1 | 2 |
| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 |
Q*=Q\{0}, R*=R\{0} относительно умножения являются группами (называемыми мультипликативными группами соответствующих полей).G={1,-1} с операцией умножения является группой.Замечание 1.9.5. |M|>1 (существуют отображения $$f: M\to M$$, не являющиеся биекциями и, следовательно, не имеющие обратного отображения)
Упражнение 1.9.6.
c>0, $$G=\{r\in R\mid -c<r<c\}$$ (=(-c,c)).
Покажите, что (G,*) - группа, где $$a*b=\frac{a+b}{1+\frac{ab}{c^2}}
$$
(сложение скоростей в специальной теории относительности).G - группа, в которой x2=1 для всех $$x\in G$$, то G - абелева группа.Определение 1.9.7. Пусть G - группа, $$a\in G$$, $$n\in Z$$ - целое число. Положим$$a^n=
\begin{cases}
\underbrace{a\cdot a\cdot...\cdot a}_{n}\,, \text{если } n>0,\\[-3pt]
e, \text{если } n=0,\\[6pt]
\underbrace{a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot...\cdot a^{-1}}_{m=-n}\,,
\text{если } n<0, \text{ где } m=-n>0.
\end{cases}$$
Замечание 1.9.8. Если m>0, то (a-1)m=(am)-1. Действительно, $$(\underbrace{a... a}_m)
(\underbrace{a^{-1}... a^{-1}}_m)=e=
(\underbrace{a^{-1}... a^{-1}}_m)
(\underbrace{a... a}_m)$$.
Теорема 1.9.9. Пусть G - группа, $$a\in G$$, $$m,n\in Z$$ - целые числа. Тогда $$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$.
Доказательство. Формально, мы должны рассмотреть $$3\times 3=9$$ случаев.
Случай 1. m>0, n>0 (следовательно, m+n>0 ). Тогда $$a^m\cdot a^n =
(\underbrace{a... a}_m)\cdot
(\underbrace{a... a}_n)=
\underbrace{a... a}_{m+n}= a^{m+n}$$.
Случай 2. m>0, n<0 (поэтому n'=-n>0 ). Тогда $$\begin{align*} a^m\cdot a^n =
(\underbrace{a... a}_m)\cdot
(\underbrace{a^{-1}... a^{-1}}_{n'=-n})={}
\\ \ \ {}=\!
\begin{cases}
\underbrace{a\cdot a\cdot...\cdot a}_{m-n'=m+n}\,, \text{если }
m>n'=-n\ (\text{т. е. m+n>0}),\\[4pt]
e, \text{если } m=n'=-n\ (\text{т. е. m+n=0}),\\[4pt]
\underbrace{a^{-1}... a^{-1}}_{n'-m=-n-m}\,, \text{если } m<n'=-n\
(\text{т. е. m+n<0})
\end{cases} ={}
\\ \ \ {}=a^{m+n}.
\end{align*}
$$
Аналогично разбираются остальные случаи: 3) m<0, n>0 ; 4) m<0, n<0 ; 5) m=0, n>0 ; 6) m=0, n=0 ; 7) m=0, n<0 ; 8) m>0, n=0 ; 9) m<0, n=0.
Следствие 1.9.10. (am)n=amn для всех $$m,n\in Z$$.
Рассмотрим целые степени элемента a группы G ..., a-3, a-2, a-1, a0=e, a, a2, a3,... Возможны два случая.
Случай 1. Все элементы в этом ряду различны (т. е. $$a^k\ne a^l$$ для всех целых чисел $$k\ne l$$ ). В этом случае будем говорить, что порядок элемента a бесконечный (обозначение: $$O(a)=\infty$$ ).
Случай 2. В этом ряду ak=al для некоторых $$k\ne l$$. Пусть k>l. Тогда ak-1=e, где k-l>0, т. е. встретилась и натуральная степень элемента a, равная e. Рассмотрим множество $$T=\{t\in Z\mid t>0,\ a^t=e\}$$. Это непустое подмножество натуральных чисел. Следовательно, в T существует наименьший элемент n, который мы назовем порядком элемента a и обозначим через O(a).
Таким образом:
an=e, n>0 ;ak=e, k>0, то $$k \ge n$$.Пример 1.9.11. G={1,-1}, a=-1. Тогда a1=-1, a2=1, т. е. O(a)=2.
Лемма 1.9.12. Если $$\O(a)=n<\infty$$, то:
e=a0,a,a2,...,an-1 различны;ak совпадает с одним из e,a,a2,...,an-1.Доказательство.
O(a).k=nq+r, где $$0 \le r<n$$. Следовательно, ak=(an)qar=ear=ar.Лемма 1.9.13. Пусть $$O(a)=n<\infty$$. Тогда ak=e в том и только в том случае, когда k=nq.
Доказательство.
k=nq, то ak=(an)q=eq=e.k=nq+r, где 0<r<n. Тогда $$a^k=(a^n)^qa^r=a^r\ne e$$ (по лемме 1.9.12). Получили противоречие.Лемма 1.9.14. Для непустого подмножества H группы G следующие условия эквивалентны:
H является группой относительно исходной операции в группе G ;H удовлетворяет следующим двум условиям:a) если $$h_1,h_2\in H$$, то $$h_1h_2\in H$$ ;
б) если $$h\in H$$, то $$h^{-1}\in H$$.
H группы G, удовлетворяющее эквивалентным условиям 1) и 2), называется G
Доказательство.
1) $$\implies$$ 2). Если $$h_1,h_2\in H$$, то, поскольку операция определена на H (т. е. не выводит из H ), имеем $$h_1h_2\in H$$, т. е. 2a).
Если e' - нейтральный элемент группы H, то $$e'\cdot e'=e'$$. Умножая в группе G обе стороны равенства на (e')-1, получаем e'=e (здесь e - нейтральный элемент группы G ).
Если h-1 - обратный элемент для элемента $$h\in H$$, то $$h^{-1}\cdot h=e'=e=h\cdot h^{-1}$$,
т. е. $$h^{-1}=h^{-1}\in H$$ (условие 2b)).
2) $$\implies$$ 1). Условие 2a) показывает, что операция определена на множестве H. Конечно, она ассоциативна. Далее, для $$h\in H$$ в силу 2b) $$h^{-1}\in H$$, и поэтому, в силу 2a), $$e=h\cdot h^{-1}\in H$$. Ясно, что e - нейтральный элемент в H, а h-1 - обратный элемент для h в H. Итак, H - группа относительно операции, индуцированной операцией группы G.
Следствие 1.9.15. Если G - группа, $$\emptyset\ne F\subset H\subset G$$, H - подгруппа группы G, F - подгруппа группы H, то F - подгруппа группы G.
Теорема 1.9.16. Пусть G - группа, $$\{H_i\mid i\in I\}$$ - любое семейство подгрупп группы G. Тогда их пересечение $$H=\smash[b]{\bigcap\limits_{i\in I}H_i}$$ также является подгруппой.
Доказательство.
i. Так как Hi - подгруппа, то $$h_1h_2\in H_i$$ для каждого i, и поэтому $$h_1h_2\in\bigcap\limits_{i\in I}H_i=H$$. Если $$h\in H=\bigcap\limits_{i\in I}H_i$$, то $$h\in H_i$$ для каждого i. Так как Hi - подгруппа, то $$h^{-1}\in H_i$$ для каждого i, и поэтому $$h^{-1}\in \smash[b]{\bigcap\limits_{i\in I}H_i}=H$$.
Итак, $$H=\bigcap\limits_{i\in I}H_i$$ - подгруппа группы G.
Примеры 1.9.17 (примеры подгрупп).
2Z - подгруппа в группе целых чисел (Z,+).G имеем наименьшую подгруппу H={e} (и наибольшую подгруппу H=G ).Задача 1.9.18. Группа, имеющая лишь конечное число подгрупп, конечна.
Пусть a - элемент группы G. Рассмотрим в G следующее подмножество: $$(a)=\{a^n\mid n\in Z\}$$ (т. е. совокупность всех целых степеней элемента a ).
Лемма 1.9.19.
Доказательство.
(a) выполнены условия предыдущей леммы, т. е. $$(a)=\{a^n\mid n\in Z\}$$ - подгруппа группы G. Так как aman=am+n=anam, то (a) - коммутативная группа.(a)={...,a-1,e,a,...}, при этом в ряду целых степеней элемента a все элементы различны, т. е. $$|(a)|=\infty$$. Если же $$O(a)=n<\infty$$, то, как мы отметили ранее, (a)={e,a,...,an-1} и |(a)|=n=O(a)Пример 1.9.20. Если G=Z и a=2, то $$(a)=\{na\mid a\in Z\}=2Z$$ (все четные числа).
G называется (a)=G, т. е. все элементы группы G являются (целыми) степенями этого элемента a G. Если $$O(a)=n<\infty$$, то G=(a) - циклическая группа из n элементов; если же $$O(a)=\infty$$, то G=(a) - бесконечная (счетная!) циклическая группа.
Замечание 1.9.21. Любая циклическая группа G=(a) является конечной или счетной коммутативной группой. Поэтому любая некоммутативная группа не является циклической и любая несчетная группа не является циклической группой.
Примеры 1.9.22.
(Z,+)=(1)=(-1) (это показывает, что циклических образующих может быть много!).(R,+) не является счетной, поэтому она не является циклической.(Q,+) рациональных чисел не является циклической.Пусть G и G' - группы. f(ab)=f(a)f(b) для всех элементов $$a,b\in G$$, называется
Пример 1.9.23. Пусть $$G=R^+=\{r\in R\mid r>0\}$$ с операцией умножения, G'=(R,+) с операцией сложения. Так как для отображения $$\ln: R^+\to R$$ имеем $$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$$ для всех $$a,b\in R^+$$, то $$\ln$$ -
Упражнение 1.9.24. Найти все гомоморфизмы $$f: G\to G'$$, где G=(a), O(a)=m, G'=(b), O(b)=n (в частности, для m=12, n=15 ).
Для гомоморфизмов $$f: G\to G'$$ определим: $$\text{Im}f= \{g'\in G'\mid g'=f(g) \text{ для }g\in G\}$$ образ гомоморфизма f ); $$\text{Ker} f=\{g\in G\mid f(g)=e'\}$$, где e' - нейтральный элемент группы G' ядро гомоморфизма f ).
Упражнение 1.9.25. В рассмотренных выше примерах найти образ и ядро гомоморфизма.
Задача 1.9.26. Доказать, что не существует сюръективного гомоморфизма $$(Q,{+})\to (Z,{+})$$.
Указание. В (Q,+) уравнение nx=a имеет (и единственное) решение для любых $$n\in N$$, $$a\in Q$$.
Теорема 1.9.27 (свойства гомоморфизма групп). Пусть G и G' - группы, e и e' соответственно - их нейтральные элементы, $$f: G\to G'$$ -
f(e)=e' ;f(x-1)=(f(x))-1 для всех $$x\in G$$ ;H'= Im f - подгруппа группы G' ;G=(a) - циклическая группа, то Im f=(f(a)) также циклическая группа;f(g-1hg)=(f(g))-1f(h)f(g) ;Ker f - подгруппа группы G, при этом $$g^{-1}(\text{Ker} f)g\subseteq \text{Ker} f$$ для всех элементов $$g\in G$$.Доказательство.
u=f(e)=f(e2)=f(e)f(e)=u2, то u=e', т. е. f(e)=e'.f(x-1)f(x)=f(x-1x)=f(e)=e' и f(x)f(x-1)=f(xx-1)=f(e)=e', то f(x-1)=(f(x))-1.h1'=f(g1) и h2'=f(g2) - элементы из $$\text{Im} f$$, где $$g_1,g_2\in G$$, то $$h_1'h_2'=f(g_1)f(g_2)=f(g_1g_2)\in\text{Im} f$$. Если $$h'=f(g)\in\text{Im} f$$, $$g\in G$$, то $$(h')^{-1}=(f(g))^{-1}=f(g^{-1})\in\text{Im} f$$. Итак, $$\text{Im} f$$ - подгруппа группы G'.G=(a) и $$h'\in\text{Im} f$$, h'=f(g), $$g\in G$$, то g=an, $$n\in Z$$, и поэтому h'=f(g)=f(an)=(f(a))n. Итак, $$\text{Im} f=(f(a))$$ - циклическая группа с образующим f(a).f(h1)=e', f(h2)=e'. Поэтому $$f(h_1h_2)=f(h_1)f(h_2)=e'\cdot e'=e'$$, т. е. $$h_1h_2\in\text{Ker} f$$.Если $$h\in\text{Ker} f$$, то f(h)=e', и поэтому f(h-1)=(f(h))-1=(e')-1=e', т. е. $$h^{-1}\in\text{Ker} f$$. Таким образом, Ker f - подгруппа группы G.
Если $$h\in H=\text{Ker} f$$, то f(h)=e'. Для любого элемента $$g\in G$$ имеем f(g-1hg)=f(g-1)f(h)f(g)=f(g)-1e'f(g)=e'. Таким образом, $$g^{-1}\text{Ker} fg\subseteq\text{Ker} f$$ для всех элементов $$g\in G$$.
Лемма 1.9.28. Если G, G', G'' - группы, $$f: G\to G'$$, $$g: G'\to G''$$ - гомоморфизмы, то $$gf: G\to G''$$ - гомоморфизм.
Доказательство. Пусть $$a,b\in G$$. Тогда (gf)(ab)=g[f(ab)]=g[f(a)f(b)]=[g(f(a))]\,[g(f(b))]=[(gf)(a)]\,[(gf)(b)].
Лемма 1.9.29. Пусть G, G' - группы, $$f: G\to G'$$ -
f - f - биекция в том и только в том случае, когда $$\text{Ker} f =\{e\}$$, $$\text{Im} f=G'$$.Доказательство. Достаточно доказать 1). Если f - f(e)=e', видим, что $$\text{Ker} f=\{e\}$$. Пусть теперь $$\text{Ker} f=\{e\}$$. Если f(a)=f(b) для $$a,b\in G$$, то f(a-1b)=f(a-1)f(b)=[f(a)]-1f(b)=e', т. е. $$a^{-1}b\in\text{Ker} f=\{e\}$$. Поэтому a-1b=e, т. е. a=b. Итак, f -
Определение 1.9.30. Пусть G, G' - группы. Отображение $$f: G\to G'$$ назовем изоморфизмом групп, если:
f - гомоморфизм;f - биекция.G и G' называются
Примеры 1.9.31. Следующие отображения - изоморфизмы групп:
Лемма 1.9.32. Если G, G', G'' - группы, $$f: G\to G'$$, $$g: G'\to G'' $$ - изоморфизмы, то gf и f-1 - изоморфизмы (см. лемму 1.2.2).
Доказательство.
а) По лемме 1.9.29, gf - гомоморфизм. Так как gf и биекция, то gf - изоморфизм.
б) Мы знаем, что f-1 - биекция. Пусть $$w,z\in G'$$. Тогда w=f(x), z=f(y), где $$x,y\in G$$. Следовательно, wz=f(x)f(y)=f(xy). Поэтому f-1(wz)=f-1(f(xy))=xy=f-1(w)f-1(z), т. е. f-1 - гомоморфизм. Итак, f-1 - изоморфизм.
Следствие 1.9.33. Отношение $$G\cong G'$$ является отношением эквивалентности на классе групп.
Замечание 1.9.34.
Пример 1.9.35. Если группы G и G' изоморфны и G - коммутативная группа, то G' - также коммутативная группа. Действительно, пусть $$f: G\to G'$$ - некоторый изоморфизм. Если $$z,w\in G'$$, то z=f(a), w=f(b) для некоторых $$a,b\in G$$. Тогда zw=f(a)f(b)=f(ab)=f(ba)=f(b)f(a)=wz.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.