Случайная величина и ее основные характеристики.

Основные определения и понятия

Расширением понятия случайных событий, состоящих в появлении некоторых числовых значений в результате эксперимента, является случайная величина Х.

Определение. Случайной называют величину, принимающую в результате эксперимента одно только значение из некоторой их совокупности и неизвестное заранее, какое именно.

Случайная величина, к примеру, представляет собой обоснованную модель описания геологических данных, учитывающую влияние различных факторов на физическое поле.

Как и результат отдельного эксперимента, точное значение случайной величины предсказать нельзя, можно лишь установить ее статистические закономерности, т.е. определить вероятности значений случайной величины. Например, измерения физических свойств горных пород являются наблюдениями соответствующих случайных величин.

Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться геологу, можно выделить два основных типа: величины дискретные и величины непрерывные.

Определение. Дискретной случайной величиной называется такая, которая может принимать конечное или бесконечное счетное множество значений.

В качестве типичных примеров дискретной случайной величины могут выступать все результаты полевых работ, все результаты экспериментов, привезенные c поля образцы и пр.

Всевозможные $$$n$$$ значений случайной величины образуют полную группу событий, т.е. $$$\sum\limits_{i=1}^n p_{i}=1$$$, где $$$n$$$ - конечное или бесконечное. Поэтому можно говорить, что случайная величина обобщает понятие случайного события.

Пусть в результате исследований был получен следующий ряд данных по количественному составу некоторой породы: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Всего было проведено 20 испытаний. Для того, чтобы с данными было удобно работать, их преобразовали: расположили полученные значения по возрастанию и подсчитали количество появления каждого из значений. В результате получили (Таблица 7.1):

Определение. Распределение данных по возрастанию называется ранжированием.

Определение. Наблюдаемое значение некоторого признака случайной величины называется вариантом.

Определение. Ряд, составленный из вариант, называется вариационным рядом.

Определение. Изменение некоторого признака случайной величины называется варьированным.

Определение. Число, показывающее сколько раз варьируется данная варианта, называется частотой и обозначается $$$m_{x}$$$.

Определение. Вероятность появления данной варианты равно отношению частоты к общей сумме вариационного ряда$$P_{x_{i}}=\frac {m_{x}} {N}$$

С учетом введенных определений перепишем таблицу 7.1.

При статистическом анализе экспериментальных данных главным образом используется дискретные величины. В таблице 7.3 приведены основные числовые характеристики этих величин, имеющих важное практическое значение при обработке экспериментальных данных.

В таблице п. 8 – 12 используются для статистической обработки вариационных рядов. Об их использовании будет материал немного дальше.

В заключении заметим, что, если результат эксперимента описывается двумя и более случайными величинами, то говорят о системе случайных величин. К системе случайных величин, например, могут быть отнесены физические свойства образцов горных пород, характеристики аномальнообразующих тел, наблюдений различных полей, характеристики месторождений и т.д.

Гистограмма. Полигон частот. Непрерывное распределение

Для экспериментальной информации характерно большое количество разнообразных наблюдаемых значений, которые отличаются друг от друга на небольшую величину. В таком случае рекомендуется от дискретного распределения перейти к непрерывному ряду. Данный переход может выполняться двумя способами.

Первый способ рекомендуется для длинных рядов ( $$$N>200$$$ ). Этот переход основан на использовании коэффициента Стэрджеса$$\[h=\frac { x_{max} -x_{min} } {1+3,322 \cdot lnN } \]$$ определяющий шаг дискретизации интервала $$$\left [ x_{max};x_{min} \right]$$$ экспериментальных данных. В формуле (12) обозначено $$$x_{max}$$$ - наибольшее и $$$x_{min}$$$ - наименьшее значения вариант исследуемого вариационного ряда; $$N ?$$ длина вариационного ряда (общее количество измерений); 3,222 -константа, определяемая из предположения, что данное распределение нормально . Весь интервал $$$\left [ x_{max};x_{min} \right]$$$ разбивают следующим образом$$\[a_{0}= x_{min} -\frac h 2; \]$$ $$\[a_{1}= a_{0}+ h; \]$$ $$\[\vdots\]$$ $$\[a_{k}= a_{k-1}+h; \]$$ $$\[\vdots\]$$ и завершают разбиение тогда, когда выполняется неравенство$$\[a_{k}>x_{max}\]$$ И на каждом полученном полуинтервале $$$\left [a_{i};a_{i+1} \right )$$$ под-считываются значения $$$x_{i}$$$, отвечающие условию $$$x_{i} \in \left [a_{i};a_{i+1} \right )$$$

Рассмотрим пример. Пусть получены следующие значения плотности образцов горных пород:

Всего N=27. Ранжируем ряд

Выделено 16 вариант при длине ряда 27. Поэтому перейдем к непрерывному распределению, воспользовавшись коэффициентом Стэрджеса (12):$$\[h=\frac { 2,78-2,49 } {1+3,322 \cdot 3,3 } \approx 0,025 \approx 0,03\]$$ Таким образом, ряд разбивается на интервалы с $$$a_{0}=2,49-0,03/2=2,48$$$:

В результате оказалось, что ряд разбит только на 10 интервалов; вместо 16, что в конечном итоге ведет к уменьшению вычислений.

Второй способ рекомендуется для коротких рядов ( $$$N<200$$$ ). В этом случае задается не шаг, а количество интервалов разбиения. Как правило, выбирают 10 интервалов. Тогда шаг разбиения вычисляется по приближенной формуле$$h=\frac { x_{max} -x_{min} } {10 }.$$ А дальнейшие действия - совершенно аналогичны первому способу.

Если вернуться к нашему примеру, то$$\[h=\frac { 2,78 -2,49 } {10 }=\frac {0,29} {10} = 0,029 \approx 0,03, \]$$ т.е получим тот же результат, что и в первом случае. Именно поэтому для коротких рядов используют более простой (с вычислительной точки зрения) способ, так как результаты практически одинаковые, то применение сложной вычислительной схемы не оправдано.

Если теперь по оси ОХ отложить варианты, а по оси OY - частоты, то, используя уже рассмотренный пример, получим следующие графики для дискретного (рис.1) и непрерыв-ного (рис.2) распределений.

Полигон частот и гистограмма описывают распределение частот $$$m_{x}$$$, определяемых для каждого значения случайной величины. При построении этих графиков не существует строгих методов выбора конечного числа интервалов или значений, однако рекомендуют, если $$$h \approx \sqrt n$$$ переходить от дискретного к непрерывному распределению.

В заключении отметим, что довольно часто по оси OY откладывают значения $$$p_{i}$$$ вместо $$$m_{x}$$$

Свойства основных характеристик случайной величины

К основным характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание (2), среднее значение (3), мода, медиана, дисперсия (4) и среднеквадратичное отклонение(5). Рассмотрим подробнее их свойства.

Если случайная величина независимая (это всегда, если речь идет об экспериментальных данных), то можно убедиться, что формулы (2) и (3) совпадают, т.е. $$$M_{X}=\overline x$$$. Этот факт широко используют на практике.

Свойство 1. Сумма наблюдаемых данных остается неизменной, если каждое из них заменить средним арифметическим.

Действительно, с учетом (3), получим$$\[ S=\sum\limits_{i=1}^N x_{i}= \sum\limits_{i=1}^N \overline x =\overline x \sum\limits_{i=1}^N 1=N \cdot \overline x= N \frac 1 N \sum\limits_{i=1}^N x_{i}=\sum\limits_{i=1}^N x_{i}\]$$ Часто на практике используют для оценки рядов наблюдений среднее q-го порядка:$$\[ \overline {x}_{q}=\sqrt[q]{\frac {\sum\limits_{i=1}^N x_{i }^q} N} \]$$ Если $$q=2$$, то формула (14) имеет вид$$\[ \overline {x}_{\sigma}=\sqrt{\frac {\sum\limits_{i=1}^N x_{i }^2 \cdot m_{x}} {\sum m_{x}}} \]$$ Формула (15) называется среднеквадратическим.

Свойство 2. Средняя сумма отклонений значений ряда от среднего значения ряда равна нулю:$$\[ \sum\limits_{i=1}^N (x_{i} - \overline x) \cdot m_{x} = 0\]$$

Свойство 3. Среднее постоянной величины равна самой постоянной$$\[ \overline x (const) = const. \]$$

Свойство 4. Если от каждого значения ряда отнять (прибавить) постоянную, то среднее тоже уменьшиться (увеличится) на эту же величину:$$\[ \overline X=\frac 1 N \sum\limits_{i=1}^N x_{i}; \ =\frac 1 N \sum\limits_{i=1}^N (x_{i}+const)=\overline X +const \]$$

Свойство 5. Если каждое значение ряда $$$x_{i}$$$ увеличить (уменьшить) в раз, где - произвольное рациональное число, то среднее ряда тоже увеличиться (уменьшиться) в такое же число раз. Если $$$ \overline X=\frac 1 N \sum\limits_{i=1}^N x_{i}$$$, то $$$ \frac 1 N \sum\limits_{i=1}^N x_{i} ]cdot k = \overline X \cdot k$$$

Свойство 6. Средняя сумма двух экспериментальных рядов равна сумме средних этих рядов:$$\[\overline {x+y}=\overline x + \overline y \ или \ \overline X + \overline Y =\frac { n_{1} \overline X +n_{2} \overline Y} {n_{1}+n_{2}} ; \]$$ где $$$n_{1}$$$ - длина первого ряда, $$$n_{2}$$$ - длина второго ряда.

Свойства показателей вариации

Одним из основных показателей ряда считается размах ряда или амплитуда:$$\[ R=x_{max}-x_{min},\]$$ показывающий величину интервала, в котором находятся все данные.

Мерой рассеяния данных около среднего значения считается дисперсия $$$D_{X}=M \left ( X-M_{X}\right )^2= \sum\limits_{i=1}^N p_{i} \left ( x_{i}-\overline x \right ) ^2=\frac 1 N \sum\limits_{i=1}^N p_{i} \left ( x_{i}-\overline x \right ) ^2$$$

Асимметрия (10) характеризует преимущественное расположение $$$x_{i}$$$ относительно среднего значения. Если $$$A=0$$$, то данные расположенные сим-метрично по отношению к . Если $$$A<0$$$, то в данных преобладают значения $$$x_{i}< \overline x$$$, небольшие значения, говорят, что ряд смещен влево. Если же $$$A>0$$$, то говорят, что ряд "смещен" вправо относительно среднего, т.е. в данных преобладают большие значения.

Эксцесс (11) с $$$D_{X}$$$ характеризует лишь расстояние данных относи-тельно среднего. Если $$$E<0$$$, то в данных наблюдается большая дисперсия, которая не уменьшается по мере удаления от среднего значения. Если $$$E>0$$$, то данные сгруппированы возле среднего, очень плотно.