Методы построения функции принадлежности. Обзор основных методов

Прямые методы для одного эксперта

Прямые методы для одного эксперта состоят в непосредственном задании функции, позволяющей вычислять значения. Например, пусть переменная "ВОЗРАСТ" принимает значения из интервала $$U = [0,100]$$. Слово "МОЛОДОЙ" можно интерпретировать как имя нечеткого подмножества $$U$$, которое характеризуется функцией совместимости. Таким образом, степень, с которой численное значение возраста, скажем $$u = 28$$, совместимо с понятием "МОЛОДОЙ", есть $$0,7$$, в то время как совместимость $$u = 30$$ и $$u = 35$$ с тем же понятием есть $$0,5$$ и $$0,2$$ соответственно.

Рассмотрим предложенный Осгудом метод семантических дифференциалов. Практически в любой области можно получить множество шкал оценок, используя следующую процедуру:

Совокупность оценок по шкалам была названа профилем понятия. Следовательно, вектор с координатами, изменяющимися от $$0$$ до $$1$$, также называется профилем. Профиль есть нечеткое подмножество положительного списка свойств или шкал.

Пример. В задаче распознавания лиц можно выделить следующие шкалы:

Светлое квадратное лицо, у которого чрезвычайно широкий лоб, курносый длинный нос, широкие светлые глаза, остроконечный подбородок, может быть определено как нечеткое множество $$\{ \langle x_1 ,1 \rangle , \; \langle x_2 ,1 \rangle ,\hm\ldots , \langle x_9 ,1 \rangle \}$$.

Способ вычисления частичной принадлежности друг другу строгих множеств. Пусть покрытием $$K$$ обычного множества $$U$$ является любая совокупность обычных подмножеств $$\left\{ {A_1 ,\ldots ,A_k } \right\}$$ множества $$U$$ таких, что $$A_i \ne \varnothing ,\;\quad A_1 \cup \ldots \cup A_k = U$$. В крайнем случае, когда для любых $$i,j$$ $${(i \ne j)}$$, $$A_i \cap A_j = \varnothing$$, имеет место разбиение $$U$$. Предположим, что имеется $$B \subseteq U$$, тогда $$B$$ может рассматриваться как нечеткое подмножество $$K$$ с функцией принадлежности$$\mu _B (A_i ) = \frac{{|A_i \cap B|}} {{|A_i \cup B|}} ,$$ где $$|A|$$ — мощность множества $$A$$.

Пример. Пусть $$U=\{1,2,\ldots ,9\}$$, $$K = \{\{1,2,3,5\}$$, $$\{3,6,9\}$$, $$\{2,4,8\}$$, $$\{1,3,7\}$$, $$\{2,3,8\}\} = \{A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}\}$$, $$B = \{2, 3, 5, 8, 9\}$$. Тогда, рассматривая $$B$$ как нечеткое подмножество $$K$$, можно написать$$B = \left\{ { \langle A_1 ,{\raise0.7ex\hbox{1} \!\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{2}} \rangle ,\; \langle A_2 ,{\raise0.7ex\hbox{1} \!\mathord{\left/ {\vphantom {1 3}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{3}} \rangle ,\; \langle A_3 ,{\raise0.7ex\hbox{1} \!\mathord{\left/ {\vphantom {1 3}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{3}} \rangle ,\; \langle A_4 ,{\raise0.7ex\hbox{1} \!\mathord{\left/ {\vphantom {1 7}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{7}} \rangle ,\; \langle A_5 ,{\raise0.7ex\hbox{3} \!\mathord{\left/ {\vphantom {3 5}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{5}} \rangle } \right\} .$$

Любое решение задачи многоцелевой оптимизации можно рассматривать как нечеткое подмножество значений целевой функции следующим образом. Пусть $$f_1 ,\ldots ,f_k$$ — целевые функции, где $$f_i :R^n \to R$$, и пусть требуется решить задачу $$f_i \to \max$$ для всех $$i$$. Пусть $$f_i^* < \infty$$ — максимальное значение функции $$f_i$$ и $$C = \left\{ {f_1 ,\ldots ,f_k } \right\}$$ — множество целевых функций, тогда любое значение $$x$$ в области определения $$f_i$$ можно рассматривать как нечеткое множество на $$C$$ с вектором значений принадлежности$$\mu _x = \langle \mu _1 ,\ldots ,\mu _k \rangle,\quad \t{\char227}\t{\char228}\t{\char229}\;\mu _i = \frac{{f_i^* - f_i (x)}} {{f_i^* }}.$$

Косвенные методы для одного эксперта

В обыденной жизни мы часто сталкиваемся со случаями, когда не существует элементарных измеримых свойств и признаков, которые определяют интересующие нас понятия, например, красоту, интеллектуальность. Бывает трудно проранжировать степень проявления свойства у рассматриваемых элементов. Так как степени принадлежности рассматриваются на данном реальном множестве, а не в абсолютном смысле, то интенсивность принадлежности можно определять, исходя из попарных сравнений рассматриваемых элементов.

Среди косвенных методов определения функции принадлежности наибольшее распространение получил метод парных сравнений Саати. Сложность использования этого метода заключается в необходимости нахождения собственного вектора матрицы парных сравнений, которая задается с помощью специально предложенной шкалы. Причем эти сложности увеличиваются с ростом размерности универсального множества, на которой задается лингвистический терм.

Мы рассмотрим метод, также использующий матрицу парных сравнений элементов универсального множества. Но, в отличие от метода Саати, он не требует нахождения собственного вектора матрицы, т.е. освобождает исследователя от трудоемких процедур решения характеристических уравнений.

Пусть $$A$$ — некоторое свойство, которое рассматривается как лингвистический терм. Нечеткое множество, с помощью которого формализуется терм $$A$$, представляет собой совокупность пар:$$A = \left\{ { < u_1 ,\mu _A (u_1 ) > ,\; < u_2 ,\mu _A (u_2 ) > \;,\ldots ,\; < u_n ,\mu _A (u_n ) > } \right\},$$ где $$U = \left\{ {u_1 ,\;u_2 ,\ldots ,u_n } \right\}$$ — универсальное множество, на котором задается нечеткое множество $$A$$. Задача состоит в том, чтобы определить значения $$\mu _A (u_i )$$ для всех $$i = 1,\ldots ,n$$. Совокупность этих значений и будет составлять неизвестную функцию принадлежности.

Метод, который предлагается для решения поставленной проблемы, базируется на идее распределения степеней принадлежности элементов универсального множества согласно с их рангами. Эта идея раньше использовалась в теории структурного анализа систем, где рассмотрены различные способы определения рангов элементов.

В нашем случае под рангом элемента $$u_i \in U$$ будем понимать число $$r_A (u_i )$$, которое характеризует значимость этого элемента в формировании свойства, описываемого нечетким термом. Допускаем, что выполняется правило: чем больший ранг элемента, тем больше степень принадлежности.

Для последующих построений введем такие обозначения: $$r_A (u_i ) = r_i$$, $$\mu _A (u_i ) = \mu _i$$. Тогда правило распределения степеней принадлежности можно задать в виде системы соотношений:$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{\mu _1 }} {{r_1 }} = \frac{{\mu _2 }} {{r_2 }} = \ldots = \frac{{\mu _n }}, {{r_n }}} \\ {\mu _1 + \mu _2 + \ldots + \mu _n = 1} .\\ \end{array} } \right.$$

Используя данные соотношения, легко определить степени принадлежности всех элементов универсального множества через степень принадлежности опорного элемента.

Если опорным является элемент $$u_i \in U$$ с принадлежностью $$\mu _i$$, то$$\mu _j = \frac{{r_j }} {{r_i }}\mu _i \,,\quad \t{\char228}\t{\char235}\t{\char255}\;\t{\char226}\t{\char241}\t{\char229}\t{\char245}\;j \ne i .$$

Учитывая условие нормирования, находим:$$\begin{array}{*{20}c} {\mu _1 = \left( {1 + \frac{{r_2 }} {{r_1 }} + \frac{{r_3 }} {{r_1 }} + \ldots + \frac{{r_n }} {{r_1 }}} \right)^{ - 1} } ,\\ {\mu _2 = \left( {\frac{{r_1 }} {{r_2 }} + 1 + \frac{{r_3 }} {{r_2 }} + \ldots + \frac{{r_n }} {{r_2 }}} \right)^{ - 1} } ,\\ {\ldots\ldots\ldots} \\ {\mu _n = \left( {\frac{{r_1 }} {{r_n }} + \frac{{r_2 }} {{r_n }} + \frac{{r_3 }} {{r_n^{} }} + \ldots + 1} \right)^{ - 1} } .\\ \end{array}$$

Полученные формулы дают возможность вычислять степени принадлежности элементов $$u_i \in U$$ к нечеткому терму $$A$$ двумя независимыми путями:

Эта матрица обладает следующими свойствами:

а) она диагональная, т.е. $$s_{ii} = 1,\quad i = 1,\ldots ,n;$$

б) ее элементы, которые симметричны относительно главной диагонали, связаны зависимостью $$s_{ij} = \frac{1}{{s_{ji} }};$$

в) она транзитивна, т.е. $$s_{ik} \cdot s_{kj} = s_{ij}$$.

Наличие этих свойств приводит к тому, что при известных элементах одной строки матрицы $$S$$ легко определить элементы всех других строк. Если известна $$r$$ -я строка, т.е. элементы $$s_{rj}$$, $$j = 1,\ldots ,n$$, то произвольный элемент $$s_{ij}$$ находится так:$$s_{ij} = \frac{{s_{kj} }} {{s_{ki} }}.$$

Поскольку матрица $$S$$ может быть интерпретирована как матрица парных сравнений рангов, то для экспертных оценок элементов этой матрицы можно использовать 9 балльную шкалу Саати. В нашем случае шкала формируется так:

Таким образом, с помощью полученных формул экспертные знания о рангах элементов или их парные сравнения преобразуются в функцию принадлежности нечеткого терма.

Скала предлагает общий метод варьирования прототипов получения численного значения функции принадлежности. Пусть имеется прототип (или идеальный объект) $$P$$, описание которого можно деформировать изменением параметров $$p_1 ,p_2 ,\ldots ,p_n$$. Если дан некоторый объект $$A$$, то, варьируя параметры, можно добиться наибольшего соответствия прототипа и объекта. Вводится мера сходства между объектом $$A$$ и прототипом $$P$$: $$\rho (A,p_1 ,p_2 ,\ldots ,p_n )$$.

Для более точного измерения сходства объекта с разными прототипами вводится штрафная функция $$d$$. Далее строится функция:$$\msim(A) = \mathop {\min }\limits_{p_1 \ldots p_n } \left\{ {\rho (A,p_1 ,\ldots ,p_n ) + d(p_1 ,\ldots ,p_n )} \right\}.$$

Так как прототип полностью соответствует самому себе, то $${\msim(P) = 0}$$. Численные значения функции принадлежности вычисляются по формуле$$\mu _P (A) = 1 - \frac{{\msim(A)}} {{\mathop {\max }\limits_A \msim(A)}}.$$

Прямые методы для группы экспертов

При интерпретации степени принадлежности как вероятности было предложено получать функции принадлежности для нескольких классов понятий $$S_j$$ расчетным путем, используя равенство $$\mu _{S_j } (u_i ) = p(S_j |u_i )$$, где условная вероятность определяется по формуле Байеса:$$p(S_j |u_i ) = \frac{{p_{u_i } (S_j )\;p(u_i |S_j )}} {{\sum\limits_{j = 1}^m {p_{u_i } (S_j )\;p(u_i |S_j )} }},$$ причем$$p_{u_i } (S_j ) = \frac{{(y_j )_{u = u_i } }}{n},\quad \quad j = 1,\ldots ,m,\quad i = 1,\ldots ,n,$$ $$y_j$$ — число случаев при значении параметра $$u_i$$, когда верной оказалась $$j$$ -я гипотеза.

Я.Я.Осис предложил следующую методику оценки функции принадлежности. Первоначально определяется то максимальное количество классов, которое может быть описано данным набором параметров. Для каждого элемента $$u$$ значение функции принадлежности класса $$S_1$$ дополняет до единицы значения функции принадлежности класса $$S_2$$ (в случае двух классов). Таким образом, система должна состоять из классов, представляющих противоположные события. Сумма значений функции принадлежности произвольного элемента $$u$$ к системе таких классов будет равна единице. Если число классов и их состав четко не определены, то необходимо вводить условный класс, включающий те классы, которые не выявлены. Далее эксперты оценивают в процентах при данном состоянии $$u$$ степень проявления каждого класса из названного перечня.

Однако в некоторых случаях мнение эксперта очень трудно выразить в процентах, поэтому более приемлемым способом оценки функции принадлежности будет метод опроса, который состоит в следующем. Оцениваемое состояние предъявляется большому числу экспертов, и каждый имеет один голос. Он должен однозначно отдать предпочтение одному из классов заранее известного перечня. Значение функции принадлежности вычисляется по формуле $$\mu _S (u) = {{n_S } \mathord{\left/ {\vphantom {{n_S } n}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} n}$$, где $$n$$ — число экспертов, участвовавших в эксперименте, и $$n_S$$ — число экспертов, проголосовавших за класс $$S$$.

Пример. Пусть в результате переписи населения в некоторой области с численностью жителей $$p$$ получено множество значений возраста $$U=[0,100]$$. Пусть $$y(u)$$ — число людей, имеющих возраст $$u$$ и утверждающих, что являются молодыми. Пусть $$n(u)$$ — действительное число людей, имеющих возраст $$u$$ ; тогда $$p = \int_0^{100} {dn(u)}$$. Можно считать, что понятие "МОЛОДОЙ" описывается нечетким множеством на $$U$$ с функцией принадлежности $$\mu (u) = {{y(u)} \mathord{\left/ {\vphantom {{y(u)} {n(y)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {n(y)}}$$. Очевидно, что для малых значений возраста $$y(u) = n(u)$$, следовательно, $$\mu (u) = 1$$. Однако, не все $$n(35)$$ считают себя молодыми, следовательно, $$y(35)<n(35)$$. Для $$u>80$$ число $$y(u)$$ должно быть очень маленьким.

Косвенные методы для группы экспертов

А.П.Шер предлагает способ определения функции принадлежности на основе интервальных оценок. Пусть интервал $$[x_{ji} ,x_{ji}^\prime ]$$ отражает мнение $$i$$ -го эксперта, $$i>1$$ ( $$i=1,\ldots,m$$ ), о значении $$j$$ -го ( $$j=1,\ldots,n$$ ) признака оцениваемого понятия $$S$$. Тогда полным описанием этого понятия $$i$$ -м экспертом является гиперпараллелепипед $$\theta _i = [x_{1i} ,x_{1i}^\prime ] \times \ldots \times [x_{ni} ,x_{ni}^\prime ]$$. Приводится процедура, позволяющая вычислять коэффициенты компетентности экспертов, а также сводить исходную "размытую" функцию (усредненные экспертные оценки) к характеристической функции неразмытого, четкого множества. Алгоритм следующий:

Опишем кратко косвенный метод, предложенный З.А.Киквидзе. Пусть $$U$$ — универсальное множество, $$S$$ — понятие, общее название элементов. Задача определения нечеткого подмножества $$U$$, описывающего понятие $$S$$, решается путем опроса экспертов. Каждый эксперт $$A_{i}$$ ( $$i=1,\ldots,m$$ ) выделяет из $$U$$ множество элементов $$Q_{i}$$, по его мнению, соответствующих понятию $$S$$. Ранжируя все элементы множества $$Q = \mathop \cup \limits_{i = 1}^m Q_i$$ по предпочтению в смысле соответствия понятию $$S$$, каждый эксперт упорядочивает $$Q$$, используя отношение порядка $$\succ$$ или $$\approx$$. Отношение $$\approx$$ указывает на одинаковую степень предпочтения между любыми элементами $$q_\alpha ,q_\beta \in Q$$. Предполагается, что эксперты могут поставить коэффициенты степени предпочтения $$\gamma$$ перед элементами в упорядоченной последовательности, усиливая или ослабляя отношение предпочтения. Вводится расстояние между элементами указанной последовательности $$q_\alpha ^i ,q_\beta ^i \in Q$$:$$\rho (q_\alpha ^i ,q_\beta ^i ) = \frac{1} {\gamma }.$$

Здесь $$\alpha$$, $$\beta$$ — порядковые номера элементов в упорядочении. Расстояние вычисляется через первый в упорядочении элемент:$$\rho (q_\alpha ^i ,q_\beta ^i ) = \rho (q_1^i ,q_\beta ^i ) - \rho (q_1^i ,q_\alpha ^i ) = \rho _\beta ^i - \rho _\alpha ^i .$$

Эта разность показывает, насколько предпочтительнее $$q_\alpha ^i$$ по сравнению с $$q_\beta ^i$$. При решении задачи взвешивания предпочтительности элементов множества $$Q$$ предполагается, что разность между весами $$\varphi (q_\alpha ^i ) - \varphi (q_\beta ^i )$$ пропорциональна разности $$\rho _\beta ^i - \rho _\alpha ^i$$: $$\varphi (q_{\beta + \nu }^i ) - \varphi (q_\beta ^i ) = c(\rho _{\beta + \nu }^i - \rho _\beta ^i )$$. Когда $$\nu=1$$, формула превращается в рекуррентную формулу, и задача сводится к определению веса первого элемента. При использовании рекуррентных формул вес последнего элемента должен отличаться от нуля. Например, в качестве $$\varphi (q_1^i )$$ можно выбрать $$\mathop {\max }\limits_\alpha \rho _\alpha ^i + \rho _0$$. На основании всех $$\varphi (q_\alpha ^i )\quad (i = 1,\ldots ,m)$$ для $$q_\alpha$$ определяется значение $$\varphi (q_\alpha ) = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {\varphi (q_\alpha ^i )}$$ ; это и есть степень принадлежности элемента $$u \in U$$ некоторому нечеткому множеству с общим названием $$S$$.

Зиммерман предлагает метод, сочетающий преимущества косвенных методов в их простоте и стойкости к искажениям ответов экспертов и преимущества прямых методов, позволяющих получить непосредственно значения степени принадлежности. Выборку объектов необходимо проводить так, чтобы достаточно равномерно представить степень принадлежности от $$0$$ до $$1$$ по отношению к рассматриваемому нечеткому множеству. Эта выборка должна удовлетворять условию безоговорочного экстремума, т.е. должна содержать, по крайней мере, два объекта, значения функции принадлежности на которых имеют определенность $$0$$ и $$1$$ (все эксперты приписывают эти числа экстремумам). Далее, когда множество подходящих объектов отобрано, эксперты опрашиваются о степенях принадлежности в процентной шкале. Оценка позиции по шкале каждого объекта определяется посредством медианы из распределений значений принадлежности. В качестве процедуры шкалирования используется метод, основанный на законе Терстона об измерении категорий. Процедура, требующая отсортировки $$n$$ объектов в $$(k+1)$$ категории на некотором континууме свойств $$N$$ экспертами, дает распределение частоты для каждого объекта по категориям. Средние значения границ категорий, полученные методом наименьших квадратов, позволяют определить значения оценок объектов на шкале.

Методы построения терм-множеств

Считается, что для практических задач достаточно наличия нечеткого языка с фиксированным конечным словарем — ограничение не слишком сильное с точки зрения практического использования. Лингвистическая переменная $$L$$, используемая при формализации задач принятия решения, на практике, как правило, имеет базовое терм-множество $$T = \{ T_i \}$$, состоящее из 2—10 термов. Каждый терм описывается нечетким подмножеством множества значений $$U$$ некоторой базовой переменной $$u$$ и рассматривается как лингвистическое значение $$L$$. Предполагается, что объединение всех этих элементов терм-множества покрывает полностью $$U$$. Это гарантирует, что любой элемент $$u \in U$$ описывается некоторым $${T_i \in T}$$.

Существует способ построения частотных оценок $$S=$$ {"редко", "часто", "иногда",...}, который основан на предположении о том, что слово $$s_{i}$$ употребляется человеком не для обозначения зарегистрированной частоты появления факта, а для обозначения относительного числа событий в прошлой деятельности человека, когда рассматривалась такая же частота. Каждому $$s_{i}$$ ставится в соответствие нечеткое подмножество интервала $$[0,1]$$. Функции принадлежности $$\mu _{S_i }$$ получаются на основании психологического эксперимента следующим образом: группе испытуемых предъявляется набор стимулов (оценок частоты) и шкала из $$k$$ категорий, упорядоченных по степени интенсивности частоты от наименьшей $$(1)$$ до наибольшей $$(k)$$ ; испытуемым предлагается разбить стимулы на $$k$$ классов согласно интенсивности частоты, независимо оценивая каждый стимул и помещая в любую категорию любое число стимулов. Каждому числу $$u_{j}$$ из $$[0,1]$$, $$u_j = {{(j - 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(j - 1)} {(k - 1)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {(k - 1)}}$$, ставятся в соответствие степени употребления группой испытуемых слова $$s_{i}$$ для обозначения категории. Значения функции принадлежности определяются в результате нормирования: $$\mu _{S_i } (u):[0,1] \to [0,1]$$.

Предложенная методика оправдана следующим: выбор обозначения категории не отражается сколь-нибудь значительно на проведении испытания. Во-первых, число категорий (деление шкалы) не влияет кардинально на результаты эксперимента, в котором производится шкалирование субъективных ощущений. Во-вторых, шкала из $$k$$ категорий является шкалой равно кажущихся интервалов, поскольку предполагается, что ее деления отстоят на психологическом континууме на равных интервалах.

Естественным шагом при построении функций принадлежности элементов терм-множества лингвистической переменной является построение одновременно всех функций принадлежности этого терм-множества, сгруппированных в так называемое отношение моделирования $$R$$. Процесс построения состоит в заполнении таблицы, где, например, для лингвистической переменной "РАССТОЯНИЕ" столбцы индексированы расстояниями в метрах, а строки — элементами терм-множества "ОЧЕНЬ БЛИЗКО", "БЛИЗКО",..., "ДАЛЕКО", "ОЧЕНЬ ДАЛЕКО". На пересечении соответствующей строки и столбца стоит степень сходства для испытуемого данных понятий в определенной семантической ситуации, например, насколько сходны понятия "БЛИЗКО" и "5 метров" в ситуации перебегания улицы перед быстро идущим транспортом. Расстояние берется от пешехода до машины и в данном случае является синонимом опасности. Вообще говоря, каждую клеточку таблицы можно заполнять отдельно, а потом, переставляя строки и столбцы, постараться сделать строки и столбцы унимодальными. Если это удается, то исходное терм-множество может быть использовано для построения нечеткой шкалы измерений, точками отсчета которой являются сами элементы терм-множества. Перевод в эту шкалу будет осуществляться с помощью минимаксного умножения строки, задающей исходную лингвистическую переменную в шкале метров, на отношение моделирования. Отношение сходства между элементами терм-множества $$R \circ R^T$$, полученное с помощью умножения матрицы $$R$$ на транспонированную, задает набор функций принадлежности элементов лингвистической шкалы в самой шкале, а отношение $$R^T \circ R$$ задает набор функций принадлежности расстояний в метрах в метрической шкале.