Элементы теории вероятностей в задачах

Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

Показывать лекцию целиком

Основные теоретические сведения

Биноминальные коэффициенты очень красиво располагаются треугольником, в котором каждое число (кроме первого) является суммой двух предшествующих. Этот треугольник называется треугольник Паскаля.

Треугольник Паскаля для нахождения биноминального коэффициента
Показатель степени Биноминальные коэффициенты
0 $$C_0^0$$
1 $$C_1^0$$ $$C_1^1$$
2 $$C_2^0$$ $$C_2^1$$ $$C_2^2$$
3 $$C_3^0$$ $$C_3^1$$ $$C_3^2$$ $$C_3^3$$
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
n $$C_n^0$$ $$C_n^1$$ ... ... ... ... ... $$C_n^{n-1}$$ $$C_n^n$$

Эта таблица больше известна в виде значений:

Показатель степени Биноминальные коэффициенты
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3
1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
n $$C_n^0$$ $$C_n^1$$ $$C_n^0$$ $$C_n^{n-1}$$

(n-я строка состоит из чисел $$C_n^0,C_n^1,...,C_n^n$$).

Биномом Ньютона называют разложение вида:

$$(a+b)^n=a^n+C^1_n a^{n-1}b+C^2_na^{n-2}b^2+C^3_n a^{n-3}b^3+C^{n-1}_n ab^{n-1}+b$$

где $$C_n^1,...,C_n^{n-1}$$ – биноминальные коэффициенты.

Пример решения задачи

Задача: Разложить по формуле бином $$(x+y)^6$$ .

Решение: Используя треугольник Паскаля, находим биноминальные коэффициенты:

Показатель степени Биноминальные коэффициенты
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1

Используя полученные биноминальные коэффициенты, получаем разложение данного выражения:

$$(x+y)^6=x^6+6x^5y+15x^4y^2+20x^3y^3+15x^2y^4+6xy^5+y^6$$
Предыдущее занятие Следующее занятие
Вернуться к учебному плану
^