Элементы теории вероятностей в задачах

Формула полной вероятности

Показывать лекцию целиком

Основные теоретические сведения

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из n несовместных событий (гипотез) $$B_i(i=1,2,...,n)$$ образующих полную группу, находят по формуле полной вероятности:

$$P(A)=\sum \limits_{i=1}^n P(B_i) \cdot P_{B_i}(A)$$

где P(A) – вероятность события А; $$P(B_i)$$ – вероятность события $$B_i$$; $$P_{B_i}(A)$$ – условная вероятность события А, вычисленная при условии, что событие $$B_i$$ наступило; $$P(A)=\sum \limits_{i=1}^n P(B_i) \cdot P_{B_i}(A)$$ – сумма произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность

Сумма вероятностей гипотез $$\sum \limits_{i=1}^n P(B_i) = 1$$

Пример решения задачи

Задача: Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 - во втором, а остальные - в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех - с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Дано:

P(A)=0,015

 1. А – выбрана деталь отличного качества

$$H_i$$ – выбранная деталь изготовлена в i цехе

$$P(H_i)= \frac {10} {40} = \frac 1 4; P(H_2)=\frac {25} {40}=\frac 5 8$$ $$P(H_3)= \frac 5 {40} = \frac 1 8$$

2. По условию задачи

$$P(A \mid H_1) = P (A \mid H_3)=0,9$$ $$P(A \mid H_2) = 0,7$$

3. По формуле полной вероятности находим искомую вероятность:

$$P(A)=\sum \limits_{i=1}^3 P(H_i) \cdot P(A \mid Hi)=\frac 1 4 \cdot 0,9+ \frac 5 8 \cdot 0,7+\frac 1 8 \cdot 0,9=0,775$$

Ответ: P(A)=0,775
P(B)=?
Предыдущее занятие Следующее занятие
Вернуться к учебному плану
^