Элементы теории вероятностей в задачах

Формула Байеса. Вероятность оценки гипотез

Показывать лекцию целиком

Основные теоретические сведения

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) $$B_1,B_2,...,B_n$$ которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса:

$$P_A(B_i)= \frac {P(B_i) \cdot P_{B_i} (A)} {\sum \limits_{i=1}^n P(B_i) \cdot P_{B_i}(A)}, i=1,2,...,n$$

где $$P(B_i)$$ – вероятность события $$B_i$$, $$P_{B_i} (A)$$ – условная вероятность события А, вычисленная при условии, что событие $$B_i$$ наступило; $$P_A(B_i) \cdot P_{B_i} (A)$$ – вероятность события A; $$P_A(B_i)$$ – условная вероятность события $$B_i$$ вычисленная при условии, что событие А произошло.

Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример решения задачи

Задача: Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что его проверил второй товаровед.

Дано: $$P(B_1)=0,55$$ $$P(B_2)=0,45$$ $$P_{B_1}(A)=0,9$$ $$P_{B_2}(A)=0,98$$ $$n=2$$ Решение:

1. $$В_1$$ – изделие проверил первый товаровед

$$В_2$$ – изделие проверил первый товаровед

А – стандартное изделие при проверке признано стандартным

$$P_A(B_2)=\frac {P(B_i) \cdot P_{B_i}(A)} {\sum \limits^n_{i=1}P(B_i) \cdot P_{B_i}(A)}=\frac {0,45 \cdot 0,98} {0,55 \cdot 0,9 + 0,45 \codt 0,98} \approx 0,4712$$

Ответ: $$P_A(B_2)=0,4712$$
$$P_A(B_2)=?$$
Предыдущее занятие Следующее занятие
Вернуться к учебному плану
^