Определители и их свойства

Определители малых порядков

Рассматривая систему линейных уравнений

$$\left\{ \begin{array}{@{}l@{}} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2, \end{array} \right.$$

для вычисления x1 умножим первое уравнение на a22, второе уравнение на -a12 и сложим их. Получим (a11a22-a12a21)x1=b1a22-b2a12. Аналогично, для вычисления x2 умножим первое уравнение на -a21, второе уравнение на a11 и сложим их. Получим (a11a22-a12a21)x2=a11b2-a21b1. Если мы определителем $$(2\times 2) $$ -матрицы

$$\begin{pmatrix} a_{11} a_{12}\\ a_{21} a_{22} \end{pmatrix}$$

назовем число

$$\begin{vmatrix} a_{11} a_{12}\\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21},$$

то в этом частном случае мы получим следующее утверждение (правило Крамера для n=2 ): если определитель квадратной системы отличен от нуля, т. е.

$$\begin{vmatrix} a_{11} a_{12}\\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0,$$

то система является определенной и для ее единственного решения справедливы формулы

$$x_1 = \frac{\begin{vmatrix} b_1 a_{12}\\ b_2 a_{22} \end{vmatrix}}% {\begin{vmatrix} a_{11} a_{12}\\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix}},\quad x_2=\frac{\begin{vmatrix} a_{11} b_1\\ a_{21} b_2 \end{vmatrix}}% {\begin{vmatrix} a_{11} a_{12}\\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix}}.$$

Непосредственная проверка показывает, что (x1,x2) - решение.

Упражнение 6.1.1. Проделать аналогичную процедуру в случае n=3.

Замечание 6.1.2. Очевидно, что определители второго порядка обладают следующими свойствами:

$$\begin{alignat*}{2} 1) \quad \begin{vmatrix} 1 0\\ 0 1 \end{vmatrix} = 1; \\[0.5\baselineskip] 2) \begin{vmatrix} a_{11} a_{12}\\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a_{21} a_{22}\\ a_{11} a_{12} \end{vmatrix}; \\[0.5\baselineskip] 3) \begin{vmatrix} ca_{11} ca_{12}\\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix} = c \begin{vmatrix} a_{11} a_{12}\\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix}, \intertext{аналогично для второй строки;} 4) \text{если } (a_{11},a_{12}) = (b_1,b_2)+(c_1,c_2), \text{ то} \\ \begin{vmatrix} a_{11} a_{12}\\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b_1 b_2\\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} c_1 c_2\\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix}, \intertext{аналогично для второй строки;} 5) \begin{vmatrix} a_{11} a_{12}\\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} a_{21}\\ a_{12} a_{22} \end{vmatrix}. \end{alignat*}$$

Наша ближайшая цель - построить общую теорию определителей квадратных $$(n\times n) $$ -матриц и привести многочисленные приложения определителей, в частности в системах линейных уравнений.

Отметим, что на начальном периоде теория определителей формировалась параллельно с аксиоматической теорией площадей и объемов. Например, в декартовой системе координат на плоскости определитель$$\begin{vmatrix} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix}$$ равен (ориентированной) площади параллелограмма, построенного на векторах (a11,a12) и (a21,a22).

Определители квадратных n x n -матриц

Пусть$$A = \begin{pmatrix} a_{11} ... a_{1n}\\ \hdotsfor{3}\\ a_{n1} ... a_{nn} \end{pmatrix} \in \mM_n(K) \text{ - }$$ квадратная $$(n\times n) $$ -матрица, $$a_{ij}\in K$$, где K - любое поле (например, K= R ).

При n=1 : $$|a|=a\in K$$.

При n=2 мы имеем$$\begin{vmatrix} a_{11} a_{12}\\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21},$$ т. е. определитель $$(2\times 2) $$ -матрицы является суммой двух слагаемых, каждое из которых является произведением элементов матрицы, взятых по одному (и только одному) из каждой строки (столбца), при этом знак определяется четностью соответствующей подстановки индексов:$$\begin{alignat*}{2} +a_{11}a_{22}, \quad \begin{pmatrix} 1 2\\ 1 2 \end{pmatrix} \text{ - четная подстановка};\\ -a_{12}a_{21}, \begin{pmatrix} 1 2\\ 2 1 \end{pmatrix} \text{ - нечетная подстановка}. \end{alignat*}$$

С этой "подсказкой" определим определитель квадратной матрицы A как$$|A|=\sum_{\alpha\in S_n} \varepsilon(\alpha) a_{1\alpha(1)}... a_{n\alpha(n)},$$ т. е. как сумму всех произведений элементов матрицы A, взятых по одному (и только одному) из каждой строки и каждого столбца ( $$a_{1\alpha(1)} $$ - из 1 -й строки и $$\alpha(1) $$ -го столбца; $$a_{n\alpha(n)} $$ - из n -й строки и $$\alpha(n) $$ -го столбца), т. е. тех произведений, индексы которых дают подстановку $$\alpha\in S_n$$, при этом эти произведения берутся со знаком + ( $$\varepsilon(\alpha)=1$$ ), если подстановка $$\alpha $$ четная, и со знаком - ( $$\varepsilon(\alpha)=-1$$ ), если подстановка $$\alpha $$ нечетная.

Упражнение 6.2.1. Если n=3, $$A=(a_{ij})\in\mM_3(K)$$, то$$\begin{mult} |A|=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{13}a_{21}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31}-{} \\ {}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}. \end{mult}$$

Мнемоническое правило: три произведениявходят со знаком + ; три произведения

входят со знаком -.

Упражнение 6.2.2. При n=3, $$A=(a_{ij})\in\mM_3( R) $$ в декартовой системе координат в R3 определитель |A| матрицы A равен ориентированному объему параллелепипеда, построенного на векторах (a11,a12,a13), (a21,a22,a23) и (a31,a32,a33).

Упражнение 6.2.3. Если $$A=(a_{ij})\in \mM_3( R)$$, то все шесть слагаемых в разложении определителя третьего порядка |A| одновременно не могут быть положительны.

Свойства определителя. Базовые свойства 1-4

Свойство 1. Если$$E_n= \begin{pmatrix} 1 0 ... 0\\ 0 1 ... 0\\ \hdotsfor{4}\\ 0 0 ... 1 \end{pmatrix},$$ то |E|=1.

Доказательство. следует из следующего утверждения.

Лемма 6.3.1.$$\begin{pmatrix} a_{11} a_{12} ... a_{1n}\\ 0 a_{22} ... a_{2n}\\ \hdotsfor{4}\\ 0 0 ... a_{nn} \end{pmatrix} = a_{11}a_{22}... a_{nn}.$$

Доказательство. Следует рассмотреть только те произведения, входящие в определитель, которые из первого столбца содержат сомножителем a11 (остальные равны нулю). Вхождение сомножителя a11 занимает первую строку и первый столбец. Из второго столбца (при уже занятой первой строчке) остается включить в произведение a22 (остальные произведения равны нулю). Повторяя это рассуждение, приходим к произведению a11a22... ann (остальные из n! произведений все равны нулю).

Так как подстановка$$\begin{pmatrix} 1 2 ... n\\ 1 2 ... n \end{pmatrix}$$ четная, то это произведение входит со знаком +.

Следствие 6.3.2.$$\begin{pmatrix} a_{11} a_{12} ... a_{1n}\\ 0 a_{22} ... a_{2n}\\ \hdotsfor{4}\\ 0 0 ... a_{nn} \end{pmatrix} \neq 0$$ тогда и только тогда, когда все $$a_{ii}\neq 0$$, $$1 \leq i \leq n$$.

Задача 6.3.3. Чему равен определитель$$\begin{pmatrix} a_{11} ... a_{1\,n-1} a_{1n}\\ a_{21} ... a_{2\,n-1} 0\\ \hdotsfor{4}\\ a_{n1} ... 0 0 \end{pmatrix}$$ (т. е. чему равен определитель, в котором все элементы ниже побочной диагонали равны нулю)?

Свойство 2. При перестановке двух строк Ai и Aj, $$i\neq j$$, матрицы A определитель меняет знак ( |A'|=-|A|, где A' - матрица, полученная из матрицы A перестановкой двух строк).

Доказательство. Произведение $$\varepsilon(\alpha)a_{1\alpha(1)}... a_{n\alpha(n)} $$ из |A| входит также в |A'|, при этом новая подстановка индексов $$\alpha' $$ отличается от $$\alpha $$ одной транспозицией i и j в верхней строке (номера строк), таким образом, в $$\alpha' $$ имеем$$\begin{pmatrix} i\\ \alpha(j) \end{pmatrix} \text{ вместо } \begin{pmatrix} j\\ \alpha(j) \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} j\\ \alpha(i) \end{pmatrix} \text{ вместо } \begin{pmatrix} i\\ \alpha(i) \end{pmatrix},$$ поэтому $$\varepsilon(\alpha')=-\varepsilon(\alpha)$$.

Свойство 3. Если A'i = cAi (т. е. i -я строка матрицы A умножена на число c ), то |A'|=c|A|.

Доказательство. В каждое произведение, входящее в |A'|, из i -й строки входит только один сомножитель $$ca_{i\alpha(i)}$$, таким образом, |A'|=c|A|.

Упражнение 6.3.4. Если $$A\in\mM_n(K)$$, то |c A| = cn |A|.

Свойство 4. Если Ai=(ai1,...,ain)=(b1,...,bn)+(c1,...,cn)=B+C (т. е. i -я строка в матрице A представлена суммой двух строк), то |A| равен сумме двух определителей |A'|+|A''| матриц A' и A'', в которых вместо i -й строки Ai в A стоят соответственно строки B и C.

Доказательство. В каждое произведение$$\varepsilon(\alpha)a_{1\alpha(1)}... a_{n\alpha(n)}$$ входит из i -й строки Ai только один сомножитель$$a_{i\alpha(i)}=b_{\alpha(i)}+c_{\alpha(i)}.$$ Таким образом,$$\begin{align*} |A| = \sum_{\alpha\in S_n} \varepsilon(\alpha) a_{1\alpha(1)}... a_{i\alpha(i)}... a_{n\alpha(n)} ={} \\ \quad {}= \sum_{\alpha\in S_n} \varepsilon(\alpha) a_{1\alpha(1)}... (b_{\alpha(i)}+c_{\alpha(i)}) ... a_{n\alpha(n)} ={} \\ \quad {}= \sum_{\alpha\in S_n} \varepsilon(\alpha) a_{1\alpha(1)}... b_{\alpha(i)} ... a_{n\alpha(n)} +{} \\ \quad {}+ \sum_{\alpha\in S_n} \varepsilon(\alpha) a_{1\alpha(1)}... c_{\alpha(i)} ... a_{n\alpha(n)} ={} \\ \quad {}= |A'| + |A''|. \end{align*}$$

Вывод следствий из свойств 1-4

Нам удобно следующие далее свойства выводить из "базовых" свойств 1 4.

Свойство 5. Если Ai=(0,...,0), то |A|=0.

Так как $$A_i=0\cdot A_i$$, то $$|A|=0\cdot |A|=0$$.

Свойство 6. Пусть K= R (или K - любое поле).Если $$i\neq j $$ и Ai=Aj, то |A|=0.

Сначала приведем доказательство для случая K= R (или для поля K, $$\text{char} K \neq 2 :$$ из 2a=0 следует a=0 ). Действительно, переставляя строки Ai и Aj, получаем |A|=-|A|, 2|A|=0, и поэтому |A|=0.

Приведем общее доказательство в случае любого поля K при $$n \geq 2$$. Пусть i<j. Для каждой подстановки $$\alpha$$, участвующей в выражении определителя$$\sum_{\alpha\in S_n} \varepsilon(\alpha) a_{1\alpha(1)}... a_{i\alpha(i)}... a_{j\alpha(j)}... a_{n\alpha(n)},$$ рассмотрим подстановку$$\alpha'= \begin{pmatrix} 1 ... i ... j ... n\\ \alpha(1) ... \alpha(j) ... \alpha(i) ... \alpha(n) \end{pmatrix} = (\alpha(i) \alpha(j)) \alpha,$$ полученную из $$\alpha $$ переменой местами чисел $$\alpha(i) $$ и $$\alpha(j) $$ в нижней строке канонической записи. Ясно, что $$\varepsilon(\alpha')=-\varepsilon(\alpha)$$. Так как Ai=Aj, то aik=ajk для k=1,...,n, $$a_{i\alpha(j)}=a_{j\alpha(j)}$$, $$a_{j\alpha(i)}=a_{i\alpha(i)}$$. Поэтому$$\varepsilon(\alpha)a_{1\alpha(1)}... a_{n\alpha(n)}= -\varepsilon(\alpha')a_{1\alpha'(1)}... a_{n\alpha'(n)}.$$

Если $$\tau=(\alpha(i) \alpha(j))\in S_n$$, то $$\tau^2 = 1 $$ и отношение $$\alpha\sim\beta $$ для $$\alpha,\beta\in S_n$$, где $$\alpha\sim\beta $$ означает, что $$\alpha=\beta $$ или $$\alpha=\tau\beta$$, является отношением эквивалентности. Действительно,

$$\begin{alignat*}{2} \text{а)} \alpha\sim\alpha;\\ \text{б)} \alpha\sim\beta \Longrightarrow \beta\sim\alpha\\ \intertext{(если \alpha=\beta, \text { это очевидно; } если\ \alpha=\tau\beta, то\ \beta=\tau\alpha,\text{ так как } \tau^2=1);} \text{в)} \alpha\sim\beta,\ \beta\sim\gamma \Longrightarrow \alpha\sim\gamma \end{alignat*}$$

(имеем четыре случая

$$\alpha=\beta$$, $$\beta=\gamma$$, поэтому $$\alpha=\gamma $$ ;

$$\alpha=\tau\beta$$, $$\beta=\gamma$$, поэтому $$\alpha=\tau\gamma $$ ;

$$\alpha=\beta$$, $$\beta=\tau\gamma$$, поэтому $$\alpha=\tau\gamma $$ ;

$$\alpha=\tau\beta$$, $$\beta=\tau\gamma$$, поэтому $$\alpha=\tau^2\gamma=\gamma $$ ; и поэтому $$\alpha\sim\gamma$$ ).

Таким образом, разбиение на классы эквивалентных элементов приводит к разбиению на непересекающиеся классы $$\{\alpha,\ \alpha'=\tau\alpha\}$$. При $$n \geq 2 $$ сумма n! четного числа слагаемых разбивается на суммы пар слагаемых по подстановке $$\alpha $$ и по подстановке $$\alpha'$$, равные нулю, поскольку эти два слагаемые отличаются знаком.

Свойство 7. Если от квадратной матрицы A переходим к матрице A' с помощью элементарного преобразования 1-го типа A'i=Ai+cAj, $$i\neq j$$, $$c\in K$$, то |A'|=|A|.

Действительно, разлагая определитель |A'| в сумму двух определителей (по i -й строке), мы получаем |A| и нулевой определитель, в котором после вынесения из i -й строки числа c имеем две одинаковые строки ( Aj на месте i -й строки и Aj на своем j -м месте).

Линейная комбинация строк в линейном пространстве строк K^n

Если$$a_1=(a_{11},...,a_{1n}),..., a_r=(a_{r1},...,a_{rn})\in K^n$$ и$$k_1,...,k_r\in K,$$ то можно образовать линейную комбинацию строк$$\sum_{i=1}^r k_ia_i=k_1a_1+...+k_ra_r= \biggl(\,\sum_{i=1}^r k_ia_{i1},...,\sum_{i=1}^r k_ia_{in}\biggr) \in K^n,$$ здесь на j -м месте стоит элемент$$\sum_{i=1}^{r} k_i a_{ij}.$$

Свойство 8. Если найдется строка Ai, являющаяся линейной комбинацией остальных строк квадратной матрицы A, то |A|=0.

Действительно, если$$A_i=\sum_{\substack{l=1\\l\neq i}}^{n} k_l A_l,$$ то, разлагая определитель |A| в сумму (n-1) определителей и вынося в каждом из слагаемых-определителей из l -й строки число kl, получаем определители с двумя одинаковыми строчками (на месте i -й строки стоит строка Aj, на месте j -й строки стоит строка Aj ).

Определение 6.5.1. Если A=(aij) - квадратная $$(n\times n) $$ -матрица, то $$(n\times n) $$ -матрица A*=(bij), bij=aji, называется матрицей, полученной транспонированием из матрицы A (т. е. симметрией относительно диагонали).

Теорема 6.5.2. |A*|=|A| (определитель квадратной матрицы не меняется при транспонировании).

Доказательство. Каждый член $$a_{1\alpha(1)}...a_{n\alpha(n)} $$ определителя$$|A|=\sum_{\alpha\in S_n} \varepsilon(\alpha)a_{1\alpha(1)}... a_{n\alpha(n)}$$ входит в определитель |A*| транспонированной матрицы A*, при этом со знаком, определяемым подстановкой$$\alpha'= \begin{pmatrix} \alpha(1) ... \alpha(n)\\ 1 ... n \end{pmatrix}.$$ Так как $$\varepsilon(\alpha)=\varepsilon(\alpha')$$, то в итоге мы имеем |A*|=|A|.

Следствие 6.5.3. Свойства 1-8 выполняются и для столбцов определителя |A| квадратной $$(n\times n) $$ -матрицы A.

Действительно, при переходе от матрицы A к транспонированной матрице A* строки превращаются в столбцы, а столбцы - в строки. Преобразования строк транспонированной матрицы A* соответствуют преобразованиям столбцов матрицы A.