Базовые положения теории многофункциональных логических модулей

5.1. Методы структурно-параметрической адаптации многофункциональных логических модулей

Одна из центральных проблем построения (Б)ВС на основе "большого" ( $$10^{5}-10^{6}$$ ) количества вычислителей состоит в поиске эффективных методов и средств управления и координации работы всего коллектива и каждого его члена [104-106]. К сожалению, теория многофункциональных дискретных модулей (МДМ) [68, 71, 101, 107, 108] основное внимание сконцентрировала на оценке функциональных возможностей, анализе и синтезе схем из МДМ, а теория адаптивных систем [109-111] основное внимание уделяет исследованию сходимости и эффекти вности алгоритмов оптимизации. В связи с этим, прежде всего рассмотрим суть процесса адаптации МДМ и ответим на вопрос: что происходит в процессе управления дискретным объектом? Покажем на ряде примеров, что адаптация непрерывных и дискретных объектов представляет собой процесс устранения, а в общем виде ослабления неоднозначности в отображении "вход-выход", реализуемом объектом адаптации.

Адаптация в живой природе прежде всего предполагает устранение (ослабление) неоднозначности реакции организма на повторяющиеся события внешнего мира [25]. В частности, при выработке условных рефлексов у животных и человека устанавливается однозначное соответствие между опережающим стимулом и последующей реакцией, в формировании которого участвует сложная функциональная система, создаваемая организмом для достижения полезного приспособительного эффекта в конкретных метастабильных условиях внешней среды (см. раздел 4.3). Поэтому можно сказать, что при выработке условных рефлексов и других более сложных устойчивых форм поведения [25, 112] организм выбирает из множества входных воздействий наиболее информативные и "устойчивые" и ставит им в соответствие наиболее адекватные и достаточно однозначные для данных условий проведения поведенческих актов.

Неоднозначность в живых системах устраняется (ослабляется) начиная с сенсорного уровня, то есть в процессе активного восприятия [113] звуковых, зрительных, тепловых и т. п. сигналов и образов. Заимствованный из [32] рис. 5.1 иллюстрирует: до задания пунктирных линий (рис. 5.1-а) допускается двойственное восприятие пространственного положения куба (рис. 5.1-б и 5.1-в).

(рис 5.1) Неоднозначное восприятие пространственного положения куба

В моделях формальных нейронов и в перцептронах [68, 71, 108] проблема устранения неоднозначности при переходе от реальных к формальным переменным не стоит, так как в технических системах "восприятие" осуществляется через датчики, которые работают с ограниченной точностью, чувствительностью и при наличии внутренних и внешних шумов. Поэтому датчик, как и любая измерительная система, ставит в соответствие множеству входных воздействий $$\{x_{i}{\pm}{\Delta}x_{i}\}$$ множество выходных реакций $$\{y_{i}{\pm}{\Delta}y_{i}\}$$, а неоднозначность, как правило, устраняется усреднением значений по этим множествам. В результате вместо отображения $$\{x_{i}{\pm}{\Delta}x_{i}\}\}$$ $$\{y_{i}{\pm}{\Delta}y_{i}\}$$ используется отображение $$\bar{х}\to\bar{y}$$,где $$\bar{x}_i$$, $$\bar{y}_i$$ - соответствующие средние.

В вычислительной технике до задания управляющих воздействий на операционное устройство также невозможно говорить об однозначном соответствии между его информационными входами и выходом. Однако здесь картина размывается тем обстоятельством, что разработчики МДМ принимают специальные схемотехнические меры, исключающие "неоднозначные" состояния. Тем не менее и в этом случае отказы и неисправности приводят к неоднозначным отображениям типа "вход-выход". Поэтому имеются достаточные основания рассматривать адаптацию широкого класса технических и биологических систем как процесс устранения (ослабления) неоднозначности в выполняемых ими отображениях "вход-выход".

Определим типы преобразований, которые лежат в основе моделей адаптивных процессов такого типа.

Из приведенных примеров видно, что существует большое разнообразие способов и приемов устранения или хотя бы ослабления неоднозначности. В классических адаптивных [110, 111] и кибернетических системах [14, 17, 72, 114] неоднозначность преимущественно устраняется на основе метрических соотношений. Поэтому в моделях таких систем используются метрически транзитивные преобразования, то есть преобразования, сохраняющие меру [14]. При управлении дискретными системами функциональная устойчивость уже зависит не столько от метрических соотношений во входных воздействиях и реализуемых преобразованиях, сколько от сохранения отношения эквивалентности, так как реакция таких систем определяется принадлежностью каждого входного воз действия некоторому подмножеству, однозначно связанному со значением алфавита выходной реакции системы.

Наиболее четко отмеченная разница между моделями непрерывных и дискретных систем проявилась при исследовании перцептронов [108, 110] и многопороговых элементов (МПЭ) [78-80, 115], которые были одними из первых технически реализованных нейроподобных элементов.

Воспользуемся импликативной формой записи МПЭ раздела 4.6:

$$L(X^{s}_{n},W_n):X^{s}_{n} \to(l_{s}(X^s_n,W_{n}) = \sum_{i=1}^{n}{x_i^s*w_{i}}) \in (h_{j-l},h_j]\Rightarrow f_{s}:= b_j, (5.1)$$

где:

$$L(X^{s}_n ,W_n) $$ - оператор линейной свертки компонент входного вектора $$X^{s}_n =(x^{s}_n , x^{s}_{n-1}, x^{s}_{1} )$$ (заданы на целочисленной решетке $$x^s_n \in \{a_i\}$$, $$i = \ovarline{1,n}$$ ; $$|\{а_i\}| = q_{i}$$ ; $$s = \overline{0,Q}$$ ; $$Q= \prod_{i=1}^{n}{q_{i} -1$$ ;) и компонент весового вектора $$W_n = (w_n , w_{n-1},…, w_1)$$, $$(w_i \in (-\infty ;+ \infty)) $$

$$H_{\chi} = (h_1, h_2,…,h_{\chi}) $$ - вектор порогов размерности у, компоненты которого разбивают скалярную ось $$L $$ на $$({\chi}+1)$$ пороговых полуинтервалов ( $$(h_{j-1},h]$$, $$h_{j}\in (-\infty,+ \infty)$$ ; $$k-1 \le \chi \le Q$$ );

реализуемая МПЭ произвольнозначная логическая функция (ЛФ) имеет вид:$$F_{\alpha}(X_n^s)=(f_0, f_1,\ldots,f_s,\ldots,f_Q),$$

у которой: $$f_s\in\{b_j\}$$, $$| \{bj\}\ = \gamma$$, $$\gamma = 1,k$$ ; $$М_F = | \{F_{a}\}| = k^{Q+1}$$ ; $$\alpha = \ovarline{0,M_{F} -1}$$.

Соотношение (5.2) задает не только произвольнозначную ЛФ, но и произвольную дискретную функцию (ДФ), полностью определенную на всех $$s$$ -наборах входных переменных, причем мощность $$q_i$$ множества значений каждой входной переменной может быть произвольной. При равнозначных входных переменных $$(q_n = q_{n- 1} = … = q_1 = q) $$ мощность множества входных векторов $$|\{X^{s}_n\}| = Q-1 = q^n$$, мощность множества $$k$$ -значных ЛФ (или ДФ) $$M_F = k^{Q+1}$$, а при $$k = q = 2$$ имеем класс $$n$$ -мерных булевых функций мощности $$M_{F} = 2^{2^n}.$$

Это говорит о применимости (5.1) как на макроуровне при описании систем распознавания образов (перцептронный подход), так и на микроуровне при описании работы МПЭ.

Отвечающая (5.1) функциональная схема МПЭ включает (рис. 5.2-а):

входной преобразователь $$L(X^{s}_n ,W_n)$$, где реализуется отображение вектора $$X^{s}_n$$ на скалярную ось $$L$$

внутренний преобразователь $$\Lambda:\{l_{s}\}\to\{\{l_{s}\}_j\}$$, где реализуется разбиение всего множества значений свертки $$\{l_{s}\}$$ на $$(\chi+1)$$ подмножеств, таких, $$\cup\{ l_{s} \} _{j}= \{l_{s}\}$$ ; $$\{l_{s} \} _{j}\cap\{ l_{s} \}_{\tilde{j}}= \varnothing$$ при $$j\ne\tilde{j}$$ и $$l_{s}\in\{ l_{s} \}_{j}$$, если $$h_{j-1} < l_{s} \le h_{j}$$ (здесь $$\varnothing$$ - "пустое" множество, а объединение - $$\cup$$ и пересечение - $$\cap$$ подмножеств берутся по индексу $$j$$ );

выходной преобразователь, где реализуется размещение (возможно и с повторениями) $$k $$ значений ЛФ над $$(\chi+1) $$ пороговым полуинтервалом: $$A:(l_{s} \in\{l_{s}\}_j )\to f_s: =b_{j} $$.(рис 5.2) Структурно-функциональные схемы МПЭ

В разделе 4.6 проанализированы условия эквивалентного перехода от МПЭ с аналоговыми параметрами ( $$W_n$$ и $$H_{\chi}$$ ) к МПЭ с дискретными параметрами и показано, что перестройка входного преобразования МПЭ связана с вариациями $$\delta W = \{delta w_{i} \}$$ весового вектора и приводит к различным $$\beta$$ -перестановкам упорядоченных компонент свертки на скалярной оси $$L$$. В результате полная вариация весового вектора $$W_n$$ порождает множество $$\{\beta\}$$ перестановок значений компонент свертки и связанных с ними индексов $$s$$, которое разбивает все пространство $$W_n$$ на классы эквивалентности (индексные зоны - ИЗ) $$\Delta W_{\beta} \subset W_{n}$$, такие, что вариации внутри класса $$\delta W \in \Delta W_{\beta}$$, не нарушают связанного с этим классом отношения порядка между значениями свертки.

Такая дискретизация непрерывного пространства $$W_n$$ позволяет представить (рис. 5.2-б) входной преобразователь $$L(X^{s}_n,W_n)$$ полным, перестраиваемым по $$W_n$$ дешифратором входных сигналов $$(x^{s}_i)$$, внутренний преобразователь $$\Lambda$$ - многоуровневым (перестраиваемым по $$H_{\chi}$$ ) компаратором, выходы которого адресуют ячейки памяти, где хранятся соответствующие значения ЛФ (или ДФ) $$\{b_{j} \}$$.

Если в качестве памяти выбрать ОЗУ произвольной выборки, а полный дешифратор и компаратор заменить эквивалентным "стягивающим" дешифратором, то получим (рис. 5.2-в) типичную схему ассоциативного ЗУ (АЗУ), адресуемого содержимым $$X^{s}_n$$ [46, 116].

Дискретные дешифраторы можно перестраивать как структурно (рис. 5.3), так и параметрически (рис. 5.4). В первом случае добиться требуемой реакции дешифратора можно как заменой базисных элементов, так и модификацией схемы их соединения, то есть модификацией самой схемы. Во втором случае схема дешифратора остается неизменной, но в нее необходимо ввести полный коммутатор, а управление законом коммутации осуществлять с помощью двоичного вектора $$W_n$$.

(рис 5.3) Структурно адаптируемые дешифраторы

В любом случае для устойчивой реализации заданной функции $$F_{\alpha}$$ вида (5.2) как минимум необходимо сохранить отношение порядка (при фиксированном правиле разбиения в непрерывном случае $$\{l_{s}\}_j $$ и правиле подстановки $$\{l_{s} \}\to b_j$$ и дискретном случае $$\{s\}_j$$ и $$\{s\}_{j}\to b_j$$ соответственно).

(рис 5.4) Параметрически адаптируемый дешифратор

Напротив, при перестройке МПЭ с одной функции на другую необходимо:

либо перейти в другую ИЗ, изменив тем самым отношение порядка между значениями компонент свертки $$\{l_{s}\}$$,

либо изменить правила разбиения упорядоченного множества значений свертки $$\{l_{s}\}$$ на подмножества $$\{l_{s}\}_j$$,

либо модифицировать правила подстановки $$\{l_{s} \}_{j}\to b_{j}.$$

Отсюда, в классических МПЭ фактически используется три типа преобразований, которые инвариантны непрерывному или дискретному характеру изменения значений реализуемых аргументов и функций: перестановки входных векторов или их скалярных "представителей", разбиения множества значений входных векторов или их "скалярных представителей" на классы эквивалентности и подстановки значений заданной функции над классами эквивалентности. Поэтому специфика адаптации дискретных систем состоит в том, что в них неоднозначность в отображении "вход-выход" устраняется не на основе преобразований, сохраняющих меру, как это имеет место в классических кибернетических системах, а на основе преобразований, сохраняющих отношение, которое задает на множестве значений своих аргументов реализуемая объектом адаптации функция.

Определим взаимоотношение двух классов преобразований: сохраняющих меру и сохраняющих отношение, и на этой основе покажем, что методы управления непрерывными адаптивными системами не всегда пригодны для управления дискретными адаптивными системами.

Из элементарной алгебры известно:

Знак неравенства не изменится, если обе его части умножить на одно и то же положительное число (масштабирование).

Знак неравенства не изменится, если к обеим его частям прибавить одно и то же число (линейный сдвиг). Свойством сохранения порядка обладают и нелинейные преобразования.

Два неравенства одного и того же знака можно складывать почленно, отчего знак неравенства не изменится (нелинейный сдвиг). Покажем справедливость утверждения 5.1: множество преобразований, сохраняющих меру и сохраняющих отношение, пересекаются только частично.

Пусть задано конечномерное пространство $$\{X^{s}_n\}$$ векторов $$X^{s}_n$$, определенных в (5.1). Функция $$\mu(X^{s}_n) $$ называется мерой, если [117]:

область ее определения является полукольцом множеств $$\{X^{s}_n\}_{\alpha}$$ ;

значения функции действительны и положительны;

эта функция аддитивна, то есть для любого разбиения$$\{ X_n^s \}\bigcup_{\alpha}\{X_n^s\}_{\alpha}, (\alpha=\overline{1,m})$$

выполняется равенство

$$\mu(\{X_n^s\})-\sum_{\alpha}\mu(\{X_n^s \}_{\alpha})$$, где $$\{ X_n^s \}_{\alpha_1}\cap\{ X_n^s \}_{\аlpha_2}=\varnothing$$ при $$\аlpha_1 \ne\аlpha_{2}$$.

Здесь символами $$\nothing$$, $$\cup$$, $$\cap$$ обозначены соответственно множество "пусто", теоретико-множественное объединение и пересечение.

Квадратом $$A = \{X_n^{s(1)}\} * \{X_n^{s(2)}\} $$ называется множество упорядоченных пар $$\{X_n^{s}^{(1)}, X_n^{s(2)}\}$$, где $$X_n^{s (1)}$$ и $$X_n^{s(2)} \in\{X_n^{s}\}$$. Пусть $$R$$ - подмножество квадрата ( $$R\subset A$$ ). Тогда говорят, что элемент $$X_{n}^{s(2)}$$ находится в отношении $$R$$ к элементу $$X_n^{s(1)} (X_n^{s(2)} R X_n^{s(1)} )$$, если пара $$(X_n^{s(2)} , X_n^{s(1)})\in R$$.

Из определения меры и отношения следует, что их можно задать на одном и том же векторном пространстве одновременно и независимо друг от друга.

Для определенности будем считать:

$$\mu(\{X_n^s\}) = \sum_s{d_{s}},$$

где $$d_s = |\sqrt{\sum_i{(x_i^s)^2}}|$$ - абсолютное значение длины вектора $$X_^{s} (d_s \ge 0)$$ ;

$$X_n^{s(1)} < X_n^{s(2)}, \text{ если } l^{s(1)} < l^{s(2)},$$

где $$l^{s} = \sum_{i=1}^n{x_i^s*w_i}$$ и $$0 < w_1 < w_2 < … < w_n$$.

Говорят, что преобразование $$Ф $$ сохраняет меру $$\mu$$, если $$\mu[Ф(X_n^{s})] = \mu(\{X_{n}^{s}\})$$, а преобразование $$Ф'$$ сохраняет отношение $$R$$, если $$[Ф'(X_{n}^{s(2)})]R [Ф'(X_{n}^{s(1)})] \sim X_{n}^{s(2)} R X_n^{s(1)}$$, где $$\sim$$ - отношение эквивалентности.

Обозначим через $$\{Ф_{\аlpha}\}$$ множество всевозможных преобразований, заданных на $$\{X^{s}_n\}$$. Индексами $$\mu$$, $$R$$, $$\mu R$$, $$\mu-R$$, $$R-\mu$$ отметим подмножества $$\{Ф_{\alpha}\}$$, которые сохраняют соответственно меру, отношение, и меру и отношение, только меру, только отношение.

Для доказательства сформулированного утверждения достаточно показать, что каждое из подмножеств $$\{Ф_{\alpha} \}_{\mu-R}$$, $$\{Ф_{\alpha}\}_{\mu R}$$ и $$\{Ф_{\alpha}\}_{R-\mu}$$ - "не пусто".

Из аддитивного свойства меры следует, что она инвариантна перестановкам векторов $$X^{s}_n$$ по индексу $$s$$, которые не нарушают фиксированного разбиения $$\{Х_n^s\} \bigcup_{\alpha}\{Х_n^s\}_{\alpha}.$$ Поэтому если $$R$$ - отношение порядка типа (5.4), а $$\{Ф_{\аlpha}\}_{R-\mu} $$ - множество перенумераций индексов $$i | \{Ф_{\аlpha}\}_{\mu-R}| = n$$!, то любое $$Ф_{\alpha}\in \{Ф_{\alpha}\}_{\mu-R}$$ сохраняет меру $$\mu$$, но не отношение порядка типа (5.4) (кроме, естественно, тождественной перестановки индексов $$i$$ ).

Из аддитивного свойства меры и второго свойства неравенств следует, что линейные сдвиги задают множество преобразований $$\{Ф_{\alpha}\} _{\mu R}$$, сохраняющих и меру и отношение.

Из первого свойства неравенств следует, что даже линейное ( $$c=const$$ ) масштабирование $$(\tilde{x}_i = c * x_{i})$$ нарушает меру (5.3), но сохраняет отношение.

Таким образом, показано:

Чтобы настроить МПЭ на заданную функцию, необходимо с помощью управляющих векторов устранить неоднозначность в выполняемом им отображении "вход-выход".

Устойчивость работы МПЭ можно обеспечить, если выполняемые им преобразования сохраняют отношение эквивалентности $$(\{l_{s} \}\to\{\{l_{s}\}_j\})$$, задаваемое реализуемой логической или дискретной функцией ( $$\{l_{s}\}_{j}\to b_j$$ ).

Множества преобразований, сохраняющих меру и сохраняющих отношение, пересекаются только частично, и поэтому методы адаптации систем с непрерывными переменными и/или параметрами нельзя автоматически распространить на дискретные адаптивные системы.

Адаптация МПЭ (его настройка на заданную логическую или дискретную функцию, задающую отображение $$F_{\alpha}: \{l_s\}_j \to b_j$$ ), предполагает некоторую процедуру перечисления $$F_{\alpha}\in \{F_{\alpha}\}$$.

5.2. Каноническая система преобразований универсальных дискретных модулей

Из приведенных выше данных видно: для полного описания работы МПЭ требуется формальная модель, которая включает некоторую процедуру перечисления либо всех функций из фиксированного класса $$(F_{\alpha}\in\{F_{\alpha}\} $$ - универсальный дискретный модуль (УДМ)), либо только из некоторого подкласса ( $$F_{\alpha} \in \{\tilde{F}_{\alpha}\} \subset \{F_{\alpha}\}(F_{\alpha} \in \{\tilde{F}_{\alpha}\} \subset \{F_{\alpha}\}$$ - многофункциональный дискретный модуль (МДМ)). В любом случае исходным для такого перечисления является класс или множество функций и задаваемые ими отношения эквивалентности. Поэтому раскроем роль и место преобразований, сохраняющих отношение в классах произвольнозначных логических и дискретных функций, заданных (5.2).

Определение 5.1. Подмножество $$\{X^{s}_n\} _{b_j}\subset \{X^{s}_n\}$$ наборов значений аргументов функции $$F_{\alpha}$$ называется эквизначным, если функция принимает на нем одно и то же значение $$b_j$$: $$F_{\alpha} (\{X_n^s\}_{b_j}) = const = b_j$$

Например, двузначная ЛФ двух переменных $$F_{1}(x_2, x _{1}) = x _{2}*x _{1}$$ принимает значение "ноль" на наборах $$X_2^0 = (0,0), X^1_2 = (0,1), X_{2}^{2} = (1,0)$$ и значение "единица" на наборе $$X_{2}^{3} = (1,1)$$, то есть ЛФ "И" разбивает все векторное пространство $$\{X_{2} ^{S}\}$$ на два подмножества $$\{X_{2} ^{S}\}_{0}$$ и $$\{X_{2} ^{S}\}_1$$ мощности $$3$$ и $$1$$ соответственно.

Для произвольных $$\gamma$$ -значных функций ( $$\gamma = \overline{1,k}$$ ) число эквизначных подмножеств равно $$\gamma$$.

Обозначим через $$r_j = \{X_n^s\}_{b_j}|$$ мощность $$j$$ -го эквизначного подмножества ( $$r_j =\overline{0,Q + 1}$$ ; $$j = \overline{1,\gamma }$$ ; $$\sum_j{r_j}=Q + 1$$ ).

Из определения 5.1 и (5.2) следует, что каждый вектор $$X^{s}_n$$ принадлежит только одному "эквизначному" подмножеству и поэтому отношение эквизначности является отношением эквивалентности, так как оно разбивает все множество $$\{X^{s}_n\}$$ на непересекающиеся подмножества $$\{X^s_n\} _{b_j}.$$

Справедливо утверждение 5.2: функция $$F_{\alpha}$$ и задаваемое ею отношение $$R_{\alpha 1}$$ эквизначности на множестве входных векторов $$\{X^{s}_n\}$$ инвариантны перестановкам $$\{Ф_{w}\}_{R_{\alpha 1}}$$ элементов внутри эквизначных подмножеств.

Следствие 5.1. Функция $$F_{\alpha}$$ инвариантна множеству перестановок мощности:

$$|\{Ф_w\}_{R_{\alpha 1}}| = \prod_{j=1}^{\gamma}{r_j!}$$

Для простоты будем считать, что преобразования $$\{Ф_w\}_{R_{\alpha 1}}$$ определены на множестве индексов $$\{s\}$$, а $$\lambda$$ -разбиения на эквизначные подмножества формируются вектором порогов $$H_{\chi}$$ с целочисленными компонентами $$h_j (j\overline{1,\chi})$$ заданными на $$\{s\}$$.

Из определения 5.1 и (5.2) следует утверждение 5.3: отношение эквизначности, задаваемое фиксированным разбиением $$\lambda$$, инвариантно подмножеству функций $$\{F_{\alpha}\}_{\lambda}\subset \{F_{\alpha}\}$$, отличающихся только порядком размещения своих у значений над эквизначными подмножествами этого разбиения.

Следствие 5.2.1-разбиение заданной функции $$F_{\alpha}$$ инвариантно множеству функций $$\{F_{\alpha}\}_{\lambda}$$ мощности:

$$|\{F_{\alpha}\}_{\lambda}| = A^{\gamma}_{\chi+1}$$

где $$A^{\gamma}_{\chi+1}$$ - размещения (возможно с повторениями) $$\gamma$$ значений $$F_{\alpha}$$ над $$(\chi+1)$$ эквизначным множеством.

Утверждения 5.2 и 5.3 говорят о том, что эквизначные подмножества $$\{s\}^{\lambda}_{m_j}$$ в одном и том же разбиении $$\lambda$$ можно рассматривать как неупорядоченное множество неупорядоченных подмножеств, отличающихся только количеством $$r_{j} $$ элементов в каждом.

Отсюда следует утверждение 5.4: фиксированное отношение эквизначности инвариантно перестановкам собственных равномощных подмножеств.

Обозначим через $$\rho^{\lambda}_m$$ мощность множества эквизначных подмножеств, имеющих в фиксированном $$\lambda$$ -разбиении одну и ту же мощность

$$r_j^{\lambda} =m(\rho^{\lambda}_m=\overline{0,Q+1}, m=\overline{0,Q+1})$$

Следствие 5.3. Отношение эквизначности инвариантно множеству перестановок $$\{Ф_{\аlpha}\}_{R_{\аlpha 2}}$$ собственных равномощных подмножеств, мощность которого:

$$|\{Ф_{\аlpha}\}_{R_{\аlpha 2}} | = \prod_m{\rho^{\lambda}_m!}$$

В комбинаторике [90] числа $$\{r^{\lambda}_m\}$$ и $$\{\rho^{\lambda}_m\}$$ называют соответственно первичной и вторичной спецификациями, характеризующими с количественной стороны фиксированное $$\lambda$$ - разбиение. Чтобы учесть качественные отличия $$\lambda$$ -разбиений с одной и той же первичной и вторичной спецификациями, необходимо отличать эквизначные подмножества по составу входящих в них элементов.

Введем множество $$G$$ всевозможных перестановок векторов $$X^{s}_n$$ по индексу $$s$$, такое, что мощность $$|G| = (Q+1)$$!. Тогда мощность $$M_{w} $$ множества $$\lambda$$ -разбиений, отличающихся только составом элементов в соответствии с (5.5 2.11) и (5.7 2.13) будет:

$$M_w=\cfrac{(Q+1)!}{\prod_j{r_j^{\lambda}!}\prod_m{\rho_m^{\lambda}!}}$$

С учетом (5.6 2.12) мощность только $$\gamma$$ -значных функций $$\{F_{\alpha}\}_{\gamma}$$ (из класса $$k$$ -значных), инвариантных фиксированному $$\lambda$$ -разбиению, будет:

$$M_{\gamma}^{\lambda} = | \{F_{\alpha}\}_{\gamma}^{\lambda}| = \cfrac{(Q+1)!k!}{\prod_j{r_{j}^{\lambda}!}\prod_j{\rho_{m}^{\lambda}!}(k-\gamma)!}$$

где вектор порогов $$Н_{\chi} $$ всегда имеет минимальную размерность $$\chi = \gamma - 1$$.

Мощность всего $$\gamma$$ -значного (под)класса функций:

$$M_{\gamma}= \sum_{\lambda}{M_{\gamma}^{\lambda}}$$

где суммирование ведется по всем допустимым $$\lambda$$ -разбиениям.

Мощность всего $$k$$ -значного класса функций:

$$M_k = \sum_{\gamma}{M_{\gamma}} = \sum_{\gamma}\sum_{\lambda}{\cfrac{(Q+1)!}{\prod_j{r_j^{\lambda}!}\prod_m{\rho_m^{\lambda}!}}}$$

где суммирование ведется по всем минимально пороговым $$\lambda$$ -разбиениям числа $$(Q+1)$$, удовлетворяющим условию $$\chi \le \gamma - 1$$.

В таблицах 5.1, 5.2 приведены примеры расчета мощностей соответствующих (5.8)-(5.11) подклассов функций $$F_{\alpha}$$. При анализе этих таблиц следует помнить: $$М_w$$ - мощность множества неупорядоченных подмножеств. С этих позиций разбиения со спецификациями $$(r_0, r_1) = (2,6) $$ и $$(r_0, r_1) = (6,2)$$ являются эквивалентными, и поэтому при определении мощности соответствующего подкласса учитывается только одно из них (см. табл. 5.2).

Распределение двумерных двузначных ЛФ по lambda-подклассам

$$n=q_1=q_2=k=2; Q+1=4;M_k=\sum{M_{\gamma}}=16$$
$$\gamma$$	$$\lambda$$	$$r_j$$		$$\rho_m$$				$$M^{w}$$	$$M^{\gamma}^{\lambda}$$	$$M^{\gamma}$$
		$$r_0$$	$$r_1$$	$$\rho_1$$	$$\rho_2$$	$$\rho_3$$	$$\rho_4$$
1	1	0	4	0	0	0	1	4!/4!=1	1*21=2	2
2	2	1	3	1	0	1	0	4!/1!3!=4	4*2!=8	14
	3	2	2	0	2	0	0	4!/2!2!2!=3	3*2!=6

Распределение трехмерных двузначных ЛФ по lambda-подклассам

$$n=3;q_1=q_2=q_3=k=2; Q+1=8;M_k=\sum{M_{\gamma}}=256$$
$$\gamma$$	$$\lambda$$	$$r_j$$		$$\rho_m$$								$$M^{w}$$	$$M^{\gamma}^{\lambda}$$	$$M^{\gamma}$$
		$$r_0$$	$$r_1$$	$$\rho_1$$	$$\rho_2$$	$$\rho_3$$	$$\rho_4$$	$$\rho_5$$	$$\rho_6$$	$$\rho_7$$	$$\rho_8$$
1	1	0	8	0	0	0	0	0	0	0	1	8!/0!8!=1	1*2!=2	2
2	2	1	7	1	0	0	0	0	0	1	0	8!/1!7!=8	8*2!=16	254
	3	2	6	0	1	0	0	0	1	0	0	8!/2!6!=28	28*21=56
	4	3	5	0	0	1	0	1	0	0	0	8!/3!5!=56	56*21=112
	5	4	4	0	0	0	2	0	0	0	0	8!/4!4!2!=35	35*21=70

При построении (5.11) фактически использовано три оператора:

перестановок входных векторов, мощность которого:$$|G| = (Q+1)!;$$

разбиений упорядоченного множества векторов $$\{X^{s}_n\}$$ на эквизначные подмножества, мощность которого:$$|\Lambda | = \prod_j{r_j^{\lambda}!}\prod_m{\rho_m^{\lambda}!}$$

размещений $$\gamma$$ -значных функций (с выбором из $$k$$ возможных) над эквизначными подмножествами, мощность которого:$$|K|=\cfrac{k!}{(k-\gamma)!}$$

Именно оператор $$K$$ позволяет рассматривать $$\lambda$$ -разбиения как неупорядоченное множество неупорядоченных подмножеств, так как при любом порядке перечисления эквизначных подмножеств в фиксированном $$\lambda$$ -разбиении всегда найдется порядок размещения $$\gamma$$ значений функции, отвечающий заданному отображению $$F_{\alpha}$$: $$X^{s}_n \to f_s$$.

Таким образом, используя преобразования, сохраняющие отношение эквизначности, удалось показать:

Комбинаторное соотношение (5.11) обеспечивает перечисление классов функций (5.2), причем перечислительный (а не вычислительный [118]) характер (5.11) и отвечающих ему преобразований следует из того, что в них входит индекс разбиения $$\lambda$$.

Устойчивость реализации функций типа (5.2) вообще и динамическая устойчивость в частности обеспечивается флуктуацией или блужданием "рабочей точки" по множеству перестановок входных векторов, сохраняющих отношение эквизначности, причем мощность "рабочей области" равна $$|\Lambda|$$.

Напротив, адаптация МДМ на одну из функций типа (5.2) связана с перечислением соответствующих параметров в операторах $$G$$, $$\Lambda$$, $$K$$, изменяющих отношение эквизначности.

Полученные комбинаторные соотношения позволяют ввести формальную модель работы и настройки универсальных дискретных модулей (УДМ), которая базируется не на операциях булевой алгебры, а на общих теоретико-групповых преобразованиях.

Принятая в работе форма задания функции (5.2) идентична форме задания дискретных объектов в комбинаторике [90], и поэтому процесс адаптации УДМ, состоящий в переходе от одной функции к другой, оказывается идентичен процессу перечисления дискретных объектов,

который исследуется в рамках самостоятельной теории перечислимости Дж. Пойя [118].

В вычислительной технике перечисляемыми являются инструкции реализуемой программы, что и составляет основу управления ходом вычислительного процесса. С учетом наличия в программе операторов циклов, завершаемых по условию, а также операторов условных переходов реально реализуемый в ОКОД- или ОКМД-архитектурах поток инструкций частично упорядочен во времени, а в МКМД-архитектурах процессе - и в пространстве.

Таким образом, любой вычислительный процесс фактически состоит из двух подпроцессов: собственно вычисления, в рамках которого выполняются арифметико-логические преобразования операндов, и перечисления частных подготовительных и исполнительных инструкций, через которые выполняются требуемые преобразования данных.

Перечислительный процесс типа (5.11) исходит из общей комбинаторной схемы [90], преобразования которой можно представить [119]:

$$(K * G) : \Lambda,$$

где:

$$K$$, $$G$$, $$\Lambda$$ - определенные в (5.12) соответственно группы подстановок значений реализуемой функции над эквизначными подмножествами и перестановок входных векторов и их разбиения на эквизначные подмножества;

$$K*G$$ - (полу)прямое произведение группы $$K$$ и $$G$$ ;

$$\Lambda$$ - подгруппа "эквизначности", заданная на (полу)прямом произведении $$K*G $$ с порядком$$|\Lambda | = \prod_j{r_j^{\lambda}!}\prod_m{\rho_m^{\lambda}!(k-\gamma)!}$$

$$(K*G):\Lambda$$ - разложение (полу)прямого произведения групп $$K$$ и $$G$$ по факторгруппе "эквизначности" $$\Lambda$$ [119].

Если общая комбинаторная схема исследует классы дискретных объектов с количественной стороны и в предположении, что отношение эквивалентности на множестве объектов задается произвольным образом, то система преобразований (5.13) интересует нас с качественной стороны и в предположении, что отношение эквивалентности задается функциями (5.2).

Из (5.13) видно, что система преобразований, перечисляющая все $$F_{\alpha}$$ из $$\{F_{\alpha}\}$$, основана на преобразованиях конечной симметрической группы [103, 120, 121] (группы подстановок), которые выполняются в следующем порядке:

вначале реализуется (полу)прямое произведение $$K*G$$, учитывающее всевозможные способы упорядочения $$\{ X^{s}_n\}$$ и $$f_{s}$$ в двойках $$\{(X^{s}_n, f_{s} )\}$$ ;

затем с помощью факторгруппы $$\Lambda$$ из множества полученных таким образом пар $$\{(X^{s}_n, f_s)\}$$ устраняются все эквивалентные отображения $$\{F_{\alpha} : X^{s}_n \to f_s\}_{\alpha}$$, отвечающие заданной $$F_{\alpha}$$.

Поэтому (5.13) описывает процесс реализации заданной функции $$F_{\alpha}$$, если вариации параметров $$G$$, $$\Lambda$$, $$K$$ не нарушают заданное этой функцией отношение "эквизначности". В противном случае (5.13) описывает процесс адаптации УДМ, в результате чего происходит выбор, а значит, и последовательное перечисление $$F_{\alpha}$$ из заданного класса.

Физическому порядку выполнения преобразований (5.13) обычно отвечает последовательность "перестановки - разбиения - подстановки":

$$G*\Lambda*K,$$

где входные ( $$G$$ ), внутренние ( $$\Lambda$$ ) и выходные ( $$K$$ ) преобразования отвечают теоретико-групповым соотношениям (5.13), возможно, с некоторыми ограничениями, как это имеет место в МПЭ [79, 80].

Параметры преобразований (5.13) и (5.14) зависят только от классов "перечисляемых" функций и не зависят от особенностей работы и/или настройки реализующих эти преобразования УДМ. Это позволяет рассматривать (5.13) и (5.14) как каноническую тройку, задающую систему преобразований абстрактного УДМ, с помощью которого можно описать работу и настройку любого реального МДМ или УДМ.

5.3. Структурно-функциональная избыточность многофункциональных логических модулей и формальных нейронов

Как уже отмечалось выше, МДМ является универсальным, если реализуемое им множество функций $$\{\Psi_{\alpha}\}$$ включает в себя в качестве подмножества некоторый полный класс функций типа (5.2), то есть $$\{F_{\alpha}}\}\subset\{\Psi_{\alpha}\}$$.

В технике обычно стремятся к тому, чтобы МДМ был не избыточен по отношению к заданному классу функций:

$$\{F_{\alpha}\}\subset\{\Psi_{\alpha}\}\text{ и } \{F_{\alpha}\}\supset\{\Psi_{\alpha}\}\text{ или } \{F_{\alpha}\} : \{F_{\alpha}\}\sim\{\Psi_{\alpha}\}.$$

В реальных нейронах и нейронных ансамблях функциональная избыточность значительна, то есть

$$\{F_{\alpha}\}\subset\{\Psi_{\alpha}\}\text{, причем } |\{F_{\alpha}\}|<<|\{\Psi_{\alpha}\}|.$$

В формальных нейронах и, в частности, в МПЭ присутствует еще и структурная избыточность, которая обеспечивает настройку на одну и ту же ЛФ или ДФ с помощью множества варьируемых параметров модели. В частности, МПЭ можно настроить на одну и ту же $$F_{\alpha}$$ с помощью целой совокупности значений компонент весового вектора $$\{w_i\}_{\alpha}$$ и вектора порогов $$\{h_j\}_{\alpha}.$$

Если принять во внимание еще и физические процессы, которые лежат в основе работы УДМ или МДМ, то многообразие способов реализации одних и тех же функций становится необозримым. Но канонический характер преобразований (5.13) и (5.14) позволяет абстрагироваться от такого многообразия способов реализации, что следует из теоремы Кэли [103], которая гласит: любую конечную группу преобразований можно представить группой подстановок. Отсюда следует, что каким бы способом ни был реализован МДМ или УДМ, его работу или настройку всегда можно описать в виде (5.13) или (5.14).

Чтобы удовлетворить (5.15), необходимо иметь в виду, что перечислительный (адаптивный) процесс настройки МДМ или УДМ на требуемую функцию задан на упорядоченных определенным образом подклассах функции (5.2). В частности, можно убедиться [119], что с ростом хотя бы одного из перестраиваемых параметров ( $$n, <q_{i}>, у, k$$ ) преобразований (5.13) каждый последующий класс $$\{F''\}$$ включает в себя все предыдущие, если $$n' < n''$$, $$q' < q''$$, $$k' < k''$$ или если любая из переменных $$x_{i}$$ имеет значность $$q'_{i} < q_{i}''$$, то $$\{F_{\alpha}'\}\subset\{F_{\alpha}''\}$$.

Если под элементами множества $$\{F\}$$ понимать полные классы $$\{F_{\alpha}\}$$, то с ростом хотя бы одного из параметров ( $$n$$, $$<q_{i}>$$, $$\gamma$$, $$k$$ ) эти классы образуют алгебраическую структуру [103, 120] с отношением включения классов с меньшими значениями перестраиваемых параметров в классы с большими значениями соответствующих параметров.

Для таких структур в теории групп [103] доказываются следующие утверждения:

Всякая структура изоморфно вкладывается в структуру отношений эквивалентности, определенных в некотором множестве (теорема Уитмена).

Структура отношений эквивалентности, определенная в произвольно заданном множестве, изоморфно вкладывается в структуру подгрупп некоторой группы (теорема Биркхофа).

Поскольку задаваемое функцией (5.2) отношение "эквизначности" является отношением эквивалентности, процесс адаптации МДМ или УДМ требует как минимум перехода от одного отношения эквивалентности к другому.

Отсюда, в соответствии с теоремой Уитмена разнообразие способов получения структуры, описывающей специфику работы конкретных УДМ, представимо структурой отношений эквивалентности, а в соответствии с теоремой Биркхофа - соотношение (5.13) описывает не только работу, но и настройку любого УДМ на $$F_{\alpha}\in\{F_{\alpha}\}$$.

Класс двузначных ЛФ лежит в основе современной микроэлектроники, и он вырожден по отношению к классу многозначных (дискретных) функций (5.2), так как при его перечислении варьируют только количеством переменных ( $$n$$ ) и спецификациями $$\{r_{0}, r_{1}\}$$. С этим классом функций связана дистрибутивная структура, для которой справедлива теорема Стоуна [103]: для всякой дистрибутивной структуры существует мономорфизм, отображающий эту структуру во множество всех ее подмножеств и переводящий дополнение в дополнение. (Под мономорфизмом понимается однозначное отображение, при котором образы различных элементов различны.)

Теорема Стоуна показывает, что для построения двузначных УДМ необходимо получить (с помощью $$G$$ и $$\Lambda$$ ) множество всевозможных подмножеств входных векторов $$\{X^{s}_n\}$$, а с помощью преобразования $$K$$ разместить значения ЛФ ("ноль" и "единица") соответственно над подмножеством $$\{X^{s}_n\}_0$$ и его дополнением $$\{X^{s}_n\}_1:\{X^{s}_n\}\setminus\{X^{s}_n\}_0$$.

В сравнении с теоремой Шеннона [101] теорема Стоуна предоставляет более широкий выбор способов построения УДМ, так как она сформулирована в терминах теории множеств и не предполагает какой-либо фиксированной формы логической записи и реализации $$F_{\alpha}$$, что наглядно иллюстрирует МПЭ [79, 80], где входные преобразования носят чисто арифметический, а не логический характер.

В технических системах функциональная избыточность УДМ "дозируется" соображениями экономичности, отказоустойчивости и надежности, когда требование минимума аппаратурных затрат на реализацию и управление УДМ необходимо совместить с требованием повышенной устойчивости к (частичным) отказам объекта и средств адаптации УДМ.

На абстрактном уровне структурно-функциональную избыточность УДМ можно оценить отношением мощности множества всевозможных состояний вектора управления $$U_s$$ к мощности класса реализуемых функций:

$$J (УДМ) = |\{U\}|/M_k \ge 1,$$

где $$| \{U_s\} | = | \{ E_{s} \} | * | \{ E_{d} \} |*|\{ E_{k} \}| $$ - оценивается при независимом управлении параметрами настройки входного преобразования $$G - |\{E_{s}\}|$$, внутреннего преобразования $$\Lambda - | \{ E_{k} \}|$$, и выходного преобразования $$К - |\{Еk\}| = $$, а $$M_{k} = |\{F_{\alpha}\}|$$.

Ограничение снизу в (5.17) показывает, что на любую функцию $$F_{\alpha}\in \{F_{\alpha}\}$$ можно настроиться хотя бы одним способом, то есть при неизбыточном управлении мощность множества состояний вектора управления $$U_s$$ равна мощности множества реализуемых функций.

Ограничение "сверху" в (5.17) можно получить, считая: $$|\{E _{s}\}| \le (Q+1)$$!; $$|\{E_{k}\}| \le k$$!; $$|\{E_{d} \}| \le |\{\lambda\}|$$ - мощность множества всевозможных $$\lambda$$ -разбиений числа ( $$Q+1$$ ).

Тогда:

$$J(УДМ) \le (Q+1)!*k!*|\{\lambda\}|/k^{Q+1}.$$

В табл. 5.3 приведены численные оценки (5.18), показывающие характер изменения структурно-функциональной избыточности УДМ в зависимости от параметров его настройки на $$F_{\alpha}$$ из заданного класса $$\{F_{\alpha}\}$$. Из табл. 5.3 видно, что с ростом $$Q$$ (при фиксированных $$k $$ - рис. 5.5) структурно-функциональная избыточность УДМ резко возрастает, а с ростом $$k$$ (при фиксированных $$Q$$ - рис. 5.6) - падает.

Оценка избыточности реализации ЛФ в УДМ

$$k = 2$$
$$Q+1=4$$		$$Q+1=6$$	$$Q+1=8$$	$$Q+1=9$$
$$J$$	9	90	1575	7087
$$|\{\lambda\}|$$	3	4	5	5
$$|\{u_s\}|$$	144	5760	403200	3628800
$$M_k$$	16	64	256	522
$$k = 3$$
$$Q+1=4$$		$$Q+1=6$$	$$Q+1=8$$	$$Q+1=9$$
$$J$$	7	41	368	1322
$$|\{\lambda\}|$$	4	7	10	12
$$|\{u_s\}|$$	576	30240	2419200	26127360
$$M_k$$	81	249	6561	19683
$$k = 4$$
$$Q+1=4$$		$$Q+1=6$$	$$Q+1=8$$	$$Q+1=9$$
$$J$$	11	38	221	533
$$|\{\lambda\}|$$	5	9	15	17
$$|\{u_s\}|$$	2880	155520	14515200	140797660
$$M_k$$	256	4096	65536	262144

Отсюда следует практическая рекомендация по нахождению минимально избыточных в смысле (5.17) и (5.18) УДМ: необходимо максимально упрощать входное преобразование и максимально использовать возможности выходного преобразования канонической тройки (5.13), особенно при реализации ЛФ, где $$k \ll Q$$.

Таким условиям удовлетворяет УДМ, в котором $$G$$ и $$\Lambda$$ фиксированы, а все адаптивные возможности сосредоточены в выходном контуре:

$$G*\Lambda* A_{Q+1}^{\gamma},$$

где оператор $$\Lambda$$ разбивает все множество $$\{X^{s}_{n}\}$$ на ( $$Q+1$$ ) одноэлементных подмножеств, а выходное преобразование $$A^{\gamma}_{Q+1}$$ размещает с повторениями $$\gamma$$ значений $$F_{\аlpha}$$ над ( $$Q+1$$ ) одноэлементными подмножествами.

(рис 5.5) Диаграмма изменения избыточности УДМ как функция Q+1(рис 5.6) Диаграмма изменения избыточности как функция k

Требованиям (5.19) отвечает УДМ, который включает (рис. 5.7):

неперестраиваемый дешифратор (DC), реализующий оператор $$G (|G| = 1)$$,

селектор-мультиплексор (MS), реализующий фиксированное $$\lambda$$ -разбиение ( $$|\Lambda|=1$$ ),

( $$Q+1$$ )-разрядный регистр (RG), выполняющий подстановку $$\gamma$$ значений $$F_{\alpha}$$ над ( $$Q+1$$ ) элементом $$(f_{s}\to b_j)$$.

Настройка УДМ рис. 5.7 на $$F_{\аlpha}$$ выполняется загрузкой в регистр RG управляющего вектора $$U_{Q}$$, представляющего собой $$k$$ -значный код числа $$\аlpha$$.

(рис 5.7) Структурно-логическая схема базового УДМ

Взаимно однозначное отображение $$\alpha\leftrightarrow U_{Q}$$ зависит от правил объединения на входах селектора MS $$s$$ -выходов дешифратора DC и $$u_{s}$$ -выходов регистра настройки RG. Например, тривиальная $$\alpha$$ -нумерация двумерных двузначных ЛФ задается таблицей 5.4, и она всегда будет подразумеваться в дальнейшем, если не оговорено иное.

Тривиальная alpha-нумерация двумерных двузначных ЛФ

$$x_1$$	$$x_2$$	$$s$$	$$F_{ 0}$$	$$F_{ 1}$$	$$F_{ 2}$$	$$F_{ 3}$$	$$F_{ 4}$$	$$F_{ 5}$$	$$F_{ 6}$$	$$F_{ 7}$$	$$F_{ 8}$$	$$F_{ 9}$$	$$F_{10}$$	$$F_{11}$$	$$F_{12}$$	$$F_{13}$$	$$F_{14}$$	$$F_{15}$$
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	2	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	3	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
$$U_Q$$		$$u_0$$	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
		$$u_1$$	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
		$$u_2$$	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
		$$u_3$$	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

В оптоэлектронике оператор линейной свертки можно реализовать не на схемотехническом, а на физико-техническом уровне работы ней-роподобной элементной базы, что резко снижает аппаратные затраты на МПЭ по сравнению с дискретными схемами. В оптоэлектронном МПЭ рис. 5.8 [122] использована схема (5.19), где:

(рис 5.8) Структурная схема оптоэлектронного УДМ

дешифратор DC выполнен в виде волоконно-оптической системы 1, которая отклоняет луч 2 инжекционного лазера по закону$$\varphi_s=\sum_i{\Delta\varphi_i x_i},$$

где $$x_{i}$$ -двоичные переменные, связанные с наличием ("логическая единица") или отсутствием ("логический ноль") электрического тока в металлизированных волокнах - входах оптоэлектронного УДМ; $$\Delta\varphi_i$$ - "локальный" угол отклонения луча от горизонтальной оси, причем если $$\Delta\varphi_i = const$$ (по $$i$$ ), то УДМ является мажоритарным, а если $$\Delta\varphi_i = vary$$ (по $$i$$ ), то УДМ является многопороговым;

селектор MS реализован в виде оптоэлектронного транспаранта 3;

"плоский" регистр RG реализован в виде памяти связей, которая формирует выходное значение $$(f_{s})$$ оптоэлектронного УДМ в соответствии со значением управляющего потенциала $$u_{s}$$ того элемента транспаранта, на который падает в данный момент луч лазера.

В теории многофункциональных логических модулей [101] все рассмотренные УДМ считаются выполненными по схеме с раздельными информационными ( $$x_{i}$$ ) и управляющими ( $$u_s$$ ) входами. На практике применяются и схемы со смешанными информационными и управляющими входами, адаптация которых выполняется с помощью преобразований:

$$\Gamma_1$$ - перестановка переменных $$x_{i}$$ по входам $$y_{j}$$ МДМ ( $$i =\overline{1,n}$$ ; $$j =\overline{1,m}$$ ; $$m \ge n$$ );

$$\Gamma_{2}$$ - инверсия переменных $$x_{i}$$ ;

$$\Gamma_{3}$$ - фиксация значений отдельных входов ( $$y_{j} = 0$$ или $$y_{j} = 1$$ );

$$\Gamma_{4}$$ - отождествление отдельных входов, то есть подача одной и той же переменной $$x_{i}$$ на произвольное подмножество входов $$\{y_{j}\}$$.

Вне зависимости от значности входных переменных их перестановки по ( $$j$$ ) и инверсии образуют группу переименований переменных [86, 123] порядка $$| \Gamma_{1}*\Gamma_{2}| = 2^{m}*m$$!, которая является подгруппой $$G'$$, имеющей порядок $$(Q'+1)$$!, где $$Q'$$ определена на множестве $$\{Y^{s}_m\}$$.

Фиксация и отождествление переменных не выводят за класс функций $$\{F_{\alpha}(Y_{m})\}$$, к которому принадлежит реализуемая МДМ первообразная [101] функция $$F_{\alpha}*(Y_m)$$, такая, что $$F_{\alpha}^{*}[\Gamma(Y_m)] = \{F_{\alpha}(X^{s}_n)\}$$, где $$\Gamma = \Gamma_{1}*\Gamma_2 *\Gamma_3 *\Gamma_{4}$$. Поэтому, выбрав в (5.2) параметры класса функций $$\{F_{\alpha}(Y_{m} )\}$$, можно с помощью канонической системы преобразований описать работу и адаптацию МДМ со смешанными информационными и управляющими входами.

Таким образом, на основе преобразований, сохраняющих отношение эквизначности, удалось:

Построить каноническую систему преобразований универсальных дискретных модулей, которая пригодна как для описания собственно вычислительного процесса, так и для перечисления всех арифметико-логических инструкций, используемых в программе.

Оценить структурно-функциональную избыточность канонической системы преобразований УДМ и построить его минимально избыточную схему.

Показать инвариантность канонической системы преобразований способам адаптации наиболее распространенных в технике УДМ с раздельными и смешанными информационными и управляющими входами.

Расширить сферу поиска физических процессов под перспективные вычислительные элементы и схемы, так как каноническая система преобразований оперирует не понятиями булевой алгебры, а понятиями теории групп, длительное время обслуживающей нужды физиков и химиков.

5.4. Нейроподобная модель универсальных дискретных модулей с ассоциативным управлением по "сходству" и по "отличию"

Введем и исследуем избыточную по управлению формальную модель универсальных дискретных модулей и на ее основе покажем как совместимость перечислительных схем, использующих ассоциации по "сходству" и "отличию", так и гиперкомбинаторную размерность задачи управления одним реальным нейроном.

Каноническая тройка (5.13) обобщает классическую многопороговую модель формального нейрона и исходит из условия (5.15) точной настройки на заданный класс функций (5.2), то есть предполагает фиксированными структурные параметры класса функций $$(k, <q_{i}>, n)$$.

Функционирование реальных нейронов предполагает не только выбор структурных параметров, но и возможность неточной настройки, как на сам класс, так и на отдельные его функции. В частности, экспериментально показано [112], что установление нового отношения "стимул - реакция" происходит только в том случае, если старое отношение того же типа обеспечивает полезный приспособительный эффект всего в 50 % инструментальных действий животного.

Условие неточной настройки на конкретную $$F_{\alpha}$$ реализуемо как при точной (5.15) настройке УДМ на класс $$\{F_{\alpha}\}$$, так и при неточной (5.16) его настройке. Но в последнем, отвечающем условиям функционирования реального нейрона случае его адаптивные возможности резко возрастают.

Определение 5.2. Произвольная функция $$\tilde{F}_{\alpha}$$, случайно выбранная из множества функций $$\{F_{\alpha}\}$$ типа (5.2), аппроксимирует некоторую функцию $$\hat{F}_{\alpha}$$ с абсолютной ошибкой $$\delta$$, если $$\tilde{F}_{\alpha}\ne\hat{F}_{\alpha}$$ ровно на $$\delta$$ (любых) наборах значений ее аргументов ( $$0\le\delta\le Q+1$$ ).

Из определения 5.2 следует, что по отношению к заданной функции $$\hat{F}_{\alpha}$$ все множество $$\{F_{\alpha}\}$$ можно разбить на непересекающиеся классы ( $$\delta$$ -эквивалентности, которое не исключает, а дополняет рассмотренное ранее отношение $$\chi$$ -эквивалентности.

Аналитическую оценку мощности классов $$\delta$$ -эквивалентности получим исходя из того, что любая $$F_{\alpha}$$ из (5.2) представляет собой упорядоченную последовательность $$\{ f_{s}\} (s = \overline{0,Q})$$.

Тогда количество всех последовательностей вида (5.2), отличающихся ровно $$\delta$$ -значениями (в любых $$s$$ -позициях) от некоторой фиксированной последовательности того же вида, будет [124]:

$$R[k,<q_{i} >,n,\delta] = (k-1)^{\delta}С^{\delta}_{Q+1},$$

где $$C_{Q+1}$$ - число сочетаний из $$Q+1$$ элементов по $$\delta$$.

Из (5.20) и определения 5.2 следует, что количество классов ( $$\delta$$ -эквивалентности зависит только от мощности множества наборов значений входных аргументов, а количество функций в каждом классе определяется еще и мощностью множества допустимых значений $$F_{\alpha}$$ типа (5.2). Исключение составляет только ("вырожденный") класс булевых функций ( $$k =q = const = 2$$ ), для которого $$R[2,n, \delta]=C_2^{\delta}*n$$, то есть количество функций каждого класса определяется биномиальным рядом, который нарушается уже при $$k = 3$$ (табл. 5.5).

Распределение ЛФ по классам д-эквивалентности

$$q$$	$$n$$	$$\delta$$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	1		1	2	1
	2		1	4	6	4	1
3	1		1	6	12	8
	2		1	18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512

Нетрудно увидеть, что мощность всего класса функций (5.2) выражается через (5.20)

$$M_k=\sum_{\delta }{R_{\delta }}$$

Перечислительный характер (5.20) и (5.21) следует из необходимости получения всех $$\delta$$ -разбиений множества наборов значений аргументов.

Если в (5.9-5.11) зафиксирован только способ перечисления $$F_{\alpha}\in \{F_{\alpha}\}$$, но не порядок задания $$\lambda$$ -разбиений, то в (5.20, 5.21) не оговаривается ни первое, ни второе.

Как и в случае МДМ со смешанными информационными и управляющими входами, в (5.21) за основу берется некоторая $$\hat{F}_{\alpha}$$, из которой тем или иным способом получаются подклассы $$\{\tilde{F}_{\alpha}\}$$, объединение которых и дает весь класс функций типа (5.2). Отличие состоит в том, что ни на выбор "первообразной", ни на множество допустимых преобразований над ней в данном случае не накладывается никаких ограничений.

Рассматривая $$\hat{F}_{\alpha}$$ типа (5.2) как упорядоченную последовательность значений $$\{ f_{s}\}$$, для реализации (5.21) можно использовать алгоритм:

Выполнить все подстановки $$(k - 1)$$ значения $$\{b_j\}$$, отличного от заданного $$\hat{F}_{\alpha}(X_{n}^0) = \hat{b}_j$$, зафиксировав значения $$\hat{F}_{\alpha}$$ над остальными значениями $$\{X^{s}_n \setminus X^0_n\}$$.

Восстановить $$\hat{F}_{\alpha}\{X_{n}) = \hat{b}_{j}$$ и повторить последовательно шаг 1 для остальных $$X^{s}_n \in \{X^{s}_n\ X_{n}^0\}$$.

Выполнить шаги 1 и 2 над неупорядоченными двойками, тройками и так далее векторов $$\{X^{s}_n\}$$ до $$s = Q$$.

Этого алгоритма достаточно, чтобы увидеть сходство (5.21) с синтаксическими методами распознавания образов [73, 74, 125, 126], где для классификации используют минимум расстояния между эталонными $$\hat{F}_{\alpha}$$ и классифицируемыми $$\{F_{\alpha}\}$$ объектами. Разница состоит в том, что при распознавании образов минимизируют количество вставок, удалений и замещений $$b_j$$ в $$\{f_s\}$$ при переходе от классифицируемой $$F_{\alpha}$$ к одному из эталонов $$\{\tilde{F}_{\alpha}\}$$ или наоборот.

Таким образом, если каноническая система (5.13) обобщает перцеп-тронную модель распознавания образов [72], в которой классификация выполняется по минимуму "аналитического" или "статистического" расстояния, то при распознавании образов на основе (5.21) используется минимум "синтаксического" расстояния, измеряемого количеством подстановок символов $$b_j$$ в упорядоченную последовательность $$\{ f_{s}\}$$ [126].

Система (5.13) использует ассоциацию по сходству управляющих воздействий, приводящих к фиксированному $$\lambda$$ -разбиению $$\{X^{s}_n\}$$ на эквизначные подмножества, в то время как (5.21) базируется на ассоциации по отличию (контрасту) $$\delta$$ -разбиений $$\{X^{s}_n\}$$, а при использовании этих преобразований в системах распознавания образов к ним добавляется третья Аристотелева ассоциация - по близости [115].

Для реализации приведенного алгоритма отображения $$\hat{F}_{\alpha}\to \{\tilde{F}_{\alpha}\}_{\delta}$$ достаточно минимально избыточной модели УДМ (5.19), где вся адаптация сосредоточена в выходном контуре (рис. 5.7), реализующем размещения $$A^{\gamma}_{Q+1}$$ с повторениями $$\gamma$$ значений $$\hat{F}_{\alpha}$$ над одноэлементными подмножествами $$\{X_{n}^{s(i)}\}$$ с фиксированным по $$s(i)$$ порядком их перечисления (рис. 5.9-а).

В более общем случае (рис. 5.9-б) $$\delta$$ -аппроксиматор реализует (5.21) за счет флуктуации правил перестановки, разбиения и подстановки в канонической тройке (5.13).

В этом случае настройка (5.13) на заданную $$\hat{F}_{\alpha}$$ выполняется векторами $$Е_s$$, $$Е_{d}$$, $$Е_{k}$$, а отображение $$\hat{F}_{\alpha}\to\{\tilde{F}_{\alpha}\}$$ - модификацией правила $$\delta$$ -аппроксимации.

Таким образом, в схеме УДМ рис. 5.9-а и 5.9-б используется и основанный на 1-разбиениях механизм структурно-функциональной адаптации типа (5.13), и основанный на $$\delta$$ -разбиениях флуктуационный механизм адаптации типа (5.21).

Минимальная абсолютная избыточность по управлению УДМ рис. 5.9-б по отношению к УДМ рис. 5.7

$$\Delta J = (М_{k} -1)*k^{Q+1} = (k^{Q+1}-1)*k^{Q+1},$$

что для технических систем является непозволительной роскошью, которую устраняют еще на этапе синтеза средств управления.

В реальных нейронах схемы адаптации (5.13) и (5.21) по объективным причинам сосуществуют [127], и поэтому УДМ рис. 5.9-б можно рассматривать как абстрактный нейрон, для которого выражения (5.11) и (5.13) имеют вид:

$$\sum_{\delta}{\sum_{\gamma}{\sum_{\lambda}{\cfrac{(Q+1)!k!(Q+1)!(k-1)^{\delta}} {\prod_j{r_j^{\lambda}!} \prod_m{\rho_m^{\lambda}!}(k-\gamma)!(Q+1-\delta)!\delta!}}}}$$ $$[(K*G^2):( \Lambda*G_{\delta}*\Omega)]*P_{k-1}^{\delta}$$

где $$G^{2} = G*G$$ - прямое произведение групп $$G$$ мощности $$|G| = (Q+1)$$!;

$$G_{\delta}$$ - группа перестановок мощности $$|G_{\delta} | = (Q+1-d)$$!;

$$\Omega$$ - группа перестановок мощности $$| \Omega | =\delta$$!;

$$Р_{k-1}^{\delta}$$ - декартово $$\delta$$ -произведение, заданное на входном алфавите $$\{b_j\}_{\delta}$$ (с исключением $$\hat{b}_j$$ );

$$(K*G^{2})$$ и $$(\Lambda*G_{\delta}*\Omega)$$ - прямое произведение соответствующих групп.

Соотношения (5.23) и (5.24) следуют из независимого использования и полноты каждого из механизмов (5.13) и (5.21).

В реальных нейронах могут сосуществовать не только разнотипные схемы адаптации, но и разные по биофизической и биохимической природе механизмы реализации одних и тех же формально-логических преобразований, что создает еще один невоспроизводимый в микроэлектронике тип функциональной избыточности.

В частности, на постсинаптической мембране реальных нейронов благодаря наличию "индифферентных" наборов значений входных переменных (мощности $$\delta$$!) имеется принципиальная возможность произвольного размещения "активных" наборов значений входных переменных $$\{X^{s}_n\}$$ на допустимом (морфологическом) множестве наборов $$\{Y ^{s}_m\}$$, где $$| \{X^{s}_n\} | = Q_x+1$$ ; $$|\{Y ^{s}_m\}| = Q_y +1$$ ; $$Q_y - Q_x =\delta > 0$$.

(рис 5.9) Обобщенные структурно-функциональные схемы универсальных модулей

Тогда постсинаптический интерпретатор наборов значений входных переменных (рис. 5.9-в) дублирует одно из преобразований $$\delta$$ -аппроксиматора, так как

$$C_{Q_y+1}^{Q_x+1}= C_{Q+1}^{\delta}=\cfrac{(Q_y+1)!}{(Q_x+1)!\delta !}$$

С учетом (5.25) для УДМ рис. 5.9-в выражения (5.23) и (5.24) принимают вид:

$$\sum_{\delta}{\sum_{\gamma}{\sum_{\lambda}{\cfrac{(Q_y+1)!k!(Q_y+1)!(k-1)^{\delta}} {\prod_j{r_j^{\lambda}!} \prod_m{\rho_m^{\lambda}!}(k-\gamma)!(Q_x+1-\delta)!(\delta!)^2}}}} \ge (k^{Q+1})^2$$ $$[(K*G^2_y):( \Lambda*G_{x}*\Omega^2)]*P_{k-1}^{\delta}$$

Если функционирование реальных нейронов ограничить булевым алфавитом ( $$q_i = k = 2$$ ), то и в этом случае из-за большого количества его входов ( $$m = 10^{3}-10^{4}$$ ) в левой части (5.26) получаются гиперкомбинаторные цифры. Они подтверждают хорошо известные нейрофизиологические данные [25, 128] о роли и месте механизмов эволюции, роста и развития организмов, "управляющего" влияния мотивации, обстановки, опыта и внутреннего состояния организма, влияние которых приводит к более или менее однозначному поведению нейрона (в смысле отображения состояния его входов в выходную реакцию).

Таким образом, введя в каноническую систему (5.13) преобразований УДМ только два типа нейроизбыточности (по управлению и по реализации преобразований), удалось показать:

Функционирование и адаптация реальных нейронов, а тем более нейронных ансамблей, осуществляется на основе колоссальной избыточности по управлению, которая не достижима методами и средствами одной микроэлектроники даже с учетом перспектив ее развития.

В реальных нейронах зафиксировать $$F_{\alpha}$$ или полностью устранить неоднозначность в отображении "вход-выход", задав вектор управления в (5.24), гораздо "сложнее", чем реализовать это отображение, так как здесь мощность пространства состояний управляющих (перечисляющих) векторов гораздо больше мощности множества реализуемых (вычисляемых) функций.

Функционирование систем распознавания образов синтаксического типа базируется на флуктуационных механизмах "перечисления" реали-зуемых ими отображений "вход-выход", а систем распознавания классического (статистического типа) - на структурно-функциональных механизмах, причем в первых фактически используется ассоциация по "отличию", а во вторых - "по сходству", но само распознавание выполняется по "близости", определяемой минимумом некоторого расстояния.

Флуктуационные и структурно-функциональные механизмы адаптации МДМ совместны по используемым преобразованиям, изменяя в них только тип ассоциативного перечисления отображений "вход-выход".

5.5. PD-ассоциативные конструкции и дуализм между потоками инструкций и данных

Наличие в вычислительной технике многофункциональных модулей со смешанными информационными и управляющими входами уже само по себе указывает на существование естественного структурно-функционального дуализма между потоками инструкций и данных. Такой дуализм, с одной стороны, влияет на стратегию синтеза схем из универсальных дискретных модулей, а с другой стороны - раскрывает механизмы управления гиперизбыточными многофункциональными системами типа реальных нейронов и их ансамблей.

Гиперизбыточность реальных нейронов усложняет не только проблему однозначного задания требуемой функции $$F_{\alpha}$$, но и проблему выделения под ее реализацию некоторой (морфологической) структуры. В частности, требуется в реальном времени решить вопрос о формировании адекватной пары "стимул - реакция" на основе одного (конвергентного [25, 128]) нейрона или на основе нейронного ансамбля [129]. Далее требуется локализовать такой нейрон или ансамбль, ориентировать по входам-выходам сеть преобразования и передачи данных, зафиксировать пространственно-временные связи в ансамбле и т. д.

С формальных позиций размерность подобного рода задач настройки сети уже из $$10^{(4-5)}$$ нейронов, имеющих по $$10^{3}-10^{4}$$ входов каждый, вновь приводит к гиперкомбинаторным "коммутационным" цифрам даже для морфологически ориентированной по входам-выходам периферической нервной системы. В корковых образованиях, элементы которых связаны по принципу "каждый с каждым", размерность задачи управления не снижается. Она просто трансформируется из задачи структурной адаптации сети в ее параметрическую адаптацию.

В биологических системах традиционная для техники задача минимизации оборудования, как правило, стоит на втором плане и решается после установления устойчивой связи "стимул - реакция", причем делается это далеко не каждой особью, поставленной в одни и те же (экспериментальные) условия [112].

Поэтому можно считать, что в биосистемах ответ на вопрос о принадлежности требуемой функции $$F_{\alpha}$$ к тому или иному классу $$\{F_{\alpha}\}$$ находится на основе анализа существенно неминимальной нейросети, пространственно-временная ориентация которой на начальном этапе адаптации осуществляется простейшими рекуррентными методами, обеспечивающими полноту сети к более широкому по ( $$n$$, $$<q_{i}>$$, $$k$$ ) классу функций, чем составляющие ее УДМ.

Отвечающую описанным условиям рекуррентную процедуру построения УДМ ( $$n_{2}$$, $$<q_{j} >$$, $$k_{2}$$ ) из УДМ ( $$n_{1}$$, $$<q_{i} >$$, $$k_{1}$$ ) получим, опираясь на теорему

Стоуна [121] и учитывая, что классы функций (5.2) с большими значениями параметров ( $$n_{2} \ge n_{1}$$, $$q_{j}\ge q_{i}$$, $$k_{2}\ge k_{1}$$ ) включают в себя классы функций с меньшими значениями тех же параметров.

Рекуррентную процедуру сначала определим по параметру $$n$$ для классов двузначных ЛФ ( $$k = q = const =2$$ ), а затем распространим ее на многозначные (дискретные) функции типа (5.2).

Пусть имеется ( $$n = 1$$ ) двузначный УДМ с одним входом, последовательно настраиваемый на ЛФ: "тождественный ноль" - $$F_{0}(x_1) = (0,0)$$ ; $$F_{1}(x_1) = x _{1} = (0,1)$$ ; $$F_{2}(x_1) = \overline{х}_1$$ и $$F_{3}(x_1) = (1,1)$$ - "тождественная единица".

В этом случае множество всевозможных подмножеств входных векторов содержит: подмножество "пусто" - $$\{\varnothing\}$$, $$\{X _{1}^0\} = \{0\}$$, $$\{X _{1}^{1}\} = \{1\}$$, и $$\{X_1^0 \cup X_1^{1}\}$$ - "единица" множества, а $$X_1^1$$ - теоретико-множественное объединение.

Тривиальное отображение $$F_{0}(x_1) \leftrightarrow \{\varnothing\}$$, $$F_{1}(x_1) \leftrightarrow \{X_{1}^{1}\}$$, $$F_{2}(x_1) \leftrightarrow \{X_{1}^{0}\}$$ и $$F_{3}(x_1) \leftrightarrow \{X_1^0 \cup X_1^1\}$$ задает мономорфизм этого класса ЛФ на множество всевозможных подмножеств входных векторов, причем дополнение каждой ЛФ до ЛФ "тождественная единица" переводится в соответствующее дополнение вектора $$X_1^s$$ до "единичного" вектора $$X_{1}^0 \cup X_{1}^{1}$$.

Имея в виду этот мономорфизм, можно записать:

$$F_3(x_1)\setminus F_0(x_1) = F_3(x_1); F_3(x_1)\setminus F_1(x_1) = F_2(x_1); \\ F_3(x_1)\setminus F_2(x_1) = F_1(x_1); F_3(x_1)\setminus F_3(x_1) = F_0(x_1);$$

где $$\setminus$$ - теоретико-множественное дополнение.

Отсюда, элементарный (с одним входом) УДМ можно описать теоретико-множественным соотношением:

$$F_3(x_1)\setminus F_j(x_1) = F_{\alpha},\text{ где } F_j(x_1)\cup F_{\alpha}(x_1) = F_3(x_1).$$

Из (5.28) следует, что в элементарном УДМ (ЭУДМ) объектом адаптации является та его часть, где реализуется $$F_{3}(x_1)$$, а сам процесс адаптации сводится к доопределению $$F_{3}(x_1)$$ до заданной $$F_{\alpha}(x _{1})$$, что и составляет суть разложения Шеннона ЛФ "тождественная единица", которое используется при построении двузначных УДМ [101].

В ЭУДМ (рис. 5.10-а) дешифратор представляет собой инвертор, а управление селектором-мультиплексором выполняется по входам $$(u _{0}, u_1)$$, причем регистр управления RG не показан (ср. с рис. 5.7).

Чтобы распространить (5.28) на класс двумерных двузначных ЛФ, используем тривиальную а-нумерацию табл. 5.6 и мономорфизм:

$$F_0(x_2,x_1)\leftrightarrow\{\varnothing\}, F_1(x_2,x_1)\leftrightarrow\{\X_2^3\}=\{1,1\}, F_2(x_2,x_1)\leftrightarrow\{\X_2^2\}=\{1,0\}, \\ F_4(x_2,x_1)\leftrightarrow\{\X_2^1\}=\{0,1\}, F_8(x_2,x_1)\leftrightarrow\{\X_2^0\}=\{0,0\},$$ (рис 5.10) Логические схемы двузначных УДМ$$F_3(x_2,x_1)\leftrightarrow\{\X_2^3\cup X_2^2\}, F_5(x_2,x_1)\leftrightarrow\{\X_3^2\cup X_2^1\}, \\ F_{15}(x_2,x_1)\leftrightarrow\{\X_2^3\cup X_2^2\cup X_2^1\cup X_2^0\}$$

и т. д. до $$F_{15}(x_2,x_1)\setminus F_{j}(x_2,x_1) = F_{\alpha}(x_2,x_1)$$,

В результате двухвходовой двузначный УДМ (УДМ2) можно описать теоретико-множественным соотношением:

$$F_{15}(x_{2}, x_1) \setminus F_j(x_{2}, x_1) = F_{\alpha}(x_2, x_1),$$

где $$F_{j}(x_2,x_1) X_1^1F_{\alpha}(x_2,x_1)=F_{15}(x_2,x_1)$$

Этому соотношению отвечает схема УДМ2 рис. 5.10-б, которая содержит три ЭУДМ и настраивается по входам $$u_0-u_3$$ в соответствии с тривиальной а-нумерацией табл. 5.4.

При синтезе логических схем $$x _{i}$$ -входы обычно считают информационными ( $$i$$ -входы), а $$u_{s}$$ -входы - управляющими ( $$s$$ -входы).

Сравнив схемы ЭУДМ и УДМ2, можно ввести рекуррентную проце-дуру построения УДМ на n входов (УДМ ):

Шаг 1. Чтобы получить УДМ_n, необходимо выходы двух параллельно соединенных $$i$$ -входами УДМ_n-1 подать на $$s$$ -входы ЭУДМ, на $$i$$ -входы кото-рого необходимо подать переменные $$х_{n}$$ и $$\overline{х}_{n}.$$

Шаг 2. Шаг 1 повторить для УДМ_n-1 и перейти к УДМ_n-2, и т. д. до УДМ₂.

Схему ЭУДМ и процедуру построения многозначных (в частности, трехзначных - рис. 5.11) УДМ можно получить, приняв:

Входной дешифратор формирует "единичный" выход в соответствии со следующим (пороговым) правилом:$$X_1^2 = 1,\text{,если } h_1 < x_1 \le h_2, \\ X_1^1 = 1,\text{,если } h_0 < x_1 \le h_1, \\ X_1^0 = 1,\text{,если } x_1 < h_0;$$ (рис 5.11) Схема трехзначного УДМ с 1 входом

Схемы "И" селектора-мультиплексора работают по правилу:$$f_s = \begin{cases} 0, \text{если } X_1^s =0\\ u_s, \text{если } X_1^s =1 \end{cases}$$

Схема "ИЛИ" селектора-мультиплексора работает по классическому многозначному правилу: $$F_{\alpha}(x_{1}) = max\{u_{s}\}$$.

Правила настройки трехзначного ЭУДМ соответствуют тривиальной $$\alpha$$ -нумерации трехзначных ЛФ табл. 5.6, где компоненты вектора $$U_{Q}$$ считаются заданными в трехзначном алфавите, причем правила работы ЭУДМ рис. 5.11 пригодны для произвольного алфавита $$\{b_{j}\}$$ мощности три.

Тривиальная \alpha-нумерация одномерных трехзначных ЛФ

$$x_1$$	$$s$$	$$F_{ 0}$$	$$F_{ 1}$$	$$F_{ 2}$$	$$F_{ 3}$$	$$F_{ 4}$$	$$F_{ 5}$$	$$F_{ 6}$$	$$F_{ 7}$$	$$F_{ 8}$$	$$F_{ 9}$$	$$F_{10}$$	$$F_{11}$$	$$F_{12}$$	$$F_{13}$$
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
1	1	0	0	0	1	1	1	2	2	2	0	0	0	1	1
2	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1
$$U$$	$$u_0$$	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
	$$u_1$$	0	0	0	1	1	1	2	2	2	0	0	0	1	1
	$$u_2$$	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1
$$x_1$$	$$s$$	$$F_{14}$$	$$F_{15}$$	$$F_{16}$$	$$F_{17}$$	$$F_{18}$$	$$F_{19}$$	$$F_{20}$$	$$F_{21}$$	$$F_{22}$$	$$F_{23}$$	$$F_{24}$$	$$F_{25}$$	$$F_{26}$$
0	0	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2
1	1	1	2	2	2	0	0	0	1	1	1	2	2	2
2	2	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2
$$U$$	$$u_0$$	1	1	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
	$$u_1$$	1	2	2	2	0	0	0	1	1	1	2	2	2
	$$u_2$$	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2

Схема ЭУДМ рис. 5.11 удовлетворяет рекуррентной процедуре "коммутационного" наращивания до УДМ_n с той разницей, что $$i$$ -входами параллельно объединяются три УДМ_n-1.

Схемы рисунков 5.10 и 5.11 являются селекторами-мультиплексорами, в которых управляющими принято считать $$i$$ -входы, а информационными - $$s$$ -входы, то есть в зависимости от интерпретации УДМ как комбинационного или коммутационного автомата меняется только представление об информационных и управляющих переменных или параметрах, но не сама схема УДМ.

Такой структурно-функциональный дуализм между управляющими и информационными переменными проявляется и в формальной записи $$F_{\alpha}$$ типа (5.13):

$$F_{\alpha}\{X^{s}_{n},U_{Q})=F_{\alpha}(X^{s}_{n})/| U_{Q}| = \alpha$$, или $$F_{\alpha}(X^{s}_{n},U_{Q}) = F_{\alpha}(| U_{Q}| = \alpha) / X^s_{n}$$ при $$s=\overline{0,Q}$$.

Обе записи задают одну и ту же $$F_{\alpha}$$, но отличаются "перечисляющими" переменными в условии настройки. В первом случае УДМ рассматривается как комбинационный автомат, выходная реакция которого зависит от содержимого $$i$$ -входов, доопределяемых $$s$$ -входами. Во втором случае УДМ рассматривается как коммутационный автомат, выходная реакция которого зависит от содержимого $$s$$ -разряда регистра, возбужденного комбинацией значений соответствующих $$i$$ -входов.

В сочетании с "кодовым" фон-неймановским дуализмом, предполагающим единообразное двоичное представление потоков инструкций и данных в ЭВМ, вскрытый структурно-функциональный и формальный дуализм предполагает возможность арифметико-логических преобразований как потоков данных, так и потоков инструкций.

В сочетании с аналого-цифровым дуализмом данный дуализм позволяет рассматривать оперативное управление вычислителями как ассоциативный процесс, в котором реализуемая операционным устройством функция зависит от содержимого потока данных ( PD- ассоциативность). Такая зависимость позволяет эффективно управлять в реальном времени (сверх)большим коллективом, начиная с микрокомандного (бит-процессорного) уровня организации вычислений, если в схему АЛУ каждого бит-процессора заложить схемотехнические решения, обеспечивающие модификацию исполняемой бит-операции под воздействием потоков обрабатываемых данных. Наиболее удобно такое (сверхоперативное управление (микро)командами реализовать в синхронной, конвейерной арифметике, где "вес" разряда определяется его положением на оси времени, а выполнение каждой бит-инструкции сопровождается принудительной задержкой на 1 такт. В этом случае в однобитное конвейерное АЛУ каждого бит-процессора при проектировании и изготовлении бит-матричных СБИС закладываются специальные PD- ассоциативные конструкции.