Показатель размытости нечетких множеств. Нечеткие меры и интегралы

Как уже говорилось в прошлых лекциях, нечеткие множества используются для описания плохо определенных, неоднозначно понимаемых ситуаций, объектов, понятий. Де Лука предложил ввести в рассмотрение показатель этой неопределенности, который можно было бы использовать для оценки, классификации объектов, описываемых нечеткими множествами. Он же сформулировал основные свойства, которым должен удовлетворять такой показатель, называемый показателем размытости (или мерой энтропии) нечетких множеств, и в качестве этого показателя был предложен функционал, аналогичный шенноновской энтропии в теории информации. В настоящее время рассматриваются различные альтернативные подходы к определению показателя размытости нечеткого множества, обсуждаются его свойства и возможные приложения.

Можно выделить несколько аспектов, связанных с понятием показателя размытости нечеткого множества. Прежде всего, это — интерпретация показателя размытости как показателя внутренней неопределенности, двусмысленности, противоречивости, обусловленных неполной, частичной принадлежностью объектов множеству. Второй аспект связан с интерпретацией показателя размытости как меры отличия нечеткого множества от обычного множества. И наконец, само существование нетривиального показателя размытости, удовлетворяющего определенным свойствам, напрямую зависит от свойств алгебры нечетких множеств и характеризует ее как алгебраическую структуру. В соответствии с этими тремя аспектами и будут рассмотрены основные результаты, связанные с понятием показателя размытости.

Аксиоматический подход к определению показателя размытости нечеткого множества

Показатель размытости нечеткого множества можно определить как меру внутренней неопределенности, двусмысленности объектов множества $$X$$ по отношению к некоторому свойству $$A$$, характеризующему эти объекты и определяющему в $$X$$ нечеткое множество объектов $$A$$. Если некоторый объект $$\(x \in X\)$$ обладает свойством $$A$$, но лишь в частичной мере: $$\(0 < \mu _A (x) < 1\)$$, то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта $$x$$ по отношению к свойству $$A$$ проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов, "обладающих свойством $$A$$ ", и классу объектов, "не обладающих свойством $$A$$ ". Эта двусмысленность объекта $$x$$ по отношению к свойству $$A$$ максимальна, когда степени принадлежности объекта $$x$$ к обоим классам равны, т.е. $$\(\mu _A (x) = \mu _{\bar A} (x) = 0,5\)$$. И наоборот, двусмысленность объекта минимальна, когда объект принадлежит только к одному из этих классов, т.е. либо $$\(\mu _A (x) = 1,\quad \mu _{\bar A} (x) = 0\)$$, либо $$\({\mu _A (x) = 0}$$, $$\mu _{\bar A} (x) = 1\)$$. Таким образом, глобальный показатель размытости нечеткого множества $$A$$ можно определить в виде функционала $$d$$, удовлетворяющего следующим условиям:

P1. $$\(d(A) < d(B)\)$$, если $$A$$ является заострением $$B$$, т.е. $$\(\mu _A (x) \leqslant \mu _B (x)\)$$ при $$\( \mu _B (x) < 0,5\), \(\mu _A (x) \geqslant \mu _B (x)\)$$ при $$\(\mu _B (x) > 0,5\)$$ и $$\(\mu _A (x)\) —$$ любое при $$\(\mu _B (x) = 0,5\);$$

P2. $$\( d(A) = d(\bar A)\);$$

P3. Если $$\(A \cap B = \varnothing\)$$, то $$\(d(A \cup B) = d(A) +d(B).\)$$

Итак, показатель размытости можно рассматривать как аддитивный, симметричный и строго возрастающий с увеличением размытости нечеткого множества функционал, определенный на множестве $$\(\Im (X)\)$$ всех нечетких подмножеств множества $$X$$.

Можно доказать, что вещественный, определенный на $$\(\Im (X)\)$$ функционал является показателем размытости тогда и только тогда, если он допускает представление$$d(A) = \sum\limits_{j = 1}^N {T_j (\mu _A (x_j ))} ,$$ где $$\(T_j (y)\) —$$ вещественнозначные функции от $$\(y \in [0,1]\)$$ такие, что $$\(T_j (0) = 0,\quad T_j (y) = T_j (1 - y)\),\(T_j (y)\) —$$ строго возрастает на интервале $$[0, 0,5]$$ и $$N$$ — число элементов множества $$\(X = \{ x_1 ,\ldots ,x_N \}\)$$.

Примером коэффициента размытости может служить логарифмическая энтропия нечетких множеств:$$d(A) = \sum\limits_{j = 1}^N {S_j (\mu _A (x_j ))} ,$$ где $$S$$ — функция Шеннона$$S(y) = - y\;\ln y - (1 - y)\;\ln (1 - y) .$$

Выбор конкретного показателя зависит от условий задачи. Далее мы покажем, что показатель размытости нечетких множеств может быть задан с помощью метрики. Необходимо обратить внимание на связь между показателем размытости нечетких множеств и неопределенностью, возникающей при принятии решения, к какому из двух классов, " $$A$$ " или "не $$A$$ " , отнести объекты множества $$X$$. На практике человеку часто приходится принимать подобные решения, когда необходимо отнести объект к одному из двух классов, характеризующихся противоположными свойствами типа: "белый—черный", "пригоден—не пригоден", "нравится—не нравится", "хороший—плохой" и т.п. Такая альтернатива вызывает у лица, принимающего решения, неопределенность, обусловленную тем, что объекты часто обладают сразу обоими противоположными свойствами, хотя и в разной мере. Можно предположить, что показатель этой неопределенности зависит от размытости ситуации, в которой принимается решение. Допускается, что показатель неопределенности решений может удовлетворять тем же свойствам, что и показатель размытости нечетких множеств.

Метрический подход к определению показателя размытости нечетких множеств

Показатель размытости нечетких множеств можно определить с помощью метрики как меру отличия нечеткого множества от ближайшего к нему обычного множества. Другой способ задания показателя размытости с помощью метрики — это определение его с помощью расстояния до максимального размытого множества $$\(A_{0,5}\colon\ \forall x \in X\ \mu _{A_{0,5} } (x) = 0,5\)$$ и расстояния между нечетким множеством и его дополнением. Оказывается, эти подходы имеют много общего между собой, и определяемый с помощью метрики показатель размытости обладает многими свойствами, сформулированными выше.

Множеством, ближайшим к нечеткому множеству $$A$$, называется неразмытое множество $$\(\underline A\)$$ такое, что$$\mu _{\underline A } (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;\mu _A (x) > 0,5} \\ {0,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;\mu _A (x) \leqslant 0,5.} \\ \end{array} } \right.$$

Показателем размытости называется функционал$$d(A) = \frac{2} {N}\sum\limits_{j = 1}^N {|\mu _A (x_j ) - \mu _{\underline A } (x_j )|,}$$ который может быть представлен также в виде$$d(A) = \frac{2} {N}\sum\limits_{j = 1}^N {\mu _{A \cap \overline A } (x_j ).}$$

Если вместо расстояния Хэмминга использовать евклидово расстояние, то получим$$d(A) = \frac{2} {{\sqrt N }}\sqrt {\sum\limits_{j = 1}^N {(\mu _A (x_j ) - \mu _{\underline A } (x_j ))^2 } .}$$

Показатель размытости можно задать с помощью расстояния между нечетким множеством и его дополнением:$$d(A) = k\left[ {\rho (\varnothing ,U) - \rho (A,\bar A)} \right] .$$

В случае метрики Хэмминга $$\(\rho (A,\bar A)\)$$ имеет вид$$\rho (A,\bar A) = \sum\limits_{j = 1}^N {|\mu _A (x_j ) - \mu _{\bar A} (x_j )|} = \sum\limits_{j = 1}^N {|2\mu _A (x_j ) - 1|} .$$

Такой показатель размытости удовлетворяет свойствам Р1 и Р2.

Далее выясним, что между показателями размытости, удовлетворяющими условиям Р1, Р2, Р3, и метриками определенного класса может быть установлено взаимно однозначное соответствие.

Связь показателя размытости с алгебраическими свойствами решетки нечетких множеств

Существование показателя размытости нечетких множеств оказывается тесно связанным со свойствами алгебры нечетких множеств Заде. Для алгебры обычных множеств показатель размытости со свойствами Р1, Р2, Р3 вырождается в тривиальный показатель, всюду равный нулю. Для более общих алгебр такого показателя просто не существует. Укажем соотношения, существующие между произвольными положительными оценками и показателями размытости.

Положительной оценкой на решетке нечетких множеств $$\(\Im \;(X)\)$$ называется функция $$\(\nu :\Im \;(X) \to R^ +\)$$, удовлетворяющая свойству$$\nu (A \cup B) + \nu (A \cap B) = \nu (A) + \nu (B)$$ и условию$$A \subset B\quad \Rightarrow \quad \nu (A) < \nu (B) .$$

Положительная оценка $$\(\nu\)$$ определяет на $$\(\Im \;(X)\)$$ метрику$$\rho _\nu (A,B) = \nu (A \cup B) - \nu (A \cap B) .$$

Решетка $$\(\Im \;(X)\)$$ с положительной оценкой $$\(\nu\)$$ и метрикой $$\(\rho_\nu\)$$ называется метрической решеткой нечетких множеств. Метрика называется симметричной, если она удовлетворяет условию$$\rho _\nu (A,B) = \rho _\nu (\bar A,\bar B) .$$ Так как в алгебре нечетких множеств выполняются законы де Моргана, то метрика является симметричной тогда и только тогда, если она определяется симметричной оценкой, т.е. такой оценкой, которая удовлетворяет условию$$\nu (A) + \nu (\bar A) = \nu (\varnothing ) + \nu (U) .$$

Теорема. В метрической решетке нечетких множеств функционалы$$\begin{gathered} d(A) = 2k\left[ {\nu (U) - \nu (A \cup \bar A)} \right], \hfill \\ d(A) = 2k\left[ {\nu (A \cap \bar A) - \nu (\varnothing )} \right], \hfill \\ d(A) = k\left[ {\rho _\nu (\varnothing ,U) - \rho _\nu (A,\bar A)} \right] \hfill \\ \end{gathered}$$ удовлетворяют свойствам $${\rm Р1}$$, $${\rm Р2}$$, $${\rm Р3}$$. Они попарно тождественны тогда и только тогда, если положительная оценка $$\(\nu\)$$ симметрична.

Примером симметричной оценки на решетке нечетких множеств может служить энергия нечеткого множества:$$E(A) = \sum\limits_{j = 1}^N {\lambda _j \mu _A (x_j )} ,$$ которая определяет симметричную метрику$$\rho _\nu (A,B) = \sum\limits_{j = 1}^N {\lambda _j |\mu _A (x_j ) - \mu _B (x_j )|} .$$

Нечеткие меры

При решении многих задач анализа сложных систем в условиях неопределенности широко используются методы теории вероятностей и математической статистики. Эти методы предполагают вероятностную интерпретацию обрабатываемых данных и полученных статистических выводов. В последнее время возрастает потребность в новых подходах к математическому описанию информации, характеризующейся высоким уровнем неопределенности. Один из возможных подходов может основываться на обобщении понятия меры и построении нечетких мер, свободных от ряда ограничений вероятностной меры.

Существуют различные интерпретации понятия вероятности. Это — классическая частотная интерпретация Лапласа, субъективная вероятность по Байесу и т.д. Наиболее содержательной с математической точки зрения является аксиоматическая трактовка вероятности А.Н.Колмогорова с помощью теории меры.

Мерой называется функция множества $$m\colon\rho (X)\to R$$, удовлетворяющая следующим аксиомам:

Здесь $$\rho(X)$$ — множество всех подмножеств $$X$$, а $$R$$ — множество действительных чисел. При $$R=[0,1]$$ эти аксиомы определяют вероятностную меру.

Под субъективной вероятностной мерой понимается степень уверенности в данном событии, возникающая у человека на основе известных ему данных. Она всегда зависит от индивидуального опыта и поэтому различна для разных людей. Неясность суждений, основанных на субъективном анализе, обусловливает многие трудности, которые возникают при использовании субъективной вероятности.

Субъективную вероятность можно рассматривать как индивидуальный способ обработки тех аспектов субъективных данных, которые доступны индивидуальному суждению. Однако чаще всего такие суждения неаддитивны. Реальное поведение человека, как правило, противоречит предположению об аддитивности мер, которые он использует при оценке событий. В отличие от субъективной вероятности, нечеткая мера свободна от весьма ограничивающего требования аддитивности, что делает ее особенно привлекательной для решения ряда задач при наличии неопределенности типа нечеткости.

В настоящее время существует тенденция вероятностной трактовки нечетких множеств. Следует отметить, что, с точки зрения теории меры, такой подход видится неоправданным, поскольку понятие вероятностной меры является сужением понятия нечеткой меры. Для сравнения рассмотрим обе теоретико-мерные трактовки вероятности и нечеткости.

Пусть $$(X, \wp,p)$$ — вероятностное пространство. Здесь $$\wp$$ — минимальная $$\sigma$$ -алгебра, содержащая все открытые подмножества множества $$X$$, а $$p$$ — вероятностная мера, т.е. функция множества $$p\colon\wp\to [0,1]$$, удовлетворяющая аксиомам (1)—(3). С другой стороны, нечеткое множество описывается функцией принадлежности $$\mu$$, принимающей свои значения в интервале $$[0,1]$$. С точки зрения теории отображений $$p\colon\wp\to [0,1]$$ и $$\mu\colon X\to [0,1]$$ — совершенно разные объекты. Вероятность $$p$$ определяется в $$\sigma$$ -алгебре $$\wp$$ и является функцией множества, а $$\mu(x)$$ есть обычная функция, областью определения которой является множество $$X$$. Поэтому понятия вероятности и нечеткого множества не имеет смысла сравнивать на одном уровне абстрагирования.

Определение. Функция $$g$$, определяемая в виде $$g\colon\wp\to [0,1]$$, называется нечеткой мерой, если она удовлетворяет следующим условиям:

Тройка $$(X, \wp,g)$$ называется пространством с нечеткой мерой. Для нечеткой меры в общем случае не должно выполняться условие аддитивности: $$\(g(A \cup B) \ne g(A) + g(B)\)$$. Таким образом, нечеткая мера является однопараметрическим расширением вероятностной меры.

Выражение $$g(A)$$ представляет собой меру, характеризующую степень нечеткости $$A$$, т.е. оценку нечеткости суждения " $$X\in A$$ " или степень субъективной совместимости $$X$$ с $$A$$. Нетрудно увидеть, что монотонность меры $$g$$ влечет за собой$$\begin{gathered} \forall A,B \in \wp \;g(A \cup B) \geqslant \max \{ g(A),g(B)\} ; \hfill \\ \forall A,B \in \wp \;g(A \cap B) \leqslant \min \{ g(A),g(B)\} . \hfill \\ \end{gathered}$$

Для построения нечетких мер используют следующее $$\lambda$$ -правило. Пусть $$\(A,B \in \wp ,\;\;A \cap B = \varnothing\)$$. Тогда$$g_\lambda (A \cup B) = g_\lambda (A) + g_\lambda (B) + \lambda \cdot g_\lambda (A) \cdot g_\lambda (B),\quad - 1 < \lambda < \infty .$$

В случае $$\(A \cup B = X\)$$ данное выражение называют условием нормировки для $$g_{\lambda}$$ -мер. Очевидно, что $$g_{\lambda} (X)=1$$, $$g_{\lambda} ( \varnothing)=0$$. Параметр $$\lambda$$ называется параметром нормировки $$g_{\lambda}$$ -меры. При $$\(\lambda > 0,\) \(g_\lambda (A \cup B) > g_\lambda (A) + g_\lambda (B)\)$$ имеем класс супераддитивных мер, а при $$\( - 1 < \lambda < 0\), \(g_\lambda (A \cup B) < g_\lambda (A) + g_\lambda (B) \)$$ получаем класс субаддитивных мер.

Супераддитивные меры

Функция доверия. Определение функции доверия предполагает, что степень доверия высказыванию $$A$$, которое является истинным, не обязательно равна 1. Это означает, что сумма степеней доверия высказыванию $$A$$ и его отрицанию $$\(\bar A\)$$ также не обязательно равна 1, а может быть либо равной, либо меньшей 1. Другими словами, когда высказывание $$A$$ является истинным с определенной степенью $$s\in [0,1]$$, его мера неопределенности выражается с помощью функции$$b(B) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} {B = X;} \\ {s,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} {B \supset A,\;B \ne X;} \\ {0,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} {B\not \supset A;} \\ \end{array} } \right.$$ которая называется простой функцией носителя, сосредоточенной на $$A$$.

Если $$s=1$$, то получаем меру, которая называется мерой определенности, сосредоточенной на $$A$$.

Если $$s=0$$ или $$A=X$$, то тогда $$b(B)$$ называется пустой функцией доверия (полное незнание).

Итак, функция доверия — это мера, удовлетворяющая следующим свойствам:

Согласованная функция доверия. Понятие согласованной функции доверия базируется на определении ядра $$\(C = \{ B \subset X|m(B) >0\}\)$$, полностью упорядоченного по вложению.

Согласованная функция доверия определяется с помощью следующих аксиом:

Субаддитивные меры

Мера правдоподобия

Мера правдоподобия множества $$A$$ из $$X$$ определяется как$$Pl(A) = 1 - b(\bar A),$$ где $$b$$ — функция уверенности.

Мера правдоподобия удовлетворяет следующим аксиомам:

Пусть $$\mu$$ и $$\nu$$ - две меры - такие, что $$\(\forall A \in \wp \quad \mu (A) + \nu (\bar A) = 1\)$$. В этом случае $$\mu$$ является функцией доверия тогда и только тогда, если $$\nu$$ — мера правдоподобия.

Мера возможности

Мерой возможности называется функция $$\(\Pi :\wp \to [0,1]\)$$, удовлетворяющая следующим аксиомам:

Пусть $$\mu$$ и $$\nu$$ - две меры - такие, что $$\(\forall A \in \wp \quad \mu (A) + \nu (\bar A) = 1\)$$. Нечеткая мера $$\mu$$ является согласованной функцией доверия тогда и только тогда, если $$\nu$$ является мерой возможности.

Мера вероятности

Вероятностная мера ( $$\lambda =0$$ ) является частным случаем функции доверия или меры правдоподобия (см. рис. 4.1). Нечеткая мера $$p$$ является вероятностной мерой тогда и только тогда, если выполняются следующие условия:

$$g_v$$ -мера

Нечеткая мера $$g_{v}$$ называется $$g_{v}$$ -мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Очевидно, что при $$v=0$$, $$g_{v}$$ -мера является мерой возможности, а при $$v=1$$ — вероятностной мерой. Если $$v>1$$, то $$g_{v}$$ -мера описывает неопределенность, отличающуюся по своим свойствам от вероятности или возможности.

Нечеткие интегралы

Определение. Нечеткий интеграл от функции $$h\colon X\to [0,1]$$ на множестве $$A\subseteq X$$ по нечеткой мере $$g$$ определяется как$$\int\limits_A {h(x) \circ g} = \mathop {\sup }\limits_{\alpha \in [0,1]} \;\left( {\alpha \wedge g(A \cap H_\alpha )} \right),$$ где $$\(H_\alpha = \{ x|h(x) \geqslant \alpha \} .\)$$

нечеткий интеграл принято также называть нечетким ожиданием.

Определение. Нечеткий интеграл от функции $$h\colon X\to [0,1]$$ на нечетком множестве $$\mu_{A}$$ по нечеткой мере $$g$$ определяется как$$\int\limits_{\mu _A } {h(x) \circ g} = \int\limits_X {(\mu _A (x) \wedge h(x)) \circ g.}$$

Для описания различных видов неопределенности в теории нечетких мер используется общее понятие "степень нечеткости". В общем случае оно включает в себя "степень важности", "степень уверенности" и как отдельный случай - "степень принадлежности" в теории нечетких множеств. Нечеткая мера, таким образом, может интерпретироваться различными способами в зависимости от конкретного применения. Пусть необходимо оценить степень принадлежности некоторого элемента $$x\in X$$ множеству $$E\subset X$$. Очевидно, что для пустого множества эта степень принадлежности равна $$0$$, а для $$x\in F$$ ( $$F\supset E$$ ) равна $$1$$, т.е. степень принадлежности для $$x\in F$$ будет больше, чем для $$x\in E$$, если $$E\subset F$$. Если степень принадлежности $$x_{0}\in E$$ равна $$g(x_{0},E)$$, а вместо $$E$$ задано нечеткое подмножество $$\mu_{A}$$, то$$g(x_0 ,A) = \int\limits_X {\mu _A (x) \circ g(x_0 )} = \mu _A (x_0 ).$$

Это говорит о том, что степень нечеткости суждения " $$x0\in A$$ " равна степени принадлежности $$x_{0}$$ нечеткому подмножеству $$\mu_{A}$$. Таким образом, понятие степени нечеткости в теории нечетких мер включает в себя понятие степени принадлежности теории нечетких множеств.

Применение нечетких мер и интегралов для решения слабо структурированных задач

Процесс субъективного оценивания

Рассмотрим задачу субъективного оценивания некоторым индивидом нечетко описываемых объектов, таких как дом, лицо и т.п. Предположим, что объект характеризуется $$n$$ показателями.

Пусть $$K=\{s_{1},\ldots,s_{n}\}$$ — множество показателей. При оценивании дома такими показателями могут быть: $$s_{1}$$ — площадь, $$s_{2}$$ — удобства и т.д. В общем случае множество $$K$$ не обязательно должно быть множеством физических показателей, оно может быть множеством мнений, критериев и т.п.

Пусть $$h\colon K\to [0,1]$$ — частная оценка объекта, т.е. $$h(s)$$ — оценка элемента $$s$$. Если речь идет о распознавании образов, то $$h(s)$$ может рассматриваться как характеристическая функция образа. На практике $$h(s)$$ может быть легко определена объективно или субъективно. Например, когда объект — дом, объективно имеем оценку $$h(s_{1})=h\t{(площадь)}=800\,m^{2}$$, которая может быть нормализована числом из интервала $$[0,1]$$.

Предположим, что нечеткая мера для $$(K,2^{K})$$ является субъективной мерой, выражающей степень важности подмножества из $$K$$. Например, $$g(\{s_{1}\})$$ выражает степень важности элемента $$s_{1}$$ при оценке объекта, $$g(\{s_{1},s_{2}\})$$ — аналогично обозначает степень важности показателей $$s_{1}$$ и $$s_{2}$$. Необходимо отметить, что степень важности всего множества $$K$$ равна единице.

Вычисляя нечеткий интеграл от $$h$$ до $$g$$, получаем$$e = \int\limits_K {h(s) \circ g,}$$ где $$e$$ — обобщенная оценка объекта.

Данное уравнение представляет собой свертку $$n$$ частных оценок. Линейный обобщенный критерий используется обычно в том случае, когда отдельные показатели взаимно независимы. Свертка же может быть очень полезной, когда существует взаимозависимость показателей, что характерно для большинства задач выбора в нечеткой среде.

Экспериментальное определение нечеткой меры

Рассмотрим метод приближенного экспериментального определения нечеткой меры. Предположим, что существует $$m$$ объектов. Пусть $$\(h_j :K \to [0,1]\)$$ — частная оценка $$j$$ -го объекта, а $$e_{j}$$ — общая оценка. Предъявляя индивиду объекты и их частные оценки, можно получить его субъективные оценки $$d_{j}$$ из интервала $$[0,1]$$ для всех объектов.

Обозначим $$\( \bar e = \max \{ e_j \} ,\quad \underline e = \min \{ e_j \} \)$$ и аналогично $$\(\bar d\) и \(\underline d\)$$. Производя нормализацию $$e_{j}$$, мы имеем$$w_j = \frac{{\bar d - \underline d }} {{\bar e - \underline e }}e_j + \frac{{\underline d \bar e - \bar d\underline e }} {{\bar e - \underline e }}.$$

Субъективная нечеткая мера может быть получена при условии минимума критерия$$J = \sqrt {\frac{1} {m}\sum\limits_{j = 1}^{} {(d_j - w_j )^2 } } .$$

Впервые нечеткие меры применялись для оценки сходства одномерных образов. Например, рассматривалось решение задачи оценки домов. При этом дома оценивались по следующим пяти показателям: площадь, удобства и обстановка, окружающая среда, стоимость, время, требуемое на дорогу до места работы. Известны применения нечетких мер для оценки привлекательности экскурсионных районов, которые оценивались по таким показателям, как красота природы, архитектурные памятники и т.п. Результаты оценок использовались для прогнозирования числа экскурсий в ближайшие десять лет.