Нечеткие числа и операции над ними

Нечеткие числа (L-R)-типа — это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительного переменного $$L(x)$$ и $$R(x)$$, удовлетворяющих свойствам:

а) $$L(-x)=L(x)$$, $$R(-x)=R(x)$$ ;

б) $$L(0)=R(0)$$.

Очевидно, что к классу $$(L-R)$$ -функций относятся функции, графики которых имеют следующий вид (см. рис. 7.1).

Пусть $$L(y)$$ и $$R(y)$$ — функции $$(L-R)$$ -типа. Унимодальное нечеткое число $$A$$ с модой $$a$$ (т.е. $$m_{A}(a)=1$$ ) задается с помощью $$L(y)$$ и $$R(y)$$ следующим образом:$$\mu _A (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {L\left( {\frac{{a - x}} {\alpha }} \right),} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;x \leqslant a,} \\ {R\left( {\frac{{x - a}} {\beta }} \right),} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;x \geqslant a.} \\ \end{array} } \right.$$ где $$a$$ — мода; $$\alpha >0$$, $$\beta>0$$ — левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных $$L(y)$$ и $$R(y)$$ нечеткое число (унимодальное) задается тройкой $$A = (a; \alpha,\beta )$$.

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четверкой параметров $$A=(a_{1}, a_{2}; \alpha , \beta)$$, где $$a_{1}$$ и $$a_{2}$$ — границы толерантности, т.е. в промежутке $$[a_{1},a_{2}]$$ значение функции принадлежности равно $$1$$.

Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел $$(L-R)$$ -типа приведены на рис. 7.2.

Толерантные нечеткие числа (L-R)-типа называют трапезоидными числами. Если мы оцениваем параметр качественно, например, говоря: "Это значение параметра является средним ", необходимо ввести уточняющее высказывание типа " Среднее значение — это примерно от $$a$$ до $$b$$ ", которое есть предмет экспертной оценки (нечеткой классификации), и тогда можно использовать для моделирования нечетких классификаций трапезоидные числа. На самом деле, это самый естественный способ неуверенной классификации.

Унимодальные нечеткие числа (L-R)-типа называют треугольными числами. Треугольные числа формализуют высказывания типа "приблизительно равно $$a$$ ". Ясно, что $$a\pm\delta\approx a$$, причем по мере убывания $$\delta$$ до нуля степень уверенности в оценке растет до единицы.

Нечеткие треугольные числа — это наиболее часто используемый тип нечетких чисел, причем чаще всего — в качестве прогнозных значений параметра.

Нечеткие треугольные числа

На практике часто используется альтернативное определение нечеткого треугольного числа.

Определение. Треугольным нечетким числом $$A$$ называется тройка $$\left\langle a ,b ,c\right\rangle$$ $$(a\le b\le c)$$ действительных чисел, через которые его функция принадлежности $$\mu_{S}$$ определяется следующим образом:$$\mu _A (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{x - a}} {{b - a}},} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;x \in [a,b],} {} \\ {\frac{{x - c}} {{b - c}},} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;x \in [b,c],} {} \\ {0,} {\t{\char226}{\kern 1pt} \;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.} {} \\ \end{array} } \right.$$

Второе число $$b$$ тройки $$\left\langle a, b, c\right\rangle$$ обычно называют модой или четким значением нечеткого треугольного числа. Числа $$a$$ и $$c$$ характеризуют степень размытости четкого числа.

Например, на рис. 7.3 изображено нечеткое треугольное число $$A=\left\langle 1, 5, 7\right\rangle$$, которое лингвистически можно проинтерпретировать как "около 5" или "приблизительно 5".

В общем случае при определении нечеткого треугольного числа не обязательно использовать линейные функции. Часто в различных приложениях используются две функции, из которых одна монотонно возрастает на интервале $$[a, b]$$, а другая монотонно убывает на интервале $$[b, c]$$. Однако Купер предложил так называемый landmark-based метод для систем управления, в соответствие с которым монотонности и дифференцируемости данных функций на соответствующих отрезках достаточно для того, чтобы система сходилась и имела единственное решение. Таким образом, без потери общности, каждое нечеткое треугольное число может быть представлено упорядоченной тройкой действительных чисел.

Если $$A=\langle a_{A}, b_{A}, c_{a}\rangle$$ и $$B=\langle a_{B},b_{B},c_{b}\rangle$$ — треугольные нечеткие числа, то, согласно принципу обобщения Заде, нечеткое треугольное число $$C=A*B$$ также является треугольным и характеризуется тройкой $$\langle a_{C},b_{C},c_{c}\rangle$$, где$$\begin{gathered} a_C = \min \left\{ {a_A * a_B ,\;a_A * c_B ,\;c_A * a_B ,\;c_A * c_B } \right\}, \hfill \\ c_C = \max \left\{ {a_A * a_B ,\;a_A * c_B ,\;c_A * a_B ,\;c_A * c_B } \right\}, \hfill \\ b_C = b_A * b_B . \hfill \\ \end{gathered}$$

К сожалению, даже при ограничении нашего виденья нечетких чисел до понятия треугольных чисел, проблемы противоположного, обратного элементов и дистрибутивности остаются нерешенными.

Было предложено ввести некоторые ограничения на вычисление частных случаев вида $$A*A$$. Ограничения эти позволяют получить противоположный и обратный элементы. Однако проблема дистрибутивности таким способом не решается. Более того, ограничения кажутся довольно искусственными: чем, к примеру, можно объяснить различие в алгоритмах вычисления $$A-A$$ и $$A-B$$?

Есть еще один существенный недостаток такого подхода. Размытость произведения зависит не только от размытости сомножителей, но и от того, какое место данные нечеткие числа занимают на числовой оси. Например, пусть$$A_{1}=\langle 1,2,3\rangle,\ B_{1}=\langle 2,3,4\rangle\quad \tи\quad A_{2}=\langle 99,100,101\rangle,\ B_{2}=\langle 100,101,102\rangle.$$ Тогда $$A_{1}\cdot B_{1}=\langle2,6,12\rangle$$ и $$A_{2}\cdot B_{2}=\langle9\,900, 10\,100,10\,302\rangle$$. Число $$A_{2}\cdot B_{2}$$ получается гораздо более размытое, чем $$A_{1}\cdot B_{1}$$.

Позднее было предложено другое определение нечеткого числа.

Определение. Нечетким числом $$u$$ называется пара $$\((\underline u , \overline u )\)$$ функций $$\(\underline u ,\overline u :[0,1] \to R\)$$, удовлетворяющих следующим условиям:

Это позволило авторам ввести понятие меры и превратить множество нечетких чисел в топологическое пространство.

Далее была предложена следующая модификация определения нечеткого числа.

Определение. Для любого нечеткого числа $$\(u = (\underline u ,\overline u )\)$$ число $$\(u_0 = \tfrac{1}{2}(\underline u (1) + \overline u (1))\)$$ называется локальным $$\(u_* = u_0 - \underline u\)$$ индексом числа $$u$$, две неубывающие непрерывные функции $$\(u_* = u_0 - \underline u\)$$ и $$\(u^* = \overline u - u_0\)$$ называются левым и правым индексами нечеткости, соответственно.

Согласно данному определению, каждое нечеткое число может быть представлено следующим образом: $$\((u_0 ,\;u_* ,u^* )\)$$.

Далее вводится понятие арифметических операций над нечеткими числами такого вида. Для любых нечетких чисел $$\(u = (u_0 ,\;u_* ,u^* )\)$$ и $$\(v = (v_0 ,\;v_* ,\;v^* )\)$$ они определяются следующим образом:$$u * v = (u_0 * v_0 ,\;\;u_* \vee v_* ,\;\;u^* \vee v^* ).$$

Этот подход позволяет решить проблему дистрибутивности, так как размытость числа $$u*v$$ для всех четырех операций вычисляется при помощи единственногооператора, который дистрибутивен относительно самого себя (т.е. коммутативен, ассоциативен и идемпотентен).

Несмотря на это преимущество, проблемы противоположного и обратного элементов и при таком подходе остаются нерешенными.

Четкие арифметики нечетких треугольных чисел

Вернемся к рассмотрению нечетких треугольных чисел как частного случая нечетких чисел $$(L-R)$$ -типа, т.е. имеющих вид $$(a; \alpha , \beta)$$.

Мы будем строить арифметику $$\(\left\langle {\Re ,\tilde + ,\tilde \cdot } \right\rangle\)$$, где $$\(\tilde + ,\;\tilde \cdot\)$$ — операции сложения и умножения, определенные на нечетких треугольных числах. В построенной арифметике для каждого элемента будут существовать противоположные и обратные элементы. Поэтому нет никакой необходимости в определении операций вычитания и деления.

Определяя операции сложения и умножения, мы можем вычислять размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел либо по одному алгоритму, либо по разным. Сперва рассмотрим случай, когда размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел вычисляется по одному алгоритму. Определим операции сложения и умножения нечетких треугольных чисел следующим образом:$$(a_1 ;\;\alpha _1 ,\beta _1 )\tilde * (a_2 ;\;\alpha _2 ,\beta _2 ) = (a_1 * a_2 ;\;\alpha _1 {\rm O}\alpha _2 ,\beta _1 {\rm O}\beta _2 ).$$ где $$*$$ — либо сложение, либо умножение, $$O$$ — некоторая бинарная операция, определенная на множестве неотрицательных действительных чисел.

Опишем, какими свойствами должна обладать операция $$O$$ для того, чтобы сложение и умножение были коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны, а также существовали противоположные и обратные элементы.

Очевидно, что для того, чтобы операция $$\(\tilde *\)$$ была коммутативной и ассоциативной, $$O$$ также должна быть коммутативной и ассоциативной, т.е. удовлетворять следующим условиям:$$\begin{gathered} \alpha \;{\rm O}\beta = \beta \;{\rm O}\alpha , \hfill \\ (\alpha \;{\rm O}\beta )\;{\rm O}\gamma = \alpha \;{\rm O}\;(\beta \;{\rm O}\gamma ). \hfill \\ \end{gathered}$$

Пусть $$0 = \langle a_{0}; \alpha_{0}, \beta_{0}\rangle$$ — нечеткий ноль. Очевидно, что его мода $$a_{0}$$ равна нулю, а коэффициенты размытости $$\alpha_{0}$$, и $$\beta_{0}$$ фиксированные значения. Тогда для любого $$\alpha\in R^{+}$$ имеем$$\alpha \;{\rm O}\alpha _0 = \alpha _0 \;{\rm O}\alpha = \alpha \;{\rm O}\beta _0 = \beta _0 \;{\rm O}\alpha .$$

Для того, чтобы каждое нечеткое число обладало противоположным, необходимо, чтобы для любого $$\alpha\in R^{+}$$ существовали $$\(\alpha ',\;\beta ' \in R^ +\)$$, такие, что$$\alpha \;{\rm O}\alpha ' = \alpha '\;{\rm O}\alpha = \alpha _0 \quad \quad \t{\char232}{\kern 1pt} \quad \quad \alpha \;{\rm O}\beta ' = \beta '\;{\rm O}\alpha = \beta _0 .$$

Аналогично, если $$1 = \langle a_{1}; \alpha_{1}, \beta_{1}\rangle$$ — нечеткая единица, то для любого $$\alpha\in R^{+}$$ имеем$$\alpha \;{\rm O}\alpha _1 = \alpha _1 \;{\rm O}\alpha = \alpha \;{\rm O}\beta _1 = \beta _1 \;{\rm O}\alpha .$$

И для любого $$\alpha\in R^{+}$$ существуют $$\(\alpha '',\;\beta '' \in {\text{R}}^ +\)$$, такие, что$$\alpha \;{\rm O}\alpha '' = \alpha ''\;{\rm O}\alpha = \alpha _1 \quad \quad \t{\char232}{\kern 1pt} \quad \quad \alpha \;{\rm O}\beta '' = \beta ''\;{\rm O}\alpha = \beta _1 .$$

Легко заметить, что алгебраическая система $$\langle R^{+},O\rangle$$ образует абелеву группу. Следовательно, $$\alpha_{0} = \beta_{0} = \alpha_{1} = \beta_{1} = e$$ и для любого $$\alpha\in R^{+}$$ имеем $$\(\alpha ' = \beta ' = \alpha '' = \beta '' = \alpha ^{ - 1}\)$$.

Для того, чтобы операции $$\(\tilde + ,\;\tilde \cdot\)$$ удовлетворяли условию дистрибутивности, необходимо и достаточно, чтобы для любых $$\alpha,\beta,\gamma\in R^{+}$$ операция $$O$$ удовлетворяла следующему условию:$$(\alpha \;{\rm O}\beta )\;{\rm O}\;(\alpha \;{\rm O}\gamma ) = \alpha \;{\rm O}\;(\beta \;{\rm O}\gamma ).$$

Если $$O$$ коммутативна и ассоциативна, то получим$$(\alpha \;{\rm O}\beta )\;{\rm O}\;(\alpha \;{\rm O}\gamma ) = (\alpha \;{\rm O}\alpha )\;{\rm O}\;(\beta \;{\rm O}\gamma ).$$

Следовательно, для того, чтобы условие (2) выполнялось, достаточно, чтобы $$O$$ была коммутативна, ассоциативна и идемпотентна, т.е. удовлетворяла условиям (1) и для любого $$\alpha\in R^{+}$$$$\alpha \;{\rm O}\alpha = \alpha .$$

Нетрудно показать, что никакая группа не обладает свойством идемпотентности.

Вывод

Невозможно построить арифметику нечетких треугольных чисел, изоморфную арифметике действительных (четких) чисел, если размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел вычисляется по одному алгоритму.

Теперь рассмотрим случай, когда размытость суммы и произведения определяются по разным алгоритмам. Пусть$$\begin{gathered} (a_1 ;\;\alpha _1 ,\beta _1 )\tilde + (a_2 ;\;\alpha _2 ,\beta _2 ) = (a_1 + a_2 ;\;\alpha _1 \oplus \alpha _2 ,\beta _1 \oplus \beta _2 ), \\ (a_1 ;\;\alpha _1 ,\beta _1 )\tilde \cdot (a_2 ;\;\alpha _2 ,\beta _2 ) = (a_1 \cdot a_2 ;\;\alpha _1 \otimes \alpha _2 ,\beta _1 \otimes \beta _2 ). \end{gathered}$$

Очевидно, что если алгебраическая система $$\left\langle R^{+},\oplus,\otimes\right\rangle$$ удовлетворяет свойствам коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, существования нейтрального и единичного элементов, существования противоположного и обратного элементов, то она образует ассоциативное, коммутативное кольцо с единицей и с делением (т.е. почти поле).

Пример. Рассмотрим поле $$\left\langle R,+,\cdot\right\rangle$$ действительных чисел. Функция $$f(x)=e^{x}$$ является взаимно однозначным отображением $$R$$ на $$R^{+}$$. Определим операции $$\oplus$$ и $$\otimes$$ таким образом, чтобы $$f$$ являлось изоморфизмом соответствующих систем. Очевидно, что должны выполняться следующие равенства:$$\begin{gathered} \alpha \oplus \beta = {\text{f(f}}^{{\text{ - 1}}} (\alpha ) + {\text{f}}^{{\text{ - 1}}} (\beta )), \\ \alpha \otimes \beta = {\text{f(f}}^{{\text{ - 1}}} (\alpha ) \cdot {\text{f}}^{{\text{ - 1}}} (\beta )). \\ \end{gathered}$$

Таким образом, мы получим$$\begin{gathered} \alpha \oplus \beta = e^{\ln \alpha + \ln \beta } = \alpha \beta , \\ \alpha \otimes \beta = e^{\ln \alpha \ln \beta } . \\ \end{gathered}$$

Нетрудно убедиться, что при таком задании операций размытости арифметика $$\Re$$ будет коммутативной, ассоциативной и дистрибутивной. Роль нулевого элемента будет выполнять нечеткое треугольное число $$0 = \langle0; 1,1\rangle$$ ; роль единичного элемента — нечеткое треугольное число $$1 = \langle1; e, e\rangle$$. Для произвольного нечеткого треугольного числа $$A = \langle a ; \alpha, \beta\rangle$$ противоположным числом будет $$\( - {\text{A}} = \langle - {\text{a;}}\;\tfrac{1} {\alpha },\tfrac{1}{\beta } \rangle\)$$ и обратным элементом будет $$\(A^{ - 1} = < \tfrac{1}{a};\;e^{\frac{1}{{\ln \alpha }}} ,e^{\frac{1}{{\ln \beta }}}>\)$$.

Недостатком этой арифметики является то, что в нее не входят четкие и "получеткие" числа, т.е. числа, у которых хотя бы один из коэффициентов размытости равен нулю. Но этого легко избежать, если доопределить ее, например, следующим образом:$$\alpha = 0\ \beta = 0\quad \Rightarrow \quad \alpha \oplus \beta = \alpha \otimes \beta = 0.$$

Заметим, что, варьируя мощность изоморфного поля, мы тем самым варьируем и мощность множества коэффициентов размытости, используемых в данной арифметике.

Размытые арифметики нечетких треугольных чисел

В предыдущем параграфе мы доказали, что возможно построить арифметику нечетких треугольных чисел, аналогичную арифметике четких чисел. Однако, на наш взгляд, каждая такая арифметика будет обладать одним существенным недостатком.

Рассмотрим арифметику $$\Re$$, описанную в примере. Пусть $$\( {{N}}_{{i}} = \left\langle {{{0;}}\;\alpha _{{i}} {{,}}\beta _{{i}} } \right\rangle \)$$, где $$\(\alpha _i \vee \beta _i \ne 1\)$$. Для произвольного числа $$A=\langle a; \alpha ,\beta \rangle$$ выполняется$${{A}}\tilde + {{N}}_{{i}} = \langle a;\;\alpha \alpha _i ,\beta \beta _i \rangle .$$

Если $$A$$ имеет некоторое лингвистическое значение (например, "приблизительно $$a$$ "), то нечеткое число $$\({{A}}\tilde + {{N}}_{{i}}\)$$ является некоторым модификатором числа $$A$$ (например, "болееили менее приблизительно $$a$$ "). Таким образом, нечеткое число $$N_{i}$$ является "приблизительно нулевым элементом". Более того, при $$\alpha\to 1$$ и $$\beta\to 1$$ эта "приблизительность" возрастает. Однако при формальном описании арифметики $$\Re$$ это свойство нигде не отражается.

Рассмотрим новый подход к арифметике нечетких чисел, который успешно формализует описанное выше свойство без потери свойств, аналогичных свойствам четкой арифметики. При этом подходе нечеткость рассуждений увеличивается, но это не всегда является минусом.

Основная идея данного подхода заключается в том, что понятие нечеткости накладывается на арифметические операции. То есть результатом произведения (или сложения) двух нечетких треугольных чисел является не одно конкретное нечеткое треугольное число, а нечеткое множество, определенное на множестве нечетких треугольных чисел. Такие операции названы размытыми операциями. Следовательно, и арифметику нечетких чисел с размытыми операциями мы будем называть размытой (сокращенно РА-НТЧ ). Рассмотренные выше арифметики мы будем называть четкими (сокращенно ЧА-НТЧ ).

Пусть нам задана некоторая ЧА-НТЧ $$\(\tilde \Re = \langle \Re ,\;\tilde + ,\;\tilde \cdot \rangle\)$$. На базе этой арифметики будем строить РА-НТЧ $$\(\tilde \tilde \Re = \langle \Re ,\;\tilde \tilde + ,\;\tilde \tilde \cdot \rangle\)$$.

Пусть нам даны нечеткие числа $$A=\langle a; \alpha_{A} , \beta_{A}\rangle$$ и $$B=\langle b; \alpha_{B}, \beta_{B}\rangle$$. Множество $$\(A\tilde \tilde * B\)$$ является нечетким подмножеством множества $$\Re$$ c функцией приоритета $$\(\mu _{A\tilde \tilde * B}\)$$, которая для любого нечеткого треугольного числа $$C=\langle c; \alpha_{C}, \beta_{C}\rangle$$ удовлетворяет условию$$\mu _{A\tilde \tilde * B} (\t{\char209}) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0,} {{\text{\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}}}\;{\text{c}} \ne {\text{a}} * {\text{b}},} \\ {\frac{1} {{\max \{ \alpha ^ * ,\beta ^ * \} + 1}},} {{\text{\t{\char226}}}\;{\text{\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}}}\;{\text{\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}}}{\text{.}}} \\ \end{array} } \right.$$ где $$\( \alpha ^ * = |\alpha _C - \alpha _A * \alpha _B |,\;\quad \beta ^ * = |\beta _C - \beta _A * \beta _B | \)$$.

Введем новое обозначение. Пусть $$\(\mu _{A\tilde \tilde * B} (\t{\char209}) =\gamma\)$$. Тогда, если $$\gamma>0$$, то будем записывать $$\(A\tilde \tilde * B = _\gamma C\)$$. Если же $$\gamma=0$$, то будем записывать $$\(A\tilde \tilde * B \ne C\)$$. Число$$C^k = A\tilde * B = < a * b;\;\alpha _A * \alpha _B ,\beta _A * \beta _b >$$ назовем каноническим представителем произведения $$\(A\tilde \tilde * B\)$$. Очевидно, что$$A\tilde \tilde * B = _1 C\quad \Leftrightarrow \quad C = C^k .$$ Для всех остальных нечетких чисел, чья мода равна $$a*b$$, значение функции принадлежности уменьшается с увеличением "удаленности" данного числа от канонического представителя.

Независимо от задания арифметики $$\(\tilde \Re\)$$, размытая арифметика $$\(\tilde \tilde \Re\)$$ будет обладать слабым свойством коммутативности, т.е. для любых $$A, B\in\Re$$ будет выполнено следующее равенство множеств $$\(A\tilde \tilde * B = B\tilde \tilde * A\)$$.

На самом деле, если найдется такое число $$\gamma_{1}>0$$, что $$\(A\tilde \tilde * B = _{\gamma _1 } C\)$$, то, согласно (3), имеем $$c =a* b$$. Так как на множестве действительных чисел и сложение, и умножение коммутативны, то $$c =b* a$$, и, следовательно, найдется такое число $$\gamma_{2}>0$$, что $$\(B\tilde \tilde * A = _{\gamma _2 } C\)$$. Заметим, что в общем случае $$\gamma_{1}\ne \gamma_{2}$$. Именно поэтому свойство названо "слабым".

Если ЧА-НТЧ $$\(\tilde \Re\)$$ обладает свойством коммутативности, то РА-НТЧ $$\(\tilde \tilde \Re\)$$ будет обладать сильным свойством коммутативности, т.е. для любых $$\(A,\;B,\;C \in \Re\)$$ выполняется$$A\tilde \tilde * B = _\gamma C\quad \Leftrightarrow \quad B\tilde \tilde * A = _\gamma C.$$

Прежде чем говорить об ассоциативности и дистрибутивности, необходимо рассмотреть алгоритм вычисления арифметических выражений, содержащих более двух нечетких треугольных чисел.

Пусть $$F(A_{1}, A_{3}, \ldots ,A_{n})$$ — некоторое арифметическое выражение, содержащие нечеткие числа $$A_{1}, A_{2}, \ldots ,A_{n}$$. Сперва найдем канонический представитель $$C^{k} = <c; \alpha^{k}, \beta^{k}>$$ этого выражения, т.е. значение выражения в ЧА-НТЧ $$\(\tilde \Re\)$$. Тогда для любого $$C\in\Re$$ имеем$$\mu _F (\t{\char209}) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0,} {{\text{\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}}}\;{\text{c}} \ne {\text{F(a}}_{\text{1}} ,...,{\text{a}}_{\text{n}} {\text{)}},} \\ {\frac{1} {{\max \{ \alpha ^ * ,\beta ^ * \} + 1}},} {{\text{\t{\char226}}}\;{\text{\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}}}\;{\text{\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}}}{\text{.}}} \\ \end{array} } \right.$$ где $$\( \alpha ^ * = |\alpha _C - \alpha ^k |,\;\quad \beta ^ * = |\beta _C - \beta ^k |. \)\goodbreak$$

Нетрудно убедиться, что полученная арифметика будет обладать свойствами слабой ассоциативности и слабой дистрибутивности, т.е. для любых $$A, B, C\in\Re$$ выполнены следующие равенства множеств:$$\begin{gathered} A\tilde \tilde * (B\tilde \tilde * C) = (A\tilde \tilde * B)\tilde \tilde * C, \hfill \\ A\tilde \tilde \cdot (B\tilde \tilde + C) = (A\tilde \tilde + B)\tilde \tilde \cdot (A\tilde \tilde + C). \hfill \\ \end{gathered}$$

Необходимым и достаточным условием для выполнения сильных свойств ассоциативности и дистрибутивности является условие выполнения этих свойств в арифметике $$\(\tilde \Re\)$$.

В построенной нами арифметике $$\(\tilde \tilde \Re\)$$ следующим образом определим понятия нулевого и единичного элементов. Элемент $$N\in\Re$$ называется нулевым, если для любого $$A\in\Re$$ найдутся такие числа $$\gamma_{1}, \gamma_{2}\in (0,1]$$, что$${{A}}\tilde \tilde + {{N}} = _{\gamma _{{1}} } {{A}}\;\quad {{\t{\char232}}}\quad \;{{N}}\tilde \tilde + {{A}} = _{\gamma _{{2}} } {{A}}{{.}}$$

И, аналогично, элемент $$E\in\Re$$ называется единичным, если для любого $$A\in\Re$$ найдутся такие числа $$\gamma_{1}, \gamma_{2}\in (0,1]$$, что$${{A}}\tilde \tilde \cdot {{E}} = _{\gamma _{{1}} } {{A}}\;\quad {{\t{\char232}}}\quad \;E\tilde \tilde \cdot {{A}} = _{\gamma _{{2}} } {{A}}{{.}}$$

Нетрудно убедиться, что все нечеткие треугольные числа, мода которых равна нулю, являются нулевыми, и нечеткие треугольные числа, мода которых равна единице, являются единичными.

Вернемся теперь к рассмотрению проблемы, описанной в начале данного параграфа. Пусть число $$N_{0} = <0; \alpha_{0}, \beta_{0}>$$ — нулевой элемент в арифметике $$\(\tilde \Re\)$$. Тогда для любого $$A\in\Re$$ имеем $$\({{A}}\tilde \tilde + {{N}}_{{0}} = _{{1}} {{A}}\) и \({{N}}_{{0}} \tilde \tilde + {{A}} = _{{1}} {{A}}\)$$. Если $$\({{N}}_{{i}} = < {{0;}}\;\alpha _{{i}} {{,}}\beta _{{i}}>\) (\alpha_{i} \ne \alpha_{0}$$, или $$\beta_{i}\ne \beta_{0}$$ ). Тогда найдутся такие числа $$\gamma_{1}, \gamma_{2}\in (0,1]$$, что $$\({{A}}\tilde \tilde + {{N}}_{{i}} = _{\gamma _{{1}} } {{A}}\)$$ и $$\({{N}}_{{i}} \tilde \tilde + {{A}} = _{\gamma _{{2}} } {{A}}\)$$. Более того,$$\begin{gathered} \alpha _i \to \alpha _0 \quad \Rightarrow \quad \gamma _1 \to 1, \hfill \\ \beta _i \to \beta _0 \quad \Rightarrow \quad \gamma _2 \to 1. \hfill \\ \end{gathered}$$

Проблема противоположного и обратного элементов решается по аналогии с проблемой коммутативности; в слабом варианте проблема решается автоматически, а усиленный вариант зависит от того, существуют ли противоположный и обратный элементы в арифметике $$\(\tilde \Re\)$$.