Введение в алгебру

Поле C комплексных чисел

Разбить на страницы
Показывать лекцию целиком

Понятие числа является одним из основных понятий в математических теориях. К основным числовым системам принадлежат:

  • натуральные числа N (полукольцо);
  • натуральные числа с нулем $$N_0= N\cup\{0\}$$ (полукольцо с нулем);
  • целые числа Z (кольцо);
  • рациональные числа Q (поле);
  • действительные числа R (поле).
    •

    При этом$$N\subset N_0\subset Z\subset Q\subset R.$$ Отметим, что рациональные числа Q и действительные числа R с операциями сложения и умножения являются полями . Напомним, что множество K с операциями сложения и умножения, $$(K,+,\cdot)$$, называется полем, если:

  • операция сложения

  • коммутативна ( $$a+b=b+a \kvsp \forall a,b \in K$$ );
  • ассоциативна ( $$(a+b)+c=a+(b+c) \kvsp \forall a,b,c \in K$$ );
  • существует нейтральный элемент 0 ( $$0+a=a \kvsp \forall a \in K$$ );
  • $$\forall a \in K$$ существует противоположный элемент -a ( a+(-a)=0 )
    •

    (кратко, (K, +) - коммутативная группа);

  • операция умножения

  • коммутативна ( $$ab=ba \kvsp \forall a,b \in K$$ );
  • ассоциативна ( $$(ab)c=a(bc) \kvsp \forall a,b,c \in K$$ );
  • существует нейтральный элемент 1 ( $$1a=a \kvsp \forall a \in K$$ ), $$1\neq 0$$

    • (кратко, $$(K, \cdot)$$ - коммутативный моноид);

  • имеет место дистрибутивность, связывающая операции сложения и умножения ( $$(a+b)c=ac+bc \kvsp \forall a,b,c \in K$$ ).

    Условия 1), 2), 3) определяют коммутативное кольцо.

  • Имеет место обратимость ненулевых элементов ( $$\forall a \in K,\ a\neq 0, \kvsp \exists b \in K \kvsp ab=1$$ ).

    • Поле действительных чисел R, при всех его достоинствах, не является алгебраически замкнутым полем (т. е. многочлены с действительными коэффициентами могут не иметь действительных корней: например, многочлен x2+1 не имеет действительного корня). Нашей целью является построение расширения C поля действительных чисел R, $$R\subset C$$, в котором есть такой элемент $$i\in C$$, что i2=-1 (уравнение x2+1=0 имеет решение), при этом в некотором смысле это минимальное расширение с этим свойством. Построенное поле C окажется алгебраически замкнутым (алгебраическим замыканием поля R ).

    Анализ ситуации

    Допустим, что существует поле K, содержащее в качестве подполя поле действительных чисел, $$R\subset K$$, и элемент $$i\in K$$ такой, что i2=-1. Тогда:

  • для $$a,b,c,d\in R$$ равенство a+bi=c+di выполнено тогда и только тогда, когда a=b, c=d

    Доказательство. Если a+bi=c+di, то a-c=(d-b)i, поэтому (a-c)2=-(d-b)2, следовательно, (a-c)2=0=(d-b)2, т. е. a=c, b=d.

  • подмножество D всех элементов a+bi, $$a,b\in R$$, замкнуто относительно операции сложения (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i, $$0=0+0i\in D$$ является в D нейтральным элементом, -(a+bi)=(-a)+(-b)i - противоположный элемент для a+bi. Итак, D относительно сложения - коммутативная группа.
  • подмножество D замкнуто относительно умножения (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
  • (a+bi)(a-bi)=a2+b2.
  • если $$a+bi\neq 0$$, то a2+b2>0, и$$(a+bi)\left(\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\right)= \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1,$$ следовательно,$$(a+bi)^{-1}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i$$ для $$a+bi\neq 0$$. Итак, D является подполем поля K, $$R\subset D$$, $$i\in D$$, D - наименьшее подполе в K, содержащее R и i.
    •

    Построение поля комплексных чисел

    На основе проведенного анализа положим$$C= R^2=\{(a,b)\mid a,b\in R\}\text{ -}$$ совокупность упорядоченных пар действительных чисел.

    Рассмотрим следующие операции сложения и умножения: (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d), (a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc).

    Тогда:

  • C=( R2,+) - абелева группа (сложение ассоциативно и коммутативно; (0,0) - нейтральный элемент; (-a,-b) - противоположный элемент для (a,b) );

  • умножение: ассоциативно

    ((a,b)(c,d))(e,f) = (ac-bd,ad+bc)(e,f)=
= ((ac-bd)e-(ad+bc)f,(ac-bd)f+(ad+bc)e)=
= (ace-bde-adf-bcf,acf-bdf+ade+bce)=
= (ace-adf-bcf-bde,acf+ade+bce-bdf)=
= (a(ce-df)-b(cf+de),a(cf+de)+b(ce-df))=
= (a,b)(ce-df,cf+de)=(a,b)((a,d)(e,f));

    коммутативно

    (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)= (ca-db,cb+da)=(c,d)(a,b);

    (1,0) - нейтральный элемент, (a,b)(1,0)=(a,b), $$(1,0)\neq (0,0)$$ ;

  • выполнено свойство дистрибутивности:

    (a,b)((c,d)+(e,f))=(a,b)((c+e,d+f))=
= (a(c+e)-b(d+f),a(d+f)+b(c+e))=
= (ac+ae-bd-bf,ad+af+bc+be)=
= (ac-bd+ae-bf,ad+bc+af+be)=
= (ac-bd,ad+bc) + (ae-bf,af+be)=
= (a,b)(c,d)+(a,b)(e,f).

    • Итак, C = R2 с этими операциями сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей (1,0).

    Если $$(a,b)\neq(0,0)$$, $$a,b\in R$$, то a2+b2>0 и$$(a,b)\left(\frac{a}{a^2+b^2},-\frac{b}{a^2+b^2}\right)= \left(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2},0\right)=(1,0),$$ таким образом, каждый элемент $$(0,0)\neq(a,b)\in C= R^2$$ имеет обратный.

    Итак, C= R2 с этими операциями сложения и умножения - поле.

    Осуществим вложение поля действительных чисел R в построенное поле C= R2, сопоставляя любому элементу $$a\in R$$ пару $$(a,0)\in C= R^2$$. Так как для $$a,b\in R$$ имеем

    (a+b,0) = (a,0)+(b,0), (ab,0) = (a,0)(b,0),

    то это отображение является изоморфизмом поля R на подполе $$\{(a,0)\mid a\in R\}$$ поля C=R2. В дальнейшем мы будем отождествлять a и (a,0), полагая a=(a,0), в частности 1=(1,0).

    Если i=(0,1), то i2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1, (элемент i=(0,1) в построенном расширении C= R2 поля R является корнем уравнения x2+1=0 ).

    Для любых $$a,b\in R$$ имеем (a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)(0,1)=a+bi, при этом это представление единственно (как из "анализа задачи", так и непосредственно: если a+bi=c+di, то (a,b)=a+bi=c+di=(c,d), следовательно, a=c, b=d ).

    Элементы построенного поля C= R2 называются комплексными числами . Форма записи комплексного числа в виде a+bi, $$a,b\in R$$, называется алгебраической формой записи , в которой: (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i, (a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i,$$(a+bi)^{-1} = \frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\ \ \text{для } a+bi\neq 0.$$

    В геометрической интерпретации комплексное число

    Сложение комплексных чисел соответствует сложению векторов:

    Геометрическая интерпретация умножения и перехода к обратному элементу будет дана позже.

    Для комплексного числа $$z=a+bi\in C$$, $$a,b\in R$$, $$a=\text{Re} z$$ называется его вещественной частью, $$b=\text{Im} z$$ - его мнимой частью.

    Замечание 2.2.1. C уравнение x2+1=0 имеет лишь два решения: x=i, x=-i. Действительно, если (a+bi)2=-1, то a2-b2=-1, 2ab=0. Так как $$b\neq 0$$ (иначе a2=-1 ), то a=0 и b2=1, поэтому $$b=\pm 1$$.

    Сопряжение комплексных чисел

    Каждому комплексному числу $$z=x+iy\in C$$ сопоставим комплексное число $$\bar z=x-iy\in C$$, называемое комплексно сопряженным. Геометрическая интерпретация перехода от

    Теорема 2.3.1.

  • Операция комплексного сопряжения $$z\to\bar z$$ является автоморфизмом поля C комплексных чисел (т. е. биекцией, для которой $$\overline{z+w}=\bar z+\bar w$$, $$\overline{zw}=\bar z\bar w$$ для $$z,w\in C$$ и, как следствие, $$\overline{\left(\frac{w}{z}\right)}=\frac{\bar w}{\mathstrut\bar z}$$ для $$z\neq 0$$ ), оставляющим все действительные числа и только их на месте ( a=a для $$a\in R\subseteq C$$ ; если z=z, то $$z\in R$$ ).
  • Квадрат комплексного сопряжения равен тождественному отображению ( $$\Bar{\Bar z}=z$$ ).
  • Если $$z=a+bi\in C$$, $$a,b\in R$$, то $$z+\bar z=2a\in R$$, $$z-\bar z=2bi\in R i$$, $$N(z)=z\bar z=a^2+b^2\in R$$, при этом N(wz)=N(w)N(z) для $$w,z\in C$$.
  • Если $$f: C\to C$$ - такой автоморфизм поля C комплексных чисел, что f(a)=a для всех $$a\in R\subseteq C$$, то либо f=1C, либо $$f(z)= \overline z$$ для $$z\in C$$ (тем самым показано, что группа Галуа расширения $$R\subset C$$ состоит из двух элементов).
    •

    Доказательство.

  • Ясно, что соответствие$$z=a+bi=(a,b)\to\bar z=a-bi=(a,-b)$$ является биекцией.

    Если z=a+bi, w=c+di, то z+w = (a+b)+(c+d)i=(a+b)-(c+d)i= =(a-ci)+(b-di)=z+w; -z=-a-bi=-a+bi=-(a-bi)=-(z); z-w=z+(-w)=z-w; zw=(ac-bd)+(ad+bc)i=(ac-bd)-(ad+bc)i= =(a-bi)(c-di)=zw.

    Если $$z\neq 0$$, то $$1=\overline{z\cdot z^{-1}}=\overline{z}\cdot\overline{z^{-1}}$$, т. е. $$\overline{z^{-1}}=(\bar z)^{-1}$$. Поэтому$$\overline{\left(\frac{w}{z}\right)}=\overline{wz^{-1}}= \bar w \overline{(z^{-1})}=\bar w(\bar z)^{-1}=\frac{\bar w}{\bar z}.$$

    Если $$z=a\in R$$, то z=a. Если z=a+bi, то z=z означает, что z=a+bi=a-bi=z, т. е. b=-b, поэтому b=0 и $$z=a\in R$$. Итак, z=z тогда и только тогда, когда $$z\in R$$.

  • $$\Bar{\Bar z}=\overline{a-bi}=a+bi=z$$.
  • Если z=a+bi, то$$\begin{align*} z+\bar z = (a+bi)+(a-bi) = 2a\in R,\\ z-\bar z = (a+bi)-(a-bi)=2bi\in R i,\\ z\cdot\bar z = (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\in R. \end{align*}$$ Далее,$$N(wz)=wz\overline{wz}=wz\bar w\bar z=w\bar wz\bar z=N(w)N(z).$$
  • Так как i2=-1, то f(i)^2=f(-1)=-1, поэтому

    либо f(i)=i, и тогда f(a+bi)=f(a)+f(b)f(i)=a+bi },

    либо f(i)=-i, и тогда f(a+bi)=f(a)+f(b)f(i)=a-bi

    •

    Замечание 2.3.2.

  • Если комплексное число $$\alpha$$ получено как выражение из комплексных чисел $$\alpha_1,...,\alpha_n$$ с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления, то то же выражение из комплексных чисел $$\bar\alpha_1,...,\bar\alpha_n$$ дает $$\bar\alpha$$.
  • Правило деления комплексного числа w=c+di на ненулевое комплексное число $$0\neq z=a+bi\in C$$ (в алгебраической форме):$$\frac{w}{z}=\frac{c+di}{a+bi}= \frac{(c+di)(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}= \left(\frac{ca+db}{a^2+b^2}\right)+\left(\frac{-cb+da}{a^2+b^2}\right)i.$$

    • Полярные координаты точек плоскости (отличных от начала координат)

    Точка плоскости (a,b), отличная от начала координат (0,0), однозначно задается своими полярными координатами r, $$\varphi$$, где r - расстояние от данной точки до начала координат, $$\varphi$$ - угол между положительной полуосью абсцисс и радиусом-вектором точки (a,b), отсчитываемый против часовой стрелки (определенный с точностью до $$2\pi k$$, $$k\in Z$$, и называемый аргументом точки (a,b) ).

    Аргумент точки 0=(0,0) не определен.

    Формулы перехода от декартовых координат a и b точки (a,b) к полярным координатам и обратно:$$\begin{gat} r=\sqrt{a^2+b^2}, \\* \sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \ \cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}; \\ a=r\cos\varphi,\ \ b=r\sin\varphi. \end{gat}$$

    Свойства модуля комплексных чисел

    Для комплексного числа $$z=a+bi\in C$$ определим его модуль как$$|z|=\sqrt{z\bar z}=\sqrt{a^2+b^2}$$ (в геометрической интерпретации на плоскости C= R2 модуль комплексного числа $$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$ - это расстояние от точки (0,0) до точки (a,b), т. е. длина вектора z ).

    Пример 2.5.1.

  • Если $$z=a\in R$$, то $$|z|=\sqrt{a^2}=|a|$$, т. е. функция модуль комплексного числа $$|\phantom{a}|: C\to R^+$$ является продолжением функции модуль действительного числа $$|\phantom{a}|: R\to R^+=\{r\in R,\ r \geq 0\}$$.
  • |i|=1, $$|1+i|=\sqrt{2}$$.
  • $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=|\bar z|$$ для $$z=a+bi\in C$$.
  • $$|a|=\sqrt{a^2} \leq \sqrt{a^2+b^2}=|z|$$ для $$z=a+bi\in C$$.
    •

    Лемма 2.5.2. |wz|=|w|*|z| для $$w,z\in C$$.

    Доказательство.$$|wz|=\sqrt{(wz)\overline{(wz)}}=\sqrt{(w\bar w)(z\bar z)}= \sqrt{w\bar w}\sqrt{z\bar z}=|w|\,|z|.$$

    Другое доказательство этого факта следует из свойств тригонометрической формы.

    Следствие 2.5.3.

  • Если w=z-1 для $$0\neq z\in C$$, то 1=|1|=|z-1z|=|z-1|,|z|, поэтому$$|w|=\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|},\ \ \text{или}\ \ |z^{-1}|=|z|^{-1}.$$
  • Для $$w,z\in C$$, $$z\neq 0$$:$$\left|\frac{w}{z}\right|=|wz^{-1}|=|w|\,|z^{-1}|= |w|\,|z|^{-1}=\frac{|w|}{|z|}.$$

    • Лемма 2.5.4. $$|w+z| \leq |w|+|z|$$ для $$w,z\in C$$.

    Первое доказательство. Длина |w+z| стороны треугольника не превосходит суммы длин |w|+|z| двух других сторон.

    Второе доказательство. Если w=0 или z=0, то утверждение очевидно.

    Пусть теперь $$w\neq 0$$ и $$z\neq 0$$. Так как для z=a+bi имеем$$|a|=\sqrt{a^2} \leq \sqrt{a^2+b^2}=|z|,$$ то$$|1+z|^2=(1+z)(1+\bar z)=1+(z+\bar z)+z\bar z={}\\ {}=1+2a+|z|^2 \leq 1+2|z|+|z|^2=(1+|z|)^2,$$ и поэтому, поскольку $$|1+z| \geq 0$$, $$1+|z| \geq 0$$, $$|1+z| \leq 1+|z|$$. Далее,$$\begin{align*} |w+z| = |w(1+w^{-1}z)|=|w|\cdot |1+w^{-1}z| \leq {} \\ \leq |w|(1+|w^{-1}z|) = |w|(1+|w^{-1}|\,|z|)={} \\ =|w|+|ww^{-1}|\,|z|=|w|+|z|. \end{align*}$$

    Следствие 2.5.5. $$|w|-|z| \leq |w\pm z| \leq |w|+|z|$$ для $$w,z\in C$$.

    Доказательство.

  • $$|w-z| \leq |w|+|-z|=|w|+|z|$$.
  • Так как $$|w|=|(w-z)+z| \leq |w-z|+|z|$$, то $$|w|-|z| \leq |w-z|$$.
  • $$|w|-|z|=|w|-|-z| \leq |w+z|$$.
    •

    Тригонометрическая форма ненулевого комплексного числа

    Используя полярные координаты, модуль $$r=\sqrt{a^2+b^2}$$ и аргумент $$\varphi=\arg z$$, для комплексного числа z=a+bi и принимая во внимание, что $$a=r\cos\varphi$$, $$b=r\sin\varphi$$, получаем тригонометрическую форму:$$z=r\cos\varphi+r\sin\varphi\, i=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).$$

    Примеры 2.6.1.

  • $$1=1(\cos 0+i\sin 0)$$ ;
  • $$i=1\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)$$ ;
  • $$z=-1+\sqrt{3}i$$, $$r=|z|=\sqrt{1+3}=2$$, $$\cos\varphi=-\frac{1}{2}$$, $$\sin\varphi\=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\varphi\=\frac{2\pi}{3}$$, поэтому$$z=-1+\sqrt{3}i=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}\+i\sin\frac{2\pi}{3}\right);$$
  • $$\cos\varphi-i\sin\varphi=\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)$$.
    •

    Теорема 2.6.2 (о единственности тригонометрической формы). Если $$0\neq z=a+bi\in C$$ и$$z=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2),$$ где $$R\ni r_1>0$$, $$R\ni r_2>0$$, то$$r_1=r_2\quad \text{и}\quad \varphi_1-\varphi_2=2\pi k,\ \ k\in Z.$$

    Доказательство. Из единственности алгебраической формы имеем$$a=r_1\cos\varphi_1=r_2\cos\varphi_2,\quad b=r_1\sin\varphi_1=r_2\sin\varphi_2.$$ Возводя в квадрат и складывая, получаем$$r_1^2=r_1^2(\cos^2\varphi_1+\sin^2\varphi_1)= r_2^2(\cos^2\varphi_2+\sin^2\varphi_2)=r_2^2.$$ Так как r1>0, r2>0, то r1=r2. Поэтому $$\cos\varphi_1=\cos\varphi_2$$, $$\sin\varphi_1\=\sin\varphi_2$$, следовательно, $$\varphi_1-\varphi_2=2\pi k$$, $$k\in Z$$.

    Следствие 2.6.3. Если$$0\neq z=a+bi\in C,\quad z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),\ \ R\ni r>0,$$ то$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2},\quad \varphi=\arg z$$ )т. е. $$\arg z=\varphi+2\pi k$$, $$k\in Z$$ ).

    Упражнение 2.6.4. Если $$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$, r>0, то$$\begin{align*} -z = r(\cos(\varphi+\pi)+i\sin(\varphi+\pi)),\\ \bar z = r(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)). \end{align*}$$

    Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

    Алгебраическая форма записи комплексных чисел удобна для операций сложения и разности. Как мы сейчас убедимся, тригонометрическая форма записи ненулевых комплексных чисел удобна для операции умножения (и как следствие - для деления, возведения в степень, извлечения корней).

    Теорема 2.7.1. Если$$z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1),\quad z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2),$$ r1>0, r2>0, $$r_1,r_2\in R$$, то$$z_1z_2=(r_1r_2)(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)),$$ т. е. |z1z2|=|z1|,|z2|, $$\arg z_1z_2=(\varphi_1+\varphi_2)+2\pi k$$ (аргумент произведения равен сумме аргументов).

    Доказательство.$$\begin{align*} z_1z_2=(r_1r_2)((\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2)+{} \\ \quad {}+ i(\cos\varphi_1\sin\varphi_2+\sin\varphi_1\cos\varphi_2))={} \\ \quad {}=(r_1r_2)(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)), \end{align*}$$ r1r2>0. Итак, это тригонометрическая форма для z1z2, поэтому$$|z_1z_2|=r_1r_2=|z_1|\,|z_2|,\quad\arg z_1z_2=(\varphi_1+\varphi_2)+2\pi k.$$

    Следствие 2.7.2. $$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$$ для $$z_1,z_2\in C$$, $$z_2\neq 0$$, $$\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)\=\arg z_1-\arg z_2$$. В частности, |z-1|=|z|-1, $$\arg z^{-1} =-\arg z$$.

    Доказательство. Если $$z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)$$, |z1|=r1, $$\arg z_1\=\varphi_1+2\pi k$$, $$z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)$$, |z2|=r2, $$\arg z_2\=\varphi_2+2\pi k$$, то$$r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)\cdot \smash[b]{\frac{r_1}{r_2}} (\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2))={} \\ {}=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1),$$ следовательно,$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+ i\sin(\varphi_1-\varphi_2)),\quad \frac{r_1}{r_2}>0,$$ поэтому$$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{r_1}{r_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|},\quad \arg \frac{z_1}{z_2}=(\varphi_1-\varphi_2)+2\pi k,\ \ k\in Z.$$ Если$$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),\quad r>0,$$ то$$z^{-1}=\frac{1}{r}(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)),$$ и поэтому$$|z^{-1}|=\frac{1}{r}=|z|^{-1},\quad \arg z^{-1}=-\varphi+2\pi k,\ \ k\in Z.$$

    Следствие 2.7.3. Умножение комплексного числа z на комплексное число $$r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$, r>0, означает "растяжение" вектора z в r раз и поворот полученного вектора на угол $$\varphi$$ (т. е. умножение модуля |z| на r, а затем прибавление $$\varphi$$ к $$\arg z$$ ).

    В частности, умножение комплексного числа на $$\cos\varphi+i\sin\varphi$$ равносильно повороту на $$\varphi$$ )умножение на $$i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}$$ означает поворот плоскости вокруг начала координат на $$\frac{\pi}{2}$$ ).

    Упражнение 2.7.4 (экспоненциальная форма Эйлера записи комплексного числа). Рассмотрим последовательность$$c_n=a_n+ib_n\in C,$$ где $$a_n,b_n\in R$$. Если существуют$$\lim_{n\to\infty}a_n=a\in R,\quad \lim_{n\to\infty}b_n=b\in R,$$ то существует$$\lim_{n\to\infty}(a_n+ib_n)=a+ib\in C$$ (в метрике на C= R2, определяемой |z| для $$z\in C$$ ).

    Покажите, что$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a+bi}{n}\right)^n= e^a(\cos b+i\sin b).$$ Это дает основание (Эйлер) ввести обозначение ea+bi=eaebi, где$$e^{bi}=\cos b+i\sin b.$$ Если $$z,w\in C$$, то $$e^z\cdot e^w=e^{z+w}$$.

    Геометрическая интерпретация обратного элемента

    $$z^{-1}>$$ для $${z=a+bi\in C}$$

    Если $$0\neq z=a+bi\in C$$, то, как мы видели, zz=N(z)=|z|2=a2+b2,$$z^{-1}=\frac{\bar z}{|z|^2}=\overline{\left(\frac{z}{|z|^2}\right)}.$$ Таким образом, геометрическое построение комплексного числа z-1 можно провести двумя последовательными процедурами:

    а) инверсия $$z\to z'=\frac{z}{|z|^2}$$ относительно окружности единичного радиуса ( $$|z'|=\frac{1}{|z|}$$ );

    б) сопряжение $$z'\to \overline{z'}=z^{-1}$$.

    Задача 2.8.1. Найти геометрическое множество точек z-1, где z пробегает прямую $$\{1+bi\mid b\in R\}$$.

    Упражнение 2.8.2.

    Для $$w\in C$$, $$w\neq 0$$, имеем$$\left|\frac{w}{\bar w}\right|=\frac{|w|}{|\bar w|}=\frac{|w|}{|w|}=1,$$ таким образом,$$\frac{w}{\bar w}\in T=\{z\in C\mid |z|=1\}.$$

    Если $$z\in T$$, т. е. |z|=1, $$z=\cos\varphi+i\sin\varphi$$, то $$z=\frac{w}{\bar w}$$ для некоторого $$0\neq w\in C$$. Таким образом,$$\left\{\left.z=\frac{1+it}{1-it}\right|t\in R\right\}=T.$$ Действительно, если $$w=\cos\theta+i\sin\theta$$, то $$\bar w\=\cos(-\theta)\+i\sin(-\theta)$$ и$$\frac{w}{\bar w}=\cos 2\theta + i\sin 2\theta= \cos\varphi+i\sin\varphi.$$ Таким образом, если $$2\theta=\varphi$$, т. е. $$\theta\=\frac{\varphi}{2}$$, то $$w\=\cos\frac{\varphi}{2}\+i\sin\frac{\varphi}{2}$$ является одним из решений этой задачи.

    Упражнение 2.8.3.

  • Единичная окружность $$T=\{z\in C\mid |z|=1\}$$ с операцией умножения является группой (подгруппой мультипликативной группы $$( C^*= C\setminus \{0\},{\cdot})$$ поля C комплексных чисел).
  • $$\{r\in R\mid r<0\}=\{z\in C\mid\arg z=\pi+2\pi k\}$$.
  • Найти все $$z\in C$$, для которых $$\left|\frac{z-i}{z+i}\right|=1$$.
  • Найти все $$z\in C$$, для которых |z+i|+|z-i|=2.
  • Три различных комплексных числа $$z_1,z_2,z_3\in C\in R^2$$ лежат на одной прямой в R2 тогда и только тогда, когда$$\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}\in R.$$
  • Четыре различных комплексных числа $$z_1,z_2,z_3,z_4\in C= R^2$$, не лежащие на одной прямой в R2, лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда их двойное отношение является вещественным числом:$$\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}:\frac{z_1-z_4}{z_2-z_4}\in R.$$
  • Рассмотрим отображение инфлексии $$C\to C$$,$$z=x+yi\mapsto y+xi=\underline z,\quad x,y\in R.$$

    Показать, что:

    (a) отображение $$z\to\underline z$$ является биекцией, при этом $$\underline{(z_1+z_2)}=\underline{z_1} + \underline{z_2}$$, $$|\underline{z}|=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$ ;

    (б) $$\underline{zw}=\frac{1}{i}\underline z\cdot \underline w$$ для $$z,w\in C$$ ;

    (в) $$|\underline{zw}|=|\underline z\cdot \underline w|= |\underline{z}|\,|\underline{w}|$$, в частности $$|z\underline z|=|z|^2$$ для $$z\in C$$.

    •

    Теорема 2.8.4 (формула Муавра о возведении в степень комплексного числа в тригонометрической форме). Пусть $$0\neq z\in C$$, $$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$, r>0, $$n\in Z$$. Тогда$$(r(\cos\varphi+i\sin\varphi))^n=r^n (\cos n\varphi+i\sin n\varphi).$$

    Доказательство. Утверждение теоремы - частный случай теоремы 2.7.1.

    Упражнение 2.8.5. Так как для $$n\in N$$$$(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)=(\cos\varphi+i\sin\varphi)^n,$$ то, выражая правую часть с помощью формулы бинома Ньютона, получаем, приравнивая действительные и мнимые части:

    $$\begin{align*} \cos n\varphi = \cos^n \varphi-C_n^2 \cos^{n-2}\varphi\sin^2\varphi+ C_n^4 \cos^{n-4}\varphi\sin^4\varphi-...,\\ \sin n\varphi = n\cos^{n-1}\varphi\sin\varphi\!-\! C_n^3 \cos^{n-3}\varphi\sin^3\varphi\!+\! C_n^5 \cos^{n-5}\varphi\sin^5\varphi\!-\!.... \end{align*}$$

    Например:

    $$\begin{align*} \cos 2\varphi = \cos^2\varphi-\sin^2\varphi,\\ \cos 3\varphi = \cos^3\varphi-3\cos\varphi\sin^2\varphi,\\ \cos 4\varphi = \cos^4\varphi-6\cos^2\varphi\sin^2\varphi+ \sin^4\varphi,\\ \sin 2\varphi = 2\cos\varphi\sin\varphi,\\ \sin 3\varphi = 3\cos^2\varphi\sin\varphi-\sin^3\varphi,\\ \sin 4\varphi = 4\cos^3\varphi\sin\varphi-4\cos\varphi\sin^3\varphi. \end{align*}$$

    Упражнение 2.8.6. Если$$u=\cos\varphi+i\sin\varphi,\quad v=\bar u =\cos\varphi-i\sin\varphi,$$ то

    $$\begin{gath} u+v=2\cos\varphi,\quad u-v=2i\sin\varphi,\quad uv=1,\\ u^m=\cos m\varphi+i\sin m\varphi,\\* v^m=(\bar u)^m = \overline{(u^m)}=\cos m\varphi-i\sin m\varphi, \end{gath}% \begin{multl} 2^n\cos^n\varphi=(u+v)^n= \sum_{k=0}^{n}C_n^k u^{n-k}v^k={}\\ {}=(u^n+v^n)+nuv(u^{n-2}+v^{n-2})+C_n^2u^2v^2(u^{n-4}+v^{n-4})+.... \end{multl}$$

    Если n=2k, то

    $$\begin{mul} (-1)^{n/2}2^n\sin^n\varphi=(u-v)^n={}\\ {}=(u^n+v^n)-nuv(u^{n-2}+v^{n-2})+C_n^2u^2v^2(u^{n-4}+v^{n-4})-.... \end{mul}$$

    Если n=2k+1, то

    $$\begin{mul} (-1)^{(n-1)/2}i2^n\sin^n\varphi=(u-v)^n={}\\ {}=(u^n-v^n)-nuv(u^{n-2}-v^{n-2})+C_n^2u^2v^2(u^{n-4}-v^{n-4})-.... \end{mul}$$

    Отсюда: если n=2k, то

    $$\begin{align*} 2^n\cos^n\varphi ={} \\* \quad {}= 2\cos n\varphi+2n\cos(n-2)\varphi+2C_n^2\cos(n-4)\varphi+...+ C_n^{n/2},\\ (-1)^{n/2}2^n\sin^n\varphi ={} \\ \quad {}= 2\cos n\varphi-2n\cos(n-2)\varphi+ 2C_n^2\cos(n-4)\varphi-...+ (-1)^{n/2}C_n^{n/2}; \end{align*}$$

    если n=2k+1, то

    $$\begin{align*} 2^n\cos^n\varphi ={} \\ \quad {}= 2\cos n\varphi+2n\cos(n-2)\varphi+2C_n^2\cos(n-4)\varphi+...+{} \\ \quad {}+ 2C_n^{(n-1)/2}\cos\varphi,\\ (-1)^{(n-1)/2}2^n\sin^n\varphi ={} \\ \quad {}= 2\sin n\varphi-2n\sin(n-2)\varphi+ 2C_n^2\sin(n-4)\varphi-...+{} \\ \quad {}+(-1)^{(n-1)/2}2C_n^{(n-1)/2}\sin\varphi. \end{align*}$$

    Упражнение 2.8.7. Если $$u=\cos\varphi+i\sin\varphi$$, $$\varphi\neq 2\pi k$$, то$$u+...+u^n=u\frac{u^n-1}{u-1}.$$ Приравнивая вещественные и мнимые части, получаем:$$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\cos k\varphi = \frac{\sin \frac{n\varphi}{2}\cos \frac{(n+1)\varphi}{2}}% {\sin\frac{\varphi}{2}};\\ \sum_{k=1}^{n}\sin k\varphi = \frac{\sin\frac{n\varphi}{2}\sin\frac{(n+1)\varphi}{2}}% {\sin\frac{\varphi}{2}}. \end{align*}$$

    Теорема 2.8.8 (извлечение корней n-й степени из комплексных чисел). Пусть $$n \geq 1$$, $$0\neq z\in C$$, $$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$, r>0. Тогда существует ровно n различных корней n -й степени из z )таких $$w\in C$$, что wn=z ) :$$w_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi\!+\!2\pi k}{n}+ i\sin\frac{\varphi\!+\!2\pi k}{n}\right),\ k=0,1,2,...,n-1.$$ Они все лежат на окружности радиуса $$\rho=\sqrt[n]{r}$$, образуя вершины правильного $$n$$ -угольника с аргументами$$\frac{\varphi}{n}, \frac{\varphi+2\pi}{n}=\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi}{n},..., \frac{\varphi+2\pi(n-1)}{n}=\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi}{n}(n-1).$$

    Доказательство. Будем искать решения w уравнения wn=z в тригонометрической форме:$$w=\rho(\cos\theta+i\sin\theta),\quad\rho>0.$$ Тогда по формуле Муавра$$w^n=\rho^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)= r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=z,$$ т. е. $$\rho^n=r$$, и поэтому $$\rho=\sqrt[n]{r}$$, $$n\theta=\varphi+2\pi k$$, $$k\in Z$$. Различных корней будет ровно n при k=0,1,2,...,n-1:$$w_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+ i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),\quad k=0,1,2,...,n-1.$$

    Упражнение 2.8.9. Найдем корни уравнения x2-(2+i)x+(-1+7i)=0 (в алгебраической форме):$$x_{1,2}=\frac{(2+i)\pm \sqrt{(2+i)^2-4(-1+7i)}}{2}= \frac{(2+i)\pm \sqrt{7-24i}}{2};$$ $$\sqrt{7-24i}=5\sqrt{\frac{7}{25}-\frac{24}{25}i}$$, $$z=\frac{7}{25}-\frac{24}{25}i=\cos\varphi+i\sin\varphi$$, где $$\cos\varphi=\frac{7}{25}$$, $$\sin\varphi=-\frac{24}{25}$$, $$\sqrt{z}=\pm \left(\cos\frac{\varphi}{2}+i\sin\frac{\varphi}{2}\right)$$. Так как $$\sin\varphi<0$$, $$\cos\varphi>0$$, то $$\frac{3\pi}{2}<\varphi<2\pi$$, и поэтому $$\frac{3\pi}{4}<\frac{\varphi}{2}<\pi$$, т. е. $$\cos\frac{\varphi}{2}<0$$, $$\sin\frac{\varphi}{2}>0$$, следовательно, $$\cos\frac{\varphi}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos\varphi}{2}}=-\frac{4}{5}$$, $$\sin\frac{\varphi}{2}=+\frac{1-\cos\varphi}{2}=\frac{3}{5}$$, $$\sqrt{z}=\pm \left(-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i\right)$$. Итак, $$x_{1,2}=\frac{(2+i)\pm (-4+3i)}{2}$$, x1=-1+2i, x2=3-i.

    Упражнение 2.8.10. Найти все корни третьей степени из $$-1+\sqrt{3}i=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$$. По формуле из теоремы все три корня из $$-1+\sqrt{3}i$$ имеют следующий вид:$$\begin{gat} w_0 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{2\pi}{9}+i\sin\frac{2\pi}{9}\right);\\ w_1 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{8\pi}{9}+i\sin\frac{8\pi}{9}\right);\quad w_2 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{14\pi}{9}+i\sin\frac{14\pi}{9}\right). \end{gat}$$ На рисунке:

    Упражнение 2.8.11. Найти все корни четвертой степени из i. Так как $$i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}$$, по формуле из теоремы все четыре корня из i имеют следующий вид:$$\begin{gat} w_0 = \cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8};\quad w_1 = \cos\frac{5\pi}{8}+i\sin\frac{5\pi}{8};\\ w_2 = \cos\frac{9\pi}{8}+i\sin\frac{9\pi}{8};\quad w_3 = \cos\frac{13\pi}{8}+i\sin\frac{13\pi}{8}. \end{gat}$$ На рисунке:

    Упражнение 2.8.12. Извлеките все корни$$\sqrt[6]{\frac{1-i}{\sqrt{3}+i}}.$$

    Упражнение 2.8.13. Покажите, что$$\sqrt[4]{-\frac{18}{1+i\sqrt{3}}}= \biggl\{\pm\biggl(\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\biggr), \pm\biggl(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i\biggr)\biggr\}.$$

    Страницы:

    Понятие числа является одним из основных понятий в математических теориях. К основным числовым системам принадлежат:

  • натуральные числа N (полукольцо);
  • натуральные числа с нулем $$N_0= N\cup\{0\}$$ (полукольцо с нулем);
  • целые числа Z (кольцо);
  • рациональные числа Q (поле);
  • действительные числа R (поле).
    •

    При этом$$N\subset N_0\subset Z\subset Q\subset R.$$ Отметим, что рациональные числа Q и действительные числа R с операциями сложения и умножения являются полями . Напомним, что множество K с операциями сложения и умножения, $$(K,+,\cdot)$$, называется полем, если:

  • операция сложения

  • коммутативна ( $$a+b=b+a \kvsp \forall a,b \in K$$ );
  • ассоциативна ( $$(a+b)+c=a+(b+c) \kvsp \forall a,b,c \in K$$ );
  • существует нейтральный элемент 0 ( $$0+a=a \kvsp \forall a \in K$$ );
  • $$\forall a \in K$$ существует противоположный элемент -a ( a+(-a)=0 )
    •

    (кратко, (K, +) - коммутативная группа);

  • операция умножения

  • коммутативна ( $$ab=ba \kvsp \forall a,b \in K$$ );
  • ассоциативна ( $$(ab)c=a(bc) \kvsp \forall a,b,c \in K$$ );
  • существует нейтральный элемент 1 ( $$1a=a \kvsp \forall a \in K$$ ), $$1\neq 0$$

    • (кратко, $$(K, \cdot)$$ - коммутативный моноид);

  • имеет место дистрибутивность, связывающая операции сложения и умножения ( $$(a+b)c=ac+bc \kvsp \forall a,b,c \in K$$ ).

    Условия 1), 2), 3) определяют коммутативное кольцо.

  • Имеет место обратимость ненулевых элементов ( $$\forall a \in K,\ a\neq 0, \kvsp \exists b \in K \kvsp ab=1$$ ).

    • Поле действительных чисел R, при всех его достоинствах, не является алгебраически замкнутым полем (т. е. многочлены с действительными коэффициентами могут не иметь действительных корней: например, многочлен x2+1 не имеет действительного корня). Нашей целью является построение расширения C поля действительных чисел R, $$R\subset C$$, в котором есть такой элемент $$i\in C$$, что i2=-1 (уравнение x2+1=0 имеет решение), при этом в некотором смысле это минимальное расширение с этим свойством. Построенное поле C окажется алгебраически замкнутым (алгебраическим замыканием поля R ).

    Анализ ситуации

    Допустим, что существует поле K, содержащее в качестве подполя поле действительных чисел, $$R\subset K$$, и элемент $$i\in K$$ такой, что i2=-1. Тогда:

  • для $$a,b,c,d\in R$$ равенство a+bi=c+di выполнено тогда и только тогда, когда a=b, c=d

    Доказательство. Если a+bi=c+di, то a-c=(d-b)i, поэтому (a-c)2=-(d-b)2, следовательно, (a-c)2=0=(d-b)2, т. е. a=c, b=d.

  • подмножество D всех элементов a+bi, $$a,b\in R$$, замкнуто относительно операции сложения (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i, $$0=0+0i\in D$$ является в D нейтральным элементом, -(a+bi)=(-a)+(-b)i - противоположный элемент для a+bi. Итак, D относительно сложения - коммутативная группа.
  • подмножество D замкнуто относительно умножения (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
  • (a+bi)(a-bi)=a2+b2.
  • если $$a+bi\neq 0$$, то a2+b2>0, и$$(a+bi)\left(\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\right)= \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1,$$ следовательно,$$(a+bi)^{-1}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i$$ для $$a+bi\neq 0$$. Итак, D является подполем поля K, $$R\subset D$$, $$i\in D$$, D - наименьшее подполе в K, содержащее R и i.
    •

    Построение поля комплексных чисел

    На основе проведенного анализа положим$$C= R^2=\{(a,b)\mid a,b\in R\}\text{ -}$$ совокупность упорядоченных пар действительных чисел.

    Рассмотрим следующие операции сложения и умножения: (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d), (a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc).

    Тогда:

  • C=( R2,+) - абелева группа (сложение ассоциативно и коммутативно; (0,0) - нейтральный элемент; (-a,-b) - противоположный элемент для (a,b) );

  • умножение: ассоциативно

    ((a,b)(c,d))(e,f) = (ac-bd,ad+bc)(e,f)=
= ((ac-bd)e-(ad+bc)f,(ac-bd)f+(ad+bc)e)=
= (ace-bde-adf-bcf,acf-bdf+ade+bce)=
= (ace-adf-bcf-bde,acf+ade+bce-bdf)=
= (a(ce-df)-b(cf+de),a(cf+de)+b(ce-df))=
= (a,b)(ce-df,cf+de)=(a,b)((a,d)(e,f));

    коммутативно

    (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)= (ca-db,cb+da)=(c,d)(a,b);

    (1,0) - нейтральный элемент, (a,b)(1,0)=(a,b), $$(1,0)\neq (0,0)$$ ;

  • выполнено свойство дистрибутивности:

    (a,b)((c,d)+(e,f))=(a,b)((c+e,d+f))=
= (a(c+e)-b(d+f),a(d+f)+b(c+e))=
= (ac+ae-bd-bf,ad+af+bc+be)=
= (ac-bd+ae-bf,ad+bc+af+be)=
= (ac-bd,ad+bc) + (ae-bf,af+be)=
= (a,b)(c,d)+(a,b)(e,f).

    • Итак, C = R2 с этими операциями сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей (1,0).

    Если $$(a,b)\neq(0,0)$$, $$a,b\in R$$, то a2+b2>0 и$$(a,b)\left(\frac{a}{a^2+b^2},-\frac{b}{a^2+b^2}\right)= \left(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2},0\right)=(1,0),$$ таким образом, каждый элемент $$(0,0)\neq(a,b)\in C= R^2$$ имеет обратный.

    Итак, C= R2 с этими операциями сложения и умножения - поле.

    Осуществим вложение поля действительных чисел R в построенное поле C= R2, сопоставляя любому элементу $$a\in R$$ пару $$(a,0)\in C= R^2$$. Так как для $$a,b\in R$$ имеем

    (a+b,0) = (a,0)+(b,0), (ab,0) = (a,0)(b,0),

    то это отображение является изоморфизмом поля R на подполе $$\{(a,0)\mid a\in R\}$$ поля C=R2. В дальнейшем мы будем отождествлять a и (a,0), полагая a=(a,0), в частности 1=(1,0).

    Если i=(0,1), то i2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1, (элемент i=(0,1) в построенном расширении C= R2 поля R является корнем уравнения x2+1=0 ).

    Для любых $$a,b\in R$$ имеем (a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)(0,1)=a+bi, при этом это представление единственно (как из "анализа задачи", так и непосредственно: если a+bi=c+di, то (a,b)=a+bi=c+di=(c,d), следовательно, a=c, b=d ).

    Элементы построенного поля C= R2 называются комплексными числами . Форма записи комплексного числа в виде a+bi, $$a,b\in R$$, называется алгебраической формой записи , в которой: (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i, (a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i,$$(a+bi)^{-1} = \frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\ \ \text{для } a+bi\neq 0.$$

    В геометрической интерпретации комплексное число

    Сложение комплексных чисел соответствует сложению векторов:

    Геометрическая интерпретация умножения и перехода к обратному элементу будет дана позже.

    Для комплексного числа $$z=a+bi\in C$$, $$a,b\in R$$, $$a=\text{Re} z$$ называется его вещественной частью, $$b=\text{Im} z$$ - его мнимой частью.

    Замечание 2.2.1. C уравнение x2+1=0 имеет лишь два решения: x=i, x=-i. Действительно, если (a+bi)2=-1, то a2-b2=-1, 2ab=0. Так как $$b\neq 0$$ (иначе a2=-1 ), то a=0 и b2=1, поэтому $$b=\pm 1$$.

    Сопряжение комплексных чисел

    Каждому комплексному числу $$z=x+iy\in C$$ сопоставим комплексное число $$\bar z=x-iy\in C$$, называемое комплексно сопряженным. Геометрическая интерпретация перехода от

    Теорема 2.3.1.

  • Операция комплексного сопряжения $$z\to\bar z$$ является автоморфизмом поля C комплексных чисел (т. е. биекцией, для которой $$\overline{z+w}=\bar z+\bar w$$, $$\overline{zw}=\bar z\bar w$$ для $$z,w\in C$$ и, как следствие, $$\overline{\left(\frac{w}{z}\right)}=\frac{\bar w}{\mathstrut\bar z}$$ для $$z\neq 0$$ ), оставляющим все действительные числа и только их на месте ( a=a для $$a\in R\subseteq C$$ ; если z=z, то $$z\in R$$ ).
  • Квадрат комплексного сопряжения равен тождественному отображению ( $$\Bar{\Bar z}=z$$ ).
  • Если $$z=a+bi\in C$$, $$a,b\in R$$, то $$z+\bar z=2a\in R$$, $$z-\bar z=2bi\in R i$$, $$N(z)=z\bar z=a^2+b^2\in R$$, при этом N(wz)=N(w)N(z) для $$w,z\in C$$.
  • Если $$f: C\to C$$ - такой автоморфизм поля C комплексных чисел, что f(a)=a для всех $$a\in R\subseteq C$$, то либо f=1C, либо $$f(z)= \overline z$$ для $$z\in C$$ (тем самым показано, что группа Галуа расширения $$R\subset C$$ состоит из двух элементов).
    •

    Доказательство.

  • Ясно, что соответствие$$z=a+bi=(a,b)\to\bar z=a-bi=(a,-b)$$ является биекцией.

    Если z=a+bi, w=c+di, то z+w = (a+b)+(c+d)i=(a+b)-(c+d)i= =(a-ci)+(b-di)=z+w; -z=-a-bi=-a+bi=-(a-bi)=-(z); z-w=z+(-w)=z-w; zw=(ac-bd)+(ad+bc)i=(ac-bd)-(ad+bc)i= =(a-bi)(c-di)=zw.

    Если $$z\neq 0$$, то $$1=\overline{z\cdot z^{-1}}=\overline{z}\cdot\overline{z^{-1}}$$, т. е. $$\overline{z^{-1}}=(\bar z)^{-1}$$. Поэтому$$\overline{\left(\frac{w}{z}\right)}=\overline{wz^{-1}}= \bar w \overline{(z^{-1})}=\bar w(\bar z)^{-1}=\frac{\bar w}{\bar z}.$$

    Если $$z=a\in R$$, то z=a. Если z=a+bi, то z=z означает, что z=a+bi=a-bi=z, т. е. b=-b, поэтому b=0 и $$z=a\in R$$. Итак, z=z тогда и только тогда, когда $$z\in R$$.

  • $$\Bar{\Bar z}=\overline{a-bi}=a+bi=z$$.
  • Если z=a+bi, то$$\begin{align*} z+\bar z = (a+bi)+(a-bi) = 2a\in R,\\ z-\bar z = (a+bi)-(a-bi)=2bi\in R i,\\ z\cdot\bar z = (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\in R. \end{align*}$$ Далее,$$N(wz)=wz\overline{wz}=wz\bar w\bar z=w\bar wz\bar z=N(w)N(z).$$
  • Так как i2=-1, то f(i)^2=f(-1)=-1, поэтому

    либо f(i)=i, и тогда f(a+bi)=f(a)+f(b)f(i)=a+bi },

    либо f(i)=-i, и тогда f(a+bi)=f(a)+f(b)f(i)=a-bi

    •

    Замечание 2.3.2.

  • Если комплексное число $$\alpha$$ получено как выражение из комплексных чисел $$\alpha_1,...,\alpha_n$$ с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления, то то же выражение из комплексных чисел $$\bar\alpha_1,...,\bar\alpha_n$$ дает $$\bar\alpha$$.
  • Правило деления комплексного числа w=c+di на ненулевое комплексное число $$0\neq z=a+bi\in C$$ (в алгебраической форме):$$\frac{w}{z}=\frac{c+di}{a+bi}= \frac{(c+di)(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}= \left(\frac{ca+db}{a^2+b^2}\right)+\left(\frac{-cb+da}{a^2+b^2}\right)i.$$

    • Полярные координаты точек плоскости (отличных от начала координат)

    Точка плоскости (a,b), отличная от начала координат (0,0), однозначно задается своими полярными координатами r, $$\varphi$$, где r - расстояние от данной точки до начала координат, $$\varphi$$ - угол между положительной полуосью абсцисс и радиусом-вектором точки (a,b), отсчитываемый против часовой стрелки (определенный с точностью до $$2\pi k$$, $$k\in Z$$, и называемый аргументом точки (a,b) ).

    Аргумент точки 0=(0,0) не определен.

    Формулы перехода от декартовых координат a и b точки (a,b) к полярным координатам и обратно:$$\begin{gat} r=\sqrt{a^2+b^2}, \\* \sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \ \cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}; \\ a=r\cos\varphi,\ \ b=r\sin\varphi. \end{gat}$$

    Свойства модуля комплексных чисел

    Для комплексного числа $$z=a+bi\in C$$ определим его модуль как$$|z|=\sqrt{z\bar z}=\sqrt{a^2+b^2}$$ (в геометрической интерпретации на плоскости C= R2 модуль комплексного числа $$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$ - это расстояние от точки (0,0) до точки (a,b), т. е. длина вектора z ).

    Пример 2.5.1.

  • Если $$z=a\in R$$, то $$|z|=\sqrt{a^2}=|a|$$, т. е. функция модуль комплексного числа $$|\phantom{a}|: C\to R^+$$ является продолжением функции модуль действительного числа $$|\phantom{a}|: R\to R^+=\{r\in R,\ r \geq 0\}$$.
  • |i|=1, $$|1+i|=\sqrt{2}$$.
  • $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=|\bar z|$$ для $$z=a+bi\in C$$.
  • $$|a|=\sqrt{a^2} \leq \sqrt{a^2+b^2}=|z|$$ для $$z=a+bi\in C$$.
    •

    Лемма 2.5.2. |wz|=|w|*|z| для $$w,z\in C$$.

    Доказательство.$$|wz|=\sqrt{(wz)\overline{(wz)}}=\sqrt{(w\bar w)(z\bar z)}= \sqrt{w\bar w}\sqrt{z\bar z}=|w|\,|z|.$$

    Другое доказательство этого факта следует из свойств тригонометрической формы.

    Следствие 2.5.3.

  • Если w=z-1 для $$0\neq z\in C$$, то 1=|1|=|z-1z|=|z-1|,|z|, поэтому$$|w|=\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|},\ \ \text{или}\ \ |z^{-1}|=|z|^{-1}.$$
  • Для $$w,z\in C$$, $$z\neq 0$$:$$\left|\frac{w}{z}\right|=|wz^{-1}|=|w|\,|z^{-1}|= |w|\,|z|^{-1}=\frac{|w|}{|z|}.$$

    • Лемма 2.5.4. $$|w+z| \leq |w|+|z|$$ для $$w,z\in C$$.

    Первое доказательство. Длина |w+z| стороны треугольника не превосходит суммы длин |w|+|z| двух других сторон.

    Второе доказательство. Если w=0 или z=0, то утверждение очевидно.

    Пусть теперь $$w\neq 0$$ и $$z\neq 0$$. Так как для z=a+bi имеем$$|a|=\sqrt{a^2} \leq \sqrt{a^2+b^2}=|z|,$$ то$$|1+z|^2=(1+z)(1+\bar z)=1+(z+\bar z)+z\bar z={}\\ {}=1+2a+|z|^2 \leq 1+2|z|+|z|^2=(1+|z|)^2,$$ и поэтому, поскольку $$|1+z| \geq 0$$, $$1+|z| \geq 0$$, $$|1+z| \leq 1+|z|$$. Далее,$$\begin{align*} |w+z| = |w(1+w^{-1}z)|=|w|\cdot |1+w^{-1}z| \leq {} \\ \leq |w|(1+|w^{-1}z|) = |w|(1+|w^{-1}|\,|z|)={} \\ =|w|+|ww^{-1}|\,|z|=|w|+|z|. \end{align*}$$

    Следствие 2.5.5. $$|w|-|z| \leq |w\pm z| \leq |w|+|z|$$ для $$w,z\in C$$.

    Доказательство.

  • $$|w-z| \leq |w|+|-z|=|w|+|z|$$.
  • Так как $$|w|=|(w-z)+z| \leq |w-z|+|z|$$, то $$|w|-|z| \leq |w-z|$$.
  • $$|w|-|z|=|w|-|-z| \leq |w+z|$$.
    •

    Тригонометрическая форма ненулевого комплексного числа

    Используя полярные координаты, модуль $$r=\sqrt{a^2+b^2}$$ и аргумент $$\varphi=\arg z$$, для комплексного числа z=a+bi и принимая во внимание, что $$a=r\cos\varphi$$, $$b=r\sin\varphi$$, получаем тригонометрическую форму:$$z=r\cos\varphi+r\sin\varphi\, i=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).$$

    Примеры 2.6.1.

  • $$1=1(\cos 0+i\sin 0)$$ ;
  • $$i=1\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)$$ ;
  • $$z=-1+\sqrt{3}i$$, $$r=|z|=\sqrt{1+3}=2$$, $$\cos\varphi=-\frac{1}{2}$$, $$\sin\varphi\=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\varphi\=\frac{2\pi}{3}$$, поэтому$$z=-1+\sqrt{3}i=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}\+i\sin\frac{2\pi}{3}\right);$$
  • $$\cos\varphi-i\sin\varphi=\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)$$.
    •

    Теорема 2.6.2 (о единственности тригонометрической формы). Если $$0\neq z=a+bi\in C$$ и$$z=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2),$$ где $$R\ni r_1>0$$, $$R\ni r_2>0$$, то$$r_1=r_2\quad \text{и}\quad \varphi_1-\varphi_2=2\pi k,\ \ k\in Z.$$

    Доказательство. Из единственности алгебраической формы имеем$$a=r_1\cos\varphi_1=r_2\cos\varphi_2,\quad b=r_1\sin\varphi_1=r_2\sin\varphi_2.$$ Возводя в квадрат и складывая, получаем$$r_1^2=r_1^2(\cos^2\varphi_1+\sin^2\varphi_1)= r_2^2(\cos^2\varphi_2+\sin^2\varphi_2)=r_2^2.$$ Так как r1>0, r2>0, то r1=r2. Поэтому $$\cos\varphi_1=\cos\varphi_2$$, $$\sin\varphi_1\=\sin\varphi_2$$, следовательно, $$\varphi_1-\varphi_2=2\pi k$$, $$k\in Z$$.

    Следствие 2.6.3. Если$$0\neq z=a+bi\in C,\quad z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),\ \ R\ni r>0,$$ то$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2},\quad \varphi=\arg z$$ )т. е. $$\arg z=\varphi+2\pi k$$, $$k\in Z$$ ).

    Упражнение 2.6.4. Если $$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$, r>0, то$$\begin{align*} -z = r(\cos(\varphi+\pi)+i\sin(\varphi+\pi)),\\ \bar z = r(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)). \end{align*}$$

    Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

    Алгебраическая форма записи комплексных чисел удобна для операций сложения и разности. Как мы сейчас убедимся, тригонометрическая форма записи ненулевых комплексных чисел удобна для операции умножения (и как следствие - для деления, возведения в степень, извлечения корней).

    Теорема 2.7.1. Если$$z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1),\quad z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2),$$ r1>0, r2>0, $$r_1,r_2\in R$$, то$$z_1z_2=(r_1r_2)(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)),$$ т. е. |z1z2|=|z1|,|z2|, $$\arg z_1z_2=(\varphi_1+\varphi_2)+2\pi k$$ (аргумент произведения равен сумме аргументов).

    Доказательство.$$\begin{align*} z_1z_2=(r_1r_2)((\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2)+{} \\ \quad {}+ i(\cos\varphi_1\sin\varphi_2+\sin\varphi_1\cos\varphi_2))={} \\ \quad {}=(r_1r_2)(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)), \end{align*}$$ r1r2>0. Итак, это тригонометрическая форма для z1z2, поэтому$$|z_1z_2|=r_1r_2=|z_1|\,|z_2|,\quad\arg z_1z_2=(\varphi_1+\varphi_2)+2\pi k.$$

    Следствие 2.7.2. $$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$$ для $$z_1,z_2\in C$$, $$z_2\neq 0$$, $$\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)\=\arg z_1-\arg z_2$$. В частности, |z-1|=|z|-1, $$\arg z^{-1} =-\arg z$$.

    Доказательство. Если $$z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)$$, |z1|=r1, $$\arg z_1\=\varphi_1+2\pi k$$, $$z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)$$, |z2|=r2, $$\arg z_2\=\varphi_2+2\pi k$$, то$$r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)\cdot \smash[b]{\frac{r_1}{r_2}} (\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2))={} \\ {}=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1),$$ следовательно,$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+ i\sin(\varphi_1-\varphi_2)),\quad \frac{r_1}{r_2}>0,$$ поэтому$$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{r_1}{r_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|},\quad \arg \frac{z_1}{z_2}=(\varphi_1-\varphi_2)+2\pi k,\ \ k\in Z.$$ Если$$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),\quad r>0,$$ то$$z^{-1}=\frac{1}{r}(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)),$$ и поэтому$$|z^{-1}|=\frac{1}{r}=|z|^{-1},\quad \arg z^{-1}=-\varphi+2\pi k,\ \ k\in Z.$$

    Следствие 2.7.3. Умножение комплексного числа z на комплексное число $$r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$, r>0, означает "растяжение" вектора z в r раз и поворот полученного вектора на угол $$\varphi$$ (т. е. умножение модуля |z| на r, а затем прибавление $$\varphi$$ к $$\arg z$$ ).

    В частности, умножение комплексного числа на $$\cos\varphi+i\sin\varphi$$ равносильно повороту на $$\varphi$$ )умножение на $$i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}$$ означает поворот плоскости вокруг начала координат на $$\frac{\pi}{2}$$ ).

    Упражнение 2.7.4 (экспоненциальная форма Эйлера записи комплексного числа). Рассмотрим последовательность$$c_n=a_n+ib_n\in C,$$ где $$a_n,b_n\in R$$. Если существуют$$\lim_{n\to\infty}a_n=a\in R,\quad \lim_{n\to\infty}b_n=b\in R,$$ то существует$$\lim_{n\to\infty}(a_n+ib_n)=a+ib\in C$$ (в метрике на C= R2, определяемой |z| для $$z\in C$$ ).

    Покажите, что$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a+bi}{n}\right)^n= e^a(\cos b+i\sin b).$$ Это дает основание (Эйлер) ввести обозначение ea+bi=eaebi, где$$e^{bi}=\cos b+i\sin b.$$ Если $$z,w\in C$$, то $$e^z\cdot e^w=e^{z+w}$$.

    Геометрическая интерпретация обратного элемента

    $$z^{-1}>$$ для $${z=a+bi\in C}$$

    Если $$0\neq z=a+bi\in C$$, то, как мы видели, zz=N(z)=|z|2=a2+b2,$$z^{-1}=\frac{\bar z}{|z|^2}=\overline{\left(\frac{z}{|z|^2}\right)}.$$ Таким образом, геометрическое построение комплексного числа z-1 можно провести двумя последовательными процедурами:

    а) инверсия $$z\to z'=\frac{z}{|z|^2}$$ относительно окружности единичного радиуса ( $$|z'|=\frac{1}{|z|}$$ );

    б) сопряжение $$z'\to \overline{z'}=z^{-1}$$.

    Задача 2.8.1. Найти геометрическое множество точек z-1, где z пробегает прямую $$\{1+bi\mid b\in R\}$$.

    Упражнение 2.8.2.

    Для $$w\in C$$, $$w\neq 0$$, имеем$$\left|\frac{w}{\bar w}\right|=\frac{|w|}{|\bar w|}=\frac{|w|}{|w|}=1,$$ таким образом,$$\frac{w}{\bar w}\in T=\{z\in C\mid |z|=1\}.$$

    Если $$z\in T$$, т. е. |z|=1, $$z=\cos\varphi+i\sin\varphi$$, то $$z=\frac{w}{\bar w}$$ для некоторого $$0\neq w\in C$$. Таким образом,$$\left\{\left.z=\frac{1+it}{1-it}\right|t\in R\right\}=T.$$ Действительно, если $$w=\cos\theta+i\sin\theta$$, то $$\bar w\=\cos(-\theta)\+i\sin(-\theta)$$ и$$\frac{w}{\bar w}=\cos 2\theta + i\sin 2\theta= \cos\varphi+i\sin\varphi.$$ Таким образом, если $$2\theta=\varphi$$, т. е. $$\theta\=\frac{\varphi}{2}$$, то $$w\=\cos\frac{\varphi}{2}\+i\sin\frac{\varphi}{2}$$ является одним из решений этой задачи.

    Упражнение 2.8.3.

  • Единичная окружность $$T=\{z\in C\mid |z|=1\}$$ с операцией умножения является группой (подгруппой мультипликативной группы $$( C^*= C\setminus \{0\},{\cdot})$$ поля C комплексных чисел).
  • $$\{r\in R\mid r<0\}=\{z\in C\mid\arg z=\pi+2\pi k\}$$.
  • Найти все $$z\in C$$, для которых $$\left|\frac{z-i}{z+i}\right|=1$$.
  • Найти все $$z\in C$$, для которых |z+i|+|z-i|=2.
  • Три различных комплексных числа $$z_1,z_2,z_3\in C\in R^2$$ лежат на одной прямой в R2 тогда и только тогда, когда$$\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}\in R.$$
  • Четыре различных комплексных числа $$z_1,z_2,z_3,z_4\in C= R^2$$, не лежащие на одной прямой в R2, лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда их двойное отношение является вещественным числом:$$\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}:\frac{z_1-z_4}{z_2-z_4}\in R.$$
  • Рассмотрим отображение инфлексии $$C\to C$$,$$z=x+yi\mapsto y+xi=\underline z,\quad x,y\in R.$$

    Показать, что:

    (a) отображение $$z\to\underline z$$ является биекцией, при этом $$\underline{(z_1+z_2)}=\underline{z_1} + \underline{z_2}$$, $$|\underline{z}|=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$ ;

    (б) $$\underline{zw}=\frac{1}{i}\underline z\cdot \underline w$$ для $$z,w\in C$$ ;

    (в) $$|\underline{zw}|=|\underline z\cdot \underline w|= |\underline{z}|\,|\underline{w}|$$, в частности $$|z\underline z|=|z|^2$$ для $$z\in C$$.

    •

    Теорема 2.8.4 (формула Муавра о возведении в степень комплексного числа в тригонометрической форме). Пусть $$0\neq z\in C$$, $$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$, r>0, $$n\in Z$$. Тогда$$(r(\cos\varphi+i\sin\varphi))^n=r^n (\cos n\varphi+i\sin n\varphi).$$

    Доказательство. Утверждение теоремы - частный случай теоремы 2.7.1.

    Упражнение 2.8.5. Так как для $$n\in N$$$$(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)=(\cos\varphi+i\sin\varphi)^n,$$ то, выражая правую часть с помощью формулы бинома Ньютона, получаем, приравнивая действительные и мнимые части:

    $$\begin{align*} \cos n\varphi = \cos^n \varphi-C_n^2 \cos^{n-2}\varphi\sin^2\varphi+ C_n^4 \cos^{n-4}\varphi\sin^4\varphi-...,\\ \sin n\varphi = n\cos^{n-1}\varphi\sin\varphi\!-\! C_n^3 \cos^{n-3}\varphi\sin^3\varphi\!+\! C_n^5 \cos^{n-5}\varphi\sin^5\varphi\!-\!.... \end{align*}$$

    Например:

    $$\begin{align*} \cos 2\varphi = \cos^2\varphi-\sin^2\varphi,\\ \cos 3\varphi = \cos^3\varphi-3\cos\varphi\sin^2\varphi,\\ \cos 4\varphi = \cos^4\varphi-6\cos^2\varphi\sin^2\varphi+ \sin^4\varphi,\\ \sin 2\varphi = 2\cos\varphi\sin\varphi,\\ \sin 3\varphi = 3\cos^2\varphi\sin\varphi-\sin^3\varphi,\\ \sin 4\varphi = 4\cos^3\varphi\sin\varphi-4\cos\varphi\sin^3\varphi. \end{align*}$$

    Упражнение 2.8.6. Если$$u=\cos\varphi+i\sin\varphi,\quad v=\bar u =\cos\varphi-i\sin\varphi,$$ то

    $$\begin{gath} u+v=2\cos\varphi,\quad u-v=2i\sin\varphi,\quad uv=1,\\ u^m=\cos m\varphi+i\sin m\varphi,\\* v^m=(\bar u)^m = \overline{(u^m)}=\cos m\varphi-i\sin m\varphi, \end{gath}% \begin{multl} 2^n\cos^n\varphi=(u+v)^n= \sum_{k=0}^{n}C_n^k u^{n-k}v^k={}\\ {}=(u^n+v^n)+nuv(u^{n-2}+v^{n-2})+C_n^2u^2v^2(u^{n-4}+v^{n-4})+.... \end{multl}$$

    Если n=2k, то

    $$\begin{mul} (-1)^{n/2}2^n\sin^n\varphi=(u-v)^n={}\\ {}=(u^n+v^n)-nuv(u^{n-2}+v^{n-2})+C_n^2u^2v^2(u^{n-4}+v^{n-4})-.... \end{mul}$$

    Если n=2k+1, то

    $$\begin{mul} (-1)^{(n-1)/2}i2^n\sin^n\varphi=(u-v)^n={}\\ {}=(u^n-v^n)-nuv(u^{n-2}-v^{n-2})+C_n^2u^2v^2(u^{n-4}-v^{n-4})-.... \end{mul}$$

    Отсюда: если n=2k, то

    $$\begin{align*} 2^n\cos^n\varphi ={} \\* \quad {}= 2\cos n\varphi+2n\cos(n-2)\varphi+2C_n^2\cos(n-4)\varphi+...+ C_n^{n/2},\\ (-1)^{n/2}2^n\sin^n\varphi ={} \\ \quad {}= 2\cos n\varphi-2n\cos(n-2)\varphi+ 2C_n^2\cos(n-4)\varphi-...+ (-1)^{n/2}C_n^{n/2}; \end{align*}$$

    если n=2k+1, то

    $$\begin{align*} 2^n\cos^n\varphi ={} \\ \quad {}= 2\cos n\varphi+2n\cos(n-2)\varphi+2C_n^2\cos(n-4)\varphi+...+{} \\ \quad {}+ 2C_n^{(n-1)/2}\cos\varphi,\\ (-1)^{(n-1)/2}2^n\sin^n\varphi ={} \\ \quad {}= 2\sin n\varphi-2n\sin(n-2)\varphi+ 2C_n^2\sin(n-4)\varphi-...+{} \\ \quad {}+(-1)^{(n-1)/2}2C_n^{(n-1)/2}\sin\varphi. \end{align*}$$

    Упражнение 2.8.7. Если $$u=\cos\varphi+i\sin\varphi$$, $$\varphi\neq 2\pi k$$, то$$u+...+u^n=u\frac{u^n-1}{u-1}.$$ Приравнивая вещественные и мнимые части, получаем:$$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\cos k\varphi = \frac{\sin \frac{n\varphi}{2}\cos \frac{(n+1)\varphi}{2}}% {\sin\frac{\varphi}{2}};\\ \sum_{k=1}^{n}\sin k\varphi = \frac{\sin\frac{n\varphi}{2}\sin\frac{(n+1)\varphi}{2}}% {\sin\frac{\varphi}{2}}. \end{align*}$$

    Теорема 2.8.8 (извлечение корней n-й степени из комплексных чисел). Пусть $$n \geq 1$$, $$0\neq z\in C$$, $$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$, r>0. Тогда существует ровно n различных корней n -й степени из z )таких $$w\in C$$, что wn=z ) :$$w_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi\!+\!2\pi k}{n}+ i\sin\frac{\varphi\!+\!2\pi k}{n}\right),\ k=0,1,2,...,n-1.$$ Они все лежат на окружности радиуса $$\rho=\sqrt[n]{r}$$, образуя вершины правильного $$n$$ -угольника с аргументами$$\frac{\varphi}{n}, \frac{\varphi+2\pi}{n}=\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi}{n},..., \frac{\varphi+2\pi(n-1)}{n}=\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi}{n}(n-1).$$

    Доказательство. Будем искать решения w уравнения wn=z в тригонометрической форме:$$w=\rho(\cos\theta+i\sin\theta),\quad\rho>0.$$ Тогда по формуле Муавра$$w^n=\rho^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)= r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=z,$$ т. е. $$\rho^n=r$$, и поэтому $$\rho=\sqrt[n]{r}$$, $$n\theta=\varphi+2\pi k$$, $$k\in Z$$. Различных корней будет ровно n при k=0,1,2,...,n-1:$$w_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+ i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),\quad k=0,1,2,...,n-1.$$

    Упражнение 2.8.9. Найдем корни уравнения x2-(2+i)x+(-1+7i)=0 (в алгебраической форме):$$x_{1,2}=\frac{(2+i)\pm \sqrt{(2+i)^2-4(-1+7i)}}{2}= \frac{(2+i)\pm \sqrt{7-24i}}{2};$$ $$\sqrt{7-24i}=5\sqrt{\frac{7}{25}-\frac{24}{25}i}$$, $$z=\frac{7}{25}-\frac{24}{25}i=\cos\varphi+i\sin\varphi$$, где $$\cos\varphi=\frac{7}{25}$$, $$\sin\varphi=-\frac{24}{25}$$, $$\sqrt{z}=\pm \left(\cos\frac{\varphi}{2}+i\sin\frac{\varphi}{2}\right)$$. Так как $$\sin\varphi<0$$, $$\cos\varphi>0$$, то $$\frac{3\pi}{2}<\varphi<2\pi$$, и поэтому $$\frac{3\pi}{4}<\frac{\varphi}{2}<\pi$$, т. е. $$\cos\frac{\varphi}{2}<0$$, $$\sin\frac{\varphi}{2}>0$$, следовательно, $$\cos\frac{\varphi}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos\varphi}{2}}=-\frac{4}{5}$$, $$\sin\frac{\varphi}{2}=+\frac{1-\cos\varphi}{2}=\frac{3}{5}$$, $$\sqrt{z}=\pm \left(-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i\right)$$. Итак, $$x_{1,2}=\frac{(2+i)\pm (-4+3i)}{2}$$, x1=-1+2i, x2=3-i.

    Упражнение 2.8.10. Найти все корни третьей степени из $$-1+\sqrt{3}i=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$$. По формуле из теоремы все три корня из $$-1+\sqrt{3}i$$ имеют следующий вид:$$\begin{gat} w_0 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{2\pi}{9}+i\sin\frac{2\pi}{9}\right);\\ w_1 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{8\pi}{9}+i\sin\frac{8\pi}{9}\right);\quad w_2 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{14\pi}{9}+i\sin\frac{14\pi}{9}\right). \end{gat}$$ На рисунке:

    Упражнение 2.8.11. Найти все корни четвертой степени из i. Так как $$i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}$$, по формуле из теоремы все четыре корня из i имеют следующий вид:$$\begin{gat} w_0 = \cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8};\quad w_1 = \cos\frac{5\pi}{8}+i\sin\frac{5\pi}{8};\\ w_2 = \cos\frac{9\pi}{8}+i\sin\frac{9\pi}{8};\quad w_3 = \cos\frac{13\pi}{8}+i\sin\frac{13\pi}{8}. \end{gat}$$ На рисунке:

    Упражнение 2.8.12. Извлеките все корни$$\sqrt[6]{\frac{1-i}{\sqrt{3}+i}}.$$

    Упражнение 2.8.13. Покажите, что$$\sqrt[4]{-\frac{18}{1+i\sqrt{3}}}= \biggl\{\pm\biggl(\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\biggr), \pm\biggl(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i\biggr)\biggr\}.$$

    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^