В сочетании слов "нечеткий" и "логика" есть что-то необычное. Логика в обычном смысле слова есть представление механизмов мышления, то, что никогда не может быть нечетким, но всегда строгим и формальным. Однако математики, исследовавшие эти механизмы мышления, заметили, что в действительности существует не одна логика (например, булева), а столько, сколько мы пожелаем, потому что все определяется выбором соответствующей системы аксиом. Конечно, как только аксиомы выбраны, все утверждения, построенные на их основе, должны быть строго, без противоречий увязаны друг с другом согласно правилам, установленным в этой системе аксиом.
Человеческое мышление — это совмещение интуиции и строгости, которое,
с одной стороны,
рассматривает мир в целом или по аналогии, а с другой стороны —
логически и последовательно и, значит, представляет собой нечеткий механизм.
Законы мышления, которые мы захотели бы включить в программы компьютеров,
должны быть обязательно формальными; законы мышления, проявляемые в диалоге
человека с человеком — нечеткие. Можем ли мы поэтому утверждать,
что
Термин "
Определение.
Любая
Используя аналогию с саквояжем,
Рассмотрим теперь различные подходы к определению основных операций над
Естественным обобщением инволютивных операций отрицания
Пусть множество значений
Определение.
(О1) $$n(0)=1, n(1)=0$$ ;
(O2) $$x \le y \Rightarrow n(y) \le n(x)$$.
В зависимости от выполнения на $$L$$ дополнительных условий, рассматриваются следующие типы отрицаний:
Слабое отрицание называется также интуиционистским отрицанием. Элемент $$x$$ из $$L$$ будет называться иволютивным элементом, если $$n(n(x))=x$$, в противном случае он будет называться неиволютивным. Отрицание будет называться неиволютивным, если $$L$$ содержит неиволютивные по этому отрицанию элементы.
Элемент $$s\in L$$, удовлетворяющий условию $$n(s)=s$$, называется фиксированной точкой. Этот элемент будет центральным элементом (фокусом) $$L$$. Очевидно, что если фиксированная точка существует, то она единственна.
Отрицание $$n$$ называется сжимающим в точке $$x\in L$$, если выполнено условие$$x \wedge n(x) \le n(n(x)) \le x \vee n(x).$$
Отрицание называется сжимающим на $$L$$, если оно сжимающее в каждой точке множества $$L$$.
Отрицание $$n$$ называется разжимающим в точке $$x\in L$$, если выполнено условие$$n(x) \wedge n(n(x)) \le x \le n(x)x \vee n(n(x)).$$
Отрицание называется разжимающим на $$L$$, если оно является разжимающим в каждой точке множества $$L$$.
Теорема Для любого отрицания $$n$$ любая точка $$x\in L$$ является либо сжимающей, либо разжимающей.
Доказательство Пусть $$x\le n(x)$$, тогда из условия (О2) получим $$n(n(x))\le n(x)$$, откуда следует либо $$x\le n(n(x))\le n(x)$$, либо $$n(n(x))\le x\le n(x)$$. Аналогично, из $$n(x)\le x$$ получаем $$n(x)\le n(n(x))$$, и, следовательно, либо $$n(x)\le n(n(x))\le x$$, либо $$n(x)\le x\le n(n(x))$$
Следствие Элемент $$x$$ является иволютивным тогда и только тогда, если он одновременно сжимающий и разжимающий.
Используя математические методы, можно доказать, что элементы, порождаемые сжимающими и разжимающими отрицаниями в точках, представляют собой спирали, соответственно "закручиваемые внутрь" или "раскручиваемые наружу". Эти спирали либо бесконечные, либо в конечном случае имеют петлю на конце, состоящую из двух элементов, которые для сжимающих отрицаний могут совпадать, образуя неподвижную точку отрицания. Спирали, порождаемые разными элементами, либо вложены друг в друга, либо совпадают, начиная с некоторого элемента.
На рис. 8.1 даны примеры сжимающего и разжимающего в точке $$x$$ отрицания. Элементы $$L$$ представлены вершинами соответствующего графа и упорядочены снизу вверх, в частности, $$y<x$$. Элементы y порождаются элементами $$x$$ так, что $$y=n(x)$$ для рис. 8.1(А) и $$y=n(n(x))$$ для рис. 8.1(Б).
(рис 8.1) Рассмотрим простейшие примеры отрицаний. Во всех примерах предполагается, что $$L$$ содержит элементы, отличные от 0 и 1.
Пример.
"Все, что не истина и не ложь, является неопределенностью".$$n(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{1,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} {x =
0;} \\
{c,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} {x
\notin \{ 0,1\} ;} \\
{0,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} {x =
1.} \\
\end{array} } \right.$$
(рис 8.2) где $$c$$ — некоторый элемент из $$L$$ такой, что $$c\not\in \{0,1\}$$.
Это отрицание является сжимающим, ни обычным, ни слабым, с фиксированной
точкой.
Пример.
"Все, что не истина, есть ложь".$$n(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{1,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\quad x \ne 1;}
\\
{0,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\quad x = 1.}
\\
\end{array} } \right.$$
(рис 8.3) Это отрицание является обычным, разжимающим, квазистрогим, без фиксированной
точки.
Пример.
"Все, что не ложь, есть истина".$$n(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{1,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\quad x = 0;}
\\
{0,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\quad x \ne 0.}
\\
\end{array} } \right.$$
(рис 8.4) Это отрицание является слабым, разжимающим, квазистрогим, без фиксированной
точки.
Пример.
"Все или истина, или ложь".$$n(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{1,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\quad x <
c;} \\
{0,}
{\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.} \\
\end{array} } \right.$$
(рис 8.5) где $$c$$ — некоторый элемент из $$L$$ такой, что $$c\not\in \{0,1\}$$.
Это отрицание является разжимающим, ни обычным, ни слабым, без
фиксированной точки.
Некоторые подходы к формализации
Пример.
Пусть $$L=\{a_{1}, a_{2},\ldots,a_{m}\}$$, где $$a_{i}<a_{i+1}$$.$$n(a_{k}) = a_{m-k+1}.$$
(рис 8.6) Это отрицание является иволютивным. При нечетном $$m=2p+1$$
фиксированной точкой
отрицания является элемент $$s = a_{p+1}$$. Мера нечеткости на этом
элементе
принимает максимальное значение. При четном $$m = 2p$$ фиксированная
точка
отрицания отсутствует, фокус состоит из множества $$\{a_{p},
a_{p+1}\}$$,
имеющих максимальную нечеткость.
Как отмечалось на предыдущих лекциях,
Целесообразность применения тех или иных
Во-первых, эти операции интересны с точки зрения моделирования
лингвистических
связок "и" и "или", используемых человеком. С одной
стороны, операции $$\min$$ и $$\max$$
являются адекватными в порядковых шкалах, в которых обычно измеряются
лингвистические оценки. Это обусловливает их широкое применение в нечетких
Во-вторых,
Докажем, что условие дистрибутивности совместно с условиями монотонности и граничными условиями однозначно определяет операции Заде. Итак, пусть нам даны две операции $$\wedge$$ и $$\vee$$, удовлетворяющие следующим условиям:
Из монотонности и граничных условий следует выполнение условий:$$0 \wedge x = 0,\;\;1 \vee x = 1.$$
Далее выводится условие идемпотентности дизъюнкции:$$x = x \wedge 1 = x \wedge (1 \vee 1) = (x \wedge 1) \vee (x \wedge 1) = x \vee x.$$
И из$$\max (x,y) = \max (x,y) \vee \max (x,y) \geqslant x \vee y \geqslant \max (x \vee 0,0 \vee y) = \max (x,y)$$ следует $$\(x \vee y = \max (x,y).\)$$
Аналогично выводится $$\(x \wedge y = \min (x,y).\)$$
Установлено, что именно условие дистрибутивности является наиболее жестким
ограничением на возможную форму
Простейшими примерами недистрибутивных операций являются следующие $$t$$ -нормы и $$t$$ -конормы:
$$\(T_M (x,y) = \min \left\{ {x,y} \right\}\)$$ (минимум),
$$\( \bot _M (x,y) = \max \left\{ {x,y} \right\}\)$$ (максимум),
$$\(T_p (x,y) = x \cdot y\)$$ (произведение),
$$\(\bot _p (x,y) = x + y - x \cdot y\)$$ (вероятностная сумма),
$$\(T_L (x,y) = \max \left\{ {0,x + y - 1} \right\}\)$$ (t-норма Лукасевича),
$$\( \bot _L (x,y) = \min \left\{ {1,x + y} \right\}\)$$ (t-конорма Лукасевича),
$$\(T_D (x,y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;(x,y) \in [0,1) \times [0,1);} \\ {\min (x,y),} {\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.} \\ \end{array} } \right. \)$$ (сильное произведение),
$$\( \bot _D (x,y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;(x,y) \in (0,1] \times (0,1];} \\ {\max (x,y),} {\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.} \\ \end{array} } \right. \)$$ (сильная сумма).
Для любых $$t$$ -норм $$T$$ и $$t$$ -конорм $$\( \bot\)$$ выполняются следующие неравенства:$$T_D (x,y) \leqslant T(x,y) \leqslant T_M (x,y) \leqslant \; \bot _M (x,y) \leqslant \; \bot (x,y) \leqslant \; \bot _D (x,y).$$
Таким образом, $$t$$ -нормы $$T_{D}$$ и $$T_{M}$$ являются минимальной и максимальной границами для всех $$t$$ -норм. Аналогично, $$t$$ -конормы $$\( \bot _M\) и \( \bot_D\)$$ являются минимальной и максимальной границами для всех $$t$$ -конорм. Эти неравенства очень важны для практического применения, так как они устанавливают границы возможного варьирования операций недистрибутивных конъюнкции и дизъюнкции.
В-третьих, рассмотрение логических
В качестве примера некоммутативных, неассоциативных операций дизъюнкции и конъюнкции можно привести следующие:$$\begin{gathered} T(x,y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\min (x,y),} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;p \leqslant x\;\t{\char232}\t{\char235}\t{\char232}\;q \leqslant y;} \\ {0,} {\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.} \\ \end{array} } \right. \\ \bot (x,y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\max (x,y),} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;p \geqslant x\;\t{\char232}\t{\char235}\t{\char232}\;q \geqslant y;} \\ {1,} {\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.} \\ \end{array} } \right. \end{gathered}$$
В сочетании слов "нечеткий" и "логика" есть что-то необычное. Логика в обычном смысле слова есть представление механизмов мышления, то, что никогда не может быть нечетким, но всегда строгим и формальным. Однако математики, исследовавшие эти механизмы мышления, заметили, что в действительности существует не одна логика (например, булева), а столько, сколько мы пожелаем, потому что все определяется выбором соответствующей системы аксиом. Конечно, как только аксиомы выбраны, все утверждения, построенные на их основе, должны быть строго, без противоречий увязаны друг с другом согласно правилам, установленным в этой системе аксиом.
Человеческое мышление — это совмещение интуиции и строгости, которое,
с одной стороны,
рассматривает мир в целом или по аналогии, а с другой стороны —
логически и последовательно и, значит, представляет собой нечеткий механизм.
Законы мышления, которые мы захотели бы включить в программы компьютеров,
должны быть обязательно формальными; законы мышления, проявляемые в диалоге
человека с человеком — нечеткие. Можем ли мы поэтому утверждать,
что
Термин "
Определение.
Любая
Используя аналогию с саквояжем,
Рассмотрим теперь различные подходы к определению основных операций над
Естественным обобщением инволютивных операций отрицания
Пусть множество значений
Определение.
(О1) $$n(0)=1, n(1)=0$$ ;
(O2) $$x \le y \Rightarrow n(y) \le n(x)$$.
В зависимости от выполнения на $$L$$ дополнительных условий, рассматриваются следующие типы отрицаний:
Слабое отрицание называется также интуиционистским отрицанием. Элемент $$x$$ из $$L$$ будет называться иволютивным элементом, если $$n(n(x))=x$$, в противном случае он будет называться неиволютивным. Отрицание будет называться неиволютивным, если $$L$$ содержит неиволютивные по этому отрицанию элементы.
Элемент $$s\in L$$, удовлетворяющий условию $$n(s)=s$$, называется фиксированной точкой. Этот элемент будет центральным элементом (фокусом) $$L$$. Очевидно, что если фиксированная точка существует, то она единственна.
Отрицание $$n$$ называется сжимающим в точке $$x\in L$$, если выполнено условие$$x \wedge n(x) \le n(n(x)) \le x \vee n(x).$$
Отрицание называется сжимающим на $$L$$, если оно сжимающее в каждой точке множества $$L$$.
Отрицание $$n$$ называется разжимающим в точке $$x\in L$$, если выполнено условие$$n(x) \wedge n(n(x)) \le x \le n(x)x \vee n(n(x)).$$
Отрицание называется разжимающим на $$L$$, если оно является разжимающим в каждой точке множества $$L$$.
Теорема Для любого отрицания $$n$$ любая точка $$x\in L$$ является либо сжимающей, либо разжимающей.
Доказательство Пусть $$x\le n(x)$$, тогда из условия (О2) получим $$n(n(x))\le n(x)$$, откуда следует либо $$x\le n(n(x))\le n(x)$$, либо $$n(n(x))\le x\le n(x)$$. Аналогично, из $$n(x)\le x$$ получаем $$n(x)\le n(n(x))$$, и, следовательно, либо $$n(x)\le n(n(x))\le x$$, либо $$n(x)\le x\le n(n(x))$$
Следствие Элемент $$x$$ является иволютивным тогда и только тогда, если он одновременно сжимающий и разжимающий.
Используя математические методы, можно доказать, что элементы, порождаемые сжимающими и разжимающими отрицаниями в точках, представляют собой спирали, соответственно "закручиваемые внутрь" или "раскручиваемые наружу". Эти спирали либо бесконечные, либо в конечном случае имеют петлю на конце, состоящую из двух элементов, которые для сжимающих отрицаний могут совпадать, образуя неподвижную точку отрицания. Спирали, порождаемые разными элементами, либо вложены друг в друга, либо совпадают, начиная с некоторого элемента.
На рис. 8.1 даны примеры сжимающего и разжимающего в точке $$x$$ отрицания. Элементы $$L$$ представлены вершинами соответствующего графа и упорядочены снизу вверх, в частности, $$y<x$$. Элементы y порождаются элементами $$x$$ так, что $$y=n(x)$$ для рис. 8.1(А) и $$y=n(n(x))$$ для рис. 8.1(Б).
(рис 8.1) Рассмотрим простейшие примеры отрицаний. Во всех примерах предполагается, что $$L$$ содержит элементы, отличные от 0 и 1.
Пример.
"Все, что не истина и не ложь, является неопределенностью".$$n(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{1,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} {x =
0;} \\
{c,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} {x
\notin \{ 0,1\} ;} \\
{0,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} {x =
1.} \\
\end{array} } \right.$$
(рис 8.2) где $$c$$ — некоторый элемент из $$L$$ такой, что $$c\not\in \{0,1\}$$.
Это отрицание является сжимающим, ни обычным, ни слабым, с фиксированной
точкой.
Пример.
"Все, что не истина, есть ложь".$$n(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{1,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\quad x \ne 1;}
\\
{0,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\quad x = 1.}
\\
\end{array} } \right.$$
(рис 8.3) Это отрицание является обычным, разжимающим, квазистрогим, без фиксированной
точки.
Пример.
"Все, что не ложь, есть истина".$$n(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{1,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\quad x = 0;}
\\
{0,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\quad x \ne 0.}
\\
\end{array} } \right.$$
(рис 8.4) Это отрицание является слабым, разжимающим, квазистрогим, без фиксированной
точки.
Пример.
"Все или истина, или ложь".$$n(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{1,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\quad x <
c;} \\
{0,}
{\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.} \\
\end{array} } \right.$$
(рис 8.5) где $$c$$ — некоторый элемент из $$L$$ такой, что $$c\not\in \{0,1\}$$.
Это отрицание является разжимающим, ни обычным, ни слабым, без
фиксированной точки.
Некоторые подходы к формализации
Пример.
Пусть $$L=\{a_{1}, a_{2},\ldots,a_{m}\}$$, где $$a_{i}<a_{i+1}$$.$$n(a_{k}) = a_{m-k+1}.$$
(рис 8.6) Это отрицание является иволютивным. При нечетном $$m=2p+1$$
фиксированной точкой
отрицания является элемент $$s = a_{p+1}$$. Мера нечеткости на этом
элементе
принимает максимальное значение. При четном $$m = 2p$$ фиксированная
точка
отрицания отсутствует, фокус состоит из множества $$\{a_{p},
a_{p+1}\}$$,
имеющих максимальную нечеткость.
Как отмечалось на предыдущих лекциях,
Целесообразность применения тех или иных
Во-первых, эти операции интересны с точки зрения моделирования
лингвистических
связок "и" и "или", используемых человеком. С одной
стороны, операции $$\min$$ и $$\max$$
являются адекватными в порядковых шкалах, в которых обычно измеряются
лингвистические оценки. Это обусловливает их широкое применение в нечетких
Во-вторых,
Докажем, что условие дистрибутивности совместно с условиями монотонности и граничными условиями однозначно определяет операции Заде. Итак, пусть нам даны две операции $$\wedge$$ и $$\vee$$, удовлетворяющие следующим условиям:
Из монотонности и граничных условий следует выполнение условий:$$0 \wedge x = 0,\;\;1 \vee x = 1.$$
Далее выводится условие идемпотентности дизъюнкции:$$x = x \wedge 1 = x \wedge (1 \vee 1) = (x \wedge 1) \vee (x \wedge 1) = x \vee x.$$
И из$$\max (x,y) = \max (x,y) \vee \max (x,y) \geqslant x \vee y \geqslant \max (x \vee 0,0 \vee y) = \max (x,y)$$ следует $$\(x \vee y = \max (x,y).\)$$
Аналогично выводится $$\(x \wedge y = \min (x,y).\)$$
Установлено, что именно условие дистрибутивности является наиболее жестким
ограничением на возможную форму
Простейшими примерами недистрибутивных операций являются следующие $$t$$ -нормы и $$t$$ -конормы:
$$\(T_M (x,y) = \min \left\{ {x,y} \right\}\)$$ (минимум),
$$\( \bot _M (x,y) = \max \left\{ {x,y} \right\}\)$$ (максимум),
$$\(T_p (x,y) = x \cdot y\)$$ (произведение),
$$\(\bot _p (x,y) = x + y - x \cdot y\)$$ (вероятностная сумма),
$$\(T_L (x,y) = \max \left\{ {0,x + y - 1} \right\}\)$$ (t-норма Лукасевича),
$$\( \bot _L (x,y) = \min \left\{ {1,x + y} \right\}\)$$ (t-конорма Лукасевича),
$$\(T_D (x,y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;(x,y) \in [0,1) \times [0,1);} \\ {\min (x,y),} {\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.} \\ \end{array} } \right. \)$$ (сильное произведение),
$$\( \bot _D (x,y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1,} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;(x,y) \in (0,1] \times (0,1];} \\ {\max (x,y),} {\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.} \\ \end{array} } \right. \)$$ (сильная сумма).
Для любых $$t$$ -норм $$T$$ и $$t$$ -конорм $$\( \bot\)$$ выполняются следующие неравенства:$$T_D (x,y) \leqslant T(x,y) \leqslant T_M (x,y) \leqslant \; \bot _M (x,y) \leqslant \; \bot (x,y) \leqslant \; \bot _D (x,y).$$
Таким образом, $$t$$ -нормы $$T_{D}$$ и $$T_{M}$$ являются минимальной и максимальной границами для всех $$t$$ -норм. Аналогично, $$t$$ -конормы $$\( \bot _M\) и \( \bot_D\)$$ являются минимальной и максимальной границами для всех $$t$$ -конорм. Эти неравенства очень важны для практического применения, так как они устанавливают границы возможного варьирования операций недистрибутивных конъюнкции и дизъюнкции.
В-третьих, рассмотрение логических
В качестве примера некоммутативных, неассоциативных операций дизъюнкции и конъюнкции можно привести следующие:$$\begin{gathered} T(x,y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\min (x,y),} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;p \leqslant x\;\t{\char232}\t{\char235}\t{\char232}\;q \leqslant y;} \\ {0,} {\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.} \\ \end{array} } \right. \\ \bot (x,y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\max (x,y),} {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;p \geqslant x\;\t{\char232}\t{\char235}\t{\char232}\;q \geqslant y;} \\ {1,} {\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.} \\ \end{array} } \right. \end{gathered}$$
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.