Нейрофизиологический и формально-логический базис нейроподобных вычислений

Графически перцептрон можно представить тремя типами схем: функциональной, структурной и символической (рис. 4.19). Функциональная схема детализирует связи между элементами различных слоев перцептро-на: сенсорного, ассоциативного и реагирующего. В структурной схеме весь сенсорный слой представлен одним элементом, элементы ассоциативного слоя детализируются до диаграмм Венна и связей с элементами реагирующего слоя. Символьная диаграмма идентифицирует только типы связей, существующих между элементами перцептрона: от $$S$$ -типа к $$A$$ -типу, от $$A$$ -типа к $$R$$ -типу и связи элементов $$S$$ -типа между собой.

(рис 4.18) Общая схема экспериментальной системы [71](рис 4.19) Схемы представления перцептрона [71]

Проведенная Ф. Розенблаттом "формализация" нервного субстрата и правил его функционирования носит скорее инженерный, чем строгий математический характер и, как модель Мак-Каллока - Питтса, включает два уровня:

уровень "элементов", в качестве которых выступают функционально ориентированные формальные нейроны $$S$$ -, $$A$$ - и $$R$$ -типа, порождаемые ими реакции и связи, обеспечивающие взаимодействие между элементами;

уровень "системы", функционирование которой регламентируется правилами взаимодействия с внешней средой и правилами "выживания", заложенными в систему управления подкреплением, в том числе и в условиях прямого взаимодействия с внешней средой в процессе обучения, которое в таких условиях становится неотъемлемой фазой жизненного цикла.

Но в отличие от моделей Мак-Каллока - Питтса в перцептроне:

структурно-параметрическую адаптацию сети формальных нейронов можно свести к чисто параметрической адаптации, обнулив весовые коэффициенты незадействованных, но реально существующих связей как между элементами различных слоев, так и принадлежащими одному слою;

стохастический характер распространения сигналов через синапти-ческую щель отражен флуктуациями весовых коэффициентов $$v_{ij}(t)$$, участвующих в формировании взвешенных сумм входных возбуждений (см. определения 16 и 23);

фактор временной задержки как на распространение по нервной соединительной ткани, так и в синапсе стал функционально значимым (см. определение 12).

Закладывая основы нейродинамики, Ф. Розенблатт стремился создать аналог статистической физикой для эффективного анализа реальных психофизиологических процессов. Но в итоге ему удалось распространить апробированные в термодинамике статистические методы на качественно новую область "нефизических" исследований, связанных с моделированием процессов обучения вообще и распознавания образов в частности [71]. Главная специфика задач обучения и распознавания - это неэффективность алгоритмических методов из-за постоянно изменяющегося комплекса внешних условий и неоднозначности возможных, но эквивалентных в некотором смысле реакций, что противоречит базовым положениям математики, в том числе и вычислительной [45]. Скрытый парадокс задач обучения "машин" состоит в необходимости применения формальных методов и средств к самому процессу формализации, что требует включения этого процесса в полный "жизненный цикл" ра боты "машины". В результате система обучения с подкреплением типа рис. 4.18 является практически единственным средством установления и постоянной модификации условных причинно-следственных связей, действительных только для фиксированного на некотором интервале времени комплекса внешних условий.

Несмотря на большие достижения в области построения (само)обу-чающихся машин и систем [2, 16, 17, 33, 34], особенно решающих задачи распознавания образов, классификации и идентификации [72-76], включить в их полный жизненный цикл все задачи формализации так и не удалось. В частности, открытым всегда остается вопрос перехода от реальных объектов и процессов к их математическим представителям - множествам и числам, то есть вопрос о том, что и чем измерять, лежит вне контура обучения и является прерогативой разработчика машины или системы распознавания, классификации и идентификации.

Поэтому типичной является следующая постановка задачи [72]. Пусть имеется набор $$d$$ данных (образов), подлежащих классификации (распознаванию, идентификации) и представленных действительными (комплексными, целыми) числами $$(x _{1}, x _{2}, …, x _{d})$$. Требуется найти разделяющую поверхность (рис. 4.20) для $$R$$ классов объектов $$\{R_{i} \} (| \{R_{i}\} | = R)$$ в $$d$$ -мерном евклидовом пространстве $$E^{d}$$, точки которого представлены числами $$(x _{1}, x _{2}, …, x _{d}) $$ или векторами $$X_d$$. Считается, что разделяющую поверхность можно полностью определить скалярными функциями $${g_i(X_{d})} $$ (дискриминантными функциями), такими, что $$g_{i}(X_{d} ) > g_{j}(X_{d})$$, если $$X_{d} \in R_i$$, где $$i \ne j, i,j = \overline{1,R}.$$ В нашем случае: $$g_1(X_{d}) = max(g_1, g _{2}, g_3)$$,если $$X_{d}\in R_1$$ ; $$g _{2}(X_d) = max(g_1, g_2, g _{3})$$, если $$X_{d}\in R$$ ; и $$g_3(X_{d}) = max(g_1, g_2, g _{3})$$, если $$X_{d}\in R_{3}$$, где $$R$$ - внешняя часть незаштрихованной области.

(рис 4.20) Пример разделяющей поверхности для R = 3 и d = 2 [72]

Отвечающая такой постановке задачи структурная схема системы классификации имеет вид рис. 4.21-а [72], которая трансформируется в схему простейшего классификатора, разбивающего множество объектов на два класса (рис. 4.21-б - $$R = 2$$ ). В последнем случае блок выбора максимума вырождается в пороговый элемент, работающий по правилу: $$X_{d}\in R_{1}$$, если $$g(X_{d} ) \ge h$$, и $$X_{d} \in R$$, если $$g(X) < h$$, где $$h$$ - значение порога. Отсюда, настроить (адаптировать) классификаторы рис. 4.18 на конкретное множество классифицируемых (разделяемых, различаемых и т. п.) объектов - это найти множество дискриминантных функций $${g_i(X_{d})} $$ с однозначно определенными максимумами для всей совокупности объектов $$\{Xd\}$$ и классов $${R} (| \{X_d\} | \ge |\{R\}|)$$.

(рис 4.21) Модели классификаторов [72]

Выбор дискриминантных функций обычно представляет центральную задачу обучения системы классификации (идентификации, распознавания образов), что предполагает отсутствие полной априорной информации о классифицируемых объектах и/или вариабельных условиях, при которых будет протекать классификация.

Отличают [72] параметрические и непараметрические методы обучения, к первым из которых прибегают, если априори известны "почти все" параметры, характеризующие принадлежность каждого объекта $$X_{d}$$ к соответствующему классу $$R_{i}$$. Поэтому в данном случае обучающая выборка используется для нахождения значений этих параметров, по которым в дальнейшем строятся дискриминантные функции. Например, априори известно, что объекты первого класса группируются около точки $$\tilde{x}_{1}$$ или, что одно и то же, вектора $$X ^1_{2}$$, а объекты второго класса - вокруг точки $$\tilde{x}_{2}$$ или вектора $$X^{2}_{2}$$ соответственно (рис. 4.22).

(рис 4.22) Линейная разделяющая поверхность, зависящая от параметров множеств объектов [72]

Точные численные значения типичных (эталонных и т. п.) представителей соответствующего класса $$\tilde{x}_{1}$$ и $$\tilde{x}_{2}$$ считаются неизвестными и рассматриваются как параметры, вариация которых позволяет получить оценки для $$X^{1}_2$$ и $$X^{2}_{2}$$, которые и находятся во время обучения. В качестве таких оценок обычно используются всевозможные "средние", определяемые как центры "масс", "тяжести" и т. п. классифицируемых подмножеств (см. рис. 4.20). Зная оценки $$\tilde{x}_{1}$$ и $$\tilde{x}_{2}$$, можно построить дискриминантную поверхность. В данном случае она представляет собой перпендикулярную линию, проходящую через середину отрезка между центральными точками классов $$R_1$$ и $$R _{2}$$, которой соответствует дискриминантная функция

$$g(X_d) = (X^{1}_d - X^{2}_d)*X_{d}+0,5(|X^{2}_d|^{2}- |X^{1}_d| ^{2}),$$

где $$(X^{1}_d - X^{2}_d)*X_{d} $$ - скалярное произведение векторов ( $$X^{1}_{d} - X^{2}_d$$ ) и $$X_d$$, а $$|X_d|^{2}$$ - квадрат модуля соответствующего вектора.

Таким образом, чем выше репрезентативность обучающей выборки, тем достоверней определяются центры подмножеств классифицируемых объектов и тем точнее и достоверней работает система классификации. Отсюда, перцептронные модели и основанные на них системы распознавания образов не отменяют знаний о предметной области (свойствах классифицируемых объектов и их подмножеств), а только изменяют форму представления этих знаний,которые тем достоверней, чем более представительна обучающая выборка.

Описанный подход к построению систем распознавания образов послужил толчком к развитию теории распознавания образов [73-76], в рамках которой классификация по критерию минимума расстояния уже предстала как частный случай теории статистических решений и синтаксического анализа последовательностей символов. Успехи в теории и практике распознавания образов в какой-то мере отодвинули на второй план главную задачу нейродинамики, которая должна была дать ответ на вопрос о механизмах установления причинно-следственных связей в живых системах. Для этого необходимо формализовать процессы преобразования информации, что требует построения информационных эквивалентов традиционных для физики скалярных и особенно векторных понятий, таких как масса, энергия, импульс, сила, потоки массы, обобщенные силы и т. п. В частности, "векторизация" информационных процессов требует объективной оценки направления приложения "информационных усилий", что сопряжено с прагматической и/или семантической оценкой преобразований входной информации в выходную, которую, по П.К. Анохину, невозможно получить без формализации цели поведения системы и достигнутого ею полезного приспособительного эффекта.

4.5. Многопороговые модели

Рассмотренные формальные модели нейронов и нейронных структур типа перцептрона в своей основе используют некоторые пороговые правила "принятия решений" на этапе формирования выходной реакции, для исследования которых был разработан аппарат пороговой логики [77]. В рамках этой теории классическую (много)пороговую модель формального нейрона, которая отражает основные электрофизиологические свойства реального нейрона [56], можно представить в импликативной форме:

$$(l_s(X_n^s,W_{n}) = \sum_{i=1}^n{x_i^s *w_{i})\in (h_{j-1},h_j]\Rightarrow f_{s} := b_j.$$

Здесь $$X^{s}_{n}= (x^{s}_{n}, x^{s}_{n}_{-1}, ..., x^{s}_{1})$$ - $$n$$ -мерный входной вектор с компонентами $$x_i^s\in\{v_i\}; |\{v_i\}| =q_i, i = \overline{l,n}; s = \overline{0,Q}; Q=\prod_{i=1}^n{q_i-1}$$ ; компоненты "весового" вектора $$W = (w_n , w_{n- 1}, …, w_1) $$ принимают значения $$w_{i}\in (-\infty, +\infty)$$ ; индекс $$s$$ представляет ранг значения свертки $$l_{s}$$ (и однозначно связанного с ним вектора $$X^{s}_{n}$$ ) на скалярной оси $$L$$ ; $$f_{s}\in\{b_{j}\}$$ - значения реализуемой логической функции $$F(X^{s}n)=(f_{0}, f_1, ..., f _{s}, ..., f _{Q})$$ ; $$|\{b_j\}| =\gamma$$ ; $$max\gamma =k$$ ; $$|\{F_{\alpha} (X^{s}_n)\}|= k^{Q+1}$$, а вектор порогов $$H_{\chi} = (h_1, …, h_{\chi}) $$ разбивает множество $$\{l_{s}\}$$ скалярных произведений входного и "весового" векторов на $$(\chi+1) $$ пороговых полуинтервалов $$( h_{j-1},h_j]$$ ; $$h\in (-\infty,+\infty)$$ ; $$j=\overline{1,\chi}$$ ; $$(\gamma-1) \le \chi \le Q$$ ; $$\Rightarrow$$ - отношение следования; $$:=$$ - оператор подстановки (присваивания).

В отличие от формального нейрона Мак-Каллока - Питтса функциональная полнота многопороговых элементов и их моделей достигается только параметрической адаптацией, то есть вариацией весового $$\delta W_n$$ и/или порогового $$\delta H_{\chi}$$ векторов.

Если в (4.4) ввести ограничения на весовые коэффициенты типа $$w_i\in(-1, +1)$$, то получим систему мажоритарных пороговых правил формального нейрона Мак-Каллока - Питтса, а если зафиксировать систему связей между пороговыми элементами по типу "каждый с каждым", получим перцептрон Розенблатта.

Задачи оптимального синтеза (много)пороговых моделей сформулированы В.И. Варшавским (предисловие к [77]):

Нахождение условий реализуемости произвольной логической функции той или иной многопороговой моделью.

Синтез многопороговой модели по заданной логической функции и некоторому критерию качества.

Синтез сети из многопороговых моделей по заданной логической функции и некоторому критерию качества.

Характеристики структурной сложности,связывающие задачи 1-3 в единую схему оптимального синтеза многопороговых моделей, введены Л.А. Шоломовым [78]:

сложность (много)пороговой модели:$$\mu(M) = \beta_1*\sum_{i=1}^{n}{|w_i|} + \beta_2 * \chi$$

где $$\beta_{1}, \beta_2 \ge 0$$ - некоторые одновременно не равные нулю "стоимостные" коэффициенты реализации "единицы" веса и одного порога соответственно;

сложность логической функции $$F(X_{n}^{s},W_n) = (f_0, f_1, ..., f_s, ...,f _{Q})$$:$$\mu(F_a) = \min\mu(M),$$

где минимум берется по всем многопороговым моделям типа (4.4);

сложность класса логических функций $$\{F_{a}(X^{s}_{n})\} $$ (функция Шеннона):$$\mu(k,n)=max\mu(F_{a}),$$

где максимум берется по всем $$k$$ -значным логическим функциям

$$F_{a}(X^{s}_{n}) \in \{F_{a}(X_{n}^{s})\}.$$

В такой постановке, как и в любой задаче поисковой оптимизации, основная сложность связана с реализацией критерия (4.7), который требует полного перебора всех логических функций из некоторого класса, а основная трудность связана с неопределенностью выбора шага вариации $$(\Delta W_n)$$ $$n$$ -мерного весового вектора $$W$$.

Решая методом случайного поиска задачи оптимального синтеза (много)пороговых моделей, А.Т. Бахарев и Л.А. Растригин [79] обнаружили, что с позиций поиска минимума размерности вектора порогов $$H $$ значение имеют только те вариации весового вектора $$\Delta W$$, которые нарушают отношение порядка (по индексу $$s$$ ) между значениями свертки $$l_{s}$$ на скалярной оси $$L.$$ Например, для $$n=3$$ и $$x_{i}^{s} \in \{0,1\}$$ (рис. 4.23) вариации весового вектора $$W $$ в пределах пирамид с вершиной в начале координат и с основаниями $$(А_1, A_2, А_3), (А_2, A_3, А_4), (А_1, A_3, А_5)$$ и т. д. дают фиксированный порядок следования индексов $$s$$, упорядоченных по возрастанию значений свертки $$l_s $$: $$(А_1, A _{2}, A _{3}) - l_0 <l_1 <l_2 <l_3 <l_4 <l_5<l_6<l_7$$, $$(А_2, A _{3}, A _{4}) - l_0 <l_1 <l_2 <l_3 <l_4 <l_5<l_6<l_7$$, $$(А_1, A _{3}, A _{5}) - l_0 <l_1 <l_2 <l_3 <l_4 <l_5<l_6<l_7$$.

(рис 4.23) Структура индексных зон первого октанта

Вариации весового вектора $$\delta W_n \in \Delta W_n$$, которые сохраняют отношение порядка (по индексу $$s$$ ) между значениями свертки $$l_{s}(X^{s}_{n},W_{n})$$, получили название индексных зон [79]. Они позволяют заменить непрерывные вариации $$\delta w_i = (-\infty,+\infty)$$ конечным набором целочисленных значений $$\{w_i\}$$, отвечающих одному и тому же порядку следования индексов $$s$$, и разбить весь процесс оптимального синтеза формальных нейронов на два этапа:

абстрактно-логический, который осуществляется на множестве подстановок индексов $$\{s\} $$ и где определяются условия минимально пороговой реализации (много)пороговой модели;

"физический", который обеспечивает переход от $$H_{\chi}$$, заданным на упорядоченном целочисленном множестве $$\{s\}$$, к $$W_n$$ и $$H_{\chi}$$ с непрерывными значениями компонент.

Работу (много)пороговой модели ((М)ПМ) типа (4.4) проиллюстрируем на примере ее настройки на реализацию булевых функций (БФ) двух переменных $$(q_{1} = q_{2} = k = n = 2, s = 0,3 )$$: "И" - $$F(x_{2}, x_{1}) = x_{2}*x _{1}$$ ; "ИЛИ" - $$F(x_{2}, x _{1}) = x_{2}+x _{1}$$ ; "НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ" - $$F(x_{2}, x_{1}) = x _{2}*^+x _{1}*^$$, и в предположении $$w_1 = 1,5$$, $$w_2 = 0,5$$. В этом случае значения свертки двумерных булевых $$s$$ -векторов $$X_{2}^0= (0,0)$$, $$X_{2}^1= (0,1)$$, $$Х_{2}^2= (1,0)$$ и $$Х_{2}^3 = (1,1)$$ расположатся на скалярной оси $$L $$ в лексикографическом (по индексу $$s$$ ) порядке:

$$(l _{0} = 0) < (l _{1} = 0,5) < (l _{2} = 1,5) < (l _{3} = 2)$$

Отсюда, для настройки (М)ПМ на реализацию:

БФ "И" необходимо, чтобы одномерный вектор порогов удовлетворял условию $$1,5 < h_1 < 2$$, а правило подстановки значений функции над двумя пороговыми полуинтервалами имело вид: $$(l_{s} \le h_1) \Rightarrow f_s:=0$$, $$(l_{s} > h_1) \Rightarrow f_s:=1$$ ;

БФ "ИЛИ" необходимо, чтобы при сохранившемся правиле подстановки одномерный вектор порогов принимал значение $$0 < h_1 < 0,5$$ ;

БФ "НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ" необходимо, чтобы вектор порогов был двумерным с компонентами $$0 < h_{1} < 0,5$$ и $$1,5 < h _{2} < 2$$, а прави-ло подстановки значений над тремя пороговыми полуинтервалами имело вид $$(l_{s} \le h_1) \Rightarrow f_s:=0$$ ; $$(h_1 < l_{s} \le h _{2}) \Rightarrow f_s:=1$$ ; $$(l_{s} > h _{2}) \Rightarrow f_s:=0$$.

Вариации значений компонент весового вектора, размерности и значений компонент вектора порогов обеспечивают реализацию произвольной ЛФ $$n$$ переменных, причем не каждая вариация весового вектора изменяет отношение порядка (по индексу $$s$$ ) между значениями свертки на скалярной оси $$L$$. Так, при $$w_2= 2$$ и $$w_1 = 1$$ лексикографический порядок сохранится: $$(l _{0}=0) < (l _{1}=1) < (l _{2}=2) < (l _{3}=3)$$, а при $$w_1 = 1,5$$ и $$w_2 = -0,5$$ он нарушится:

$$(l _{1}= -0,5) < (l _{0}=0) < (l _{3} =1) < (l _{2}=1,5),$$

то есть вместо порядка следования индексов $$s$$ вида $$(0, 1, 2, 3)$$ в (4.8) получили порядок следования $$(1, 0, 3, 2)$$ в (4.9).

Такой "перестановочный" эффект значений свертки на оси $$L$$ служит источником минимизации размерности вектора порогов или, что одно и то же, системы решающих правил в (М)ПМ. Например, для БФ $$F(x_{2}, x _{1}) = \overline{x_{2}}*x_{1}$$ при лексикографическом порядке требуется (М)ПМ с двумя порогами $$0 < h_1 < 0,5$$ и $$0,5 < h _{2} < 1$$, а при порядке следования (4.9) - с одним порогом $$-0,5 < h_1 < 0$$ и системой решающих правил $$(l_{s} \le h_1) \Rightarrow f_s:=1$$, $$(l_{s} > h1) \Rightarrow f_s:=0$$.

В [79, 80] проанализированы условия эквивалентного перехода от (М)ПМ с аналоговыми параметрами ( $$W$$ и $$H$$ ) к (М)ПМ с дискретными параметрами. Было показано, что перестройка входного преобразования (М)ПМ, связанная с вариациями $$\delta W_n = \{\delta w_{i} \}$$ весового вектора, приводит к различным $$\xi$$ -перестановкам упорядоченных компонент свертки $$l_{s(0)} < l_{s(1)} < … < l_{s(p)} < … < l_{s(Q)}$$ на скалярной оси $$L $$ $$(p = \overline{0,Q})$$. В результате полная вариация весового вектора $$W_n$$ порождает множество $$\{\xi\}$$ перестановок значений компонент свертки $$\{l_{s}\}$$ и связанных с ними индексов $$s$$, что и позволяет разбить все пространство $$\{W_n\}$$ на классы эквивалентности $$W_{n} \subset \{ W_n \}$$, такие, что вариации $$\delta W_n$$ внутри класса $$(\delta W_n \in \Delta W_n) $$ не нарушают связанного с этим классом отношения порядка между значениями компонент свертки.

Структура пространства индексных зон (ИЗ) или, что одно и то же, вариации $$\delta W_n \in \Delta W_n$$, сохраняющие отношение порядка $$\xi$$, зависит от размерности $$n$$ входного вектора $$X_{n}^{s}$$ и значности $$q_i$$ его компонент, что иллюстрирует рис. 4.24 [79, 80], где показаны все восемь индексных зон для $$q_i = 2$$. Из рис. 4.24 видна центрально-осевая симметрия пространства индексных зон, что позволяет ограничить анализ их структуры только первым (гипер)октантом.

(рис 4.24) Структура пространства ИЗ для n = q1 = q = 2

Если в трехмерном случае индексные зоны представляют собой пирамиды с вершинами в начале координат, то в двумерном случае это уже сектора, заключенные между наклонными линиями на целочисленной решетке, которая задается значениями компонент входного вектора $$x_i \in X_n$$.

Равномерность разбиения пространства $$\{W_n\}$$ на индексные зоны нарушается уже при $$q_i \ge 4$$ (рис. 4.25), что приводит к разно "устойчивой" реализации ЛФ, зависящей от выбранного значения весового вектора.

(рис 4.25) Зависимость структуры пространства ИЗ от значности входных переменных при n = 2,

Из сказанного следует, при фиксированном векторе порогов $$H $$ и правиле подстановки $$\{l_{s}\}_{j}\to b_{j}$$ вариации весового вектора $$\delta W$$ внутри индексной зоны изменяют значения $$\{l_{s}\}$$, но не нарушают отношение порядка между ними, а значит, и задаваемое (4.4) правило реализации ЛФ. Например, в заштрихованной индексной зоне (рис. 4.2) отношение порядка имеет вид $$l _{0} = 0 < l _{1} = 1,5 < l _{2} = 3 < l _{3} = 4,5$$. Здесь для определенности указаны значения $$l_{s} $$ отвечающие $$(w_2 = 3) > (w_1 = 1,5)$$. Тогда при $$h_1 = 4$$ реализуется ЛФ "И" $$F(x_{1}, x_2) = x _{1}x _{2}$$, если правило подстановки имеет вид $$(l_{s} < h_1) \to f_s:=0$$, $$(l_{s} > h_1) \to f_s:=1$$. Переход в индексную зону с номером 2 сопровождается инверсией неравенства $$(w_1 = 3) > (w_2 = 1,5)$$, которая приводит к новому порядку следования $$l_{s} $$ на скалярной оси $$L:$$ $$l _{0} = 0 < l_2 = 1,5 < l _{1} = 3 < l_3 = 4,5$$. Однако он не нарушает правила подстановки, задаваемые функцией "И". Если (М)ПМ настроен на ЛФ $$F(x_{2}, x_{1}) = \overline{х_{2}}*x_{1 }$$ то такая же вариация весового вектора (при неизменном правиле подстановки $$l_{s} < h_{1} = 1 \to f_s :=0; $$ $$h_1 < l_{s} \le h_{2} = 2 \to f_s :=1$$ ; и $$h_2 < l_{s} \to f_s:=0$$ ) приведет к реализации ЛФ $$F(x_{2}, x_{1}) = x_{2}*\overline{x_{t}}$$.

Таким образом, с позиций устойчивой реализации заданной функции $$F_a$$ вида (4.4) необходимо как минимум сохранить отношение порядка (при фиксированном правиле разбиения $$\{l_{s}\}$$ и правиле подстановки $$\{l_{s}\}_j \to b_j$$ ), а при перестройке (М)ПМ с одной функции на другую при той же системе решающих правил надо перейти в другую ИЗ, то есть изменить отношение порядка.

4.6. Входное преобразование формального нейрона как генератор кратных транспозиций в лексикографически упорядоченной последовательности значений свертки

Выделив в (4.5) в качестве доминирующей составляющей $$\mu(M) = \beta_2*\psi$$ и используя аппарат индексных зон, А.Т. Бахарев показал [80, 81]:

Задачи 1 и 2 абстрактного синтеза (М)ПМ можно решать по критериям $$\mu(k, n) = \max\psi(F) $$ и $$\mu(F_a) = \min\psi(M) $$ соответственно и как чисто дискретные на множестве перестановок индексов $$s$$, не ограничив при этом непрерывные вариации $$\{\delta w_i\}$$ на этапе физического синтеза или настройки (М)ПМ.

При решении задачи 3 критерий (4.7) можно дополнить максимумом функциональной устойчивости (М)ПМ при фиксированной системе решающих правил, что соответствует выбору $$\{w_i\}$$, лежащих на медианах (гипер)пирамид, отобранных по критерию $$\min\psi(M)$$, что гарантирует устойчивую реализацию $$F_{a}|(X^{s}_{n})$$ при максимальном разбросе реальных физических величин $$\{\pm \Delta x_{i}\}$$ и $$\{\pm\Delta w_i\}$$.

Точное решение модифицированной таким образом задачи оптимального синтеза (М)ПМ удалось найти [80, 81] для $$n \le 5$$, а квазиоптимальное решение для $$6 \le n \le 10$$, что было вызвано как ограничениями метода случайного поиска, так и уровнем использованных вычислительных средств. Для сравнения, японские ученые, проводившие достаточно интенсивные исследования в этой области, в тот же период времени смогли достичь показателей $$q = 3$$, $$n \le 3$$ [82, 83].

В современных условиях актуальными стали исследования формальных нейронов, у которых число входов исчисляется десятками [84], а незнание структуры индексных зон имеет два негативных последствия:

При завышенной точности $$\{\pm\Delta w_i\}$$ и неудачной стратегии сканирования в векторном пространстве $$W_n$$ увеличивается время поиска $$\{w_{i} \}$$, удовлетворяющих $$\min\psi(M)$$, за счет многократного и дорогостоящего анализа эквивалентных ситуаций в одной и той же индексной зоне.

При заниженной точности сканирования можно пропустить часть индексных зон, что приводит к недоиспользованию функциональных возможностей элементов сети и, как следствие, к падению коэффициента использования оборудования.

Преодоление или хотя бы ослабление указанных проблем может приблизить нас к более эффективному управлению ресурсами (супер) нейрокомпьютеров, в которых по предварительным оценкам количество формальных нейронов может быть порядка $$10^{5}-10^{6}$$, а количество входов у каждого из них - порядка $$10^{2}-10^{3}$$.

Введем комбинаторную схему прямого порождения транспозиций значений свертки на скалярной оси $$L $$ и дадим точную оценку количества таких транспозиций [85].

Чтобы получить все множество перестановок индексов $$s$$, генерируемых оператором линейной свертки, требуется еще процедура отбора комбинаций совместных транспозиций.

Комбинаторная схема порождения транспозиций значений свертки на скалярной оси $$L$$ базируется на двух известных утверждениях:

Утверждение 4.1. При сложении двух и более неравенств, одно из

которых противоположного знака ( $$w_2 > w_1$$ и $$w_3 > w_4$$ ), результирующее неравенство ( $$w_2 + w_3 > < w_1 + w_4$$ ) может быть произвольного знака ( аддитивный источник транспозиции - $$А$$ -источник и $$А$$ -транспозиция соответственно). Утверждение 4.2. При умножении двух и более неравенств, одно из которых противоположного знака ( $$x _{1} > x _{2}$$ и $$w_1 < w_2$$ ), результирующее неравенство $$(x_1*w_1 > < x_2*w_2$$ ) может быть произвольного знака (мультипликативный источник транспозиции - $$М $$ -источник и $$М $$ -транспозиция соответственно).

Схему порождения транспозиций сначала построим для классов БФ, где задействован только $$А $$ -источник, а затем обобщим ее на случай $$k $$ -значных ЛФ, где срабатывают еще $$М $$ -источник и $$АМ $$ -источник.

В качестве образующей комбинаторной схемы порождения транспозиций выберем систему неравенств:

$$w_n > w_{n-1} > … > w _{2} > w _{1} > 0,$$

считая, что $$w_i$$ удовлетворяют условию линейной независимости:

$$w_i\ne\sum_{i\ne j}{d_j w_j}, i=\overline{1,n}; 1\le j\le n$$

где $$d_{j}\in \{0, \pm 1, \pm 2, …, \pm q_m -1\}$$, $$q_{m} = max (q_{n} , q_{n- 1}, …, q _{1})$$.

Тогда $$l_{s(1)} > < l_{s(2)}$$, если $$X_n^{s(1)}\ne X_n^{s(2)}$$, а реализуемое оператором линейной свертки отображение $$L(X^{s}_{n}, W_{n}):X^{s}_{n}\to l_{s}$$ - изоморфно и обеспечивает строгий порядок следования (по $$s$$ ) $$l$$ на скалярной оси $$L $$. В частности, отвечающее (4.10) и (4.11) каноническое правило присвоения значений компонентам весового вектора $$w _{1} = 1$$, $$W_i = w_{i-1}*q_{i-1} (i = 2,n)$$ обеспечивает лексикографический порядок следования $$l_{s}$$ на оси $$L$$.

Для булевых входных векторов с $$x_{i}^{s} \in \{0,1\}$$:

Каноническое правило имеет вид: $$w_i =2^{i-1}, i = \overline{1,n}.$$

Соотношение (4.11) говорит о том, что любую компоненту весового вектора нельзя представить в виде суммы произвольного числа компонент этого вектора с меньшими значениями индексов из (4.10).

Суммирование в (4.4) выполняется на одно-, двух-, трех-, …, $$n$$ -элементных подмножествах из (4.10) в зависимости от количества $$x^s_i$$ в $$X^{s}_{n}$$, удовлетворяющих условию $$х_i^s = 1,$$ то есть

Отношение порядка между произвольными $$l_{s(1)} $$ и $$l_{s(2)} ( l_{s(1)} > < l_{s(2)} )$$ зависит от состава $$\{w_i\}_{s(1)}$$ и $$\{w_i\}_{s(2)}$$, участвующих в суммировании в (4.4), что задается булевыми векторами $$X_n^{s(1)}$$ и $$X_n^{s(2)}$$.

Числа $$\varepsilon(1) = |\{w_i\}_{s(1)} |$$ и $$\varepsilon(2) = |\{w_i\}_{s(2)} |$$ специфицируют тип участвующих в транспозиции $$l_{s(1)} > < l_{s(2)}$$ значений свертки, указывая только количество $$w_i$$, формирующих $$l_{s(1)} $$ и $$l_{s(2)}:$$

$$\varepsilon(1)=\overline{1,(n-2)}; \varepsilon(2)=\overline{2,(n-1)}; \varepsilon=\varepsilon(1) + \varepsilon(2)\le n,$$

где взятые в скобки цифры (1) и (2) задают принадлежность индексируемого объекта к левой и правой части неоднозначного неравенства $$l_{s(1)} > < l_{s(2)}$$.

Для (4.10) справедливы:

Утверждение 4.3. Сумма любого количества ( $$\varеpsilon(2)$$ ) $$w_i$$ с младшими значениями индексов $$i$$ может быть как меньше, так и больше любого $$w_i$$ ( $$\varеpsilon(1)=1$$ ) со старшим значением индекса $$i$$.

Утверждение 4.4. Для любой комбинации значений е(1) и е(2), удовлетворяющих (4.12), всегда найдется хотя бы одна пара $$l_{s(1)}$$ и $$l_{s (2)}$$ с взаимно исключающими индексами $$i$$ ( $$i(s(1))\ne i(s(2))$$ ), для которых $$l_{s(1)} > < l_{s(2)}$$.

Утверждение 4.4 исходит из того, что при любых ( $$\varepsilon(1), \varepsilon (2) \ge 2$$ ) всегда найдутся $$\{w_{i} \}_{s(1)}$$ и $$\{w_{i} \}_{s(2)}$$ c взаимно исключающими индексами $$i$$, которые можно разбить на непересекающиеся подмножества $$\{w^{'}_i\}_{s(1)}, \{w^{''}_i\}_{s(1)}, \{w^{'}_i\}_{s(2)}, \{w^{''}_i\}_{s(2)},$$ такие, что $$l^'_{s(1)} < l^'_{s(2)}$$, а $$l^{''}_{s(1)} > l^{''}_{s(2)}$$, то есть $$l_{s(1)} = l^'_{s(1)} + l^{''}_{s(1)} > < l_{s(2)} = l^'_{s(2)} + l^{''}_{s(2)}.$$

На основе этих утверждений можно построить $$\varepsilon$$ -спецификацию $$\{\varepsilon (1), \varepsilon (2)\}$$, задающую множество всех допустимых транспозиций $$Т (2, n )$$ значений свертки булевых векторов на скалярной оси $$L:$$

$$\begin{array}{rrrrrrr} (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), …, (1, n-2), (1, n-1)\\ (2, 2), (2, 3), (2, 4), …, (2, n-3), (2, n-2)\\ (3, 2), (3, 3), …, (3, n-4), (3, n-3)\\ (4, 2), …, (4, n-5), (4, n-4) \\ … … … …\\ (n-3, 2), (n-3, 3) \\ (n-2, 2) \end{array}$$

в которой каждая строка идентифицируется $$\varepsilon(1)$$, а каждый столбец - $$\varepsilon = \varepsilon(1)+\varepsilon(2) = const$$, $$\varepsilon = \overline{3, n}$$. Каждому элементу 1-й строки $$\varepsilon$$ -спецификации (4.13) соответствует

$$P_{n-m}^{\varepsilon-1}=\sum_{m=1}^{n-\varepsilon+1}{C_{n-m}^{\varepsilon-1}}$$

комбинаций $$l_{s(1)} $$ и $$l_{s(2)}$$, удовлетворяющих утверждению 4.3, где $$C_{n-m}^{\varepsilon-1}$$ - число сочетаний из $$(n - m)$$ элементов $$w_i$$ по $$\varepsilon-1$$, а $$m$$ - текущий индекс, который связан со значением "старшего" индекса $$i$$ в утверждении 3 соотношением: $$\max{i} = n - m + 1, m = \overline{1,(n - \varepsilon+1)}.$$

Соотношение (4.14) иллюстрирует табл. 4.2, где представлены все $$А$$ -транспозиции сверток булевых векторов типа ( $$\varepsilon (1)=1$$, $$\varepsilon (2)$$ ) для $$n = 6$$. (Все численные результаты получены совместно с И. Клейменовым и А. Саломатовым.)

А-транспозиции типа (s(1)=1, s(2)) для n = 6

$$С_{6-m}^2$$	Транспозиции типа $$(1,2)$$	$$С_{6-m}^3$$	Транспозиции типа $$(1,3)$$	$$С_{6-m}^4$$	Транспозиции типа $$(1,4)$$
$$m = 1;\\ C_5^2 =10$$	$$w_6 >< w_2+w_1\\ w_6 >< w_3+w_1\\ w_6 >< w_3+w_2\\ w_6 >< w_4+w_1\\ w_6 >< w_4+w_2\\ w_6 >< w_4+w_3\\ w_6 >< w_5+w_1\\ w_6 >< w_5+w_2\\ w_6 >< w_5+w_3\\ w_6 >< w_2+w_4 $$	$$m = 1;\\ C_5^3 =10$$	$$w_6 >< w_3+w_2+w_1\\ w_6 >< w_4+w_2+w_1\\ w_6 >< w_4+w_3+w_1\\ w_6 >< w_4+w_3+w_2\\ w_6 >< w_5+w_2+w_1\\ w_6 >< w_5+w_3+w_1\\ w_6 >< w_5+w_3+w_2\\ w_6 >< w_5+w_4+w_1\\ w_6 >< w_5+w_4+w_2\\ w_6 >< w_5+w_4+w_3 $$	$$m = 1;\\ C_5^4 =5$$	$$w_6 >< w_4+w_3+w_2+w_1\\ w_6 >< w_5+w_3+w_2+w_1\\ w_6 >< w_5+w_4+w_2+w_1\\ w_6 >< w_5+w_4+w_3+w_1\\ w_6 >< w_5+w_4+w_3+w_2\\ $$
$$m = 2;\\ C_4^2 =6$$	$$w_5 >< w_2+w_1\\ w_5 >< w_3+w_1\\ w_5 >< w_3+w_2\\ w_5 >< w_4+w_1\\ w_5 >< w_4+w_2\\ w_5 >< w_4+w_3\\ $$	$$m = 2;\\ C_4^3 =4$$	$$w_5 >< w_3+w_2+w_1\\ w_5 >< w_4+w_2+w_1\\ w_5 >< w_4+w_3+w_1\\ w_5 >< w_4+w_3+w_2 $$	$$m = 2;\\ C_4^4 =1$$	$$w_5 >< w_4+w_3+w_2+w_1$$
$$m = 3;\\ C_3^2 =3$$	$$w_4 >< w_2+w_1\\ w_4 >< w_3+w_1\\ w_4 >< w_3+w_2 $$	$$m = 3;\\ C_3^3 =1$$	$$w_5 >< w_3+w_2+w_1$$	$$P_{n-m}^{4}=6$$
$$m = 4;\\ C_2^2 =1$$	$$w_3 >< w_2+w_1$$	$$P_{6-m}^{3}=15$$		$$С_{6-m}^5$$	Транспозиции типа $$(1,5)$$
$$P_{6-m}^{2}=20$$				$$m = 1;\\ C_5^5 =1$$	$$w_6 >< w_5+w_4+w_3+w_2+w_1$$
				$$P_{n-m}^{5}=1$$

Взяв в качестве образующей каждую $$А $$ -транспозицию типа ( $$\varepsilon (1) = 1, \varepsilon (2) \ge 3$$ ) и переставив в них справа налево любую из компонент $$w_i (w_i(s(1)):= w_i(s(2)))$$, можно получить все $$А $$ -транспозиции типа ( $$\varepsilon (1) = 2, \varepsilon (2) = \varepsilon -2$$ ), которые отвечают 2-й строке $$\varepsilon$$ -спецификации (4.13). Таких $$А $$ -транспозиций в каждом столбце ?-спецификации будет $$С_{\varepsilon-1}^1$$. Исключением является 2-й столбец, где $$А $$ -транспозиции типа ( $$\varepsilon (1) = 2, \varepsilon (2) = 2$$ ) образованы из $$А $$ -транспозиции типа ( $$\varepsilon (1) = 1, \varepsilon (2) = 3$$ ) перестановкой справа налево одной, самой "младшей" по (4.10) компоненты, что порождает $$С_3^0$$ производных $$А $$ -транспозиций (табл. 4.3).

Продолжив процедуру перестановок справа налево различных двоек, троек и т. д. $$w_i$$, можно убедиться, что каждая образующая $$А $$ -транспозиция 1-й строки $$\varepsilon$$ -спецификации порождает, включая и самих себя, подклассы $$А $$ -транспозиций, причем мощности этих подклассов по каждому столбцу $$\varepsilon$$ -спецификации образуют ряд:

для четных $$\varepsilon$$: $$С^0_{\varepsilon-1}, С^{1}_{\varepsilon-1}, С^2_{\varepsilon-1},..., С_{\varepsilon-1}^{\chi}, C_{\chi}_{\varepsilon-1}, C^{\chi-1}_{\varepsilon-1}, … , C^1_{\varepsilon-1},C^0_{\varepsilon-1}$$

для нечетных $$\varepsilon$$: $$С^0_{\varepsilon-1}, С^{1}_{\varepsilon-1}, С^2_{\varepsilon-1},..., С_{\varepsilon-1}^{\chi}, C^{\chi-1}_{\varepsilon-1}, … , C^1_{\varepsilon-1},C^0_{\varepsilon-1}$$,

где $$\chi = E[(\varepsilon-1)/2]-1,E[*]$$ - целая часть $$[*]$$.

Приняв за четный последний столбец $$\varepsilon$$ -спецификации (4.13), комбинаторную схему порождения всех $$А $$ -транспозиций, генерируемых оператором линейной свертки булевых векторов, можно представить:

$$\begin{array}{ccccccc} P^2_{n-m}, P^3_{n-m}, P^4_{n-m}, P^5_{n-m}, …, P^{n-2}_{n-m}, P^{n-1}_{n-m}, \\ C^0_2, C^0_3, C^0_4, C^0_5, … , C^0_{n-2}, C^0_{n-1}, \\ C^0_3, C^1_4, C^1_5, … , C^1_{n-2}, C^1_{n-1}, \\ C^0_4, C^1_5, … , C^2_{n-2}, C^2_{n-1}, \\ C^0_5, … , C^3_{n-2}, C^3_{n-1}, \\ ... … , ... ... \\ C^{\chi-1}_{n-2}, C^{\chi}_{n-1}, \\ C^{\chi-2}_{n-2}, C^{\chi-1}_{n-1}, \\ ... … , ... ... \\ C^{0}_{n-2}, C^1_{n-1}, \\ C^{0}_{n-1}, \\ \end{array}$$

Здесь в 1-й строке указаны постоянные для каждого столбца множители $$P_{n-m}^{\varepsilon-1}$$ соответствующие мощностям подклассов образующих $$А $$ -транспозиций $$\varepsilon$$ -спецификаций.

А-транспозиции типа (s(1)>1, s(2)) для n = 6

$$С_{6-m}^3$$	Транспозиции типа $$(2,2)$$	$$С_{6-m}^3$$	Транспозиции типа $$(2,3)$$	$$С_{\varepsilon-1}^4$$	Транспозиции типа $$(3,3)$$
$$m = 1;\\ C_5^3 =10$$	$$w_1+w_6 >< w_3+w_2\\ w_1+w_6 >< w_4+w_2\\ w_1+w_6 >< w_4+w_3\\ w_1+w_6 >< w_5+w_2\\ w_1+w_6 >< w_5+w_3\\ w_1+w_6 >< w_5+w_4\\ w_2+w_6 >< w_4+w_3\\ w_2+w_6 >< w_5+w_3\\ w_2+w_6 >< w_5+w_4\\ w_3+w_6 >< w_5+w_4 $$	$$m = 1;\\ C_5^4=5$$	$$w_1+w_6 >< w_4+w_3+w_2\\ w_1+w_6 >< w_5+w_3+w_2\\ w_1+w_6 >< w_5+w_4+w_2\\ w_1+w_6 >< w_5+w_4+w_3\\ w_2+w_6 >< w_5+w_4+w_3 $$	$$\varepsilon-m = 5;\\ C_5^1 =5$$	$$w_2+w_1+w_6 >< w_5+w_4+w_3\\ w_3+w_1+w_6 >< w_5+w_4+w_2\\ w_4+w_1+w_6 >< w_5+w_3+w_2\\ w_5+w_1+w_6 >< w_4+w_3+w_2\\ w_3+w_2+w_6 >< w_5+w_4+w_1 $$
$$m = 2;\\ C_4^3 =4$$	$$w_1+w_5 >< w_3+w_2\\ w_1+w_5 >< w_4+w_2\\ w_1+w_5 >< w_4+w_3\\ w_2+w_5 >< w_4+w_3 $$	$$m = 2;\\ C_4^4 =1$$	$$w_1+w_5 >< w_4+w_3+w_2 $$	$$C_5^1 * P_{6-m}^5=5*1=5 $$
$$m = 3;\\ C_3^3 =4$$	$$w_1+w_4 >< w_3+w_2 $$	$$m = 1;\\ C_5^4=5$$	$$w_2+w_6 >< w_4+w_3+w_1\\ w_2+w_6 >< w_5+w_3+w_1\\ w_2+w_6 >< w_5+w_4+w_1\\ w_3+w_6 >< w_5+w_4+w_1\\ w_3+w_6 >< w_5+w_4+w_2 $$	$$С_{6-m}^4$$	Транспозиции типа $$(3,2)$$
$$C_3^0 * P_{6-m}^3=1*15=15$$		$$m = 2;\\ C_4^4=1$$	$$w_2+w_5 >< w_4+w_3+w_1 $$	$$m = 1;\\ C_5^4=5$$	$$w_2+w_1+w_6 >< w_4+w_3\\ w_2+w_1+w_6 >< w_5+w_3\\ w_2+w_1+w_6 >< w_5+w_4\\ w_3+w_1+w_6 >< w_5+w_4\\ w_2+w_3+w_6 >< w_5+w_4 $$
$$С_{\varepsilon-1}^1$$	Транспозиции типа $$(2,4)$$	$$m = 1;\\ C_5^4=1$$	$$w_3+w_6 >< w_4+w_2+w_1\\ w_3+w_6 >< w_5+w_2+w_1\\ w_4+w_6 >< w_5+w_2+w_1\\ w_4+w_6 >< w_5+w_3+w_1\\ w_4+w_6 >< w_5+w_3+w_2 $$	$$m = 2;\\ C_4^4=1$$	$$w_2+w_1+w_5 >< w_4+w_3 $$
$$\varepsilon-1=5;\\ C_5^1=5$$	$$w_1+w_6 >< w_5+w_4+w_3+w_2\\ w_2+w_6 >< w_5+w_4+w_3+w_1\\ w_3+w_6 >< w_5+w_4+w_2+w_1\\ w_4+w_6 >< w_5+w_3+w_2+w_1\\ w_5+w_6 >< w_4+w_3+w_2+w_1 $$	$$m = 2;\\ C_4^4=1$$	$$w_3+w_5 >< w_4+w_2+w_1 $$	$$C_4^0 * P_{6-m}^4=1*6=6$$
$$C_5^1 * P_{6-m}^5=5*1=5 $$		$$m = 1;\\ C_5^4=5$$	$$w_4+w_6 >< w_3+w_2+w_1\\ w_5+w_6 >< w_3+w_2+w_1\\ w_5+w_6 >< w_4+w_2+w_1\\ w_5+w_6 >< w_4+w_3+w_1\\ w_5+w_6 >< w_4+w_3+w_2 $$	$$С_{\varepsilon-1}^0$$	Транспозиции типа $$(4,2)$$
		$$m = 2;\\ C_4^4=5$$	$$w_4+w_5 >< w_3+w_2+w_1 $$	$$1$$	$$w_1+w_2+w_3+w_6><w_5+w_4 $$
		$$C_5^0 * P_{6-m}^4=4*6=24$$		$$C_5^0 * P_{6-m}^5=1*1=1$$

Сумма элементов $$С^{\gamma}_{n-1}$$ столбца из (4.15) представляет собой мощность множества $$А $$ -транспозиций, порожденных каждой образующей соответствующего типа:

$$R_{\varepsilon-1}^{\chi} = \begin{cases} 2\sum_{r=0}^{\chi}{C_{\varepsilon-1}^r}, \text{ для четных }\varepsilon \\ 2\sum_{r=0}^{\chi}{C_{\varepsilon-1}^r - C_{\varepsilon-1}^{\chi}}, \text{ для нечетных }\varepsilon \\ \end{cases}$$

Общее число $$А $$ -транспозиций, генерируемых оператором линейной свертки булевых векторов при ограничении (4.10) на компоненты весового вектора:

$$T(2,n) = \sum_{\varepsilon-1}{T(2,\varepsilon)} = \sum_{\varepsilon-1}{R^{\chi}_{\varepsilon-1}*P_{n-m}^{\varepsilon-1}}$$

или

$$T(2,n) = 2\sum_{\varepsilon-1}{\sum_{\gamma}{C_{\varepsilon-1}^{\gamma}}\sum_b{ C^{\varepsilon-1}_{m-b}}} - \sum_{\varepsilon-1}{\sum_{2(\gamma+1)}{C_{\varepsilon-1}^{\gamma}}\sum_b{ C^{\varepsilon-1}_{m-b}}}$$

где $$\varepsilon-1 =\overline{2,(n-1)}, r\overline{0,\chi}$$, а $$T(2,\varepsilon) = R_{\varepsilon-1}^{\chi} * P^{\varepsilon-1}_{n-m}$$.

В табл. 4.4 даны численные значения $$R_{\varepsilon-1}^{\chi}$$, $$P^{\varepsilon-1}_{n-m}$$ и $$T(2,n)$$ для $$n = 10$$, что не было получено в [81] машинным способом.

Все $$А $$ -транспозиции, генерируемые оператором линейной свертки булевых векторов, можно получить, сняв ограничение (4.10) и выполнив над $$\{w_{i} \}$$ группу переименований переменных [86] $$D_i = Z_i*N_i ( | D_{i} | = 2^n * n !)$$, которая представляет собой произведение группы перестановок $$N_i (|N_i | = n !)$$ знакопеременной группы $$Z_i (|Z_i | = 2^n )$$.

В этом случае (4.16) примет вид:

$$Т (2, n, Z_i, N_i) = 2^n*n!*T(2, n)$$

и при $$n = 10$$ $$Т (2, n, Z_i, N_i) = 4,3*10^{13}$$, что объясняет как вычислительные трудности прямого решения задач оптимального синтеза (М)ПМ за счет полной вариации весового вектора [79-81], так и стремление использовать модели формальных нейронов с непрерывными параметрами [87-89].

Обобщим комбинаторную схему (4.13), (4.15) на случай $$k $$ -значных входных векторов $$X^{s}_{n}$$.

Количество А-транспозиций для n = 3-10

$$\varepsilon$$	3	4	5	6	7	8	9	10	$$T(2,n)$$
$$R_{\varepsilon-1}^{\gamma}$$	1	2	6	12	29	58	130	260	12222
$$R^{\varepsilon-1}_{10-m}$$	120	210	252	210	120	45	10	1
$$T(2,\varepsilon)$$	120	420	1512	2520	3480	2610	1300	260
$$R^{\varepsilon-1}_{9-m}$$	84	126	126	84	36	9	1		3790
$$T(2,\varepsilon)$$	84	252	756	1002	1044	522	130
$$R^{\varepsilon-1}_{8-m}$$	56	70	56	28	8	1			1158
$$T(2,\varepsilon)$$	56	140	336	336	232	58
$$R^{\varepsilon-1}_{7-m}$$	35	35	21	7	1				344
$$T(2,\varepsilon)$$	35	70	126	84	29
$$R^{\varepsilon-1}_{6-m}$$	20	15	6	1					98
$$T(2,\varepsilon)$$	20	30	36	12
$$R^{\varepsilon-1}_{5-m}$$	10	5	1						25
$$T(2,\varepsilon)$$	10	10	5
$$R^{\varepsilon-1}_{4-m}$$	4	1							6
$$T(2,\varepsilon)$$	4	2
$$R^{\varepsilon-1}_{3-m}$$	1								1
$$T(2,\varepsilon)$$	1

Если для булевых векторов отношение принадлежности $$w_i \in \{w_{i}\}_{s(1)}$$ $$w_i \in \{w_{i}\}_{s(2)}$$ задается условием $$x_i^{s(1)}, x_i^{s(2)} = 1$$, то для $$k $$ -значных входных векторов оно принимает вид $$1 \le x_i^{s(1)}, x_i^{s(2)} \le q_{i} -1$$. В результате каждая $$А $$ -транспозиция значений свертки булевых векторов порождает подкласс аддитивно-мультипликативных транспозиций ( $$АМ $$ -транспозиций) вида:

$$\sum_i{x_i^{s(1)}*w_i} = l_{s(1)} > < l_{s(2)} = \sum_i{x_i^{s(2)}*w_i}, \text{ где } x_i^{s(1)},x_i^{s(2)} = \overline{1,q_i-1}$$

Например, при $$q_1 = q_2 = ... = q_n = k = 3$$ $$А $$ -транспозиция $$w_3 > < w_{2}+w_{1 }$$ порождает $$АМ$$ -транспозиции вида $$w_3 > < w_{2}+2 w _{1}$$, $$w_3 > < 2w_2 + w_1$$, $$w_3 > < 2w_2 + 2w_1$$, $$2w_3 > < w_2 + w_1$$, $$2w_3 > < w_2 + 2w_1$$, $$2w_3 > < 2w_2 + w_1,$$ причем первые три срабатывают при условии $$w_3 > w_{2}+w_{1}$$, а последние три - при условии $$w_3 < w_{2}+ w _{1}$$. Это объясняется тем, что любая комбинация $$\{q_{i} > 1\}$$ может инвертировать знак только одного из неравенств в порождающей $$А $$ -транспозиции, а противоположное неравенство той же транспозиции она может только усилить.

Выполнив в $$АМ$$ -транспозиции $$x _{3}^{s(1)} * w _{3} > < x _{2}^{s(2)} *w_{2}+ x_{1}^{s(2)} *w_{1}$$ подстановки $$x_{i}^{s(1)} := x^{s(1)}_j$$ и $$x_{i}^{s(2)} := x_j ^{s(2)}$$, отвечающие по $$(i, j)$$ подстановкам $$w_i:=w_j (i\ne j)$$ комбинаторной схемы (4.13), (4.15) можно получить все $$АМ$$ -транспозиции типа ( $$\varеpsilon(1)=1, \varеpsilon(2)=2$$ ).

Аналогично для $$А $$ -транспозиций типа ( $$\varеpsilon(1)=1, \varеpsilon(2)$$ ), из которых остальные транспозиции схемы (4.13), (4.15) были получены перестановками компонент весового вектора вида $$w_i(s(1)):=w_j(s(2))$$, что при $$i(x) = i(w)$$ соответствует перестановкам $$k$$ -значных компонент входного вектора вида $$x_{i}^{s(1)} := x_{i}^{s(2)}$$.

Чтобы определить количество порождаемых таким способом $$АМ$$ -транспозиций, рассмотрим вектора $$\tilde{X}_{\varepsilon}^s = X_n^{s(1)} \cup X_n^{s(2)}$$, которые представляют объединение неравных нулю $$k$$ -значных компонент входных векторов $$X_{n}^{s(1)}$$ и $$Х_{n}^{s(2)}$$ с взаимно исключающими индексами $$i(s(1)) \ne i(s(2))$$, где $$|\{х^{s(1)}_i\}| = \varepsilon(1)$$, $$|\{х^{s(2)}_i\}| = \varepsilon(2)$$, $$\varepsilon(1) + \varepsilon(2) = \varepsilon = \overline{2,n}$$, $$\varepsilon(1)$$, $$\varepsilon(2) = \overline{1,(n-1)}$$, а $$x_i ^{s(1)},x_{i}^{s (2)} \in \{1, (k- 1)\}$$. Выделим из $$\{\tilde{X}^{s}_{\varepsilon} \}$$ подмножество $$\{X^{s}_{\varepsilon} \}$$, отвечающее по $$\varepsilon$$ требованиям 1-й строки $$\varepsilon$$ -спецификации (4.13), а по $$i$$ требованию "непрерывной" монотонности: $$X_{\varepsilon=2}^s=(x_2^{s(1)},x_{1}^{s(2)}), X_{\varepsilon=3}^s=(x_3^{s(1)},x_{2}^{s(2)},x_{1}^{s(2)}), \dots, X_{\varepsilon=n}^s=(x_n^{s(1)},x_{n-1}^{s(2)},\dots,x_{1}^{s(2)})$$. Тогда для $$k$$ -значных входных векторов $$X^{s}_{n}$$:

с равнозначными компонентами $$q _{1} = q_2 = ... = q_n = k$$:$$\Theta_{0}(k,\varepsilon) = |\{X^{s}_{\varepsilon}\}| =(k-l)^{\varepsilon};$$

с неравнозначными компонентами $$q_{i} \ne q_{j}$$ при $$i \ne j:$$$$\Theta_0 = (q_{\varepsilon}, q_{\varepsilon-1},\dots,q_1) = \prod_{i=1}^{\varepsilon}{(q_i-1)};$$ $$|\{\tilde{X}_{\varepsilon}^{s}\}| = \Theta_0 * P_{n-m}^{\varepsilon-1}.$$

Из (4.18)-(4.20) видно: мощность множества векторов $$\tilde{X}^{s}_{\varepsilon}$$ соответствует количеству $$АМ$$ -транспозиций, порождаемых каждой образующей $$А $$ -транспозицией, соответствующего по ? столбца схемы (4.13), (4.15), если из $$\{X^{s}_{\varepsilon} \}$$, а значит, и из $$\{\tilde{X}^{s}_{\varepsilon} \}$$ исключить вектора с кратными по $$q_{i }$$ компонентами.

В приведенных выше $$АМ$$ -транспозициях отсутствует транспозиция $$2w_3 > < 2w_{2}+2w_{1}$$, в которой компоненты $$x_{3} = x_{2} = x_{1} = 2\,q$$ -кратны в данном случае образующей комбинации $$x_{3} = x_{2} = x_{1} = 1$$.

Отсюда, если компоненты $$\{w_{i}\}$$ отвечают ограничению (4.10), то

$$Т(k,n) = \sum_{\varepsilon}{\Theta(k,\varepsilon) * R_{\varepsilon-1}^{\chi} * P^{\varepsilon-1}_{n-m}}$$

где $$\Theta(k,\varepsilon)= \Theta_0(k,\varepsilon) - \Theta_1(k,\varepsilon)$$, а $$\Theta_1(k,\varepsilon)$$ - количество $$Х_{\varepsilon}^{s}$$ с $$q$$ -кратными значениями $$\{x_{i}^s\}$$ по отношению к некоторой образующей комбинации $$\{x_{i}^s \}$$.

Чтобы выделить из $$\{Х_{\varepsilon}^{s}\}$$ вектора с $$q $$ -кратными компонентами и рассчитать их количество $$\Theta_{1}$$, построим вектора $$Y^{s(u)}_{\varepsilon}$$, у которых значность $$y_i \in \{1,q(u)}$$ выбирается по правилу $$q(u) = Е[(k -1)/u] \ge 1$$, где $$\{u\}$$ - простые числа из натурального ряда $$\overline{2,(k-l)}$$. В табл. 4.5 приведены вектора $$Y^{s(u)}_{\varepsilon} $$ при $$k= 11$$ и $$\varepsilon = 3$$. В этом случае $$\{u\} = \{2, 3, 5, 7\}$$, $$q(2) = 5$$, $$q(3) = 3$$, $$q(5) = 2$$, $$q(7) =1$$.

Источники q-кратных векторов для Х при k = 11

u	$$y_3^{s(1)}$$	$$y_2^{s(2)}$$	$$y_1^{s(2)}$$	$$y_3^{s(1)}$$	$$y_2^{s(2)}$$	$$y_1^{s(2)}$$	$$y_3^{s(1)}$$	$$y_2^{s(2)}$$	$$y_1^{s(2)}$$	$$y_3^{s(1)}$$	$$y_2^{s(2)}$$	$$y_1^{s(2)}$$	$$y_3^{s(1)}$$	$$y_2^{s(2)}$$	$$y_1^{s(2)}$$
2	1	1	1	2	1	1	3	1	1	4	1	1	5	1	1
	1	1	2	2	1	2	3	1	2	4	1	2	5	1	2
	1	1	3	2	1	3	3	1	3	4	1	3	5	1	3
	1	1	4	2	1	4	3	1	4	4	1	4	5	1	4
	1	1	5	2	1	5	3	1	5	4	1	5	5	1	5
	1	5	5	2	5	5	3	5	5	4	5	5	5	5	5
3	1	1	1	2	1	1	3	1	1
	1	1	2	2	1	2	3	1	2
	1	1	3	2	1	3	3	1	3
	1	3	3	2	3	1	3	3	3
5	1	1	1	2	1	1
	1	1	2	2	1	2
	1	2	1	2	1	1
	1	2	2	2	2	2
7	1	1	1

Из данных табл. 4.5 видно, что покомпонентное умножение векторов $$Y_{\varepsilon}^{s(u)}$$ на соответствующие им скаляры $$q(u)$$ и порождает все $$\tilde{X_{\varepsilon}^s}$$ с $$q$$ -кратными компонентами.

Поэтому при $$q_n = q_{n- 1} = … = q_1 = k$$:

$$\Theta_1(k,\varepsilon) = \sum_u(q(u))^{\varepsilon}$$

а при $$q_i \ne q_j$$ ( $$i\ne j$$ ):

$$\Theta_1(q_\varepsilon, q_{\varepsilon-1},…,q_1) = \sum_u{\prod_{i=1}^{\varepsilon}{q_i(u)}$$

Численный анализ соотношений (4.22)-(4.23) для $$k = 3 \div 11$$ и $$n = 2\div 11$$ (табл. 4.6 и 4.7) показал:

При $$n\ge 6$$ количество $$А $$ -транспозиций удовлетворяет неравенству $$2^n < T(2, n) < n$$!, а количество $$АМ$$ -транспозиций превосходит порядок группы $$\Omega$$ переименований компонент $$W_n$$ уже при $$k = 5$$ и при $$n = 5$$: $$2^{5}*5! = 3840 < T(k = 5,n = 5) = 7895 $$.

Количество $$АМ$$ -транспозиций $$T (k, n)$$ возрастает гораздо быстрее соответствующей степенной (рис. 4.26) и показательной (рис. 4.27) функции, причем вклад $$М $$ -источника превосходит вклад $$А $$ -источника не менее чем на два порядка при достаточно "малых" $$n = 6$$ и $$k = 3$$.

Количество транспозиций T(k, n) для n = 6 и k = 3-11

$$k$$	$$\varepsilon$$	$$y_{\varepsilon}^{s(2)}$$	$$y_{\varepsilon}^{s(3)}$$	$$y_{\varepsilon}^{s(5)}$$	$$y_{\varepsilon}^{s(7)}$$	$$\Theta_0(k,\varepsilon)$$	$$\Theta_1(k,\varepsilon)$$	$$\Theta(k,\varepsilon)$$	$$T(2,\varepsilon)$$	$$T(k,\varepsilon)$$
11	3	125	27	8	1	103	161	839	20	16780
	4	625	81	16	1	104	723	9277	30	278310
	5	3125	243	32	1	105	3401	96599	30	2897970
	6	15625	729	64	1	106	16419	983581	12	11802972
	$$Т(k, 6)/к_6 \approx = 8.46$$								92	14996032
10	3	64	27	8	1	93	100	629	20	12580
	4	256	81	16	1	94	354	6207	30	186210
	5	1024	243	32	1	95	1300	57749	30	1732470
	6	4096	729	64	1	96	4890	526551	12	6318612
	$$Т(k, 6)/к_6 \approx = 8.25$$								92	8249872
9	3	64	8		1	83	74	438	20	8760
	4	256	16		1	84	274	3822	30	114660
	5	1024	32		1	85	1058	31710	30	951300
	6	4096	64		1	86	4162	257982	12	3095784
	$$Т(k, 6)/к_6 \approx = 7.85$$								92	4170504
8	3	27	8		1	73	37	306	20	6120
	4	81	16		1	74	99	2302	30	69060
	5	243	32		1	75	277	16530	30	495900
	6	729	64		1	76	795	116854	12	1402248
	$$Т(k, 6)/к_6 \approx = 7.53$$								92	1973328
7	3	27	8			63	36	180	20	3600
	4	81	16			64	98	1198	30	35940
	5	243	32			65	276	7500	30	225000
	6	729	64			66	794	45862	12	550344
	$$Т(k, 6)/к_6 \approx = 6.92$$								92	814884
6	3	8	1			53	10	115	20	2300
	4	16	1			54	18	607	30	18210
	5	32	1			55	34	3091	30	92730
	6	64	1			56	66	15559	12	186708
	$$Т(k, 6)/к_6 \approx =6.43$$								92	299948
5	3	8	1			43	9	55	20	1100
	4	16	1			44	17	239	30	7170
	5	32	1			45	33	991	30	29730
	6	64	1			46	65	4031	12	48372
	$$Т(k, 6)/к_6 \approx =5.53$$								92	86372
4	3	1	1			33	2	25	20	500
	4	1	1			34	2	79	30	2370
	5	1	1			35	2	241	30	7230
	6	1	1			36	2	727	12	8724
	$$Т(k, 6)/к_6 \approx =4.6$$								92	18824
3	3	1				23	1	7	20	140
	4	1				24	1	15	30	450
	5	1				25	1	31	30	930
	6	1				26	1	63	12	756
	$$Т(k, 6)/к_6 \approx =3.12$$								92	2276

Количество транспозиций T(k, n) при n = 3-6

$$\varepsilon$$	$$\Theta(k,\varepsilon)$$	$$n=6$$		$$n=5$$		$$n=4$$		$$n=3$$
		$$Т(2, \varepsilon)$$	$$Т(k, \varepsilon)$$	$$Т(2, \varepsilon)$$	$$Т(k, \varepsilon)$$	$$Т(2, \varepsilon)$$	$$Т(k, \varepsilon)$$	$$Т(2, \varepsilon)$$	$$Т(k, \varepsilon)$$
Y	839	20	16780	10	8390	4	3356	1	839
4	9277	30	278310	10	92770	2	18554	-	-
5	96599	30	2897970	5	482995	-	-	-	-
6	983581	12	11802972	-	-	-	-	-	-
$$Т(k,n)$$		92	14996032	25	584155	6	21910	1	839

(рис 4.26) Количество АМ-транспозиций как функция k(рис 4.27) Количество АМ-транспозиций как функция n

Отвечающий утверждению 2 $$M$$ -источник срабатывает независимо от $$А $$ -источника, когда $$\{X^{s}_{\varepsilon=2} \}$$ порождается из $$Х_{\varepsilon=2} = (х_2^{s(1)},х_1^{s(2)})$$ подстановками $$x_{i}^{s(1)} := x_j ^{s(1)}$$ и $$x_{i}^{s(2)}:= x_j ^{s(2)}$$, в которых:

$$i\ne j, i(s(1)) > i(s(2)), i(s(1)) = \overline{2,n} , i(s(2)) = \overline{1,(n-1)} , \\ x_i^{s(1)} = \overline{(1,q_i(s(1))-2)} , x_i^{s(2)} = \overline{(x_i^{s(1)},q_i(s(2))-1)} , x_i^{s(1)} < x_i^{s(2)}$$

Ограничениям (4.24) удовлетворяет $$x_i$$ -спецификация:

$$$$ \begin{array}{r} (1, 2), (1, 3), (1,4), (1, 5), (1,6), \dots, (1, q_i(s(2))-1) \\ (2, 3), (\underline{2,4}), (2, 5), (\underline{2,6}), \dots, (2, q_i(s(2))-1)\\ (3,4), (3, 5), (\underline{3,6}), \dots, (3, q_i(s(2))-1)\\ (4, 5), (\underline{4,6}), \dots, (4, q_i(s(2))-1)\\ \dots\dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \\ (q_i(s(1))-2, q_i(s(2))-1) \end{array} $$$$

в которой:

каждая строка идентифицируется значением $$x_{i}^{s(1)}$$, а каждый столбец - значением $$x_{i}^{s(2)};$$

каждому элементу отвечает $$n*(n- 1)/2$$ подстановок $$x_{i}^{s(1)} := x_j ^{s(1)} $$, $$x_{i}^{s(2)}:= x_j ^{s(2)}$$, ( $$i \ne j$$ );

в) имеется множество $$q_{i} $$ -кратных комбинаций ( $$x_{i}^{s(1)} :=x_{i}^{s(2)}$$ ) (подчеркнуты в (4.25)), мощность которого задается $$\Theta_1(k,\varepsilon=2) = |\{u*Y^s_{\varepsilon=2}\}|$$ с параметрами:

при $$q_n = q_{n-1} = … = q _{1}= k > 2$$: $$u$$ - простые числа из натурального ряда$$\overline{2,E[(k-l)/2]},\, y_i^{s(1)} = \overline{1,(q(u)-l)},\, y^{s(2)}_i=\overline{2,q(u)}, q(u)=E[(k-l)/u_i];$$

при $$q_i\ne q_j (i\ne j)$$: $$u_i$$ - простые числа из натурального ряда$$\overline{2,E[(q_i-l)/2]},\, y_i^{s(1)} = \overline{1,(q(u_i)-l)},\, y^{s(2)}_i=\overline{2,q(u_i)}, q(u_i)=E[(q_i-l)/u_i]$$

Из (4.25) видно, что количество $$M$$ -транспозиций значений свертки $$l_{s(1)} > < l_{s(2)} $$ при ограничении (4.10) на компоненты весового вектора определяется:

для равнозначных $$х_{i}$$:$$T(k,\varepsilon=2) = (n*(n-1)/2)*[\Theta_0(k,\varepsilon=2) - \Theta(k,\varepsilon=2)] = \\ n*(n-1) *[k*(k-1) - \sum_u{q(u)*(q(u)-1)}] / 4$$

для неравнозначных $$х_{i }$$:$$T(q_2,q_1,\varepsilon=2) = 0.5 \sum_{i(1),i(2)}[q_{i(2)}*(q_{i(2)} - 1) - \xi(q_{i(2)} - q_{i(1)}) *(q_{i(2)} - q_{i(1)} -1) - \\ \sum_{u_i}{q(u_{i(2)})*(q(u_{i(2)}) -1) - \xi(q(u_{i(2)}) - q(u_{i(1)})) *(q(u_{i(2)}) - q(u_{i(1)}) -1)} ]$$

где $$\varepsilon = \begin{cases} 0, \text{ если } q_{i(1)} \ge q_{i(2)} \\ 1, \text{ если } q_{i(1)} < q_{i(2)} \\ \end{cases}$$

Таким образом, оператору линейной свертки входных векторов в (4.4) соответствует комбинаторная схема порождения транспозиций вида:

$$\begin{array}{cccccccc} \Theta(k,2),\Theta(k,3), \Theta(k,4), \Theta(k,5), \Theta(k,6), …, \Theta(k,n-1), \Theta(k,n), \\ P^1_{n-m},P^2_{n-m}, P^3_{n-m}, P^4_{n-m}, P^5_{n-m}, …, P^{n-2}_{n-m}, P^{n-1}_{n-m}, \\ C^0_1C^0_2, C^0_3, C^0_4, C^0_5, … , C^0_{n-2}, C^0_{n-1}, \\ C^0_3, C^1_4, C^1_5, … , C^1_{n-2}, C^1_{n-1}, \\ C^0_4, C^1_5, … , C^2_{n-2}, C^2_{n-1}, \\ C^0_5, … , C^3_{n-2}, C^3_{n-1}, \\ ... … , ... ... \\ C^{\chi-1}_{n-2}, C^{\chi}_{n-1}, \\ C^{\chi-2}_{n-2}, C^{\chi-1}_{n-1}, \\ ... … , ... ... \\ C^{0}_{n-2}, C^1_{n-1}, \\ C^{0}_{n-1}, \\ \end{array}$$

где $$\Theta(k=2,2) = 0, P_{n-m}^1 =n(n-1)/2$$

Из принятых соглашений следует: в каждой транспозиции неравенство $$l_{s(1)} < l_{s(2)} $$ соответствует лексикографическому порядку следования значений свертки на скалярной оси $$L $$, а переход к противоположному неравенству при непрерывном сканировании в пространстве значений весового вектора происходит после выполнения равенства $$l_{s(1)} = l_{s(2)}$$.

Отсюда, все точки, принадлежащие граням (гипер)пирамид, задающих границы индексных зон в пространстве значений $$W_n$$, нарушают условие (4.11) линейной независимости $$w_i$$ в (4.10), а значит, и условие изоморфизма в отображении $$L(X_{n}^{s}, W_n): X^{s}_n \to l_s$$. В частности, на рис. 4.23 условию $$w_3 = w_{2}+ w_{1}$$ отвечают точки плоскости $$(0, А_2, А_5)$$, а условию $$w_3 = w_2$$ - точки плоскости $$(0, А_2, А_4, А_{10} )$$ и т. д. Это говорит о том, что на границах индексных зон различные вектора $$X_{n}^{s(1)}$$ и $$X_{n}^{s(2)}$$ имеют общий гомоморфный скалярный образ, что делает их неразличимыми методами пороговой логики, использующими в качестве входного преобразования оператор линейной свертки входных векторов (прообразов).

В $${X^{s}_{n}}$$ кроме $$q$$ -кратности имеется еще и $$i$$ -кратность, которая тиражирует рассмотренные $$А $$ -и $$АМ$$ -транспозиции на $$(k^{n-\varepsilon}- 1)$$ комбинаций векторов $$(X_{n}^{s(1)},X_{n}^{s(2)} )$$, в которых $$(n - \varepsilon)$$ компонент $$x^{s}_i \ge 0$$ одновременно принадлежат левой и правой части неоднозначного неравенства $$l_{s(1)} > < l_{s(2)}$$.

Например, для булевых векторов с $$n = 4$$ $$А $$ -транспозиция $$w_3 > < w_2+ w_1$$ тиражируется на $$i$$ -кратную транспозицию $$w_4+w_3 > < w_4+ w_2+w_1$$, а $$А $$ -транспозиция $$w_4 > < w_2 + w_{1}$$ тиражируется на транспозицию $$w_4+w_{3} > < w_{3}+ w_2 + w_{1}$$. В результате в первом случае одновременно с < всегда реализуется $$l_4 < l_3$$, а во втором $$l_{12} < l_{11}$$ случае одновременно с $$l_{8} < l_{3}$$ всегда реализуется $$l_{12} < l_{7}$$.

В случае $$n$$ -мерных булевых векторов $$X^{s}_{n}$$ все проекции индексных зон на плоскости $$(w, w)$$ имеют одинаковую "площадь" и, как следствие, обеспечивают равноустойчивую систему решающих правил по отношению к флуктуациям $$\{\pm \Delta x_{i} \}$$ и $$\{\pm \Delta w_i \}$$ реальных физических величин $$\{x_{i}\}$$ и $$\{w_i\}$$. Для $$k$$ -значных входных векторов равенство таких "площадей" нарушается, а структура неравномерного разбиения $$\{w_i, w_{j} \}$$ проекциями $$n$$ -мерных индексных зон определяется не только $$q_{i}$$ -значностью $$x_{i}$$ и $$x_{j}$$, но и правилом кодирования $$\{a_{i}\}$$ и $$\{a_{j}\}$$ ( $$x_{i} \in \{a_{i}\}$$, $$x_{j}\in {\a_j\})$$, от которого зависит количество $$\Theta_{1}(k, \varepsilon)$$ $$q$$ -кратных комбинаций $$(X_{n}^{s(1)},X_{n}^{s(2)}$$ ) в (4.21) и (4.26). Например, при $$k = 6$$ и кодировании $$\{a_{i}\}$$ числами натурального ряда 0,5 из состава М-транспозиций исключается комбинация ( $$x_{i}^{s(1)} =1 ,x_{i}^{s(2)} =2$$ ) (рис. 4.28). При кодировании $$\{a_{i}\}$$ простыми числами (рис. 4.29) такая кратная комбинация отсутствует. В результате не только возрастает количество проекций индексных зон на плоскости $$(w_i, w_j)$$, но и более неравномерно распределяется "площадь" между ними.

(рис 4.28) Структура индексных зон (n=2; q_{2}=q_{1}=6) при кодировании x_{i} числами натурального ряда

Отсюда можно заключить:

Неизбыточное сканирование в пространстве значений $$W_{n}$$, обеспечивающее однократное попадание в каждую индексную зону, необходимо выполнять с переменным шагом $$\Delta W_{n}$$, что требует соответствующей стратегии управления таким сканированием даже в случае полного перебора всех индексных зон.(рис 4.29) Структура индексных зон (n=2; q2=q1=6) при кодировании xi простыми числами

При прочих равных условиях правило кодирования входных переменных с большим количеством индексных зон порождает и большое количество транспозиций, что позитивно сказывается на разнообразии реализуемых (М)ПМ ЛФ, но при этом, вообще говоря, снижается устойчивость минимально пороговой реализации отдельных ЛФ.

Знание структуры индексных зон позволяет отказаться от их полного перебора и реализовать их "перечисление" в произвольном порядке, согласованном со стратегией поиска минимально пороговой реализации заданной ЛФ.

Введенные комбинаторные схемы и отвечающие им численные соотношения:

могут быть положены в основу алгебраической теории формальных нейронов, так как базируются на преобразованиях, сохраняющих отношение порядка между значениями свертки входных векторов при вариациях весового вектора внутри индексной зоны, что приводит к преобразованиям подстановки и перечислительным процедурам классического комбинаторного анализа [90];

генерируют полное множество кратных транспозиций значений свертки входных векторов без априорного знания характеристик точности и стратегии управления приращениями компонент весового вектора, что позволяет решать задачи абстрактного анализа и синтеза сетей из формальных нейронов как чисто дискретные, формируя систему ограничений на компоненты весового вектора, удовлетворяющего условию минимальной пороговой реализации заданной логической функции;

подтверждают, что устойчивость решающих правил в системах распознавания образов многопорогового типа и в сетях из формальных нейронов зависит от правил кодирования входных переменных и вступает в противоречие с функциональным разнообразием реализуемых отображений типа "вход-выход" при одинаковых ограничениях на размерность вектора порогов и возможности перестройки его компонент;

показывают, что традиционные для систем реального времени методы квантования непрерывных входных сигналов, обусловленные необходимостью сохранения некоторой меры, индуцируют в сопряженном [91] пространстве весовых векторов принципиально иной тип дискретности, обусловленный необходимостью сохранения отношения порядка между значениями свертки входных сигналов;

позволяют проводить абстрактный синтез (много)пороговых моделей "нечисленными" методами и средствами, оперирующими системами неравенств, проверка совместности которых требует тривиальной "измерительной системы" типа рычажных весов.

4.7. Теоретико-групповая модель формального нейрона как операционное ядро компиляции на квантовый уровень организации вычислений

За всю историю развития вычислительной техники интерес к нейро-компьютерным технологиям возрастал каждый раз, когда наступал либо застой в архитектурных решениях ЭВМ, либо прогресс в элементной базе. Современный повышенный интерес к нейрокомпьютерным технологиям [84, 87-89] фактически совпал по времени с наметившимся прорывом в области нанотехнологий, где в качестве "рабочего тела" выступают квантовые системы различной степени сложности: от одноэлектронных транзисторов [92, 93] и до квантовых компьютеров [94]. Схемотехнический парадокс традиционной нейроподобной элементной базы [68] вызван тем, что в этом случае логические функции реализуются через арифметические. Это предопределяет повышенные затраты традиционных логических вентилей, которые сначала расходуются на реализацию арифметических преобразований формальных нейронов и только после этого на реализацию логических преобразований блоков и устройств вычислительной техники, построенных на формальных нейронах. Объединение возможностей нейрокомпью-терных программных [88] и нанотехнологических [95] инструментальных платформ позволяет преодолеть или хотя бы ослабить последствия этого парадокса за счет прямого отображения функций пользователя на квантовые системы, фундаментальные свойства которых определяются и описываются

различными группами симметрий [96]. Так, правила отбора [97] задают возможные квантовые переходы для атомов, молекул, взаимодействующих элементарных частиц и т. д. Эти правила напрямую связаны с симметрией квантовых систем, с помощью которой определяют неизменные (инвариантные) свойства этих систем при определенных преобразованиях координат и времени. В частности, в квантовой механике допустимы только те переходы из одного состояния в другое, которые не нарушают законы сохранения энергии, импульса, электрического заряда и т. д.

Переход к теоретико-групповым моделям формальных нейронов позволяет сохранить традиционную схему кремниевой компиляции [98, 99] на основе библиотек "стандартных элементов", которые в данном случае должны реализовать не булевы функции, а "элементарные группы симметрий". Поэтому нейрокомпилятор должен представить задание пользователя в фиксированном теоретико-групповом операционном базисе, реализуемом на технологическом уровне производства и эксплуатации компьютеров с нано- или супрамолекулярной элементной базой. Отсюда и встает задача доказательства не только возможности, но и эффективности использования теоретико-групповых моделей классических (много)поро-говых элементов в задачах оптимального синтеза нейроподобных ЭВМ. При этом совершенно безразлично, в каком операционном базисе будет работать ЭВМ с нано- или супрамолекулярной элементной базой, так как нейроподобный операционный базис фактически используется и на уровне "элементарных действий" ЭВМ классических архитектур (см. лекцию 3).

Учитывая быстрое нарастание размерности задач оптимального синтеза (много)пороговых моделей до гиперкомбинаторной, ограничим конкретные примеры и характеристики теоретико-групповой модели классом булевых функций от $$n \le 4$$ переменных [100].

Для булевых функций параметры (М)ПМ (4.4) принимают значения $$x_i^s \in \{0,1\}$$ ; $$Q=2^n-1$$ ; $$f_s \in \{0,1\}\,\alpha = \overline{0,(2^{2^n}-1)}$$, и поэтому оператор линейной свертки можно записать:

$$l_{s}(X^{s}_{n},W_{n}) = \sum_i{w_{i}},$$

где суммирование ведется по тем $$i$$, для которых $$х^s_i = 1$$, то есть в случае булевых функций входной вектор $$X^{s}_{n}$$ используется как "маска", определяющая правило "ассоциативного" суммирования компонент весового вектора $$\{w_i \}$$.

Не изменяя значений конечного множества весовых коэффициентов $$\{w_i\}$$, их можно расположить в произвольном порядке (по $$i$$ ) над компонентами входного вектора $$\{х_i^s\}$$, что соответствует группе подстановок $$N_i$$ (порядок группы $$| N_i | = n$$!). В результате изменятся правила суммирования весовых коэффициентов в (4.27), что индуцирует изоморфную группу подстановок $$N_s$$ значений свертки $$l_{s}$$, а вместе с ними и индексов $$s$$ на скалярной оси $$L.$$ Например, при $$n = 3$$ (табл. 4.8) получим 6 подстановок индексов s в упорядоченной по возрастанию последовательности значений свертки $$\{\hat{l}_{s}\}$$, из которых одна соответствует лексикографическому порядку $$s:= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$$.

Группа подстановок Ns для n = 3

$$s$$	$$x_3$$	$$x_2$$	$$x_1$$	$$w_3 = 4,\\ w_2=2, \\ w_1= 1$$	$$w_3 = 4,\\ w_2=1, \\ w_1= 2$$		$$w_3 = 2,\\ w_2=4, \\ w_1= 1$$		$$w_3 = 2,\\ w_2=1, \\ w_1= 4$$		$$w_3 = 1,\\ w_2=4, \\ w_1= 2$$		$$w_3 = 1,\\ w_2=2, \\ w_1= 4$$
				$$\{l_s\}$$	$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$	$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$	$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$	$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$	$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$
0	0	0	0	$$l_0=0$$	$$l_0=0$$	$$l_0=0$$	$$l_0=0$$	$$l_0=0$$	$$l_0=0$$	$$l_0=0$$	$$l_0=0$$	$$l_0=0$$	$$l_0=0$$	$$l_0=0$$
1	0	0	1	$$l_1=1$$	$$l_1=2$$	$$l_1=1$$	$$l_1=1$$	$$l_1=1$$	$$l_1=4$$	$$l_1=1$$	$$l_1=2$$	$$l_4=1$$	$$l_1=4$$	$$l_4=1$$
2	0	1	0	$$l_2=2$$	$$l_2=1$$	$$l_1=2$$	$$l_2=4$$	$$l_4=2$$	$$l_2=1$$	$$l_4=2$$	$$l_2=4$$	$$l_1=2$$	$$l_2=2$$	$$l_2=2$$
3	0	1	1	$$l_3=3$$	$$l_3=3$$	$$l_3=3$$	$$l_3=5$$	$$l_5=3$$	$$l_3=5$$	$$l_6=3$$	$$l_3=6$$	$$l_5=3$$	$$l_3=6$$	$$l_6=3$$
4	1	0	0	$$l_4=4$$	$$l_4=4$$	$$l_4=4$$	$$l_4=2$$	$$l_2=4$$	$$l_4=2$$	$$l_1=4$$	$$l_4=1$$	$$l_2=4$$	$$l_4=1$$	$$l_1=4$$
5	1	0	1	$$l_5=5$$	$$l_5=6$$	$$l_6=5$$	$$l_5=3$$	$$l_3=5$$	$$l_5=6$$	$$l_3=5$$	$$l_5=3$$	$$l_6=5$$	$$l_5=5$$	$$l_5=5$$
6	1	1	0	$$l_6=6$$	$$l_6=5$$	$$l_5=6$$	$$l_6=6$$	$$l_6=6$$	$$l_6=3$$	$$l_5=6$$	$$l_6=5$$	$$l_3=6$$	$$l_6=3$$	$$l_3=6$$
7	1	1	1	$$l_7=7$$	$$l_7=7$$	$$l_7=7$$	$$l_7=7$$	$$l_7=7$$	$$l_7=7$$	$$l_7=7$$	$$l_7=7$$	$$l_7=7$$	$$l_7=7$$	$$l_7=7$$

Группа инверсии знаков $$Z_{i} ( |Z_{i}| = 2^{n})$$ при неизменных абсолютных значениях компонент весового вектора $$\{\pm w_{i} \}$$ индуцирует изоморфную группу подстановок $$Z_{s}$$ (табл. 4.9) значений свертки $$l_{s}$$, а с ними и индексов s на скалярной оси $$L$$.

Группа подстановок Zs для n = 3

$$s$$	$$x_3$$	$$x_2$$	$$x_1$$	$$w_3 = 4,\\ w_2=2, \\ w_1= 1$$	$$w_3 = 4,\\w_2=2, \\ w_1=-1$$		$$w_3 = 4,\\w_2=-2, \\ w_1= 1$$		$$w_3 = 4,\\w_2=-2, \\ w_1= -1$$
				$$\{l_s\}$$	$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$	$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$	$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$
0	0	0	0	$$l_0=0$$	$$l_0=0$$	$$l_1=-1$$	$$l_0=0$$	$$l_2=-2$$	$$l_0=0$$	$$l_3=-3$$
1	0	0	1	$$l_1=1$$	$$l_1=-1$$	$$l_0=0$$	$$l_1=1$$	$$l_3=-1$$	$$l_1=-1$$	$$l_2=-2$$
2	0	1	0	$$l_2=2$$	$$l_2=2$$	$$l_2=1$$	$$l_2=-2$$	$$l_0=0$$	$$l_2=-2$$	$$l_2=-1$$
3	0	1	1	$$l_3=3$$	$$l_3=1$$	$$l_2=2$$	$$l_3=-1$$	$$l_1=1$$	$$l_3=-3$$	$$l_0=0$$
4	1	0	0	$$l_4=4$$	$$l_4=4$$	$$l_5=3$$	$$l_4=4$$	$$l_6=2$$	$$l_4=4$$	$$l_7=1$$
5	1	0	1	$$l_5=5$$	$$l_5=3$$	$$l_4=4$$	$$l_5=5$$	$$l_7=3$$	$$l_5=3$$	$$l_6=2$$
6	1	1	0	$$l_6=6$$	$$l_6=6$$	$$l_7=5$$	$$l_6=2$$	$$l_4=4$$	$$l_6=2$$	$$l_5=3$$
7	1	1	1	$$l_7=7$$	$$l_7=5$$	$$l_6=6$$	$$l_7=3$$	$$l_5=5$$	$$l_7=1$$	$$l_4=4$$

На основе данных таблиц 4.8 и 4.9 можно сформировать подстановки индексов $$s$$, которые отвечают прямому произведению групп $$D = Z*N$$. Элементы групп D_{s} индуцируются элементами группы переименования переменных $$D_i = Z*N_i ( | D_{i} | = 2^n* n !)$$.

Как показано в разделе 4.7, в непрерывной группе вращений весового вектора $$W_n$$ имеется еще один источник подстановок значений свертки $$l_{s}$$, а вместе с ними и индексов $$s$$ на скалярной оси $$L ,$$ который связан с инверсией отношения "больше-меньше" между различными комбинациями значений компонент весового вектора $$\{w_i\}$$. Чтобы получить множество подстановок этого типа, достаточно наложить ограничение $$w_n > w_{n-1} > … > w_1 > 0$$. Тогда при $$n = 3$$ между значениями компонент весового вектора могут установиться отношения $$w_3 > (w_2+w_1 )$$ и $$w_3 < (w _{2}+w _{1})$$.

В результате преобразование (4.27) компонент весового вектора $$W_3$$ порождает группу подстановок $$\Omega_{3}$$ из двух элементов: тождественная подстановка с лексикографическим порядком следования индексов $$s:=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (Lex ) $$ и подстановка вида $$s:=0, 1, 2, 4, 3, 5, 6, 7$$. Прямое произведение групп $$\Omega_3 *Z_3$$ также является группой подстановок порядка $$|\Omega_3 | * | Z_3 |$$ (совокупность подстановок таблиц 4.9 и 4.10).

Продолжение табл. 4.9

$$s$$	$$x_3$$	$$x_2$$	$$x_1$$	$$w_3 = -4,\\ w_2=2, \\ w_1= 1$$		$$w_3 = -4,\\w_2=2, \\ w_1=-1$$		$$w_3 = -4,\\w_2=-2, \\ w_1= 1$$		$$w_3 = -4,\\w_2=-2, \\ w_1= -1$$
				$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$	$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$	$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$	$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$
0	0	0	0	$$l_0= 0$$	$$l_4=-4$$	$$l_0= 0$$	$$l_5=-5$$	$$l_0= 0$$	$$l_6=-6$$	$$l_0= 0$$	$$l_7=-7$$
1	0	0	1	$$l_1= 1$$	$$l_5=-3$$	$$l_1=-1$$	$$l_4=-4$$	$$l_1= 1$$	$$l_7=-5$$	$$l_1=-1$$	$$l_6=-6$$
2	0	1	0	$$l_2= 2$$	$$l_6=-2$$	$$l_2= 2$$	$$l_7=-3$$	$$l_2= 2$$	$$l_4=-4$$	$$l_2=-2$$	$$l_5=-5$$
3	0	1	1	$$l_3= 3$$	$$l_7=-1$$	$$l_3= 1$$	$$l_6=-2$$	$$l_3=-1$$	$$l_5=-3$$	$$l_3=-3$$	$$l_3=-4$$
4	1	0	0	$$l_4=-4$$	$$l_0= 0$$	$$l_4=-4$$	$$l_1=-1$$	$$l_4=-4$$	$$l_2=-2$$	$$l_4=-4$$	$$l_3=-3$$
5	1	0	1	$$l_5=-3$$	$$l_1= 1$$	$$l_5=-5$$	$$l_0= 0$$	$$l_5=-3$$	$$l_3=-1$$	$$l_5=-5$$	$$l_2=-2$$
6	1	1	0	$$l_6=-2$$	$$l_2= 2$$	$$l_6=-2$$	$$l_3= 1$$	$$l_6=-6$$	$$l_0= 0$$	$$l_6=-6$$	$$l_1=-1$$
7	1	1	1	$$l_7=-1$$	$$l_3= 3$$	$$l_7=-3$$	$$l_2= 2$$	$$l_7=-5$$	$$l_1= 1$$	$$l_7=-7$$	$$l_0= 0$$

Таким образом, для достоверной оценки функций качества (4.6) и (4.7) в случае $$n = 3$$ необходимо иметь всего два образующих весовых вектора $$W _{3} = (4, 2, 1)$$ и $$W _{3} = (4, 3, 2)$$. Остальные весовые вектора являются производными и их можно получить перестановками и инверсиями знаков целочисленных компонент, которые и порождают все многообразие подстановок индексов $$s$$, напрямую влияющих на размерность вектора порогов, а значит, и на численные значения функций качества (4.6) и (4.7).

Вторая часть группы подстановок Omega3*Zs для n = 3

$$s$$	$$x_3$$	$$x_2$$	$$x_1$$	$$w_3 = 4,\\w_2= 3, \\ w_1= 2$$		$$w_3 = 4,\\w_2= 3, \\ w_1=-2$$		$$w_3 = 4,\\w_2=-3, \\ w_1= 2$$		$$w_3 = 4,\\w_2=-3, \\ w_1=-2$$
				$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$	$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$	$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$	$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$
0	0	0	0	$$l_0= 0$$	$$l_0= 0$$	$$l_0= 0$$	$$l_1=-2$$	$$l_0= 0$$	$$l_2=-3$$	$$l_0= 0$$	$$l_3=-5$$
1	0	0	1	$$l_1= 2$$	$$l_1= 2$$	$$l_1=-2$$	$$l_0= 0$$	$$l_1= 2$$	$$l_3=-1$$	$$l_1=-2$$	$$l_2=-3$$
2	0	1	0	$$l_2= 3$$	$$l_2= 3$$	$$l_2= 3$$	$$l_3= 1$$	$$l_2=-3$$	$$l_0= 0$$	$$l_2=-3$$	$$l_1=-2$$
3	0	1	1	$$l_3= 5$$	$$l_4= 4$$	$$l_3= 1$$	$$l_5= 2$$	$$l_3=-1$$	$$l_6=1 $$	$$l_3=-5$$	$$l_7=-1$$
4	1	0	0	$$l_4= 4$$	$$l_3= 5$$	$$l_4= 4$$	$$l_2= 3$$	$$l_4= 4$$	$$l_1= 2$$	$$l_4= 4$$	$$l_0= 0$$
5	1	0	1	$$l_5= 6$$	$$l_5= 6$$	$$l_5= 2$$	$$l_4= 4$$	$$l_5= 6$$	$$l_7= 3$$	$$l_5= 2$$	$$l_6= 1$$
6	1	1	0	$$l_6= 7$$	$$l_6= 7$$	$$l_6= 7$$	$$l_7= 5$$	$$l_6= 1$$	$$l_4= 4$$	$$l_6= 1$$	$$l_5= 2$$
7	1	1	1	$$l_7= 9$$	$$l_7= 9$$	$$l_7= 5$$	$$l_6= 7$$	$$l_7= 3$$	$$l_5= 6$$	$$l_7=-1$$	$$l_4= 4$$

Поэтому на этапе абстрактного синтеза (много)пороговых моделей оператор линейной свертки с непрерывными значениями весовых коэффициентов можно заменить конечной группой преобразований $$\Psi= \Omega_{3}*Z_{s}*N_{s}$$, которая представляет собой прямое произведение следующих групп: подстановок индексов $$s$$, индуцированных оператором (4.27), ассоциативного суммирования компонент весового вектора $$\{w_{i} \}$$ с отношением "больше-меньше", группой инверсий знака и группой подстановок (по индексу $$i$$ ) множества компонент весового вектора.

Продолжение табл. 4.10

$$s$$	$$x_3$$	$$x_2$$	$$x_1$$	$$w_3 =-4,\\w_2= 3, \\ w_1= 2$$		$$w_3 =-4,\\w_2= 3, \\ w_1=-2$$		$$w_3 =-4,\\w_2=-3, \\ w_1= 2$$		$$w_3 =-4,\\w_2=-3, \\ w_1=-2$$
				$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$	$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$	$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$	$$\{l_s\}$$	$$\{\hat{l}_s\}$$
0	0	0	0	$$l_0= 0$$	$$l_4=-4$$	$$l_0= 0$$	$$l_5=-6$$	$$l_0= 0$$	$$l_6=-7$$	$$l_0= 0$$	$$l_7=-9$$
1	0	0	1	$$l_1= 2$$	$$l_5=-2$$	$$l_1=-2$$	$$l_4=-4$$	$$l_1=-4$$	$$l_7=-5$$	$$l_1=-2$$	$$l_6=-7$$
2	0	1	0	$$l_2= 3$$	$$l_6=-1$$	$$l_2= 3$$	$$l_7=-3$$	$$l_2=-3$$	$$l_4=-4$$	$$l_2=-3$$	$$l_5=-6$$
3	0	1	1	$$l_3= 5$$	$$l_0= 0$$	$$l_3= 1$$	$$l_1=-2$$	$$l_3=-1$$	$$l_2=-3$$	$$l_3=-5$$	$$l_3=-5$$
4	1	0	0	$$l_4=-4$$	$$l_7= 1$$	$$l_4=-4$$	$$l_6=-1$$	$$l_4=-4$$	$$l_5=-2$$	$$l_4=-4$$	$$l_4=-4$$
5	1	0	1	$$l_5=-2$$	$$l_1= 2$$	$$l_5=-6$$	$$l_0= 0$$	$$l_5=-2$$	$$l_3=-1$$	$$l_5=-6$$	$$l_2=-3$$
6	1	1	0	$$l_6=-1$$	$$l_2= 3$$	$$l_6=-1$$	$$l_3= 1$$	$$l_6=-7$$	$$l_0= 0$$	$$l_6=-7$$	$$l_1=-2$$
7	1	1	1	$$l_7= 1$$	$$l_3= 5$$	$$l_7=-3$$	$$l_2= 2$$	$$l_7=-5$$	$$l_1= 2$$	$$l_7=-9$$	$$l_0= 0$$

Для $$n = 4$$ множество $$\Omega_4$$ трансформируется в дистрибутивную структуру, которая представляет собой теоретико-множественное объединение 13 двухэлементных групп подстановок, каждая из которых содержит тождественную и обратную по отношению к себе подстановки. Теоретико-множественное пересечение всех двухэлементных групп дистрибутивной структуры $$\Omega_4$$ содержит единственную тождественную подстановку

В разделе 4.6 показано, что комбинаторная схема порождения совместных инверсий отношения "больше-меньше" использует так называемую [85] е-спецификацию, элементы которой характеризуют количество компонент весового вектора, стоящих в левой (е(1)) и правой (е(2)) части инвертируемого отношения. В частности, для $$n = 4$$ $$\varepsilon$$ -спецификация имеет вид $$[\varepsilon(1) = 1;\varepsilon(2) = 2]$$ ; $$[\varepsilon(1) = 1;\varepsilon(2) = 3]$$ ; $$[\varepsilon(1) = 2; \varepsilon(2) = 2]$$. Такая спецификация систематизирует перечисление конечного множества инвертируемых отношений "больше-меньше" (неоднозначных неравенств, в случае $$n = 4$$ представленных в табл. 4.11), которые еще необходимо доопределить множеством кратных инверсий значений свертки по правилу:

Базовые инверсии отношения "больше-меньше" для n = 4

$$\varepsilon(1) = 1;\varepsilon(2) = 2$$	$$\varepsilon(1) = 1;\varepsilon(2) = 3$$	$$\varepsilon(1) = 2;\varepsilon(2) = 2$$
$$w_4><w_2+w_1 $$	$$w_4><w_3+w_2+w_1$$	$$w_1+w_4><w_3+w_2$$
$$w_4><w_3+w_1 $$
$$w_4><w_3+w_2 $$
$$w_3><w_2+w_1 $$

По индексам левой ( $$\tau$$ ) и правой ( $$\eta$$ ) части инвертируемых базовых отношений "больше-меньше" строятся векторы $$Х_n^{s(\tau)}$$ и $$Х_n^{s(\eta)}$$, у которых "единичные" значения отвечают индексам переменных, входящих в эти отношения.

Слиянием по "ИЛИ" строится вектор $$\tilde{Х}_n^{s} = Х_n^{s(\tau)} \lor Х_n^{s(\eta)}$$

В векторах $$Х_n^{s(\tau)}$$ и $$Х_n^{s(\eta)}$$ одновременно изменяются на "единичные" те компоненты $$x_i^{s(\tau)}$$ и $$x_i^{s(\eta)}$$, у которых индекс $$i$$ отвечает условию $$\tilde{x}_i^{s} = 0$$. В результате множество исходных инверсий отношения "больше-меньше" (после ассоциативного суммирования - транспозиций ), включая и кратные, для $$n \le 4$$ примет вид:

$$n = 3: (w_3 < w_{2}+w_{1}): (l_4 < l_{3}) \Rightarrow (l_{12} < l_{11})$$ ;

$$n=4: (w_4 < w_3 + w_2) : (l_{8} < l_{3}) \Rightarrow (l_{9} < l_{7}); \\ (w_4 < w_3 + w_1) : (l_{8} < l_{5}) \Rightarrow (l_{10} < l_{7}); \\ (w_4 < w_2 + w_1) : (l_{8} < l_{3}) \Rightarrow (l_{12} < l_{7}); \\ (w_4 < w_3 + w_2 + w_1 ) : (l_{8} < l_{7}); \\ (w_4 + w_1 < w_3 + w_2) : (l_{9} < l_{6});$$

На основе этих транспозиций значений свертки строятся цепочки транзитивных транспозиций, которые отвечают классическим правилам преобразования неравенств: неравенство только усилится, если к

"большему" прибавить "большее" или из "меньшего" вычесть "большее". В нашем случае существует только три цепочки транзитивных транспозиций (без учета кратных):

$$(w_4 < w_{2} + w_{1}) \sim ( l_8 < l _{3}) \Rightarrow (w_{3} < w_{2} + w_{1}) \sim ( l_{4} < l_{3})$$ ;

$$(w_4 < w_{2} + w_{1}) \sim (l_{8} < l_{3}) \Rightarrow (w_4 < w_3 + w_1) \sim (l_{8} < l_5) \Rightarrow \\ (w_4 < w_3 +w_2 ) \sim (l_{8} < l_{6}) \Rightarrow (w_4 < w_3+w_2+w_1) \sim (l_{8} < l_{7})$$ ;

$$(w_1 + w_4 < w_{3} + w_{2}) \sim ( l_9 < l _{6}) \Rightarrow (w_{4} < w_{3} + w_{2}) \sim ( l_{8} < l_{6});$$.

(Здесь символ $$\sim$$ представляет отношение эквивалентности).

Отсюда: независимо можно осуществить только транспозиции, принадлежащие различным транзитивным цепочкам, общее количество которых в нашем случае не превышает 3 (без учета кратных), а сами транспозиции можно выполнить только между двумя смежными значениями индекса свертки $$s $$.

Выбрав определенную стратегию анализа цепочек транзитивных транспозиций, можно, не зная конкретных численных значений весовых коэффициентов, перечислить все подстановки значений свертки $$\{\hat{l}_{s}\}$$ и отвечающие им подстановки индексов $$s$$:

$$(w_{3} > w_{2}+w_1) \sim (l_{4} > l_3)$$:

$$s:= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15$$ ;

$$s:= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8,7, 9, 10, 11,12, 13, 14, 15 - (w_{4} < w_3 + w_{2} + w_1) \sim (l_{8} < l_{7})$$ ;

$$s:= 0, 1,2, 3, 4, 5, 8, 6,9,7,10, 11,12,13, 14,15 - (w_{4}< w_{3}+w_{2}) ~ (l_{8} < l_6) \Rightarrow (l_{9} < l_7) $$ ;

$$s:=0, 1,2,3,4,8,5,6,9,10,7,11, 12, 13, 14, l5- (w_{4}< w_{3}+w_1) \sim ( l_8 < l_{5}) \Rightarrow (l_{10} < l_7); $$

$$(w_{3} < w_{2}+w_{1}) \sim (l_{4} < l_3)$$:

$$s:= 0,1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15$$ ;

$$s:= 0, 1,2, 4,3, 5, 6, 7, 8, 9, 10,12,11,13, 14, 15$$ ;

$$s:= 0,1,2,4, 3, 5, 6, 8,7,9,10,12,11,13,14,15 - (w_{4} < w_3+w_2+w_1) \sim (l_{8} < l_{7})$$ ;

$$s:= 0, 1,2,4, 3, 5, 8, 6,9,7,10, 12,1 1,13, 14,15 - (w_{4}< w_{3}+ w_{2}) \sim (l_8 < l_{6}) \Rightarrow (l_{9} < l_{7})$$ ;

$$s:= 0, 1,2,4, 3, 8, 5, 6, 9,10, 7,12,11, 13,14, 15 - (w_{4}< w_{3}+w_{1}) \sim (l_{8} < l_5) \Rightarrow (l_{10} < l_{7})$$ ;

$$s:= 0, 1,2, 4, 8,3, 5, 6, 9,10,12, 7,11,13,14,15 - (w_{4} < w_2 + w_1) \sim (l_{8} < l_3) \Rightarrow (l_{12} < l_7)\$$

$$(w_{3} > w_2+w_1) \sim (l_4 < l_{3}), (w_4+w_1 < w_{3}+w_2) \sim (l_9 < l_6)$$:

$$s:= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 6, 9, 7, 10,11, 12,13, 14,15$$ ;

$$s:= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 6, 7, 10,11, 12,13,14, 15 - (w_{4} < w_{3}+w_{2}) \sim (l_{8} < l_6)\Rghtarrow (l_{9} < l_{7})$$ ;

$$s:= 0, 1, 2, 3, 4, 8, 5, 9, 6,10, 7,11, 12,13,14, 15 - (w_{4}< w_{3}+w_{2}) \sim (l_8 < l_5) \Rightarrow (l_{10} < l_7)$$ ;

$$(w_{3} <w_{2} + w_1) \sim (l_{4} < l_{3}), (w_{4}+w_1 < w_{3}+w_{2}) - (l_9 <l_{6})$$:

$$s:= 0,1,2,4, 3, 5, 8, 6, 9, 7,10,12,11,13,14, 15$$ ;

$$s:= 0,1,2,4, 3, 5, 8,9,6,7, 10,12, 11,13, 14,15 - (w_{4}<w_{3}+w_{2})\sim (l_8 <l_4) \Rightarrow (l_{9} <l_{7})$$ ;

$$s:= 0, 1, 2, 4, 3, 8, 5, 9, 6, 10, 7,12, 11,13,14, 15 - (w_{4}< w_{3}+w_{2}) \sim (l_8 < l_{5}) \RIghtarrow( l_{10} < l_7)$$ ;

$$s:= 0,1, 2,4, 8,3, 5, 9, 6,10,12, 7,11,13, 14,15 - (w_{4} < w_{2}+w{1}) \sim (l_{8} < l_{3}) \Rightarrow (l_{12} < l_{7})$$.

Здесь подстановки образуют пары: в первом подмножестве - $$(1, 2)$$, $$(2, 3)$$, $$(3, 4)$$, во втором подмножестве - $$(1, 5)$$, $$(5, 6)$$, $$(6, 7)$$, $$(7, 8)$$, $$(8, 9)$$, в третьем подмножестве - $$(3, 10)$$, $$(10, 11)$$ и в четвертом подмножестве - $$(7, 12)$$, $$(12, 13)$$, $$(13, 14)$$. Поэтому отношение частичного порядка для элементов $$\Omega\in\Omega_{4}$$ обеспечивается правилом перечисления подстановок из одного и того же подмножества, в котором каждая последующая подстановка отличается от предыдущей только одной транспозицией (с точностью до кратных транспозиций).

Чтобы перейти от элементов дистрибутивной структуры $$\Omega_{4}$$ к порождающим ее значениям весовых коэффициентов $$\{w_{i} \}$$, достаточно одним из стандартных способов найти решения систем неравенств, отвечающих каждой приведенной выше подстановке индексов $$s$$. В частности, простейшим методом "проб и ошибок" можно получить все целочисленные значения весовых коэффициентов (табл. 4.12 для $$n = 4$$ ). В первой графе табл. 4.12 указан порядковый номер подстановки индексов $$s$$, а первая строка соответствует лексикографическому порядку их перечисления. Из данных этой таблицы видно, что в случае $$n = 4$$ для решения задач оптимального синтеза (много)пороговых моделей требуется всего 14 образующих весовых векторов, у которых компоненты переименуются с помощью конечных групп подстановок и инверсий знака.

Полная система целочисленных весовых коэффициентов для n = 4

№	$$w_{4}$$	$$w_{3}$$	$$w_{2}$$	$$w_1$$	Условие
1	8	4	2	1	Lex
2	10	6	3	2	$$w_{4}= 10 < w_3+w_2+w_1 =11;$$
3	10	4	3	2	$$w_{3} = 4< w_{2}+w_1=5;$$
4	8	4	3	2	$$w_{4}= 8 < w_3+w_2+w_1 = 9; w_{3} = 4 < w_2+w_1 = 5;$$
5	10	7	4	2	$$w_{4}= 10<w_{3}+w_{2}= 11; w_{4}= 10<w_3+w_{2}+w_1= 13;$$
6	8	6	4	1	$$w_{4} = 8< w_{3}+w_{2}= 10; w_{4}= 4 < w_{3}+w_{2}+w_1 =11; w_1+w_{4} = 9 < w_{3}+w_{2}= 10;$$
7	10	6	5	2	$$w_{4}= 10 < w_{3}+w_{2}= 11; w_{3}=6<w_{2}+w_1 = 7; w_{4}= 10 < w_{3}+w_{2}+w_1 = 13;$$
8	11	8	7	2	$$w_{4}= 11 <w_{3}+w_{2}= 15; w_{3}= 8 < w_{2}+w_1 = 9; w_1+w_{4} = 13 <w_{3}+w_{2}= 15; w_{4} = 11 < w_3+w_{2}+w_1 =17;$$
9	10	8	4	3	$$w_{4} = 10 < w_3+w_1 = 11; w_{4}= 10 < w_3+w_2+w_1 = 15;$$
10	8	7	4	2	$$w_{4}= 8<w_{3}+w_1=9; w_{4}= 8< w_{3}+w_{2}+w_1= 13; w_1+w_{4}= 10<w_{3}+w_{2}= 11;$$
11	10	7	5	4	$$w_{4}= 10<w_3+w_1= 11; w_3 = 7 < w_{2}+w_1 = 9; w_{4}= 10<w_3+w_{2}+w_1= 16;$$
12	10	8	6	3	$$w_{4}= 10<w_3+w_1= 11; w_3 = 8< w_{2}+w_1 = 9; w_{4}= 10<w_3+w_{2}+w_1= 17; w_1+w_{4} = 13 < w_3+w_2= 14;$$
13	10	8	6	5	$$w_{4}= 10<w_{2}+w_1= 11; w_{3} = 8< w_{2}+w_1= 11; w_{4}= 10 < w_{3}+w_{2}+w_1= 19;$$
14	10	8	7	4	$$w_{4}= 10<w_{2}+w_1= 15; w_{3} = 8< w_{2}+w_1= 15; w_{4}= 10 < w_{3}+w_{2}+w_1= 19; w_1+w_4 = 14 < w_{3}+w_{2}= 15;$$

Если нейроподобный теоретико-групповой компилятор использовать при создании ЭВМ классической архитектуры, то для минимизации библиотеки стандартных элементов, реализуемых непосредственно в технологическом процессе, можно использовать только образующие булевы функции [101, 102].

Метод образующих булевых функций широко использовался в теории и практике многофункциональных логических модулей, к которым относятся и (много)пороговые элементы и их модели. В случае (много) пороговых моделей он позволяет существенным образом снизить вариации вектора порогов $$H_{\chi}$$, ограничив их конечным множеством целочисленных значений. Для этого достаточно все множество булевых функций $${F_{\alpha}(X^{s}_{n})}$$ разбить на смежные (по группам дистрибутивной структуры $$\Psi = \Omega_n *Z_s *N_s$$ ) классы [103]: $$\{F_{\alpha}{X^{s}_{n})\} =\bigcup\{F_{\alpha}(\Psi [Х_n^s])\}$$, а вектор порогов $$H_{\chi}$$ определить в целочисленном пространстве $$\{s\}$$ и только для образующих булевых функций $$\{F_{\alpha} (X^{s}_{n})\} \subset \{F_{\alpha}(X^{s}_{n})\}$$, где теоретико-множественное объединение ( $$\bigcup$$ ) берется по образующим булевым функциям с индексами $$\аlpha _{0}$$.

Схема поиска множества образующих для заданного класса булевых функций:

Разбить весь класс булевых функций на подклассы с одинаковой первичной спецификацией [90] $$(r _{1}, r _{0})$$, которая отражает общее количество "единиц" $$(r _{1})$$ и "нулей" $$(r _{0})$$ в таблице истинности булевых функций, принадлежащих данному подклассу:$$\{F_{\alpha}(X^s_n)\} = \bigcup_{(r_1,r_0)}{\{\\{F_{\alpha}(\{\tilde{X}^s_n\}_{r_1},\{\tilde{X}^s_n\}_{r_2} )\} }}$$

где: $$(r_1+r_0) =Q + 1$$, a $$\{\tilde{X}^s_n\}_{r_1}$$, $$\{\tilde{X}^s_n\}_{r_2}$$ - подмножества входных векторов, на которых булева функция $$\{F_{\alpha}(X^s_n)\}$$ принимает соответственно "единичное" и "нулевое" значение. Количество подклассов с одинаковой первичной спецификацией можно ограничить условием $$(r_{1} \ge r_{0})$$, нарушение которого приводит к подклассам инверсных булевых функций с инвертированными образующими.

Разбить на смежные классы (по отношению к группам $$Z_s$$ и $$N_s$$ ) под-классы булевых функций с одинаковой первичной спецификацией:$$\{F_{\alpha}(\{X^s_n\}_{r_1},\{X^s_n\}_{r_2})\} = \bigcup{ \{ F_{\alpha_0(Ф)}(Ф[X^s_n]) \} }$$

где $$Ф[X^s_n]$$ представляет собой поочередно выполняемые преобразования $$N_{s} [X^{s}_{n} ]$$ и $$Z_{s} [X^{s}_{n} ]$$, а теоретико-множественные объединения берутся по образующим по классам смежности $$\alpha_0(Ф)$$: $$\alpha_{0} (N)$$, $$\alpha _{0} (Z)$$ соответственно, в качестве которых может выступать любая функция из класса.

Объединить классы смежности по группе $$Z_s$$, если хотя бы одна из функций класса принадлежит одному и тому же классу смежности по группе $$N_{s}:$$$$\{F_{\alpha_0(D_s)}(D_s[X^s_n])\} = \bigcup{ \{ F_{\alpha_0(Z)}(Z_s[X^s_n]) \} }$$

где $$\alpha_0(D_s)$$ - индекс образующей из класса смежных по группе переименования переменных $$D_s = Z_s*N_s$$, а теоретико-множественное объединение берется по образующим для классов, смежных по группе $$N_s$$, с индексом $$\alpha_{0}(N)$$.

Объединить классы смежности по группам $$\Omega\in\Omega_n$$, если их образующие $$\alpha_{0}(D_{s})$$ удовлетворяют условию минимально пороговой реализации с одинаковым рангом для всех компонент вектора порогов:$$\{F_{\alpha_0(\Psi)}(\Psi[X^s_n])\} = \bigcup{ \{ F_{\alpha_0(\Omega)}(Z_s[X^s_n]) \} }$$

Здесь $$\аlpha_{0}(\Psi)$$ - индекс образующей для классов смежных булевых функций по группам дистрибутивной структуры $$\Psi = \Omega_n*Z_s*N_s$$, а компоненты вектора порогов $$h_{\alpha_0}$$, $$h_{\tilde{\alpha}_0}$$ для образующих $$F_{\alpha_0(D_s)}$$ и $$F_{\tilde{\alpha}_0(D_s)}$$ имеют одинаковый ранг, если $$h_{\alpha_0}, h_{\tilde{\alpha}_0} \in (l_{s(1)},l_{s(2)})$$, где $$l_{s(1)} < l_{s(2)}$$.

При $$n = 3$$ (табл. 4.13) требуется всего 13 образующих (без учета инверсных) для смежных по группам дистрибутивной структуры W классов, объединение которых и дает все множество булевых функций от трех переменных:

$$(r_1=0, r_0=8):\\F_0(x_3,x_2,x_1)\equiv 0 -\text{ тождественный "ноль"}$$ ;

$$(r_1=1, r_0=7):\\F_1(x_3,x_2,x_1) = x_{3x_2x1} \text{ и } (l_1 < h_1 < l_7) \text{ для }(01234567)$$ ;

$$(r_1=2, r_0=6):\\ F_{192}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2\overline{x}_1 + \overline{x}_3\overline{x}_2x_1 \text{ и } (l_1 < h_1 < l_2) \text{ для }(01234567) \\ F_{96}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2{x_1} + \overline{x}_3x_2\overline{x}_1 \text{ и } (l_0 < h_1 < l_1)(l_2 < h_2 < l_3) \text{ для }(02461357) \\ F_{129}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2\overline{x_1} + {x_3}x_2{x_1} \text{ и } (l_4 < h_1 < l_6)(l_1 < h_2 < l_3) \text{ для }(02461357) \\ $$ ;

$$(r_1=3, r_0=5):\\ F_{224}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2\overline{x}_1 + \overline{x}_3\overline{x}_2x_1 + \overline{x}_3x_2\overline{x}_1 \text{ и } (l_2 < h_1 < l_3) \text{ для }(01234567) \\ F_{100}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2{x_1} + \overline{x}_3x_2\overline{x}_1 + x_3\overline{x}_2\overline{x}_1 \text{ и } (l_0 < h_1 < l_1)(l_1 < h_2 < l_3) \text{ для }(01234567) \\ F_{52}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3{x}_2\overline{x_1} + \overline{x}_3{x}_2{x}_1 + {x}_3\overline{x}_2\overline{x}_1 \text{ и } (l_4 < h_1 < l_6)(l_1 < h_2 < l_3) \text{ для }(01234567) \\ $$ ;

$$(r_1=4, r_0=4):\\ F_{240}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2\overline{x}_1 + \overline{x}_3\overline{x}_2x_1 + \overline{x}_3x_2\overline{x}_1 + \overline{x}_3{x}_2{x}_1 \text{ и } (l_3 < h_1 < l_4) \text{ для }(01234567) \\ \text{ и } (l_4 < h_1 < l_3) \text{ для }(01234567) \\ F_{228}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2\overline{x}_1 + \overline{x}_3\overline{x}_2{x}_1 + \overline{x}_3\overline{x}_2{x}_1 + {x}_3\overline{x}_2{x}_1 \\ \text{ и } (l_2 < h_1 < l_3),(l_4 < h_2 < l_5),(l_5 < h_3 < l_6) \text{ для }(01234567) \\ F_{225}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2\overline{x}_1 + \overline{x}_3\overline{x}_2{x}_1 + \overline{x}_3\overline{x}_2{x}_1 + {x}_3{x}_2{x}_1 \\ \text{ и } (l_2 < h_1 < l_3),(l_4 < h_2 < l_5),(l_6 < h_3 < l_7) \text{ для }(01234567) \\ F_{195}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2\overline{x}_1 + \overline{x}_3\overline{x}_2{x}_1 + \overline{x}_3{x}_2\overline{x}_1 + {x}_3{x}_2{x}_1 \\ \text{ и } (l_2 < h_1 < l_2),(l_5 < h_2 < l_6) \text{ для }(01234567) \\ F_{150}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2\overline{x}_1 + \overline{x}_3{x}_2{x}_1 + {x}_3\overline{x}_2{x}_1 + {x}_3{x}_2\overline{x}_1 \\ \text{ и } (l_0 < h_1 < l_1),(l_4 < h_2 < l_3),(l_6 < h_2 < l_7) \text{ для }(01234567) $$ ;

Распределение булевых функций по классам смежности (n = 3)

Первичная спецификация булевых функций	(0,8)	(1,7)	(2,6)	(3,5)	(4,4)
Количество образующих булевых функций	1	1	3	3	5
Мощность классов смежных булевых функций	1	8	12	24	14
			12	24	24
			4	8	24
					6
					2
Итого булевых функций: (1+8+28+56)*2+70=256	1	8	28	56	70

Если нейроподобный теоретико-групповой компилятор предназначен для синтеза нейро-ЭВМ, то следует учитывать, что стратегия адаптации (много)пороговых моделей формальных нейронов "дочерней" и "материнской" нейро-ЭВМ отличаются критериями эффективности, что не отражено в классической схеме (много)порогового элемента (рис. 4.30). В реальности адаптивные возможности составляющих элементов расходуются на практически несовместные цели:

максимальную устойчивость реализации заданной логической функции в "дочерней" нейро-ЭВМ;

минимальную избыточность управления "материнской" нейро-ЭВМ, что приводит к двум стратегиям и двум схемам управления вектором порогов.

(рис 4.30) Схема классической (М)ПМ формального нейрона в классе БФ трех переменных

Для достижения максимально устойчивой реализации заданной булевой функции $$F_{\alpha} (X _{n}^{s})$$ необходимо, чтобы вектор порогов смещался по скалярной оси, компенсируя паразитные флуктуации $$\pm \Delta \tilde{W}_n$$ весового вектора $$H_{\chi} = \varphi(W_{n} \pm\Delta\tilde{W}_n)$$. Для этого достаточно (рис. 4.31) компоненты вектора порогов вычислять непрерывно с помощью оператора линейной свертки, но для фиксированного множества значений входного вектора $$\{\breve{Х}_n^{h(j)}\}$$, определяющего левые и правые границы интервалов "эквизнач-ности" заданной булевой функции на скалярной оси $$L $$.

(рис 4.31) Схема (М)ПМ "дочерней" нейро-ЭВМ с F_{a}(X^{s}_{n}) = const

Поэтому, если формальный нейрон ориентирован на использование в "дочерней" нейро-ЭВМ, необходимо фиксировать подмножество значений входного вектора, по отношению к которому и определяется положение компонент вектора порогов. В этом случае правила выбора компонент вектора порогов для настройки (много)пороговой модели на реализацию, например, образующей булевой функции $$F_{ug} (x_{3},x_{2},x_{1}) = x_{3}x_{2}x_{1} + x_{3}x_{2}x_{1 }$$ имеют вид $$h_1 = - 0,5$$ ; $$h_2 = + 0,5$$ ; $$h_3 = w_3 +w_{2}+w_{1}-0,5$$ и $$h_4 = w_3 +w_{2}+w_{1} + 0,5$$, система решающих пороговых правил имеет вид $$h_1 < l_{s} \le h_2 \Rightarrow f_s:=1$$ и $$h_3 < l_{s} \le h_4 \Rightarrow f_s:=1$$. В результате вариации весового вектора (заштрихованные клетки табл. 4.8) приводят к тому, что система решающих правил

"отслеживает" положение одних и тех же (по индексу $$s$$ ) значений $$l_{0}$$ и $$l_{7}$$ на упорядоченном множестве значений свертки $$\hat{l}_s$$, то есть $$F_{129}(x_3, x_{2}, x_1) = const$$ при всех вариациях весового вектора.

Для достижения минимальной избыточности управления "материнской" нейро-ЭВМ необходимо минимизировать количество образующих булевых функций, а вектор порогов минимальной размерности для каждой образующей определить с помощью системы решающих правил, указывающих только ранги значений свертки, между которыми необходимо размещать значения компонент вектора порогов. Поэтому если формальный нейрон ориентирован на использование в "материнской" нейро-ЭВМ, то для каждой образующей булевой функции необходимо зафиксировать не сами значения компонент вектора порогов, а только места их расположения (по индексу $$s$$ ) на упорядоченном множестве значений свертки $$\{\hat{l}_s\}$$ (рис. 4.32).

(рис 4.32) Схема (М)ПМ "материнской" нейро-ЭВМ c ранговой системой решающих правил

В частности, для настройки (много)пороговой модели на реализацию той же образующей булевой функции $$F_{129} (x _{3}, x _{2}, x _{1})$$ и сопряженного с ней класса необходимо, чтобы значение одного порога было больше минимального значения $$\{\hat{l}_s\}$$, а другого - меньше максимального значения $$\hat{l}_s$$. В результате такой ранговой "фиксации" вектора порогов (заштрихованные клетки табл. 4.9) вариации знаков весового вектора приводят к настройке (много)пороговой модели на реализацию еще трех булевых функций: $$F_{68}(x_{3},x_{2},x_{l}) = \bar{x}_{3}\bar{x}_{2}x_{1} + x_{3}x_{2}\bar{x}_{l}$$, $$F_{36} (x_{3},x_{2},x_{l}) = \bar{x}_{3}x_{2}\bar{x}_{l} + x_{3}\bar{x}_{2}x_{l}$$ и $$F_{24} (x_{3},x_{2},x_{1}) =\bar{x}_{3}x_{2}x_1+ х_{3}\bar{x}_{2}\bar{x}_{1}$$, с двукратной избыточностью управления, так как при фиксированном векторе порогов только половина вариаций знака компонент весового вектора порождает дополнительные булевы функции.

На основе приведенных данных можно заключить:

Теоретико-групповая модель формального нейрона кардинальным образом снижает размерность задачи синтеза нейро-ЭВМ, сведя ее к задаче целочисленной оптимизации, которая проводится:

на конечном множестве подстановок значений свертки входного сигнала, мощность которого в случае $$n = 3$$ равна $$|\Psi| = | \Omega_{3}|*|Z_s|*|N_{s} | = 2* 8* 6 = 96$$, а в случае $$n = 4 - |\Psi| = 14* 16* 24 = 5376$$ ;

на конечном множестве образующих (всего 13 для $$n = 3$$ ) и отвечающим им классам смежных булевых функций, мощность которых в рамках одной первичной спецификации:

для $$n = 3$$ не превышает 24,

для $$n \ge 4$$ даже при минимальном количестве порогов существенно зависит от системы решающих пороговых правил, используемых при реализации смежных классов по группе переименования переменных.

Согласно теореме Кэли [103] всякая конечная группа изоморфна некоторой группе подстановок. Это говорит о возможности использования нейротрансляторов для прямого отображения функций пользователя на уровень квантовых процессов, фундаментальные свойства которых описываются всевозможными группами симметрий.

Формальные нейроны "дочерней" и "материнской" нейро-ЭВМ отличаются стратегией адаптации вектора порогов, которая в первом случае превращает формальный нейрон в классическую следящую систему, а во втором случае требует достаточно сложной схемы ранговой фильтрации значений свертки полного множества значений входных векторов $$\{X_{n}^{h(j )}\}$$.

Системотехнические выводы по лекции 4

Современные нейрохимические модели реальных нейронов требуют учета внутренних (метаболических) процессов, что не могло быть отражено в электрофизиологической модели Ходжкина - Хаксли, которая и была положена в основу ставших уже традиционными моделей формальных нейронов.

Теория конвергентного замыкания условного рефлекса П.К. Анохина указывает на существование реальных "нейрокомпиляторов" с уровня межнейрональных взаимодействий на уровень метаболических процессов, и наоборот. В результате можно предположить: в реальной нервной системе "задание пользователя" доводится или, по крайней мере, может быть доведено до молекулярно-биологических взаимодействий, соподчиненных законам квантовой механики. Поэтому для преодоления трудностей декогерентизации квантовых систем осмысленным является поиск методов и средств прямого отображения заданий пользователя на физико-химический уровень работы "элементной базы", что требует высокодинамичного синтеза нанометровых и супрамолекулярных вычислительных структур с ограниченным "временем жизни".

Теоретико-групповая модель формального нейрона позволяет решать задачи оптимального синтеза нейро-ЭВМ на конечном множестве целочисленных вариаций весового и порогового векторов, что и создает предпосылки для прямого отображения задач пользователя нейро-ЭВМ на квантовые процессы наноэлектронных систем, фундаментальные свойства которых определяются и описываются группами симметрий. При этом сохраняется традиционная схема кремниевой компиляции с использованием библиотек стандартных элементов, которая и ограничивает совокупность используемых теоретико-групповых преобразований, отвечающих физико-химическому уровню описания работы реализуемой нанометровой или супрамолекулярной элементной базы.

Переход к теоретико-групповым нейрокомпиляторам открывает новые возможности инструктированного синтеза нанометровых или супрамолекулярных вычислительных структур "нечисленными" методами и средствами, основанными на проверке отношения "больше-меньше", для чего требуются тривиальные "рычажные весы" уровня квантовых взаимодействий.

В реальных нейронах и нейронных ансамблях используется комплекс взаимно обусловленных структурно-параметрических методов хранения и преобразования информации, в рамках которого отстоящая на значительном интервале времени предыстория фиксируется с помощью структурных методов, а оперативное преобразование информации осуществляется параметрическими методами.

По своему предназначению и используемым методам проектная технология прототипирования только воспроизводит апробированные природой принципы и методы системогенеза, создающие для новорожденных необходимые предпосылки их выживания еще на стадии их эмбрионального развития.

Эволюционный опыт развития организмов говорит о том, что только иерархическим полимодальным комплексом мер можно обеспечить жизнедеятельность "сложных систем", синтезируемых "ненадежными" методами и средствами из "ненадежных" компонент с малым "временем жизни", что характерно для нанометровых и супрамоле-кулярных вычислителей. При этом в увеличение "сложности" системы решающий вклад вносит не "объект", а "средство" поддержания его жизнеспособности в постоянно изменяющемся комплексе внешних условий.