Функция распределения случайной величины. Виды распределения

Функция распределения

Известно, что если события составляют полную совокупность, то $$$\sum\limits_{i=1}^N P_{i}=1$$$. Тогда совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляет распределение случайной величины.

Определение. Законом распределения или функций распределения случайной величины называется всякое соответствие между всевозможными значениями случайной величины и соответствующим им вариантом.

Определение. Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной не зависит от закона распределения другой.

В противном случае величины будут зависимыми.

Для дискретной случайной величины, которая может принимать значения $$$x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$$$ _ функция распределения имеет вид:$$\[F \left ( X \right )=\sum\limits_{x_{i}<x} \left ( X < x_{i}\right )]$$

Выражение (1) читается так: "функция распределения численно равна вероятности того, что случайная величина $$$X$$$ примет значение не больше, чем $$$x_{i}$$$ ".

Пусть теперь некоторая случайная величина примет значения из ряда $$$x_{1},x_{2}, x_{3},x_{4}, x_{5}$$$ с вероятностями $$$P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}$$$, соответственно. Тогда очевидно, что вероятность того, что значение случайной величины $$$X$$$ будет меньше $$$x_{1}$$$ равно 0: $$$F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{1} \right )=0$$$, а вероятность того, что $$$X$$$ будет меньше $$$x_{2}$$$, равна $$$P_{1}$$$: $$$F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{2} \right )=P_{1}$$$. Вероятность, что случайная величина $$$X$$$ будет меньше $$$x_{3}$$$ будет равна $$$F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{3} \right )=P_{1}+P_{2}$$$, так как $$$P_{1}$$$ - это вероятность варианты $$$x_{1}$$$, а $$$P_{2}$$$ - вероятность варианты $$$x_{2}$$$. Случайная величина принимает одно значение из двух $$$x_{1}$$$ либо $$$P_{2}$$$, потому $$$F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{3} \right )=P_{1}+P_{2}$$$. Но тогда, рассуждая аналогично, получаем:$$\[ F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{4} \right )=P_{1}+P_{2}+P_{3} \]$$ $$\[ F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{5} \right )=P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4} \]$$ $$\[ F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{6} \right )=P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}+P_{5}=1 \]$$

Последнее выражение равно 1, так как все пять событий образуют полную группу. Здесь $$$x_{6}$$$ любое число, которое просто больше $$$x_{5}$$$, $$$x_{6}>x_{5}$$$. Сказанное можно изобразить графически ( рис.9.1 ), если по оси ординат откладывать вероятности $$$P_{i}$,$$ по оси абсцисс – сами значения случайной величины.

Очевидно, что$$\[ a_{1}=p_{1}; \ a_{2}-a_{1}=p_{2};\]$$ $$\[ a_{3}-a_{2}=p_{3}; \ a_{4}-a_{3}=p_{4};\]$$ $$\[ 1-a_{4}=p_{5}.\]$$

Если бы наша случайная величина была бы непрерывной, то тогда распределенное $$$F(x)$$$ выглядела несколько бы иначе ( рис.9.2 ).

Свойства функции F(x)

Функции распределения для дискретной и непрерывной величин обладают рядом одинаковых очевидных свойств, в вытекающих из ее определения.

Свойство 1. Функция распределения есть не отрицательная функция, значение которой изменяются от 0 до 1:$$\[0\leqslant F(x) \leqslant 1\]$$

Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал $$$[a,b]$$$ равно разности значений функций распределений на концах этого интервала$$\[ P(a \leqslant x <b)=F(b)-F(a) \]$$

Следствие. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в не конкретный интервал равна нулю.

Свойство 3. Функция распределения случайной величиной есть не убы-вающая функция, т. е. при $$$\beta > \alpha$$$ имеем$$\[F(\beta)-F(\alpha) \geqslant 0 \]$$ или$$\[ F(\beta) \geqslant F(\alpha) \]$$

Свойство 4. Значение функции распределения на $$$-\infty$$$ равно нулю, и единице ? на $$$+\infty$$$, т.е.$$\[ F(-\infty)=0; \ F(+\infty)=1 \]$$

Пример 1. Построить функцию распределения вариационного ряда $$$x_{i}$$$ $$$m_{i}$$$

Решение. Найдем вероятности вариант. Если $$$N=25$$$, то имеем$$\[ P_{1}=\frac 3 {25}; \ P_{2}=\frac 2 {25}; \ P_{3}=\frac 6 {25}; \ P_{4}=\frac 7 {25}; \ P_{5}=\frac 2 {25}; \ P_{6}=\frac 5 {25}.\]$$ Теперь построим функцию распределения математически (4)$$\[ F(x)=\left\{\begin{array}{ccccccc}{0, \ \ \ \ \ \ x<1}\\{\frac 3 {25},1\leqslant x<2}\\{\frac 5 {25},2\leqslant x<3}\\{\frac {11} {25},3\leqslant x<4}\\{\frac {18} {25},4\leqslant x<5}\\{\frac {20} {25},5\leqslant x<6}\\{1,6\leqslant x}\\ \end{array}\right} \]$$ и графически (рис.9.3 ).

Свойства функции плотности распределения f(x)

Для непрерывной случайной величины можно определить не только функцию распределения, которая является интегральной характеристикой случайной величины, но и дифференциальную функцию. Такая функция называется плотностью распределе-ния или дифференциальным законом распределения случайной величины.

Для определения функции плотности распределения разобьем весь интервал $$$[x_{1},x_{n}]$$$ на элементарные отрезки $$$\Delta x$$$. Тогда вероятность попадания случайной величины $$$X$$$ в этот интервал будет (по свойству 2) равно$$\[ P(x \leqslant X \leqslant x+\Delta x)= F(x+\Delta x)-F(x) \]$$ Разделим последнее выражение на $$$\Delta x$$$$$\[ \frac {P(x \leqslant X \leqslant x+\Delta x)} {\Delta x } =\frac { F(x+\Delta x)-F(x) } {\Delta x } \]$$ и будем уменьшать $$$\Delta x$$$ до нуля. Тогда, переходя к пределу, получим$$\[ \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac {P(x \leqslant X \leqslant x+\Delta x)} {\Delta x } =\lim\limits_{\Delta x \to 0} =\frac { F(x+\Delta x)-F(x) } {\Delta x }=F'(x)=f(x)\]$$

Кривая функции плотности распределения (4) будет иметь вид, представленный на рис.9.4 . Очевидно, что $$$F(x)$$$ будет являться первообразной функции $$$f(x)$$$, т.е. используя определение интеграла, можно установить математическую зависимость между $$$F(x)$$$ и $$$f(x)$$$, т.е. по определению интеграла$$\[ F(x)=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=S\]$$ функция распределения $$$F(x)$$$ численно равна площади под кривой $$$f(x)$$$ на интервале $$$[a;b)$$$. Тогда, на основании свойства 4 функции распределения, можно записать$$\[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\]$$

Определение. Случайная величина $$$X$$$ называется непрерывной, если ее функция распределения $$$F(x)$$$ представлена непрерывной функцией для любой точки из области $$$(-\infty;+infty)$$$, а функция плотности распределения $$$f(x)$$$ существует везде, за исключением, может быть, конечного числа точек.

Вследствие равенства (4) из свойств функции распределения $$$F(x)$$$ вытекают свойства функции плотности распределения $$$f(x)$$$.

Свойство 1. Дифференциальная функция распределения $$$f(x)$$$ не отрицательна для любого $$$x$$$ из ее области определения $$$f(x) \geqslant 0$$$.

Свойство 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины $$$x$$$ в интервал $$$[\alpha;\beta]$$$ равен определенному интегралу от функции плотности распределения $$$f(x)$$$ на этом интервале$$\[ P(\alpha \leqslant x \leqslant \beta) =\int\limits_{\alpha}^{\beta}f(x)dx \]$$

Свойство 3. Интегральная функция распределения случайной величины может быть выражена через функцию плотности вероятностей по формуле$$\[ F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(x)dx\]$$

Свойство 4. Площадь под кривой плотности распределения на всей ее области определения равен единице$$\[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\]$$

Свойство 5. Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле$$\[ M_{X}=p(x) \cdot x=\int\limits_{a}^{b}xf(x)dx\]$$

Свойство 6. Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется по формуле$$\[ D_{X}=\int\limits_{a}^{b}\left (x-M_{X} \right)^2 f(x)dx\]$$ где $$$M_{X}$$$ вычисляется по формуле (8).

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на и полуинтервале $$$[a,b)$$$, если на этом интервале плотность распределения случайной величины (рис.9.6 ) постоянна, а вне этого интервала равна нулю, т.е.$$\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}{0, \ \ \ \ \ \ x<a;}\\{ const, a\leqslant x<b;}\\{0, b\leqslant x}\\\end{array}\right} \]$$

Такое распределение случайной величины еще называют законом равномерной плотности. Найдем величину $$$const$$$, пользуясь свойством 4 функции плотности распределения и формулами (7) и (10):$$\[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx= \int\limits_{-\infty}^{a}f(x)dx+\int\limits_{a}^{b}f(x)dx+\int\limits_{b}^{+\infty}f(x)dx =\int\limits_{-\infty}^{a}0\,dx+\int\limits_{a}^{b}const\,dx+\int\limits_{b}^{+\infty}0\,dx =\int\limits_{a}^{b}const\,dx =1\]$$ откуда получаем$$\[ \int\limits_a^b const \cdot dx =1 \Rightarrow const=\frac 1{b-a} \]$$ Таким образом, формула (10) с учетом результата (11) запишется в виде$$\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}{0, \ \ \ \ \ \ x<a;}\\{\frac1 {b-a}, a\leqslant x<b;}\\{0, b\leqslant x}\\\end{array}\right} \]$$ Тогда функция распределения по (6) с учетом (12) имеет вид$$\[F(x)= \int\limits_{-\infty}^{x}f(x)dx = \int\limits_{a}^{x}\frac {1} {b-a}dx =\frac {x} {b-a}\left |_a^x=\frac {x-a}{b-a}, \]$$ т.е.$$\[F(x)=\left\{\begin{array}{ccc}{0, \ \ \ \ \ \ x<a;}\\{\frac{x-a} {b-a}, a\leqslant x<b;}\\{0, b\leqslant x}\\\end{array}\right} \]$$ График функции (14) изображен на рис.9.7 .

Определим теперь математическое ожидание на основании свойства 5 и формул (8) и (12) для равномерного распределения. Получим$$\[M_{X}= \int\limits_{a}^{b}xf(x)dx = int\limits_{a}^{b}\frac {x} {b-a}dx =\frac {x^2} {2(b-a)}\ left |_a^b=\frac {a+b} 2. \]$$

Свойство математического ожидания, выраженное формулой (15) является признаком, по которому можно установить, что данные экспериментального ряда распределены по равномерному закону. Это можно использовать и для дискретного ряда.

Пример 2. Определить тип распределения для вариационного ряда $$$x_{i}$$$ $$$m_{i}$$$

Решение. Найдем математическое ожидание ряда по обычной формуле$$\[ M_{X}=\frac {1 \cdot 3+2 \cdot 2+ 3 \cdot 6 + 4 \cdot 7 +5 \cdot 2 + 6 \cdot 5} {25}=3,72 \]$$ и вычислим по формуле (15)$$\[ M_{X}=\frac {1+6} 2=3,5 \]$$ Сравнивая результаты, получаем, что оба значения $$$M_{X}$$$ различаются между собой меньше, чем на 10 %, поэтому заключаем, что данный вариационный ряд, скорее всего, подчиняется равномерному закону.

Определим остальные статистические характеристики распределения.$$\[ D_{X}=\mu_{2}X=\int\limits_{a}^{b} \left ( x-\frac {b+a} 2\right )^2 \cdot \frac 1 {b-a} dx=\frac {(b-a)^2} {12}; \]$$ $$\[ \sigma=\sqrt {D_{X}} =\frac {b-a} {2\sqrt 3} ; \]$$ $$\[A=\frac {\mu^3} {\sigma^3} =0, \]$$ так как распределение симметрично относительно своего среднего значения$$\[ \mu_{4}=\int\limits_{a}^{b} \left ( x-\frac {b+a} 2\right )^4 \cdot \frac 1 {b-a} dx=\frac {(b-a)^4} {80}; \]$$ $$\[ E=\frac {\mu^4} {\sigma^4}-3 =-1,2. \]$$

Характеристики (16) – (20) равномерного распределения можно использовать всякий раз, когда по (15) установлено, что данный экспериментальный ряд подчиняется равномерному закону распределения.

Нормальное распределение

Этот вид распределения наиболее часто встречается по сравнению с другими видами распределений. Главной особенностью этого распределения является то, что к этому закону стремятся все другие законы распределений при бесконечном повторении количества испытаний. Как получается это распределение?

Представим себе, что, взяв ручной динамометр, Вы расположились в самом людном месте Вашего города. И каждому, кто проходит мимо, Вы предлагаете измерить свою силу, сжав динамометр правой или левой рукой. Показания динамометра Вы аккуратно за-писываете. Через некоторое время, при достаточно большом количестве испытаний, Вы нанесли на ось абсцисс показания динамометра, а на ось ординат – количество людей, кото-рые "выжали" это показание. Полученные точки соединили плавной линией. В результате получается кривая, изображенная на рис.9.8 . Вид этой кривой не будет особо изменяться при увеличении времени опыта. Более того, с некоторого момента новые значения будут только уточнять кривую, не изменяя ее формы.

Теперь переместимся с нашим динамометром в атлетический зал и повторим эксперимент. Теперь максимум кривой сместится вправо, левый конец будет несколько затянут, в то время как правый конец ее будет более крутой (рис.9.9 ).

Заметим, что максимальная частота для второго распределения (точка В) будет ниже, чем максимальная частота первого распределения (точка А). Это можно объяснить тем, что общее количество людей, посещающих атлетический зал, будет меньше, чем количество людей, которое прошли возле экспериментатора в первом случае (в центре города в достаточно людном месте). Максимум сместился вправо, так как атлетические залы посещают физически более сильные люди по сравнению с общим фоном.

И, наконец, посетим школы, детские сады и дома престарелых с той же целью: выявить силу рук посетителей этих мест. И опять кривая распределения будет иметь похожую форму, но теперь, очевидно, более крутым будет ее левый конец, а правый более затянут. И как во втором случае, максимум (точка С) будет ниже точки А (рис.9.10 ).

Это замечательное свойство нормального распределения – сохранять форму кривой плотности распределения вероятностей (рис. 8 – 10) было замечено и описано в 1733 году Муавром, а затем исследовано Гауссом.

В научных исследованиях, в технике, в массовых явлениях или экспериментах, когда речь идет о многократно повторяющихся случайных величинах при неизменных условиях опыта, говорят, что результаты испытаний испытывают случайное рассеяние, подчиняющееся закону нормальной кривой распределения$$\[f(x)= =\frac 1 {\sigma \sqrt{2\pi}} exp \left ( - \frac {(x-a)^2} {2\sigma^2} \right), \]$$ где $$$a$$$ - это наиболее часто встречающееся событие. Как правило, в формулу (21) вместо параметра $$$a$$$ ставят $$$M_{X}$$$. Причем, чем длин-нее экспериментальный ряд, тем меньше параметр $$$a$$$ будет отличаться от математического ожидания. Площадь под кривой $$$f(x)$$$ (рис.9.11 ) при-нимается равной единице. Площадь, отвечающая какому-либо интервалу оси абсцисс, численно равна вероятности попадания случайного результата в данный интервал.

Функция нормального распределения $$$F(x)$$$ имеет вид$$\[ F(x)=\int\limits_{-\infty}^x f(x)dx=\frac 1 {\sigma \sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^x e^{-\frac {(x-a)^2} {2\sigma^2}}dx \]$$ Заметим, что нормальная кривая (рис.9.11 ) симметрична относительно прямой $$$x=a$$$ и асимптотически приближается к оси ОХ при $$x \to \pm \infty$$$.

Вычислим математическое ожидание для нормального закона$$\[ M_(X)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx=\frac 1 {\sigma \sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}xe^{-\frac {(x-a)^2} {2\sigma^2}}dx=a \]$$

Свойства нормального распределения

Рассмотрим основные свойства этого важнейшего распределения.

Свойство 1. Функция плотности нормального распределения (21) определения на всей оси абсцисс.

Свойство 2. Функция плотности нормального распределения (21) больше нуля для любого из области определения ( $$$f(x)>0 \ \forall x\in D$$$ ).

Свойство 3. При бесконечном увеличении (уменьшении) функция распределения (21) стремится к нулю $$$ \lim\limits_{x \to \infty} f(x)=0$$$.

Свойство 4. При $$$x=a$$$ функция распределения $$$f(x)$$$, заданная (21), имеет наибольшее значение, равное$$\[ max \left ( f(x)\right) = f(a)= \frac 1 {\sigma \sqrt {2\pi e}} \]$$

Свойство 5. График функции $$$f(x)$$$ (рис.9.11 ) симметричен относительно прямой $$$x=a$$$.

Свойство 6. График функции $$$f(x)$$$ (рис.9.11 ) имеет по две точки перегиба симметричные относительно прямой $$$x=a$$$:$$\[ x_{1,2}=a \pm \sigma; \ x_{3,4}=\pm \frac 1 {\sigma \sqrt {2\pi e}} \]$$

Свойство 7. Все нечетные центральные моменты равны нулю. Заметим, что используя свойство 7, определяют асимметрию функции $$$f(x)$$$ по формуле $$$A=\frac {\mu^3} {\sigma^3}$$$. Если $$$A=0)$$$, то делают вывод, что исследуемое распределение симметрично относительно прямой $$$x=a$$$. Если $$$A>0$$$, то говорят, что ряд смещен вправо (более пологая правая ветвь графика $$$f(x)$$$ или затянута). Если $$$A<0$$$, тогда считают, что ряд смещен влево (более пологая левая ветвь графика $$$f(x)$,$$ рис.9.12 ).

Свойство 8. Эксцесс распределения равен 3. Часто на практике вычисляют $$$E-3$$$ и по близости этой величины к нулю определяют степень "сжатия" или "размытости" графика $$$f(x)$$$ (рис.9.13 ). А так как $$$E$$$ связан с $$$\sigma$$$, то, в конечном итоге $$$E$$$ характеризует степень рассеяния частоты данных. А так как $$$\sigma$$$ определяет точность измерений (степень рассеянности данных), то становится очевидным, почему в случае повышенной точности измерений, результаты будут группироваться около центра, а в результате кривая $$$f(x)$$$ будет круче подниматься в центре и резче спадать по мере удаления от среднего (рис.9.13 , $$$E-3>0$$$ ). А тогда с увеличением $$$\sigma$$$, т.е. ухудшением качества измерений, рассеяние результатов увеличивается, а кривая $$$f(x)$$$ принимает более пологий (сглаженный) вид (рис.9.13 , $$$E-3<0$$$ ).

Кривая нормального распределения $$$f(x)$$$ носит также название кривой Гаусса (1777 – 1855) – по имени знаменитого немецкого математика, глубоко исследовавшего теорию случайных ошибок и метода наименьших квадратов. В настоящее время теория случайных ошибок измерений является отделом другой, более обширной науки – математической статистики, разрабатывающей рациональные методы и приемы обработки большого количества экспериментальных данных. Эти приемы связаны с современными теориями устойчивости, бифуркаций и катастроф.

Закономерности случайного рассеивания сопровождают появление наиболее характерных, массовых для данной местности, образцов пород, которые хотя и разные по своему виду, текстуре, размеру, испытывают влияние большого количества разнообразных случайных факторов, но при этом подчиняются нормальному закону распределения.

Свойство 9. Форма кривой $$$f(x)$$$ не изменяется при изменении параметра $$$a$$$.

График нормальной функции распределения (22) показан на рис.9.14 .

Сравнение экспериментальных распределений с нормальным законом

Для того чтобы сравнивать любое экспериментальное распределение с нормальным, выполняют стандартизацию распределения по следующему несложному алгоритму.

1. Строят графики функций распределения экспериментального и нормального рядов в едином масштабе, после чего совмещают эти графики наложением друг на друга, начиная с нулевой точки

2. Может случиться так, что линии $$$x=a$$$ для нормального ряда и $$$x=\overline x$$$ для экспериментаьлного совпадут, как на рис.9.15б . Тогда данный пункт алгоритма следует опустить и сразу перейти к следующему. Но если эти линии не совпадают (рис.9.15а ), то тогда от каждого элемента экспериментального ряда отнимают, если $$$\overline x >a$$$ (прибавляют, если $$$\overline x<a $$$ ) величину, равную $$$|\overline x -a |$.$$ Эта операция называется центрированием. Она позволяет совместить на одной прямой максимумы построенных функций (рис.9.15 б). Таким образом в результате данного шага от исходного экспериментального ряда переходят к$$\[ x_{i}^*= x_{i}-|\overline x-a| \ или \ x_{i}^*=x_{i}+|\overline x-a|. \]$$

3. Завершают процедуру стандартизации ряда операцией нормировки на рассеяние (рис.9.15в ) по формуле$$\[ z_{i}=\frac {x_{i}^*} {\sigma}=\frac {x_{i}-|\overline x-a|} {\sigma } \ или \ z_{i}=\frac {x_{i}^*} {\sigma}=\frac {x_{i}+|\overline x-a|} {\sigma }.\]$$ Полученное распределение можно сравнивать с нормальным (эталонным). А функция распределения нового (преобразованного) ряда $$$f(z)$$$ в силу своих особенностей, которые здесь не обсуждаются, получила название кумулятивной функции распределения.

Если построенное нормальное распределение $$$f(x)$$$ имеет $$$a=0$$$ и $$$\sigma=1$$$, то график называют нормированным, а функция $$$f(x)$$$ обладает всеми свойствами нормированной кривой. Такие функции широко используются для расчетов теоретических кривых распределений. А сама $$$f(x)$$$ выглядит следующим образом$$\[ f(x)= -\frac 1 {\sqrt{2\pi}} e^{-\frac {x^2} 2} \]$$ Очевидно, что функция (28) является четной, т.е. $$$f(-x)=f(x)$$$.

Для того чтобы определить, находится ли экспериментальная величина в границах таких, как если бы она была бы нормально распределена, исследуют кумулятивную функцию распределения, больше известную как функцию Лапласа$$\[ \Phi(z)=\frac 2 {\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{z}e^{-\frac {z^2} 2}dz \]$$ где $$$ z=\frac {x-M_{X}} {\sigma}$$$. Тогда на основании свойства 2 интегральной функции распределения, вероятность того, что случайная величина попадет в интервал $$$[x_{1};x_{2}]$$$ определиться из$$\[ P(x_{1} \leqslant x \leqslant x_{2})=\frac 1 2 \left (\Phi(x_{2})-\Phi(x_{1}) \right ), \]$$ где $$$x_{1}=\frac {x_{1}-M_{X}} {\sigma}; \ x_{2}=\frac {x_{2}-M_{X}} {\sigma}$$$.

Из равенства (30) и свойства $$$\sigma$$$ можно сформулировать правило 3-х сигм, известное как критерий Чебышева.

Правило 3-х сигм (критерий Чебышева). Если случайная величина распределена по нормальному закону, то отклонение этой величины от математического ожидания ряда не превосходит $$$3\sigma$$$ влево и вправо от $$$M_{X}$$$.

Это правило на практике используется как необходимое условие для того, чтобы данный экспериментальный ряд был распределен по нормальному закону. Это значит что, если правило $$$3\sigma$$$ не выполняется, то ряд экспериментальных данных не подчиняется нормальному закону распределения. Но это утверждение не всегда верно в "обратную сторону", т.е. если правило $$$3\sigma$$$ выполняется, то ряд экспериментальных данных подчиняется нормальному закону распределения. Иными словами, выполнение этого правила не гарантирует, что исследуемый ряд распределен нор-мально. Необходимы дополнительные исследования ряда.

Пример 3. Установлено, что при измерении диаметра валика микрометром случайная погрешность измерений подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением $$$\sigma=0,12$$$ мм. Систематической погрешностью пренебрегаем. Найти вероятность того, что измерения проводились с ошибкой не более, чем $$$\pm 0,2$$$ мм.

Решение. Определим $$$x_{1}$$$ для формулы (30). Данное значение 0,2 – это среднее отклонение $$$x_{i}$$$ конкретного измерения от математического ожидания, следовательно, $$$x_{1\frax {0,2} {0,12} \approx 1,67$$$. О наименьшем значении $$$x_{2}$$$ ничего в задаче не сказано, поэтому примем его равным нулю, т.е. измерения выполнялись вообще без погрешностей. Тогда с учетом сказанного, получаем$$\[P \left ( |x| < 0,2 \right )=\Phi \left ( \frac {0,2} {0,12}\right ) =\Phi \left (1,67 \right ) = 0,9051 \]$$

Значение функции $$$\Phi(x)$$$ для конкретного $$$x$$$ берется из специальных таблиц.

Биноминальное распределение

Биноминальным распределением называется функция распределения вероятностей появления $$$m$$$ событий в $$$n$$$ независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна $$$p$$$:$$\[p(x=m)=C_{n}^m p^m q^{n-m} \]$$ где $$$q=1-p; \ m=0,1,2, \cdot , n$$$. Очевидно, что$$\[ F(x)=\left\{\begin{array}{ccc}{0, \ \ \ \ \ \ n \leqslant 0}\\{\sum\limits_{m=0}^n p_{m,n}, 0 <m \leqslant n}\\{1, m>n}, \\ \end{array}\right} \]$$ Из равенства (32) следует$$\[ M_{X}=np, \]$$ т.е. математическое ожидание равно вероятности, что в $$$n$$$ событиях искомое событие состоится хотя бы один раз.

Теорема Муавра-Лапласа

Эту теорему используют для вычисления $$$p_{m,n}$$$ вместо формулы (31), если достаточно большое число. Эта теорема относится к предельным теоремам, которые используются вместо основных, если речь идет о большом количестве испытаний. В Математической статистике подобных теорем достаточно много.

Теорема. Если вероятность наступления события $$$A$$$ в $$$n$$$ независимых испытаниях есть величина постоянная и отличная от нуля, то вероятность того, что в $$$n$$$ испытаниях событие $$$A$$$ насупит $$$m$$$ раз равна$$\[ p_{m,n}=\frac 1 {\sqrt {mpq}} \cdot f(t), \]$$ где$$\[ f(t)=\frac 1 {\sqrt {2\pi}} e^{- \frac {t^2} 2}, \ t=\frac {m-np} {\sqrt {npq}} \]$$

Пример 4. Вероятность того, что на морском берегу среди камней найдется гладкий (обкатанный) равна $$$\frac 8 9$$$. За 3 часа прогулки по берегу Некто собрал 280 разных по форме камушков. Найти вероятность того, что 20 камней из собранных будут не гладкими (не обкатанными прибоем).

Решение. Так как в задаче речь идет о большом количестве образцов ( ), то здесь следует воспользоваться теоремой Маувра-Лапласа (34) – (35). Для этого выполним некоторые предварительные расчеты по формулам (35).$$\[ t=\frac {m-np} {\sqrt {npq}}=\frac {20-280 \cdot \frac 19} {\sqrt {280 \cdot \frac 1 9 \cdot \frac 8 9}} = -2,11 \]$$ Здесь за $$$q$$$ принимаем $$$\frac 8 9 $$$, тогда $$$p=1-q=\frac 1 9$$$. По специальным таблицам определяем значение функции распределения$$\[ f(-t)=f(t)=0,0431 \]$$ Найденное значение подставим в формулу (34) и окончательно получим$$\[ p_{20,280}=\frac {0,0431} {\sqrt {280 \cdot \frac 1 9 \cdot \frac 8 9}} \approx 0,0082.\]$$

Логарифмическое нормальное распределение (логнормальное распределение)

Определение. Логарифмическим нормальным распределением (логнормальным распределением) называется такое распределение $$$u$$$, которое получается из почленного логарифмирования исходного ряда $$$x$$$, не подчиняющегося нормальному закону распределения, при условии, что среди элементов $$$x_{i}$$$ нет отрицательных и нулевых, при этом$$\[ u_{i}=ln x_{i}. \]$$ В случае, если все же среди $$$x_{i}$$$ есть отрицательные или нулевые члены, то тогда можно к каждому члену ряда прибавить некоторую константу, например, $$$x_{min}+1$$$. По одному из свойств математического ожидания, эта операция не изменит основные статистические характеристики ряда. Эта операция позволяет перейти к логнормальному распределению в указанном случае.

В результате применения операции логарифмирования (36) к исследуемому ряду су-щественно уменьшается разброс между данными. Это можно видеть из рис. 9.16 : очевидно, что $$$x_{n}-x_{1}>u_{n}-u_{1}$$$.

Функция распределения нового ряда будет равна$$\[ f(u)=\frac 1 {\sigma_{u} \sqrt{2\pi}} e^{-\frac {(u-M_{u})^2} {2\sigma_{u}^2}} \]$$ но тогда$$\[ M_{X}=exp \left (\frac {\sigma_{u}^2+2M_{U}} 2 \right) \]$$ $$\[ f(x)=\frac 1 n f(u) \]$$ и, наконец,$$\[ \sigma_{u}^2=e^{\sigma_{u}^{2}+2M_{U}}}\left ( e^{\sigma_{u}^2}-1\right ) \]$$ Формулы (37) – (40) дают связь между логнормальным $$$U$$$ и исходным $$$X$$$ распределениями.

Закон распределения Пуассона (закон распределения редких явлений)

Все распределения при достаточно большом числе испытаний стремятся к нормальному закону распределения. Однако, если среди данных есть редкие, исключительные результаты, то распределения этих редких явлений, в то время когда основная масса стремится к нормальному закону, стремится к другому закону – закону распределения Пуассона. Для этого закона характерно, что при $$$n \to \infty$$$ вероятности $$$p$$$ либо $$$q$$$ стремятся к нулю. В этом случае биноминальное распределение Пуассона переходит в$$\[ P_{m}=\frac {a^me^{-a}} {m!} \]$$ где $$$a$$$ имеет тот же смысл, что и в нормальном распределении.

Закон распределения Пуассона, задаваемый формулой (41), описывает вероятность появления $$$m$$$ событий, происходящих через приблизительно равные промежутки времени, при условии, что все события происходят независимо друг от друга и с некоторой интенсивностью, пусть даже очень маленькой, но обязательно постоянной. Число испытаний при этом велико, а вероятность появления ожидаемого события очень мала и равна $$$p$$$. Параметр $$$a$$$ тогда будет характеризовать интенсивность появления ожидаемого события в последовательности испытаний.

В таком случае попытаемся вычислить матожидание.$$\[ M_{X}=\sum\limits_{m=0}^n m \frac {a^me^{-a}} {m!}=np \]$$ откуда получаем$$\[ \sigma_{x}^2=np \]$$

Характерной особенностью этого вида распределения будут следующие математические соотношения:$$\[\mu_{3}=a; \ a=np; \ \mu_{4}=3a^2+a; \ A=\frac 1 {\sqrt a}; \ A=\frac 1 a, \]$$ пользуясь которыми можно без труда вычислить параметр $$$a$$$.

Признаком распределения Пуассона служит равенство (45):$$\[ M_{X} \approx \sigma_{x}^2 \]$$

Пример 5. На полигоне было отобрано 150 образцов. В некоторых из них нашли присутствие редкого элемента:

Определить закон распределения искомого элемента.

Решение. Для ответа на вопрос в задаче следует проверить выполнение равенства (45), являющегося характерным признаком распределения Пуассона. Для простоты вычислений будем брать не сотые доли, а числа, увеличенные в 100 раз, т.е.$$\[\ M_{X}=\frac {0 \cdot 32 +1 \cdot 51 +2 \cdot 36 +3 \cdot 19 +8 \cdot 4 +5 \cdot 5 + 1 \cdot 6 +0 \cdot 7} {150} \approx 1,52 ; \]$$ $$D_{X}=\sigma_{x}^2 = \frac {(0-1,52)^2 \cdot 32 +(1-1,52)^2 \cdot 51 + \ldots + (1-1,52)^2 \cdot 6 + (0-1,52)^2 \cdot 7} {150} \approx 1,54 ;$$ В связи с тем что $$$M_{X} \approx \sigma_{x}^2$$$, заключаем, что распределение искомого элемента подчиняется закону распределения Пуассона. Теперь, пользуясь соотношениями (42) вычислим через $$$\mu_{3}$$$ теоретическое $$$a$$$, сравним его с исходной частотой $$$m_{x}$$$, и по формуле (39) вычислим теоретическое $$$p_{m}$$$

Как видно из последних результатов, расчетные значения $$$a$$$ почти не отличаются от реальных экспериментальных характеристик $$m_{x}$$, что подтверждает правильность выдвинутой гипотезы .