Случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики случайных величин

Основные расчетные формулы

Частость:$$Q_{i}=\frac {m_{i}} {n}$$

Шаг разбиения интервала при $$$n \geqslant 50$$$:$$h=\frac {x_{max}-x_{min}} {log_{2}n+1}$$

Математическое ожидание:$$M_{X}^*=\overline x=\frac 1 n \sum\limits_{i=1}^n (x_{i}-\overline x)}$$

Дисперсия:$$D_{X}^*=\sigma^2=\frac 1 n \sum\limits_{i=1}^n (x_{i}-\overline x)^2}$$

Статистический начальный момент:$$\alpha_{s}=\frac 1 n \sum\limits_{i=1}^n \overline {x_{i}^s}$$

Статистический центральный момент:$$\mu_{s}^*=\frac 1 n \sum\limits_{i=1}^n (x_{i}-\overline x)^s}$$

Несмещенная оценка дисперсии:$$m^2=\frac 1{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (x_{i}-\overline x)^2}$$

Статистический начальный момент для интервального статистического ряда:$$\alpha_{s}^*=\frac 1{\sum\limits_{i=1}^k m_{i}} \sum\limits_{i=1}^k m_{i}\overline x_{i}^s$$

Статистический центральный момент для интервального статистического ряда:$$\mu_{s}^*=\frac 1{\sum\limits_{i=1}^k m_{i}} \sum\limits_{i=1}^k m_{i}( x_{i} -\overline x^)^s$$

Практические примеры решения задач

Пример 1. Наблюдения показали, что каждый из 10 рабочих затрачивает на изготовление детали 0,11 час. Индивидуальные затраты времени у 15 рабочих другой смены составили 0,1 час. Определить среднее время, необходимое для изготовления одной детали, при котором за 1 час работы всеми рабочими изготовилось бы такое же количество деталей.

Решение. В приведенном примере "время на изготовление одной детали" примем за наблюдаемый признак, по которому проводилось усреднение по группам. Тогда для $$$m_{1}=10$$$ рабочих среднее по группе будет равно $$$\overline {x_{1}}=0,11$$$ час; а для $$$ m_{2}=15$$$ рабочих среднее по группе составит $$$\overline {x_{2}}=0,1$$$ час. Обозначим $$$\overline x$$$ - среднее время, необходимое для изготовления одной детали, если будут работать $$$m_{1}+m_{2}$$$ рабочих. Тогда количество деталей, которое изготовит первая группа рабочих за 1 час будет $$$\frac 1 {\overline {x_{1}}}$$$, а вторая группа $$$\frac 1 {\overline {x_{2}}}$$$. Очевидно, что по условию задачи должно выполнятся равенство:$$\[ \frac 1 {\overline {x_{1}}} \cdot m_{1} + \frac 1 {\overline {x_{2}}} \cdot m_{2}=\frac 1 {\overline x} \cdot (m_{1}+m_{2}) \]$$ откуда находим неизвестное $$$\overline x$$$:$$\[\overline x = \frac {m_{1}+m_{2}} {\frac 1 {\overline {x_{1}}} \cdot m_{1} + \frac 1 {\overline {x_{2}}} \cdot m_{2}}\approx \frac {11}{106}=0,1 (час)\]$$

Пример 2. Автомобиль 6 час двигался со скоростью $$$100 \frac {км} {час}$$$, а затем 1 час - $$$70 \frac {км} {час}$$$. При этом горючего было израсходовано пропорционально квадрату скорости. Найти среднюю рекомендованную скорость движения $$$\overline V$$$, двигаясь с которой автомобиль затратит за свою поездку такое же количества горючего.

Решение. Если количество горючего пропорционально квадрату скорости, то на первом участке, который автомобиль проехал со скоростью $$$V_{1}=100 \frac {км} {час}$$$ было израсходовано $$$C \cdot V_{1}^2 t_{1}$$$ (л) горючего. Тогда на втором участке израсходовано $$$ C \cdot V_{2}^2 t_{2}$$$ (л) горючего. Рассуждая аналогично, обозначив - искомую среднюю скорость, получим уравнение:$$\[ C \cdot V_{1}^2 t_{1}+ C \cdot V_{2}^2 t_{2}= C \cdot V^2 \cdot (t_{1}+t_{2})\]$$ откуда, выполнив элементарные преобразования, получим:$$\[ V = \sqrt {\frac { V_{1}^2 t_{1}+ V_{2}^2 t_{2}} { t_{1}+t_{2}}} \approx 96 \frac {км} {час}\]$$

Пример 3. Надувные лодки, выпускаемые двумя заводами, имеют следующий срок службы (до первого ремонта) в часах:

Определить: чья продукция лучше?

Решение. В этой задаче необходимо сравнить среднее по группам. Для первой группы:$$\[ \tau_{1}n_{1}+\tau_{2}n_{2}+\tau_{3}n_{3}+\tau_{4}n_{4}+\tau_{5}n_{5}=\overline {\tau}( n_{1}+ n_{2}+ n_{3}+ n_{4}+ n_{5})\]$$ где $$$\tau_{i}$$$ берется для одного из концов интервала, например, правого. Тогда:$$\[ \overline {\tau_{1}}=\frac {\tau_{1}n_{1}+\tau_{2}n_{2}+\tau_{3}n_{3}+\tau_{4}n_{4}+\tau_{5}n_{5}} { n_{1}+ n_{2}+ n_{3}+ n_{4}+ n_{5}}=\frac {174600} {100} = 1746 (час)\]$$ Для второй группы, рассуждая аналогично, получим:$$\[ \overline {\tau_{2}}=\frac {\tau_{1}m_{1}+\tau_{2}m_{2}+\tau_{3}m_{3}+\tau_{4}m_{4}+\tau_{5}m_{5}} { m_{1}+ m_{2}+ m_{3}+ m_{4}+ m_{5}}=\frac {186000} {100} = 1860 (час)\]$$ Сравнивая и делаем вывод, что продукция второго завода лучше.

Пример 4. На участке дороги есть 4 населенных пункта $$$A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$$$, в которых проживает 50, 30, 40 и 10 жителей, соответственно. Расстояние от города $$$A_{0}$$$ до указанных населенных пунктов составляет 2, 3, 5 и 8 км. Для удобства жителей организуют автобусный маршрут до города. Определить, в каком из населенных пунктов следует сделать автобусную остановку, чтобы общий путь пассажиров до автобусной остановки был бы наименьшим ?

Решение. 1-й способ. Автобусную остановку следует располагать в том пункте, до которого среднее расстояние было бы наименьшим. Такое расстояние обязательно должно обладать следующим свойством:$$\[ \sum расстояние_{i} \cdot количество \ пассажиров_{i} =среднее \ расстояние \cdot общее \ количество \ пассажиров\]$$ следовательно,$$\[ 2 \cdot 50 +3 \cdot 30 +5 \cdot 40 + 8\cdot 10=\overline X \cdot (50+30+40+10)\]$$ откуда получим$$\[ \overline X=\frac {2 \cdot 50 +3 \cdot 30 +5 \cdot 40 + 8\cdot 10} {50+30+40+10} \approx 3,5 (км)\]$$ Следовательно конечную остановку следует делать в пункте $$$A_{2}$$$

2-й способ. Относительно остановки оба потока пассажиров (слева и справа) должны быть одинаковыми, т.е. необходимо определить $$$Me$$$ ряда. Очевидно, что$$\[ Me =\frac {50+30+40+10} 2 = 65\]$$ т.е. с каждой стороны к остановке от $$$A_{1}$$$ и от $$$A_{4}$$$ должны переместиться 65 пассажиров. Этим свойством обладает поселок $$$A_{2}$$$, т.е. там и следует делать остановку. Заметим, что решение обоими способами дает одинаковый результат.