Определение определителя$$|A|=\sum_{\alpha\in S_n} \varepsilon(\alpha) a_{1\alpha(n)}... a_{n\alpha(n)}$$
как суммы n! слагаемых-произведений плохо пригодно для реальных вычислений при больших n. В теоретическом плане важно отметить, что определитель |A| является многочленом от n2 переменных aij, в котором мономы входят с коэффициентами $$\pm 1$$. Отметим лишь одно из следствий этого факта: если aij=aij(x) являются дифференцируемыми функциями от переменной x, то определитель |A| также является дифференцируемой функцией от x, поскольку суммы и произведения дифференцируемых функций являются дифференцируемыми функциями.
Теорема 6.6.1. Пусть от квадратной $$(n\times n) $$ -матрицы A=(aij) элементарными преобразованиями 1-го и 2-го типа ( t преобразований 2-го типа) мы пришли к треугольной матрице$$\bar A = \begin{pmatrix} \bar a_{11}
\raisebox{-10pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-25pt}\LARGE*}}\\
0 \bar a_{22}\\
\vdots \ddots\\
0 \hdotsfor{2} \bar a_{nn}
\end{pmatrix}$$
(все элементы ниже диагонали равны нулю; любая ступенчатая матрица, очевидно, является треугольной). Тогда$$|A| = (-1)^t \bar a_{11}... \bar a_{nn}.$$
Доказательство. Так как |, то$$|A|=(-1)^t |\bar A|= (-1)^t \bar a_{11}... \bar a_{nn}.$$
Теорема 6.7.1 (о единственности функции с базовыми свойствами 1—4 определителя). Пусть функция F, сопоставляющая каждой квадратной $$(n\times n) $$ -матрице $$A\in\mM_n(K) $$ "число" $$F(A)\in K$$, удовлетворяет базовым свойствам {1 4} функции определителя. Тогда F(A)=|A|, т. е. функция определителя |A| однозначно определяется свойствами {1 4}.
Доказательство. Приведем $$(n\times n) $$ -матрицу A к треугольному виду$$\bar A =
\begin{pmatrix}
\bar a_{11}
\raisebox{-10pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-25pt}\LARGE * }}\\
0 \bar a_{22}\\
\vdots \ddots\\
0 \hdotsfor{2} \bar a_{nn}
\end{pmatrix}$$
элементарными преобразованиями строк 1-го и 2-го типа ( t преобразований 2-го типа). Тогда$$F(\bar A)=(-1)^t F(A),$$
следовательно, F(A)=(-1)t F(.
Далее, вынося элемент $$\bar a_{nn} $$ из n -й строки и создавая 0 над ним, получаем$$%\begin{mult} \addtolength{\arraycolsep}{-2pt}
F(\bar A) = \bar a_{nn} F
\begin{pmatrix}
\bar a_{11}
\raisebox{-10pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-45pt}\LARGE * }}\\
\vdots \ddots\\
0 ... \bar a_{n-1\,n-1}\\
0 ... 0 1
\end{pmatrix} =
%{}
%\\
%{}=
\bar a_{nn} F
\begin{pmatrix}
\bar a_{11} 0\\
\vdots \ddots
\raisebox{10pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-0pt}\LARGE * }}
\vdots\\
0 ... \bar a_{n-1\,n-1} 0\\
0 ... 0 1
\end{pmatrix}.
%\end{mult}$$
Продолжая это рассуждение, получаем$$F(\bar A) = \bar a_{11}...
\bar a_{nn}
F
\begin{pmatrix}
1
\lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large 0 }}}\\ \ddots\\
\lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large 0 }}}
1
\end{pmatrix} =
\bar a_{11} ... \bar a_{nn}.$$
Итак, $$F(A)=(-1)^t F(\bar A) = (-1)^t \bar a_{11}... \bar a_{nn} = |A|$$.
Определение 6.8.1 (дополняющие миноры и алгебраические дополнения). Зафиксируем элемент aij квадратной $$(n\times n) $$ -матрицы A=(aij). Вычеркивая в определителе |A| i -ю строку и j -й столбец (проходящие через aij ), получаем определитель Mij матрицы порядка $$(n-1)\times (n-1)$$, называемый дополняющим минором элемента aij. aij называется число Aij=(-1)i+jMij
Замечание 6.8.2. Имеем n2 (дополняющих) миноров Mij.
Лемма 6.8.3.$$\begin{vmatrix} a_{11} 0 ... 0\\ a_{21} a_{22} ... a_{2n}\\ \hdotsfor{4}\\ a_{n1} a_{n2} ... a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} ... a_{2n}\\ \hdotsfor{3}\\ a_{n2} ... a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11} M_{11} = a_{11} A_{11}.$$
Доказательство. Каждый член определителя вида$$a_{11} a_{2\alpha(2)}...a_{n\alpha(n)}$$ (все остальные заведомо равны нулю) входит в правую часть доказываемого равенства, при этом с тем же знаком:$$\begin{mult} \varepsilon \begin{pmatrix} 1 2 ... n\\ 1 = \alpha(1) \alpha(2) ... \alpha(n) \end{pmatrix}={} \\ {}= \varepsilon \begin{pmatrix} 2 ... n\\ \alpha(2) ... \alpha(n) \end{pmatrix} = \varepsilon \begin{pmatrix} 1 ... n-1\\ \alpha(2)-1 ... \alpha(n)-1 \end{pmatrix}. \end{mult}$$
Следствие 6.8.4.$$\begin{vmatrix} a_{11} a_{12} ... a_{1n}\\ 0 a_{22} ... a_{2n}\\ \hdotsfor{4}\\ 0 a_{n2} ... a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11} A_{11}.$$
Лемма 6.8.5.$$|A| = \begin{vmatrix} a_{11} ... a_{1\,k-1} a_{1k} a_{1\,k+1} ... a_{1n}\\ \hdotsfor{7}\\ 0 ... 0 a_{ik} 0 ... 0\\ \hdotsfor{7}\\ a_{n1} ... a_{n\,k-1} a_{nk} a_{n\,k+1} ... a_{nn} \end{vmatrix} = a_{ik}A_{ik}.$$
Доказательство. Переставляя последовательно i -ю строку (i-1) раз с (i-1) строками, стоящими над ней, а затем переставляя последовательно k -й столбец (k-1) раз с (k-1) столбцами, стоящими левее его, получаем$$\begin{mult}
|A| =
(-1)^{(i-1)+(k-1)}
\begin{vmatrix}
a_{ik} 0 ... 0 0
... 0\\
\hdotsfor{7}\\
a_{1k} a_{11} ... a_{1\,k-1} a_{1\,k+1}
... a_{1n}\\
\hdotsfor{7}\\
a_{nk} a_{n1} ... a_{n\,k-1} a_{n\,k+1}
... a_{nn}
\end{vmatrix} ={}
\\
{} \stackrel{\text{лемма 6.8.3}}}{=
(-1)^{i+k} a_{ik} M_{ik} = a_{ik} A_{ik}.
\end{mult}$$
Теорема 6.8.6 (разложение определителя по i-й строке и по j-му столбцу, 1 <= i, j <= n).$$\begin{alignat*}{2} 1) \quad |A|=a_{i1}A_{i1}+...+a_{in}A_{in}\ \biggl(=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}\biggr);\\ 2) |A|=a_{1j}A_{1j}+...+a_{nj}A_{nj}\ \biggl(=\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}\biggr). \end{alignat*}$$
Доказательство.
(ai1,...,ain)=(ai1,0,...,0)+...+(0,...,0,ain),
то, применяя лемму 6.8.5, получаем$$|A|=\sum_{j=1}^n
\begin{vmatrix} \text{\large * }\\
0 ... 0 a_{ij} 0 ... 0\\
\text{\large * }
\end{vmatrix} =
\sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij}.$$
|A|=|A*|, то разложение по j -й строке для |A*| является разложением по j -му столбцу для |A|.Теорема 6.8.7 (о фальшивом разложении по i-й строке и по j-му столбцу).
aij i -й строки на Akj элементов "чужой" k -й строки при $$i\neq k $$ равна нулю);aij j -го столбца на Aik элементов "чужого" k -го столбца при $$j\neq k $$ равна нулю).Доказательство.
k -й строке определителя, полученного из исходного заменой k -й строки на i -ю и равного 0, поскольку в нем имеется две одинаковые строки, i -я и k -я).|A*|, |A*|=|A|, получаем фальшивое разложение по столбцу для |A|.Пример 6.8.8. Найти определитель$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 2 3\\ 2 3 1\\ 3 1 2 \end{vmatrix}.$$
а) По определению, $$\Delta = 1 \cdot 3 \cdot 2 + 2\cdot 3\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot 3 - 3\cdot 3\cdot 3-1\cdot 1\cdot 1-2\cdot 2\cdot 2=-18$$.
б) Разлагая по первой строке, получаем$$\Delta = 1\cdot \begin{vmatrix} 3 1\\ 1 2 \end{vmatrix} + 2\cdot (-1)\cdot \begin{vmatrix} 2 1\\ 3 2 \end{vmatrix} + 3\cdot \begin{vmatrix} 2 3\\ 3 1 \end{vmatrix} =-18.$$
в) Используя элементарные преобразования строк, имеем$$\begin{pmatrix} 1 2 3\\ 2 3 1\\ 3 1 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 \phm 2 \phm 3\\ 0 -1 -5\\ 3 \phm 1 \phm 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 \phm 2 \phm 3\\ 0 -1 -5\\ 0 -5 -7 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 \phm 2 \phm 3\\ 0 -1 -5\\ 0 \phm 0 \phm 18 \end{pmatrix},$$ и мы пришли к треугольному виду. При этом мы применяли только преобразования 1-го типа, не меняющие определитель. Следовательно, $$\Delta=-18$$.
Пример 6.8.9. Найти определитель$$\Delta = \begin{vmatrix} \phm 2 \phm 5 -3 -2\\ -2 -3 \phm 2 -5\\ \phm 1 \phm 3 -2 \phm 2\\ -1 -6 \phm 4 \phm 3 \end{vmatrix}.$$
Используем элементарные преобразования строк, оставляя неизменной третью строку:$$\Delta\to \begin{vmatrix} \phm 0 -1 \phm 1 -6\\ -2 -3 \phm 2 -5\\ \phm 1 \phm 3 -2 \phm 2\\ -1 -6 \phm 4 \phm 3 \end{vmatrix} \to \begin{vmatrix} \phm 0 -1 \phm 1 -6\\ \phm 0 \phm 3 -2 -1\\ \phm 1 \phm 3 -2 \phm 2\\ -1 -6 \phm 4 \phm 3 \end{vmatrix} \to \begin{vmatrix} 0 -1 \phm 1 -6\\ 0 \phm 3 -2 -1\\ 1 \phm 3 -2 \phm 2\\ 0 -3 \phm 2 \phm 5 \end{vmatrix}.$$
Мы применяли только преобразования 1-го типа, не меняющие определитель. Применяя разложение последнего определителя по первому столбцу, имеем$$\Delta = 1 \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -1 \phm 1 -6\\ \phm 3 -2 -1\\ -3 \phm 2 \phm 5 \end{vmatrix} = -4.$$
Пример 6.8.10 (вычисление определителя n-го порядка с помощью рекуррентного соотношения). Найти определитель$$\Delta_n =
\begin{vmatrix}
9 5 0 0 ... 0 0\\
4 9 5 0 ... 0 0\\
0 4 9 5 ... 0 0\\
\hdotsfor{7}\\
0 0 0 0 ... 4 9
\end{vmatrix}.$$
Разложим определитель по первой строке:$$\Delta_n = 9 \cdot \Delta_{n-1} + (-1)\cdot 5\cdot \Delta =
9\cdot \Delta_{n-1} + (-5) \cdot 4\cdot
\Delta_{n-2}$$
(в соответствующем миноре $$\Delta $$ мы применим разложение по первому столбцу). Если учесть, что $$\Delta_1=9 $$ и $$\Delta_2=61$$, полученная рекуррентная формула позволяет вычислить $$\Delta_n $$ для любого n. Нетрудно убедиться, что $$\Delta_n = 5^{n+1}-4^{n+1} $$ (это можно доказать, например, индукцией по n ).
Задача 6.8.11.Вычислить определители порядка n :
а)$$\begin{vmatrix}
0 ... 0 1\\
0 ... 1 0\\
\vdots \revddots \vdots\\
1 0 ... 0
\end{vmatrix}$$
(все элементы вне побочной диагонали равны 0, а на побочной диагонали стоят 1 ).
б)$$\begin{vmatrix} 1 2 3 ... n-2 n-1 n\\ 2 3 4 ... n-1 n n\\ 3 4 5 ... n n n\\ \hdotsfor{7}\\ n n n ... n n n \end{vmatrix}.$$
Упражнение 6.8.12 (игра в определитель). Играют два участника, расставляя по очереди числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без повторений в качестве элементов матрицы $$3\times 3$$. Один из участников (I) стремится в итоге получить положительный определитель, а другой (II) - отрицательный. Чтобы уравнять шансы, играется две партии: в первой партии первый ход делает участник I, а во второй - участник II. После этих двух партий значения полученных определителей складываются. Если получилось положительное число, то выиграл участник I, если отрицательное число, то выиграл участник II, если нуль, то ничья. Покажите, что сумма всех 9! определителей, возможных в этой игре, равна нулю.
Теорема 6.8.13 (об определителе с углом нулей).$$|C| = \begin{vmatrix} A U\\ 0 B \end{vmatrix} = |A|\,|B|,$$ где $$A\in \mM_n(K)$$, $$U\in\mM_{n,m}(K)$$, $$0\in \mM_{m,n}(K) $$ - нулевая $$(m\times n) $$ -матрица, $$B\in \mM_m(K)$$.
Доказательство. Проведем индукцию по n. Начало индукции n=1 рассмотрено в лемме 6.8.3. Пусть $$n \geq 2 $$ и утверждение верно для всех n'<n. Разложим наш определитель |C| по первому столбцу: |C|=a_{11}C_{11}+...+a_{n1}C_{n1}. Так как по индуктивному предположению для Mi1 $$C_{i1} = (-1)^{i+1}M_{i1}=(-1)^{i+1}M'_{i1}\cdot |B|,$$
где$$M_{i1} =
\begin{vmatrix}
M'_{i1} U'\\
0 B
\end{vmatrix},\quad 1 \leq i \leq n,$$
M'_{i1} - дополняющий минор элемента a_{i1} в матрице A, то$$\begin{mult}
|C| = \sum_{i=1}^{n}a_{i1}C_{i1}=\sum_{i=1}^{n}a_{i1}(-1)^{i+1}M'_{i1}|B|={}\\
{}=\smash[t]{\biggl(\,\sum_{i=1}^{n}a_{i1}A_{i1}\biggr)}|B|=|A|\,|B|.
\end{mult}$$
Следствие 6.8.14. Пусть Ai, $$1 \leq i \leq r$$, - квадратные матрицы. Тогда$$\begin{vmatrix}
A_1
\lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-15pt}\Large 0 }}}\\ A_2\\ \ddots\\
\lefteqn{\raisebox{5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{5pt}\Large 0 }}}
A_r
\end{vmatrix} =
|A_1| \, |A_2| ... |A_r|.$$
Упражнение 6.8.15 (теорема Лапласа). Если M - минор (т. е. k строк с номерами i1,...,ik и k столбцов с номерами j1,...,jk, $$k \geq 1$$, то дополнительный минор $$\bar M $$ определяется как определитель, получаемый вычеркиванием строк i1,...,ik и столбцов j1,...,jk. M определяется следующим образом:$$A(M)=(-1)^{(i_1+...+i_k)+(j_1+...+j_k)}\bar M.$$
Если $$A=(a_{ij})\in\mM_n(K)$$, $$1 \leq k \in N$$, i1,...,ik - зафиксированные номера k строк, то определитель |A| равен сумме всех произведений MA(M), где M пробегает все $$C_n^k $$ миноров, проходящих
через строки с номерами i1,...,ik.
Частными случаями теоремы Лапласа являются теорема о разложении по строке ( k=1 ) и теорема об определителе с углом нулей.
Теорема 6.8.16 (правило Крамера). Для квадратной системы линейных уравнений $$(a_{ij}\mid b_i) $$ с $$(n\times n) $$ -матрицей A=(a_{ij}) имеем:
(k_1,...,k_n) имеет следующий вид для j=1,...,n :$$k_j = \frac{D_j}{D},$$
где$$D=|A|,\quad D_j =
\begin{array}{@{}c@{}}
\displaystyle
\left|
\begin{array}{cc|c|cc}
\cline{3-3}
a_{11} ... b_1 ... a_{1n}\\
\vdots \vdots \vdots\\
a_{n1} ... b_n ... a_{nn}\\
\cline{3-3}
\end{array}\right|\\
\begin{array}{ccccc}
\hphantom{a_{11}} \scriptstyle j \hphantom{a_{1n}}
\end{array}
\end{array} \text{ -}$$
определитель, полученный из определителя |A| путем замены j -го столбца на столбец$$\begin{pmatrix}
b_1\\
\vdots\\
b_n
\end{pmatrix}$$
свободных членов системы.Доказательство.
(aij,bi) является определенной тогда и только тогда, когда ступенчатая матрица$$\bar A =
\begin{pmatrix}
\bar a_{11} \bar a_{12} ... \bar a_{1n}\\
0 \bar a_{22} ... \bar a_{2n}\\
\hdotsfor{4}\\
0 0 ... \bar a_{nn}
\end{pmatrix}$$
треугольная с ненулевыми элементами по диагонали, $$\bar a_{11}\neq 0$$, $$\bar a_{22}\neq 0$$,..., $$\bar a_{nn}\neq 0$$, т. е.$$|A|=(-1)^t |\bar A| = (-1)^t \bar a_{11}... \bar a_{nn}\neq 0.$$
(k1,...,kn) - единственное решение нашей системы,$$\left\{ \begin{array}{@{}l@{}}
a_{11}k_1+...+a_{1j}k_j+...+a_{1n}k_n=b_1,\\
\dotfill\\
a_{n1}k_1+...+a_{nj}k_j+...+a_{nn}k_n=b_n,
\end{array}
\right.$$
то, умножая 1 -е уравнение на A1j, i -е - на Aij, n -е - на Anj и складывая, получаем$$0\cdot k_1+...+Dk_j+...+0\cdot k_n = b_1 A_{1j}+...+b_nA_{nj}=D_j.$$
Итак, Dkj=Dj, $$D\neq 0$$, поэтому $$k_j=\frac{D_j}{D}$$.Второе доказательство утверждения 2). Покажем, что (k1,...,kn), где $$k_j=\frac{D_j}{D}$$, является решением.
Действительно, подставим строчку (k1,...,kn) в i -е уравнение $$\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i :$$$$\begin{mult}
\sum_{j=1}^{n} a_{ij}k_j =
\sum_{j=1}^{n} \frac{a_{ij}D_j}{D} ={}
\\
{}=
\frac{\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\sum\limits_{k=1}^{n}b_kA_{kj}}{D}=
\frac{\sum\limits_{k=1}^{n}b_k%
\Bigl(\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{kj}\Bigr)}{D}=
\frac{b_i D}{D} = b_i.
\end{mult}$$
Мы использовали разложение определителя Dj по j -му столбцу $$D_j=\sum\limits_{k=1}^{n}b_kA_{kj}$$, а также при k=i разложение $$\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=D $$ и при $$k\neq i $$ фальшивое разложение $$\smash[t]{\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{kj}}=0$$.
Из теоремы Крамера можно вывести полезные следствия.
Следствие 6.8.17. Если квадратная система линейных уравнений ( n уравнений с n неизвестными) не имеет решения, то
Доказательство. Если $$|A|=|(a_{ij})|\neq 0$$, то по правилу Крамера система имеет решение.
Следствие 6.8.18. Если квадратная система линейных уравнений ( n уравнений с n неизвестными) имеет более чем одно решение, то
Доказательство. Если $$|A|=|(a_{ij})|\neq 0$$, то по правилу Крамера система имеет единственное решение.
Следствие 6.8.19. Однородная квадратная система линейных уравнений ( n уравнений с n неизвестными) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда
Следствие 6.8.20. Если коэффициенты квадратной системы aij(t) и свободные члены bi(t) являются непрерывными функциями от t, то в силу правила Крамера компоненты kj решения (k1,...,kn) являются рациональными дробями от переменных {aij,bi} с целыми коэффициентами и поэтому являются непрерывными функциями от t в некоторой окрестности точки $$t_0\in R$$, где $$|a_{ij}(t_0)|\neq 0$$.
Задача 6.8.21.Пусть $$A,B,C,D\in\mM_n(K)$$. Тогда$$\begin{alignat*}{2} 1) \quad \begin{vmatrix} A B\\ C D \end{vmatrix} = |A|\,|D| - |B|\,|C|;\\ 2) \begin{vmatrix} A B\\ B A \end{vmatrix} = |A+B|\cdot |A-B|. \end{alignat*}$$
Задача 6.8.22. Показать (разлагая по последнему столбцу), что$$\begin{vmatrix} \phm x \phm 0 0 ... \phm 0 a_0\\ -1 \phm x 0 ... \phm 0 a_1\\ \phm 0 -1 x ... \phm 0 a_2\\ \hdotsfor{6}\\ \phm 0 \phm 0 0 ... \phm x a_{n-1}\\ \phm 0 \phm 0 0 ... -1 a_n \end{vmatrix} = a_0+a_1x+...+a_nx^n.$$
Задача 6.8.23. Пусть f(x)=(c1-x)(c2-x)... (cn-x), $$a\neq b$$. Тогда$$\begin{vmatrix}
c_1 a a ... a\\
b c_2 a ... a\\
b b c_3 ... a\\
\hdotsfor{5}\\
b b b ... c_n
\end{vmatrix} =
\frac{af(b)-bf(a)}{a-b}.$$
Задача 6.8.24. Вычислить определитель порядка n $$\begin{vmatrix}
n 1 ... 1
\\
1 n ... 1
\\
\hdotsfor{4}
\\
1 1 ... n
\end{vmatrix}$$
(элементы на главной диагонали равны n, все остальные элементы равны 1 ).
Ответ (2n-1)(n-1)^{n-1}.
Задача 6.8.25. Доказать (разлагая по строке и получая рекуррентное соотношение), что$$\begin{vmatrix}
a 0 ... 0 b\\
0 a ... b 0\\
\hdotsfor{5}\\
0 b ... a 0\\
b 0 ... 0 a
\end{vmatrix} =
(a^2-b^2)^k,$$
где n=2k - размер матрицы.
Теорема 6.9.1.$$\begin{mult} \nota {V(a_1,...,a_n)} = \begin{vmatrix} 1 a_1 ... a_1^{n-1}\\ 1 a_2 ... a_2^{n-1}\\ \vdots \vdots \vdots\\ 1 a_n ... a_n^{n-1} \end{vmatrix} ={} \\ {}= \prod_{1 \leq j<i \leq n} (a_i-a_j),\quad a_1,...,a_n\in K. \end{mult}$$
Доказательство. Проведем индукцию по n (начало индукции n=2 ). Пусть утверждение верно для n'<n. Тогда, применяя элементарные преобразования столбцов $$\hat A_n-a_1\hat A_{n-1}$$, $$\hat A_{n-1}-a_1\hat A_{n-2}$$,..., $$\hat A_2-a_1\hat A_1 $$ и предположение индукции, получаем$$\begin{align*} V(a_1,...,a_n) =
\begin{vmatrix}
1 a_1 ... a_1^{n-1}\\
1 a_2 ... a_2^{n-1}\\
\vdots \vdots \vdots\\
1 a_n ... a_n^{n-1}
\end{vmatrix} ={}
\\ \quad {}=
\begin{vmatrix}
1 0 ... 0\\
1 (a_2-a_1) ... a_2^{n-2}(a_2-a_1)\\
\vdots \vdots \vdots\\
1 (a_n-a_1) ... a_n^{n-2}(a_n-a_1)
\end{vmatrix} ={}
\\ \quad {}=
\begin{vmatrix}
(a_2-a_1) ... a_2^{n-2}(a_2-a_1)\\
\vdots \vdots\\
(a_n-a_1) ... a_n^{n-2}(a_n-a_1)
\end{vmatrix} ={}
\\ \quad {}= (a_2-a_1)... (a_n-a_1)
\begin{vmatrix}
1 a_2 ... a_2^{n-2}\\
\vdots \vdots \vdots\\
1 a_n ... a_n^{n-2}
\end{vmatrix} ={}
\\ \quad {}= \prod_{k=2}^n (a_k-a_1) V(a_2,...,a_n) ={}
\\ \quad {}= \prod_{k=2}^n (a_k-a_1) \prod_{2 \leq j<i \leq n} (a_i-a_j)=
\prod_{1 \leq j<i \leq n} (a_i-a_j).
\end{align*}$$
Следствие 6.9.2. $$V(a_1,...,a_n)\neq 0 $$ тогда и только тогда, когда $$a_i\neq a_j $$ при $$i\neq j $$ (т. е. когда все элементы a1,a2,...,an различны).
Теорема 6.9.3 (интерполяционная формула Лагранжа).
a1,...,an - различные элементы поля K, b1,...,bn - любые элементы поля K, то существует и единственный многочлен $$f(x)\in K[x] $$ такой, что $$\deg f(x) \leq n-1 $$ и f(ai)=bi для всех $$1 \leq i \leq n $$ (здесь $$\deg f(x) $$ - степень многочлена f(x) ).f(ai)=bi, i=1,...,n, можно находить методом Ньютона в виде$$\begingroup
\setlength{\multlinegap}{0pt}
\begin{mult}
f(x)={}
\\
{}=\lambda_0 +\lambda_1 (x-a_1)+\lambda_2 (x-a_1)(x-a_2)+...+
\lambda_{n-1} \smash[t]{\prod_{i=1}^{n-1} (x-a_i)},
\end{mult}
\endgroup%$$
при этом коэффициенты определяются последовательно: при x=a_1 имеем $$b_1=f(a_1)=\lambda_0$$, т. е. $$\lambda_0=b_1 $$ ; при x=a2 имеем $$b_2=f(a_2)=b_1+\lambda_1(a_2-a_1)$$, т. е. $$\lambda_1=(b_2-b_1)/(a_2-a_1) $$ ;...; при x=an-1 получаем$$b_{n-1}=\lambda_0+\lambda_1(a_{n-1}-a_1)+...+ \lambda_{n-2}\prod\limits_{i=1}^{n-2}(a_{n-1}-a_i)$$
и находим $$\lambda_{n-2} $$ (коэффициент при $$\lambda_{n-2} $$ отличен от нуля); полагая x=an, имеем коэффициент $$\smash[b]{\prod\limits_{i=1}^{n-1}} (a_n-a_i)\neq 0 $$ при $$\lambda_{n-1} $$ в равенстве$$b_n=\lambda_0+\lambda_1(a_n-a_1)+...+ \lambda_{n-1}\prod\limits_{i=1}^{n-1}(a_n-a_i)$$
и находим $$\lambda_{n-1}$$.Доказательство.
f(x)=f0+f1x+...+fn-1xn-1,
где f0,f1,...,fn-1 - неизвестные коэффициенты (элементы поля K ), такой, что$$\begin{align*} f(a_1)=f_0+f_1a_1+...+f_{n-1}a_1^{n-1}=b_1,\\
\quad\vdots\\ f(a_n)=f_0+f_1a_n+...+f_{n-1}a_n^{n-1}=b_n.
\end{align*}$$
Определитель этой системы$$V(a_1,...,a_n)=
\begin{vmatrix}
1 a_1 ... a_1^{n-1} \\ \vdots \vdots \vdots \\
1 a_n ... a_n^{n-1}
\end{vmatrix} =
\prod_{1 \leq j<i \leq n} (a_i-a_j)\neq 0,$$
поскольку все элементы a1,...,an различны. Поэтому такой многочлен f(x) существует (и единственный).f(x) в форме Ньютона удовлетворяет двум условиям:$$\begin{align*} \deg f(x) \leq n-1;\\ f(a_i)=b_i,\quad
i=1,2,...,n.
\end{align*}$$
Упражнение 6.9.4. Пусть $$0 \leq k_1<k_2<...<k_n\in Z$$, $$0<a_1<a_2<...<a_n\in R$$, A=(aij), где $$a_{ij}=a_i^{k_j}$$.Тогда |A|>0.
Упражнение 6.9.5. Пусть $$A=(a_{ij})\in\mM_n( R)$$, где $$a_{ij}=\smash[b]{\frac{1}{a_i+b_j}}$$, $$a_i,b_j\in R$$. Тогда$$|A|=\frac{\prod\limits_{1 \leq i<j \leq n}(a_j-a_i)(b_j-b_i)} {\prod\limits_{i,j=1}^n (a_i+b_j)}.$$
Определение определителя$$|A|=\sum_{\alpha\in S_n} \varepsilon(\alpha) a_{1\alpha(n)}... a_{n\alpha(n)}$$
как суммы n! слагаемых-произведений плохо пригодно для реальных вычислений при больших n. В теоретическом плане важно отметить, что определитель |A| является многочленом от n2 переменных aij, в котором мономы входят с коэффициентами $$\pm 1$$. Отметим лишь одно из следствий этого факта: если aij=aij(x) являются дифференцируемыми функциями от переменной x, то определитель |A| также является дифференцируемой функцией от x, поскольку суммы и произведения дифференцируемых функций являются дифференцируемыми функциями.
Теорема 6.6.1. Пусть от квадратной $$(n\times n) $$ -матрицы A=(aij) элементарными преобразованиями 1-го и 2-го типа ( t преобразований 2-го типа) мы пришли к треугольной матрице$$\bar A = \begin{pmatrix} \bar a_{11}
\raisebox{-10pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-25pt}\LARGE*}}\\
0 \bar a_{22}\\
\vdots \ddots\\
0 \hdotsfor{2} \bar a_{nn}
\end{pmatrix}$$
(все элементы ниже диагонали равны нулю; любая ступенчатая матрица, очевидно, является треугольной). Тогда$$|A| = (-1)^t \bar a_{11}... \bar a_{nn}.$$
Доказательство. Так как |, то$$|A|=(-1)^t |\bar A|= (-1)^t \bar a_{11}... \bar a_{nn}.$$
Теорема 6.7.1 (о единственности функции с базовыми свойствами 1—4 определителя). Пусть функция F, сопоставляющая каждой квадратной $$(n\times n) $$ -матрице $$A\in\mM_n(K) $$ "число" $$F(A)\in K$$, удовлетворяет базовым свойствам {1 4} функции определителя. Тогда F(A)=|A|, т. е. функция определителя |A| однозначно определяется свойствами {1 4}.
Доказательство. Приведем $$(n\times n) $$ -матрицу A к треугольному виду$$\bar A =
\begin{pmatrix}
\bar a_{11}
\raisebox{-10pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-25pt}\LARGE * }}\\
0 \bar a_{22}\\
\vdots \ddots\\
0 \hdotsfor{2} \bar a_{nn}
\end{pmatrix}$$
элементарными преобразованиями строк 1-го и 2-го типа ( t преобразований 2-го типа). Тогда$$F(\bar A)=(-1)^t F(A),$$
следовательно, F(A)=(-1)t F(.
Далее, вынося элемент $$\bar a_{nn} $$ из n -й строки и создавая 0 над ним, получаем$$%\begin{mult} \addtolength{\arraycolsep}{-2pt}
F(\bar A) = \bar a_{nn} F
\begin{pmatrix}
\bar a_{11}
\raisebox{-10pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-45pt}\LARGE * }}\\
\vdots \ddots\\
0 ... \bar a_{n-1\,n-1}\\
0 ... 0 1
\end{pmatrix} =
%{}
%\\
%{}=
\bar a_{nn} F
\begin{pmatrix}
\bar a_{11} 0\\
\vdots \ddots
\raisebox{10pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-0pt}\LARGE * }}
\vdots\\
0 ... \bar a_{n-1\,n-1} 0\\
0 ... 0 1
\end{pmatrix}.
%\end{mult}$$
Продолжая это рассуждение, получаем$$F(\bar A) = \bar a_{11}...
\bar a_{nn}
F
\begin{pmatrix}
1
\lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large 0 }}}\\ \ddots\\
\lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large 0 }}}
1
\end{pmatrix} =
\bar a_{11} ... \bar a_{nn}.$$
Итак, $$F(A)=(-1)^t F(\bar A) = (-1)^t \bar a_{11}... \bar a_{nn} = |A|$$.
Определение 6.8.1 (дополняющие миноры и алгебраические дополнения). Зафиксируем элемент aij квадратной $$(n\times n) $$ -матрицы A=(aij). Вычеркивая в определителе |A| i -ю строку и j -й столбец (проходящие через aij ), получаем определитель Mij матрицы порядка $$(n-1)\times (n-1)$$, называемый дополняющим минором элемента aij. aij называется число Aij=(-1)i+jMij
Замечание 6.8.2. Имеем n2 (дополняющих) миноров Mij.
Лемма 6.8.3.$$\begin{vmatrix} a_{11} 0 ... 0\\ a_{21} a_{22} ... a_{2n}\\ \hdotsfor{4}\\ a_{n1} a_{n2} ... a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} ... a_{2n}\\ \hdotsfor{3}\\ a_{n2} ... a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11} M_{11} = a_{11} A_{11}.$$
Доказательство. Каждый член определителя вида$$a_{11} a_{2\alpha(2)}...a_{n\alpha(n)}$$ (все остальные заведомо равны нулю) входит в правую часть доказываемого равенства, при этом с тем же знаком:$$\begin{mult} \varepsilon \begin{pmatrix} 1 2 ... n\\ 1 = \alpha(1) \alpha(2) ... \alpha(n) \end{pmatrix}={} \\ {}= \varepsilon \begin{pmatrix} 2 ... n\\ \alpha(2) ... \alpha(n) \end{pmatrix} = \varepsilon \begin{pmatrix} 1 ... n-1\\ \alpha(2)-1 ... \alpha(n)-1 \end{pmatrix}. \end{mult}$$
Следствие 6.8.4.$$\begin{vmatrix} a_{11} a_{12} ... a_{1n}\\ 0 a_{22} ... a_{2n}\\ \hdotsfor{4}\\ 0 a_{n2} ... a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11} A_{11}.$$
Лемма 6.8.5.$$|A| = \begin{vmatrix} a_{11} ... a_{1\,k-1} a_{1k} a_{1\,k+1} ... a_{1n}\\ \hdotsfor{7}\\ 0 ... 0 a_{ik} 0 ... 0\\ \hdotsfor{7}\\ a_{n1} ... a_{n\,k-1} a_{nk} a_{n\,k+1} ... a_{nn} \end{vmatrix} = a_{ik}A_{ik}.$$
Доказательство. Переставляя последовательно i -ю строку (i-1) раз с (i-1) строками, стоящими над ней, а затем переставляя последовательно k -й столбец (k-1) раз с (k-1) столбцами, стоящими левее его, получаем$$\begin{mult}
|A| =
(-1)^{(i-1)+(k-1)}
\begin{vmatrix}
a_{ik} 0 ... 0 0
... 0\\
\hdotsfor{7}\\
a_{1k} a_{11} ... a_{1\,k-1} a_{1\,k+1}
... a_{1n}\\
\hdotsfor{7}\\
a_{nk} a_{n1} ... a_{n\,k-1} a_{n\,k+1}
... a_{nn}
\end{vmatrix} ={}
\\
{} \stackrel{\text{лемма 6.8.3}}}{=
(-1)^{i+k} a_{ik} M_{ik} = a_{ik} A_{ik}.
\end{mult}$$
Теорема 6.8.6 (разложение определителя по i-й строке и по j-му столбцу, 1 <= i, j <= n).$$\begin{alignat*}{2} 1) \quad |A|=a_{i1}A_{i1}+...+a_{in}A_{in}\ \biggl(=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}\biggr);\\ 2) |A|=a_{1j}A_{1j}+...+a_{nj}A_{nj}\ \biggl(=\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}\biggr). \end{alignat*}$$
Доказательство.
(ai1,...,ain)=(ai1,0,...,0)+...+(0,...,0,ain),
то, применяя лемму 6.8.5, получаем$$|A|=\sum_{j=1}^n
\begin{vmatrix} \text{\large * }\\
0 ... 0 a_{ij} 0 ... 0\\
\text{\large * }
\end{vmatrix} =
\sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij}.$$
|A|=|A*|, то разложение по j -й строке для |A*| является разложением по j -му столбцу для |A|.Теорема 6.8.7 (о фальшивом разложении по i-й строке и по j-му столбцу).
aij i -й строки на Akj элементов "чужой" k -й строки при $$i\neq k $$ равна нулю);aij j -го столбца на Aik элементов "чужого" k -го столбца при $$j\neq k $$ равна нулю).Доказательство.
k -й строке определителя, полученного из исходного заменой k -й строки на i -ю и равного 0, поскольку в нем имеется две одинаковые строки, i -я и k -я).|A*|, |A*|=|A|, получаем фальшивое разложение по столбцу для |A|.Пример 6.8.8. Найти определитель$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 2 3\\ 2 3 1\\ 3 1 2 \end{vmatrix}.$$
а) По определению, $$\Delta = 1 \cdot 3 \cdot 2 + 2\cdot 3\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot 3 - 3\cdot 3\cdot 3-1\cdot 1\cdot 1-2\cdot 2\cdot 2=-18$$.
б) Разлагая по первой строке, получаем$$\Delta = 1\cdot \begin{vmatrix} 3 1\\ 1 2 \end{vmatrix} + 2\cdot (-1)\cdot \begin{vmatrix} 2 1\\ 3 2 \end{vmatrix} + 3\cdot \begin{vmatrix} 2 3\\ 3 1 \end{vmatrix} =-18.$$
в) Используя элементарные преобразования строк, имеем$$\begin{pmatrix} 1 2 3\\ 2 3 1\\ 3 1 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 \phm 2 \phm 3\\ 0 -1 -5\\ 3 \phm 1 \phm 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 \phm 2 \phm 3\\ 0 -1 -5\\ 0 -5 -7 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 \phm 2 \phm 3\\ 0 -1 -5\\ 0 \phm 0 \phm 18 \end{pmatrix},$$ и мы пришли к треугольному виду. При этом мы применяли только преобразования 1-го типа, не меняющие определитель. Следовательно, $$\Delta=-18$$.
Пример 6.8.9. Найти определитель$$\Delta = \begin{vmatrix} \phm 2 \phm 5 -3 -2\\ -2 -3 \phm 2 -5\\ \phm 1 \phm 3 -2 \phm 2\\ -1 -6 \phm 4 \phm 3 \end{vmatrix}.$$
Используем элементарные преобразования строк, оставляя неизменной третью строку:$$\Delta\to \begin{vmatrix} \phm 0 -1 \phm 1 -6\\ -2 -3 \phm 2 -5\\ \phm 1 \phm 3 -2 \phm 2\\ -1 -6 \phm 4 \phm 3 \end{vmatrix} \to \begin{vmatrix} \phm 0 -1 \phm 1 -6\\ \phm 0 \phm 3 -2 -1\\ \phm 1 \phm 3 -2 \phm 2\\ -1 -6 \phm 4 \phm 3 \end{vmatrix} \to \begin{vmatrix} 0 -1 \phm 1 -6\\ 0 \phm 3 -2 -1\\ 1 \phm 3 -2 \phm 2\\ 0 -3 \phm 2 \phm 5 \end{vmatrix}.$$
Мы применяли только преобразования 1-го типа, не меняющие определитель. Применяя разложение последнего определителя по первому столбцу, имеем$$\Delta = 1 \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -1 \phm 1 -6\\ \phm 3 -2 -1\\ -3 \phm 2 \phm 5 \end{vmatrix} = -4.$$
Пример 6.8.10 (вычисление определителя n-го порядка с помощью рекуррентного соотношения). Найти определитель$$\Delta_n =
\begin{vmatrix}
9 5 0 0 ... 0 0\\
4 9 5 0 ... 0 0\\
0 4 9 5 ... 0 0\\
\hdotsfor{7}\\
0 0 0 0 ... 4 9
\end{vmatrix}.$$
Разложим определитель по первой строке:$$\Delta_n = 9 \cdot \Delta_{n-1} + (-1)\cdot 5\cdot \Delta =
9\cdot \Delta_{n-1} + (-5) \cdot 4\cdot
\Delta_{n-2}$$
(в соответствующем миноре $$\Delta $$ мы применим разложение по первому столбцу). Если учесть, что $$\Delta_1=9 $$ и $$\Delta_2=61$$, полученная рекуррентная формула позволяет вычислить $$\Delta_n $$ для любого n. Нетрудно убедиться, что $$\Delta_n = 5^{n+1}-4^{n+1} $$ (это можно доказать, например, индукцией по n ).
Задача 6.8.11.Вычислить определители порядка n :
а)$$\begin{vmatrix}
0 ... 0 1\\
0 ... 1 0\\
\vdots \revddots \vdots\\
1 0 ... 0
\end{vmatrix}$$
(все элементы вне побочной диагонали равны 0, а на побочной диагонали стоят 1 ).
б)$$\begin{vmatrix} 1 2 3 ... n-2 n-1 n\\ 2 3 4 ... n-1 n n\\ 3 4 5 ... n n n\\ \hdotsfor{7}\\ n n n ... n n n \end{vmatrix}.$$
Упражнение 6.8.12 (игра в определитель). Играют два участника, расставляя по очереди числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без повторений в качестве элементов матрицы $$3\times 3$$. Один из участников (I) стремится в итоге получить положительный определитель, а другой (II) - отрицательный. Чтобы уравнять шансы, играется две партии: в первой партии первый ход делает участник I, а во второй - участник II. После этих двух партий значения полученных определителей складываются. Если получилось положительное число, то выиграл участник I, если отрицательное число, то выиграл участник II, если нуль, то ничья. Покажите, что сумма всех 9! определителей, возможных в этой игре, равна нулю.
Теорема 6.8.13 (об определителе с углом нулей).$$|C| = \begin{vmatrix} A U\\ 0 B \end{vmatrix} = |A|\,|B|,$$ где $$A\in \mM_n(K)$$, $$U\in\mM_{n,m}(K)$$, $$0\in \mM_{m,n}(K) $$ - нулевая $$(m\times n) $$ -матрица, $$B\in \mM_m(K)$$.
Доказательство. Проведем индукцию по n. Начало индукции n=1 рассмотрено в лемме 6.8.3. Пусть $$n \geq 2 $$ и утверждение верно для всех n'<n. Разложим наш определитель |C| по первому столбцу: |C|=a_{11}C_{11}+...+a_{n1}C_{n1}. Так как по индуктивному предположению для Mi1 $$C_{i1} = (-1)^{i+1}M_{i1}=(-1)^{i+1}M'_{i1}\cdot |B|,$$
где$$M_{i1} =
\begin{vmatrix}
M'_{i1} U'\\
0 B
\end{vmatrix},\quad 1 \leq i \leq n,$$
M'_{i1} - дополняющий минор элемента a_{i1} в матрице A, то$$\begin{mult}
|C| = \sum_{i=1}^{n}a_{i1}C_{i1}=\sum_{i=1}^{n}a_{i1}(-1)^{i+1}M'_{i1}|B|={}\\
{}=\smash[t]{\biggl(\,\sum_{i=1}^{n}a_{i1}A_{i1}\biggr)}|B|=|A|\,|B|.
\end{mult}$$
Следствие 6.8.14. Пусть Ai, $$1 \leq i \leq r$$, - квадратные матрицы. Тогда$$\begin{vmatrix}
A_1
\lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-15pt}\Large 0 }}}\\ A_2\\ \ddots\\
\lefteqn{\raisebox{5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{5pt}\Large 0 }}}
A_r
\end{vmatrix} =
|A_1| \, |A_2| ... |A_r|.$$
Упражнение 6.8.15 (теорема Лапласа). Если M - минор (т. е. k строк с номерами i1,...,ik и k столбцов с номерами j1,...,jk, $$k \geq 1$$, то дополнительный минор $$\bar M $$ определяется как определитель, получаемый вычеркиванием строк i1,...,ik и столбцов j1,...,jk. M определяется следующим образом:$$A(M)=(-1)^{(i_1+...+i_k)+(j_1+...+j_k)}\bar M.$$
Если $$A=(a_{ij})\in\mM_n(K)$$, $$1 \leq k \in N$$, i1,...,ik - зафиксированные номера k строк, то определитель |A| равен сумме всех произведений MA(M), где M пробегает все $$C_n^k $$ миноров, проходящих
через строки с номерами i1,...,ik.
Частными случаями теоремы Лапласа являются теорема о разложении по строке ( k=1 ) и теорема об определителе с углом нулей.
Теорема 6.8.16 (правило Крамера). Для квадратной системы линейных уравнений $$(a_{ij}\mid b_i) $$ с $$(n\times n) $$ -матрицей A=(a_{ij}) имеем:
(k_1,...,k_n) имеет следующий вид для j=1,...,n :$$k_j = \frac{D_j}{D},$$
где$$D=|A|,\quad D_j =
\begin{array}{@{}c@{}}
\displaystyle
\left|
\begin{array}{cc|c|cc}
\cline{3-3}
a_{11} ... b_1 ... a_{1n}\\
\vdots \vdots \vdots\\
a_{n1} ... b_n ... a_{nn}\\
\cline{3-3}
\end{array}\right|\\
\begin{array}{ccccc}
\hphantom{a_{11}} \scriptstyle j \hphantom{a_{1n}}
\end{array}
\end{array} \text{ -}$$
определитель, полученный из определителя |A| путем замены j -го столбца на столбец$$\begin{pmatrix}
b_1\\
\vdots\\
b_n
\end{pmatrix}$$
свободных членов системы.Доказательство.
(aij,bi) является определенной тогда и только тогда, когда ступенчатая матрица$$\bar A =
\begin{pmatrix}
\bar a_{11} \bar a_{12} ... \bar a_{1n}\\
0 \bar a_{22} ... \bar a_{2n}\\
\hdotsfor{4}\\
0 0 ... \bar a_{nn}
\end{pmatrix}$$
треугольная с ненулевыми элементами по диагонали, $$\bar a_{11}\neq 0$$, $$\bar a_{22}\neq 0$$,..., $$\bar a_{nn}\neq 0$$, т. е.$$|A|=(-1)^t |\bar A| = (-1)^t \bar a_{11}... \bar a_{nn}\neq 0.$$
(k1,...,kn) - единственное решение нашей системы,$$\left\{ \begin{array}{@{}l@{}}
a_{11}k_1+...+a_{1j}k_j+...+a_{1n}k_n=b_1,\\
\dotfill\\
a_{n1}k_1+...+a_{nj}k_j+...+a_{nn}k_n=b_n,
\end{array}
\right.$$
то, умножая 1 -е уравнение на A1j, i -е - на Aij, n -е - на Anj и складывая, получаем$$0\cdot k_1+...+Dk_j+...+0\cdot k_n = b_1 A_{1j}+...+b_nA_{nj}=D_j.$$
Итак, Dkj=Dj, $$D\neq 0$$, поэтому $$k_j=\frac{D_j}{D}$$.Второе доказательство утверждения 2). Покажем, что (k1,...,kn), где $$k_j=\frac{D_j}{D}$$, является решением.
Действительно, подставим строчку (k1,...,kn) в i -е уравнение $$\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i :$$$$\begin{mult}
\sum_{j=1}^{n} a_{ij}k_j =
\sum_{j=1}^{n} \frac{a_{ij}D_j}{D} ={}
\\
{}=
\frac{\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\sum\limits_{k=1}^{n}b_kA_{kj}}{D}=
\frac{\sum\limits_{k=1}^{n}b_k%
\Bigl(\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{kj}\Bigr)}{D}=
\frac{b_i D}{D} = b_i.
\end{mult}$$
Мы использовали разложение определителя Dj по j -му столбцу $$D_j=\sum\limits_{k=1}^{n}b_kA_{kj}$$, а также при k=i разложение $$\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=D $$ и при $$k\neq i $$ фальшивое разложение $$\smash[t]{\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{kj}}=0$$.
Из теоремы Крамера можно вывести полезные следствия.
Следствие 6.8.17. Если квадратная система линейных уравнений ( n уравнений с n неизвестными) не имеет решения, то
Доказательство. Если $$|A|=|(a_{ij})|\neq 0$$, то по правилу Крамера система имеет решение.
Следствие 6.8.18. Если квадратная система линейных уравнений ( n уравнений с n неизвестными) имеет более чем одно решение, то
Доказательство. Если $$|A|=|(a_{ij})|\neq 0$$, то по правилу Крамера система имеет единственное решение.
Следствие 6.8.19. Однородная квадратная система линейных уравнений ( n уравнений с n неизвестными) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда
Следствие 6.8.20. Если коэффициенты квадратной системы aij(t) и свободные члены bi(t) являются непрерывными функциями от t, то в силу правила Крамера компоненты kj решения (k1,...,kn) являются рациональными дробями от переменных {aij,bi} с целыми коэффициентами и поэтому являются непрерывными функциями от t в некоторой окрестности точки $$t_0\in R$$, где $$|a_{ij}(t_0)|\neq 0$$.
Задача 6.8.21.Пусть $$A,B,C,D\in\mM_n(K)$$. Тогда$$\begin{alignat*}{2} 1) \quad \begin{vmatrix} A B\\ C D \end{vmatrix} = |A|\,|D| - |B|\,|C|;\\ 2) \begin{vmatrix} A B\\ B A \end{vmatrix} = |A+B|\cdot |A-B|. \end{alignat*}$$
Задача 6.8.22. Показать (разлагая по последнему столбцу), что$$\begin{vmatrix} \phm x \phm 0 0 ... \phm 0 a_0\\ -1 \phm x 0 ... \phm 0 a_1\\ \phm 0 -1 x ... \phm 0 a_2\\ \hdotsfor{6}\\ \phm 0 \phm 0 0 ... \phm x a_{n-1}\\ \phm 0 \phm 0 0 ... -1 a_n \end{vmatrix} = a_0+a_1x+...+a_nx^n.$$
Задача 6.8.23. Пусть f(x)=(c1-x)(c2-x)... (cn-x), $$a\neq b$$. Тогда$$\begin{vmatrix}
c_1 a a ... a\\
b c_2 a ... a\\
b b c_3 ... a\\
\hdotsfor{5}\\
b b b ... c_n
\end{vmatrix} =
\frac{af(b)-bf(a)}{a-b}.$$
Задача 6.8.24. Вычислить определитель порядка n $$\begin{vmatrix}
n 1 ... 1
\\
1 n ... 1
\\
\hdotsfor{4}
\\
1 1 ... n
\end{vmatrix}$$
(элементы на главной диагонали равны n, все остальные элементы равны 1 ).
Ответ (2n-1)(n-1)^{n-1}.
Задача 6.8.25. Доказать (разлагая по строке и получая рекуррентное соотношение), что$$\begin{vmatrix}
a 0 ... 0 b\\
0 a ... b 0\\
\hdotsfor{5}\\
0 b ... a 0\\
b 0 ... 0 a
\end{vmatrix} =
(a^2-b^2)^k,$$
где n=2k - размер матрицы.
Теорема 6.9.1.$$\begin{mult} \nota {V(a_1,...,a_n)} = \begin{vmatrix} 1 a_1 ... a_1^{n-1}\\ 1 a_2 ... a_2^{n-1}\\ \vdots \vdots \vdots\\ 1 a_n ... a_n^{n-1} \end{vmatrix} ={} \\ {}= \prod_{1 \leq j<i \leq n} (a_i-a_j),\quad a_1,...,a_n\in K. \end{mult}$$
Доказательство. Проведем индукцию по n (начало индукции n=2 ). Пусть утверждение верно для n'<n. Тогда, применяя элементарные преобразования столбцов $$\hat A_n-a_1\hat A_{n-1}$$, $$\hat A_{n-1}-a_1\hat A_{n-2}$$,..., $$\hat A_2-a_1\hat A_1 $$ и предположение индукции, получаем$$\begin{align*} V(a_1,...,a_n) =
\begin{vmatrix}
1 a_1 ... a_1^{n-1}\\
1 a_2 ... a_2^{n-1}\\
\vdots \vdots \vdots\\
1 a_n ... a_n^{n-1}
\end{vmatrix} ={}
\\ \quad {}=
\begin{vmatrix}
1 0 ... 0\\
1 (a_2-a_1) ... a_2^{n-2}(a_2-a_1)\\
\vdots \vdots \vdots\\
1 (a_n-a_1) ... a_n^{n-2}(a_n-a_1)
\end{vmatrix} ={}
\\ \quad {}=
\begin{vmatrix}
(a_2-a_1) ... a_2^{n-2}(a_2-a_1)\\
\vdots \vdots\\
(a_n-a_1) ... a_n^{n-2}(a_n-a_1)
\end{vmatrix} ={}
\\ \quad {}= (a_2-a_1)... (a_n-a_1)
\begin{vmatrix}
1 a_2 ... a_2^{n-2}\\
\vdots \vdots \vdots\\
1 a_n ... a_n^{n-2}
\end{vmatrix} ={}
\\ \quad {}= \prod_{k=2}^n (a_k-a_1) V(a_2,...,a_n) ={}
\\ \quad {}= \prod_{k=2}^n (a_k-a_1) \prod_{2 \leq j<i \leq n} (a_i-a_j)=
\prod_{1 \leq j<i \leq n} (a_i-a_j).
\end{align*}$$
Следствие 6.9.2. $$V(a_1,...,a_n)\neq 0 $$ тогда и только тогда, когда $$a_i\neq a_j $$ при $$i\neq j $$ (т. е. когда все элементы a1,a2,...,an различны).
Теорема 6.9.3 (интерполяционная формула Лагранжа).
a1,...,an - различные элементы поля K, b1,...,bn - любые элементы поля K, то существует и единственный многочлен $$f(x)\in K[x] $$ такой, что $$\deg f(x) \leq n-1 $$ и f(ai)=bi для всех $$1 \leq i \leq n $$ (здесь $$\deg f(x) $$ - степень многочлена f(x) ).f(ai)=bi, i=1,...,n, можно находить методом Ньютона в виде$$\begingroup
\setlength{\multlinegap}{0pt}
\begin{mult}
f(x)={}
\\
{}=\lambda_0 +\lambda_1 (x-a_1)+\lambda_2 (x-a_1)(x-a_2)+...+
\lambda_{n-1} \smash[t]{\prod_{i=1}^{n-1} (x-a_i)},
\end{mult}
\endgroup%$$
при этом коэффициенты определяются последовательно: при x=a_1 имеем $$b_1=f(a_1)=\lambda_0$$, т. е. $$\lambda_0=b_1 $$ ; при x=a2 имеем $$b_2=f(a_2)=b_1+\lambda_1(a_2-a_1)$$, т. е. $$\lambda_1=(b_2-b_1)/(a_2-a_1) $$ ;...; при x=an-1 получаем$$b_{n-1}=\lambda_0+\lambda_1(a_{n-1}-a_1)+...+ \lambda_{n-2}\prod\limits_{i=1}^{n-2}(a_{n-1}-a_i)$$
и находим $$\lambda_{n-2} $$ (коэффициент при $$\lambda_{n-2} $$ отличен от нуля); полагая x=an, имеем коэффициент $$\smash[b]{\prod\limits_{i=1}^{n-1}} (a_n-a_i)\neq 0 $$ при $$\lambda_{n-1} $$ в равенстве$$b_n=\lambda_0+\lambda_1(a_n-a_1)+...+ \lambda_{n-1}\prod\limits_{i=1}^{n-1}(a_n-a_i)$$
и находим $$\lambda_{n-1}$$.Доказательство.
f(x)=f0+f1x+...+fn-1xn-1,
где f0,f1,...,fn-1 - неизвестные коэффициенты (элементы поля K ), такой, что$$\begin{align*} f(a_1)=f_0+f_1a_1+...+f_{n-1}a_1^{n-1}=b_1,\\
\quad\vdots\\ f(a_n)=f_0+f_1a_n+...+f_{n-1}a_n^{n-1}=b_n.
\end{align*}$$
Определитель этой системы$$V(a_1,...,a_n)=
\begin{vmatrix}
1 a_1 ... a_1^{n-1} \\ \vdots \vdots \vdots \\
1 a_n ... a_n^{n-1}
\end{vmatrix} =
\prod_{1 \leq j<i \leq n} (a_i-a_j)\neq 0,$$
поскольку все элементы a1,...,an различны. Поэтому такой многочлен f(x) существует (и единственный).f(x) в форме Ньютона удовлетворяет двум условиям:$$\begin{align*} \deg f(x) \leq n-1;\\ f(a_i)=b_i,\quad
i=1,2,...,n.
\end{align*}$$
Упражнение 6.9.4. Пусть $$0 \leq k_1<k_2<...<k_n\in Z$$, $$0<a_1<a_2<...<a_n\in R$$, A=(aij), где $$a_{ij}=a_i^{k_j}$$.Тогда |A|>0.
Упражнение 6.9.5. Пусть $$A=(a_{ij})\in\mM_n( R)$$, где $$a_{ij}=\smash[b]{\frac{1}{a_i+b_j}}$$, $$a_i,b_j\in R$$. Тогда$$|A|=\frac{\prod\limits_{1 \leq i<j \leq n}(a_j-a_i)(b_j-b_i)} {\prod\limits_{i,j=1}^n (a_i+b_j)}.$$
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.