Методы построения функции принадлежности. Классификация

С древних времен и до наших дней измерения как один из способов познания играют важную роль в жизни человека. Сначала человек в своей повседневной деятельности довольствовался информацией, доставляемой лишь его органами чувств, а затем привлек им в помощь средства измерительной техники.

Целью измерения является получение количественной информации о величине исследуемых объектов, под которыми понимаются реально существующие объекты (предметы, процессы, поля, явления и т.д.) материального мира, а также взаимодействия между ними. Задачи измерения могут быть как познавательными (изучение элементарных частиц, организма человека и т.д.), так и прикладными (управление конкретным технологическим процессом, контроль качества продукции). Получение и использование информации — характерное свойство кибернетических систем. Поэтому измерение можно рассматривать как ту часть кибернетики, которая принимает в качестве объекта исследования предметы и явления окружающего мира, в качестве метода — эксперимент, а в качестве средства — измерительную технику.

Существует тесная взаимосвязь между научно-техническим прогрессом и достижениями в области измерений и измерительной техники. Серьезной составной частью большинства научно-исследовательских работ являются измерения, позволяющие установить количественные соотношения и закономерности изучаемых явлений. Важность измерений в достижении научных результатов неоднократно отмечалась известными учеными: "Надо измерять все измеримое и делать измеримым то, что пока не поддается измерению" (Галилео Галилей); "Наука начинается с тех пор, как начинают измерять; точная наука немыслима без меры" (Д.И.Менделеев); "Искусство измерения является могущественным орудием, созданным человеческим разумом для проникновения в законы природы" (Б.С.Якоби). Прогресс в области измерений способствовал и способствует многим новым открытиям, а достижения науки, в свою очередь, — совершенствованию методов и средств измерений (например, благодаря использованию лазеров, микроэлектроники и т.п.).

При проведении экспертиз важным условием успеха является возможность формализовать информацию, не поддающуюся количественному измерению, так, чтобы помочь принимающему решение выбрать из множества действий одно. Поэтому в вопросах, связанных с теорией измерений, основное место отводится понятию шкалы измерения. В зависимости от того, по какой шкале идет измерение, экспертные оценки содержат больший или меньший объем информации и обладают различной способностью к математической формализации.

Типы шкал

Шкалы наименований или классификации используются для описания принадлежности объектов к определенным классам. Всем объектам одного и того же класса присваивается одно и то же число, объектам разных классов — разные.

Здесь наблюдаются только два отношения: "равно" и "не равно". Следовательно, допустимы любые преобразования лишь бы одинаковые объекты были поименованы одинаковыми символами (числами, буквами, словами), а разные объекты имели бы разные имена. Этим способом фиксируются такие характеристики, как собственные имена людей, их национальность, названия населенных пунктов и т.п.

Шкала порядка применяется для измерения упорядочения объектов по единичному или совокупности признаков. Числа в шкале порядка отражают только порядок следования объектов и не дают возможности сказать, на сколько или во сколько один объект предпочтительнее другого.

Допустимыми преобразованиями для данного типа шкалы являются все монотонные преобразования, т.е. такие, которые не нарушают порядок следования значений измеряемых величин. Такие шкалы появляются, например, в результате сравнения тел по твердости. Записи "1; 2; 3" и "5,3; 12,5; 109,2" содержат одинаковую информацию о том, что первое тело самое твердое, второе менее твердое, а третье — самое мягкое. И никакой информации о том, во сколько раз одно тверже другого, на сколько единиц оно тверже и т.д., в этих записях нет, и полагаться на конкретные значения чисел, на их отношения или разности нельзя.

Разновидностью шкалы порядка является шкала рангов, где используются только числа, идущие подряд от 1 вверх по возрастанию. Если среди $$m$$ измеряемых объектов одинаковых нет, то ранговое место каждого объекта в протоколе будет указано одним из целых чисел от 1 до $$m$$. При одинаковом значении измеряемого свойства у $$k$$ объектов, занимающих порядковые места с $$t$$ -го по $$(t+k)$$ -е, их ранги будут обозначены одинаковым числом, равным их "среднему" рангу $$x$$, где $$x = (1:k) S(i+t-1)$$, $$i=1-k$$.

Такая разновидность шкалы порядка называется "нормированной шкалой рангов".

К типу шкал порядка относится и широко используемая шкала баллов. При этом используются целые числа в ограниченном диапозоне их значений: от 1 до 5 в системе образования, от 0 до 6 или до 10 в спорте и т.д. В любом из этих случаев протокол содержит информацию только о трех эмпирических отношениях: "<", ">" и "=".

Шкала интервалов применяется для отображения величины различия между свойствами объектов (измерение температуры по Фаренгейту и Цельсию). Шкала может иметь произвольные масштаб и точки отсчета.

Здесь между протоколами $$y$$ и $$x$$ допустимы линейные преобразования: $$y = ax + b$$, где $$a$$ — любое положительное число, а $$b$$ может быть как положительным, так и отрицательным. Это значит, что в разных протоколах может использоваться разный масштаб единиц (a) и разные начала отсчета (b). Примером шкал этого типа могут быть шкалы для измерения температуры. Если в протоколе указаны градусы, но не говорится, в какой шкале (Цельсия, Кельвина и т.д.), то во избежание недоразумений при описании закономерностей можно использовать только отношения интервалов, так как при любых значениях $$a$$ и $$b$$ сохраняется равенство$$(y_{1}-y_{2}):(y_{3}-y_{4}) = [(ax_{1}+b)-(ax_{2}+b)] : [(ax_{3}+b)-(ax_{4}+b)].$$ Если записи в протоколе сопровождаются информацией о том, какие именно градусы имеются в виду (например, " $$18\,^{\circ}С$$ "), то мы имеем дело с протоколом в абсолютной шкале.

Шкала отношений используется, например, для измерения массы, длины, веса. В этой шкале числа отражают отношения свойств объектов, т.е. во сколько раз свойство одного объекта превосходит свойство другого.

Между разными протоколами, фиксирующими один и тот же эмпирический факт на разных языках, при этом типе шкалы должно выполняться соотношение: $$y = ax$$, где $$a$$ — любое положительное число. Один и тот же эмпирический смысл имеют протоколы "16 кг", "16000 г", <0,016 т" и т.д. От любой записи можно перейти к любой другой, подобрав соответствующий множитель " $$a$$ ". Этот тип шкалы удобен для измерения весов, длин и т.д. Если нам неизвестно, в каких именно единицах записаны веса тел в разных протоколах, то мы можем полагаться только на отношение весов двух тел: например, тело с весом 10 единиц в два раза тяжелее тела с весом 5 единиц вне зависимости от того, что было взято за единицу — тонна или грамм. Инвариантность отношений отражена в названии шкалы данного типа. Если же в протоколе указана единица веса, то такой протокол отражает свойства тел в абсолютной шкале.

Шкала разностей используется для измерения свойств объектов при необходимости указания, на сколько один объект превосходит другой по одному или нескольким признакам. Является частным случаем шкалы интервалов при выборе единицы масштаба.

Абсолютная шкала — частный случай шкалы интервалов. В ней обозначается нулевая точка отсчета и единичный масштаб. Применяется для измерения количества объектов.

Допустимое преобразование для шкал данного типа представляет собой тождество, т.е. если на одном языке в протоколе записано " $$y$$ ", а на другом языке " $$x$$ ", то между ними должно выполняться простое соотношение: $$y=x$$. Этот тип шкалы удобен для записи количества элементов в некотором конечном множестве. Если, пересчитав количество яблок, один эксперт запишет в протоколе "6", а другой — "VI", то нам достаточно знать, что "6" и "VI" означают одно и то же, т.е., что между этими записями существует тождественное отношение: $$6 = {\mathrm VI}$$.

Методы измерений

Ранжирование. При ранжировании эксперт располагает объекты в порядке предпочтения, руководствуясь одним или несколькими показателями сравнения. Парная оценка или метод парных сравнений представляет собой процедуру установления предпочтений объектов при сравнении всех возможных пар. Непосредственная оценка представляет собой процедуру приписывания объектам числовых значений по шкале интервалов. Эквивалентным объектам приписывается одно и то же число. Этот метод может быть осуществлен только при полной информированности экспертов о свойствах объектов. Вместо числовой оси может использоваться балльная оценка. Последовательное сравнение включает в себя ранжирование и непосредственную оценку.

Методы проведения групповой экспертизы

Методы проведения групповых экспертиз делятся на:

При очном методе проведения экспертизы эксперт работает в присутствии организатора исследования. Эта необходимость может возникнуть, если задача поставлена недостаточно четко и нуждается в уточнении, а также если задача очень сложна. Эксперт может обратиться к организатору за разъяснениями.

При коллективном методе проведения экспертизы поставленная проблема решается сообща, "за круглым столом". При индивидуальном — каждый эксперт оценивает проблему, исходя из личного опыта и убеждений. Экспертиза с обратной связью (метод Дельфы) предусматривает проведение нескольких туров опроса и анонимное анкетирование. После каждого тура экспертные оценки обрабатываются, и результаты обработки сообщаются экспертам. Метод без обратной связи предусматривает один тур опроса при получении удовлетворительных результатов.

Каждый метод имеет ряд достоинств и недостатков, и при выборе определенного метода необходимо хорошо взвесить все его положительные и отрицательные стороны.

Коротко о достоинствах и недостатках каждого метода.

Для проведения очного опроса требуется больше времени, т.к. организатор экспертизы работает с каждым участником лично, но при сложности поставленной задачи это компенсируется большей точностью полученных результатов.

При проведении экспертизы методом экспертных комиссий группа специалистов коллективно оценивает исследуемую проблему. В этих условиях на группу может быть оказано давление одним из авторитетных ее членов, который способен лучше, чем другие, отстаивать свое мнение. Но в этом случае вероятность получения решения поставленной задачи больше. Этот метод рекомендуется при необходимости найти решение в кратчайшие сроки.

Проведение экспертизы методом Дельфы связано с большими затратами времени, т.к. в этом случае необходимо провести несколько туров. Но оглашение результатов предыдущего тура и последующий опрос позволяет добиться уменьшения диапазона разброса в индивидуальных ответах и сблизить точки зрения. Работа заканчивается, когда достигнута желаемая сходимость ответов экспертов. Опыт показывает, что чаще всего достаточно бывает провести четыре тура. Метод применяется обычно в прогнозировании, когда имеется большая степень неопределенности.

Экспертиза без обратной связи может проводиться при хорошей информированности экспертов в области поставленной задачи.

Классификация методов построения функции принадлежности

В основании всякой теории из любой области естествознания лежит очень важное, основополагающее для ее построения понятие элементарного объекта. Например, для механики — это материальная точка, для электродинамики — вектор напряженности поля. Для теории нечетких множеств основополагающим понятием является понятие нечеткого множества, которое характеризуется функцией принадлежности. Посредством нечеткого множества можно строго описывать присущие языку человека расплывчатые элементы, без формализации которых нет надежды существенно продвинуться вперед в моделировании интеллектуальных процессов. Но основной трудностью, мешающей интенсивному применению теории нечетких множеств при решении практических задач, является то, что функция принадлежности должна быть задана вне самой теории и, следовательно, ее адекватность не может быть проверена средствами теории. В каждом существующем в настоящее время методе построения функции принадлежности формулируются свои требования и обоснования к выбору именно такого построения.

Л.Заде предложил оценивать степень принадлежности числами из отрезка $$[0,1]$$. Фиксирование конкретных значений при этом носит субъективный характер. С одной стороны, для экспертных методов важным является характер измерений (первичный или производный) и тип шкалы, в которой получают информацию от эксперта и которая определяет допустимый вид операций, принимаемых к экспертной оценке. С другой стороны, имеются два типа свойств: те, которые можно непосредственно измерить, и те, которые являются качественными и требуют попарного сравнения объектов, обладающих оцениваемым свойством, чтобы определить их место по отношению к рассматриваемому понятию.

Существует ряд методов построения по экспертным оценкам функции принадлежности нечеткого множества. Можно выделить две группы методов: прямые и косвенные методы.

Прямые методы определяются тем, что эксперт непосредственно задает правила определения значений функции принадлежности, характеризующей данное понятие. Эти значения согласуются с его предпочтениями на множестве объектов $$U$$ следующим образом:

Примеры прямых методов: непосредственное задание функции принадлежности таблицей, формулой, перечислением. Заде обосновывает назначение прямого метода следующим образом: "По своей природе оценка является приближением. Во многих случаях достаточна весьма приблизительная характеризация набора данных, поскольку в большинстве основных задач, решаемых человеком, не требуется высокая точность. Человеческий мозг использует допустимость такой неточности, кодируя информацию, достаточную для решения задачи, элементами нечетких множеств, которые приближенно описывают исходные данные. Поток информации, поступающий в мозг через органы зрения, слуха, осязания и др., суживается таким образом в тонкую струйку информации, необходимой для решения поставленной задачи с минимальной степенью точности".

В косвенных методах значения функции принадлежности выбираются таким образом, чтобы удовлетворять заранее сформулированным условиям. Экспертная информация является только исходными данными для дальнейшей обработки. Дополнительные условия могут налагаться как на вид получаемой информации, так и на процедуру обработки. Примерами дополнительных условий могут служить следующие: функция принадлежности должна отражать близость к заранее выделенному эталону; объекты множества $$U$$ являются точками в параметрическом пространстве; результатом процедуры обработки должна быть функция принадлежности, удовлетворяющая условиям интервальной шкалы; при попарном сравнении объектов, если один объект оценивается в $$\alpha$$ раз сильнее, чем другой, то второй объект оценивается только в $$1/\alpha$$ раз сильнее, чем первый, и т.д.

Как правило, прямые методы используются для описания понятий, которые характеризуются измеримыми свойствами, такими как высота, рост, вес, объем. В этом случае удобно непосредственное задание значений степени принадлежности. К прямым методам можно отнести методы, основанные на вероятностной трактовке функции принадлежности $$\mu_{A}=P(A|u)$$, т.е. вероятности того, что объект $$u\in U$$ будет отнесен к множеству, которое характеризует понятие $$A$$.

Если гарантируется, что люди далеки от случайных ошибок и работают как "надежные и правильные приборы", то можно спрашивать их непосредственно о значениях принадлежности. Однако имеются искажения, например, субъективная тенденция сдвигать оценки объектов в направлении концов оценочной шкалы. Следовательно, прямые измерения, основанные на непосредственном определении принадлежности, должны использоваться только в том случае, когда такие ошибки незначительны или маловероятны.

Косвенные методы основаны на более пессимистических представлениях о людях как об "измерительных приборах". Рассмотрим, например, понятие "КРАСОТА", которое, в отличие от понятий "ДЛИНА" или "ВЫСОТА", — сложное и трудно формализуемое. Практически не существует универсальных элементарных измеримых свойств, через которые определяется красота. В таких случаях используются только ранговые измерения при попарном сравнении объектов. Косвенные методы более трудоемки, чем прямые, но их преимущество — в стойкости по отношению к искажениям в ответе. Для косвенных методов можно выдвинуть условие "безоговорочного экстремума": при определении степени принадлежности множество исследуемых объектов должно содержать, по крайней мере, два объекта, численные представления которых на интервале $$[0,1]$$ принимают значения $$0$$ и $$1$$, соответственно. Итак, нами выделены две основные группы методов построения функции принадлежности: прямые и косвенные. Однако, функция принадлежности может отражать как мнение группы экспертов, так и мнение одного эксперта. Следовательно, возможны, по крайней мере, четыре группы методов: прямые и косвенные для одного эксперта, прямые и косвенные для группы экспертов. Кроме этого, необходимо рассмотреть методы построения функции принадлежности терм-множеств.