Элементы теории вероятностей в задачах

Элементы комбинаторики

Показывать лекцию целиком

Основные теоретические сведения

Упорядоченные множества (кортежи), состоящие из n различных элементов, называются перестановками (без повторений).

$$P_n=n!,$$

где $$P_n$$ – число перестановок, $$n$$ – длина.

Упорядоченное подмножество m элементов (кортеж), составленное из всего множества, содержащего n элементов, называется размещением (без повторения).

$$A^m_n=\frac {n!} {(n-m)!},$$

где $$A^m_n$$ – число размещений, $$n$$ – общее количество, $$m$$ – число всех выборов из n данных.

Сочетаниями (без повторений) из n элементов по m называется неупорядоченное подмножество (выборка), состоящее из m элементов, 48 взятых из множества, состоящего из n элементов.

$$C^m_n=\frac {n!} {m!\cdot (n-m)!}$$

где $$C^m_n$$ – число сочетаний, $$n$$ – общее количество, $$m$$ – число всех выборов из n данных.

Кортеж, имеющий повторяющиеся элементы, называется перестановкой с повторениями.

$$\hat{P}_{n_1,n_2,...,n_n}=\frac {n!} {n_1!...n_m!}$$

где $$\hat{P}_{n_1,n_2,...,n_n}$$ – число перестановок с повторениями, $$n$$ – общее количество, $$m$$ – число всех выборов из n данных.

Такое часто встречающееся число подсчетов вариантов называют размещением с повторением.

$$\hat{A}_n^m=n^m$$

где $$\hat{A}_n^m$$ – число размещений с повторением, $$n$$ – общее количество, $$m$$ – число всех выборов из n данных.

Сочетаниями с повторениями называются соединения, содержащие n элементов, причем среди них могут быть одинаковые, а отличаются они хотя бы одним элементом, но не порядком.

$$\hat{С}_n^m= \frac {n! \cdot (n+m-1)!} {m! \cdot (n-1)!}$$

где $$\hat{С}_n^m$$ – число сочетаний с повторением, $$n$$ – общее количество, $$m$$ – число всех выборов из n данных.

Пример решения задачи

Задача: Сколькими способами из цифр 3, 5, 7, 9 можно составить различные четырехзначные числа?

Дано:

n=4

 Решение:

1. Найдем число перестановок:

$$P_n=n!$$ $$P_4=4!=4 \cdot 3 \cdot 2\cdot 1=24$$ Ответ: P4=24
P4
Предыдущее занятие Следующее занятие
Вернуться к учебному плану
^