Рассмотрим линейные пространства столбцов над полем K (например, над полем R действительных чисел)$$\begin{align*} U=\hat K^n =
\left\{\left.X=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\right|
x_i\in K\right\},\\[3mm] V=\hat K^m =
\left\{\left.Y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_m\end{pmatrix}\right|
y_i\in K\right\}.
\end{align*}$$
Каждая $$(m\times n)$$ -матрица F=(fij), $$f_{ij}\in K$$, задает отображение $$f: U\to V$$,$$f(X)=Y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_m\end{pmatrix}$$
для всех$$\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=X\in U=\hat K^n,$$
где$$\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} y_1 {}={} f_{11}x_1 {}+...+{} f_{1n}x_n,\\
\vdots \vdots \vdots\\
y_m {}={} f_{m1}x_1 {}+...+{} f_{mn}x_n.
\end{array}$$
Теорема 7.0.6. Отображение$$f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m,$$
задаваемое прямоугольной $$(m\times n)$$ -матрицей F=(fij), обладает следующими свойствами:
f(X+X')=f(X)+f(X') для всех $$X,X'\in U $$ \textup;f(cX)=cf(X) для всех $$c\in K$$, $$X\in U$$.Доказательство. Для$$X=
\begin{pmatrix}
x_1\\\vdots\\x_n
\end{pmatrix},\ \
X'=
\begin{pmatrix}
x'_1\\\vdots\\x'_n
\end{pmatrix},\quad
c\in K$$
имеем$$X+X'=
\begin{pmatrix}
x_1+x'_1\\\vdots\\x_n+x'_n
\end{pmatrix},\quad
cX=\begin{pmatrix}cx_1\\\vdots\\cx_n\end{pmatrix}.$$
Применяя отображение f, определяемое прямоугольной матрицей F=(fij), к X+X' и cX, соответственно получаем f(X+X')=f(X)+f(X'), f(cX)=cf(X).
Замечание 7.0.7. Отображение $$f: U\to V $$ из одного линейного пространства U в другое линейное пространство V, удовлетворяющее свойствам
f(X+X')=f(X)+f(X') для всех $$X,X'\in U$$,f(cX)=cf(X) для всех $$c\in K$$, $$X\in U$$,называется линейным отображением (преобразованием). Тем самым мы показали, что отображение, задаваемое прямоугольной $$(m\times n)$$ -матрицей F=(fij), определяет линейное преобразование соответствующих линейных пространств столбцов:$$f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m.$$
Пример 7.0.8. Если m=1, то имеем линейную функцию y=f1x1+...+fmxn
из $$U=\hat K^n $$ в $$\hat K^1=K$$.
Пример 7.0.9. Поворот плоскости вокруг точки (0,0) на угол $$\alpha $$ является линейным отображением $$f: \hat R^2\to\hat R^2$$, задаваемым матрицей поворота$$\begin{pmatrix}
\cos\alpha -\sin\alpha\\
\sin\alpha \phm \cos\alpha
\end{pmatrix}.$$
Теорема 7.0.10 (об однозначной определяемости матрицы, задающей линейное отображение столбцов). Пусть$$f: U=\hat K^n \to V=\hat K^m,\ \ g: U=\hat K^n \to V=\hat K^m \text{ -}$$
два линейных отображения, задаваемых $$(m\times n)$$ -матрицами F=(fij) и G=(gij) соответственно. Тогда f=g в том и только в том случае, когда F=G (т. е. fij=gij для всех i, j ).
Доказательство.
F=G, то ясно, что f=g.f=g. Рассмотрим$$e_j=
\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
1\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix},$$
где 1 стоит в j -й строке, а остальные элементы равны нулю. Тогда$$\begin{pmatrix}
f_{1j}\\
\vdots\\
f_{ij}\\
\vdots\\
f_{mj}
\end{pmatrix} = f(e_j) = g(e_j) =
\begin{pmatrix}
g_{1j}\\
\vdots\\
g_{ij}\\
\vdots\\
g_{mj}
\end{pmatrix},$$
поэтому для любого i имеем fij=gij, т. е. F=(fij)=(gij)=G.Теорема 7.0.11 (о задании любого линейного отображения линейных пространств столбцов матрицей). Пусть$$f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m \text{ -}$$ линейное отображение линейных пространств столбцов, т. е.
f(X+X')=f(X)+f(X') для всех $$X,X'\in U$$,f(cX)=cf(X) для всех $$c\in K$$, $$X\in U$$.Тогда найдется (и единственная) $$(m\times n)$$ -матрица F=(fij) такая, что определяемое с ее помощью линейное отображение совпадает с линейным отображением f.
Доказательство. Пусть$$e_j =
\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
1\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\vphantom{0}\\
\vphantom{\vdots}\\
\scriptstyle \kern-3mm -\;j\\
\vphantom{\vdots}\\
\vphantom{0}
\end{matrix}\;,\quad
f(e_j) =
\begin{pmatrix}
f_{1j}\\
\vdots\\
f_{ij}\\
\vdots\\
f_{mj}
\end{pmatrix} \in V = \hat K^m,\ \ f_{ij}\in
K.$$
Получили $$(m\times n)$$ -матрицу F=(fij).
Для любого$$X=
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix} \in U = \hat
K^n$$
имеем X=x_1e_1+...+x_ne_n.
Тогда$$\begin{mult}
\smash[b]{\begin{pmatrix}
y_1\\
\vdots\\
y_m
\end{pmatrix}} = f(X) =
x_1f(e_1)+...+x_nf(e_n)={}
\\
{}=
x_1
\begin{pmatrix}
f_{11}\\
\vdots\\
f_{m1}
\end{pmatrix} +... +
x_n
\begin{pmatrix}
f_{1n}\\
\vdots\\
f_{mn}
\end{pmatrix},
\end{mult}$$
т. е.$$\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c}
y_1 {}={} f_{11}x_1 {}+...+{} f_{1n}x_n,\\
\vdots \vdots \vdots\\
y_m {}={} f_{m1}x_1 {}+...+{} f_{mn}x_n.
\end{array}$$
Итак, линейное отображение f задается $$(m\times n)$$ -матрицей F=(fij).
Как мы показали, матрица F=(fij) определена однозначно.
Теорема 7.1.1. Если U, V, W - линейные пространства над полем K,$$U \stackrel{f}{\to} V \stackrel{g}{\to} W,$$
f и g - линейные отображения линейных пространств, то их произведение$$h=gf: U\to W$$
является линейным отображением.
Доказательство. Пусть $$u,u_1,u_2\in {}_KU $$ и $$\lambda\in K$$. Тогда$$\begin{align*} h(u_1+u_2) = (gf)(u_1+u_2) = g(f(u_1+u_2)) ={} \\ \quad {}=g(f(u_1)+f(u_2)) = g(f(u_1)) + g(f(u_2))= h(u_1)+h(u_2);\\ h(\lambda u) = (gf)(\lambda u) = g(f(\lambda u)) = g(\lambda f(u)) = \lambda (g(f(u))) = \lambda h(u). \end{align*}$$
Если $$U=\hat K^n$$, $$V=\hat K^m$$, $$W=\hat K^r$$ - пространства столбцов над полем K, линейное отображение $$f: \hat K^n\to \hat K^m $$ задается $$(m\times n)$$ -матрицей F=(fij), линейное отображение $$g: \hat K^m\to \hat K^r $$ задается $$(r\times m)$$ -матрицей G=(gij), то вычислим однозначно определенную матрицу линейного отображения $$h=gf: \hat K^n\to\hat K^r$$.
Пусть$$\begin{gathe}
X=
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix} \in \hat K^n,\\
Y=
\begin{pmatrix}
y_1\\
\vdots\\
y_m
\end{pmatrix} = f(X) \in \hat K^m,\quad
Z=
\begin{pmatrix}
z_1\\
\vdots\\
z_r
\end{pmatrix} = g(Y) \in \hat K^r.
\end{gathe}$$
Тогда для $$1 \leq k \leq r $$$$\begin{mult}
z_k=\sum_{i=1}^{m}g_{ki}y_i =
\sum_{i=1}^{m} g_{ki}\biggl(\,\sum_{l=1}^{n}f_{il}x_l\biggr)=
\sum_{i=1}^{m}\sum_{l=1}^{n}g_{ki}f_{il}x_l={}
\\
{}\stackrel{(*)}{=} \sum_{l=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}g_{ki}f_{il}x_l=
\sum_{l=1}^{n}\biggl(\,\sum_{i=1}^{m}g_{ki}f_{il}\biggr)x_l=
\sum_{l=1}^{n}h_{kl}x_l,
\end{mult}$$
где$$h_{kl}=\sum_{i=1}^{m}g_{ki}f_{il}=g_{k1}f_{1l}+...+g_{km}f_{ml},$$
т. е. матрицей линейного отображения h=gf является $$(r\times n)$$ -матрица H=(hkl).
Замечание (*). Использованное в доказательстве равенство$$\sum_{i=1}^{m}\biggl(\,\sum_{l=1}^{n}\gamma_{il}\biggr)= \sum_{l=1}^{n}\biggl(\,\sum_{i=1}^{m}\gamma_{il}\biggr)$$ означает разный порядок суммирования элементов прямоугольной $$(m\times n)$$ -матрицы $$(\gamma_{il})\in M_{m,n}(K)$$.
Это вычисление приводит нас к следующему определению произведения согласованных по размеру матриц.
Определение 7.2.1. m строки матрицы G совпадает с длиной m столбца матрицы F ). Тогда определим H=GF как $$(r\times n)$$ -матрицу H=(hkl), где$$h_{kl}=\sum_{i=1}^{m}g_{ki}f_{il}= g_{k1}f_{1l}+...+g_{km}f_{ml}.$$
Таким образом, нами фактически доказана
Теорема 7.2.2. Для диаграммы$$\hat K^n \stackrel{f}{\to} \hat K^m \stackrel{g}{\to} \hat K^r$$
с линейными отображениями, задаваемыми матрицами $$F\=(f_{ij})\in M_{m,n}(K) $$ и $$G=(g_{ij})\in M_{r,m}(K) $$ соответственно, произведение$$h=gf: \hat K^n\to \hat K^r$$
является линейным отображением, задаваемым матрицей H=(hij), являющейся произведением H=GF матриц линейных отображений G и F.
Рассмотрим линейные пространства столбцов над полем K (например, над полем R действительных чисел)$$\begin{align*} U=\hat K^n =
\left\{\left.X=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\right|
x_i\in K\right\},\\[3mm] V=\hat K^m =
\left\{\left.Y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_m\end{pmatrix}\right|
y_i\in K\right\}.
\end{align*}$$
Каждая $$(m\times n)$$ -матрица F=(fij), $$f_{ij}\in K$$, задает отображение $$f: U\to V$$,$$f(X)=Y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_m\end{pmatrix}$$
для всех$$\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=X\in U=\hat K^n,$$
где$$\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} y_1 {}={} f_{11}x_1 {}+...+{} f_{1n}x_n,\\
\vdots \vdots \vdots\\
y_m {}={} f_{m1}x_1 {}+...+{} f_{mn}x_n.
\end{array}$$
Теорема 7.0.6. Отображение$$f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m,$$
задаваемое прямоугольной $$(m\times n)$$ -матрицей F=(fij), обладает следующими свойствами:
f(X+X')=f(X)+f(X') для всех $$X,X'\in U $$ \textup;f(cX)=cf(X) для всех $$c\in K$$, $$X\in U$$.Доказательство. Для$$X=
\begin{pmatrix}
x_1\\\vdots\\x_n
\end{pmatrix},\ \
X'=
\begin{pmatrix}
x'_1\\\vdots\\x'_n
\end{pmatrix},\quad
c\in K$$
имеем$$X+X'=
\begin{pmatrix}
x_1+x'_1\\\vdots\\x_n+x'_n
\end{pmatrix},\quad
cX=\begin{pmatrix}cx_1\\\vdots\\cx_n\end{pmatrix}.$$
Применяя отображение f, определяемое прямоугольной матрицей F=(fij), к X+X' и cX, соответственно получаем f(X+X')=f(X)+f(X'), f(cX)=cf(X).
Замечание 7.0.7. Отображение $$f: U\to V $$ из одного линейного пространства U в другое линейное пространство V, удовлетворяющее свойствам
f(X+X')=f(X)+f(X') для всех $$X,X'\in U$$,f(cX)=cf(X) для всех $$c\in K$$, $$X\in U$$,называется линейным отображением (преобразованием). Тем самым мы показали, что отображение, задаваемое прямоугольной $$(m\times n)$$ -матрицей F=(fij), определяет линейное преобразование соответствующих линейных пространств столбцов:$$f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m.$$
Пример 7.0.8. Если m=1, то имеем линейную функцию y=f1x1+...+fmxn
из $$U=\hat K^n $$ в $$\hat K^1=K$$.
Пример 7.0.9. Поворот плоскости вокруг точки (0,0) на угол $$\alpha $$ является линейным отображением $$f: \hat R^2\to\hat R^2$$, задаваемым матрицей поворота$$\begin{pmatrix}
\cos\alpha -\sin\alpha\\
\sin\alpha \phm \cos\alpha
\end{pmatrix}.$$
Теорема 7.0.10 (об однозначной определяемости матрицы, задающей линейное отображение столбцов). Пусть$$f: U=\hat K^n \to V=\hat K^m,\ \ g: U=\hat K^n \to V=\hat K^m \text{ -}$$
два линейных отображения, задаваемых $$(m\times n)$$ -матрицами F=(fij) и G=(gij) соответственно. Тогда f=g в том и только в том случае, когда F=G (т. е. fij=gij для всех i, j ).
Доказательство.
F=G, то ясно, что f=g.f=g. Рассмотрим$$e_j=
\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
1\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix},$$
где 1 стоит в j -й строке, а остальные элементы равны нулю. Тогда$$\begin{pmatrix}
f_{1j}\\
\vdots\\
f_{ij}\\
\vdots\\
f_{mj}
\end{pmatrix} = f(e_j) = g(e_j) =
\begin{pmatrix}
g_{1j}\\
\vdots\\
g_{ij}\\
\vdots\\
g_{mj}
\end{pmatrix},$$
поэтому для любого i имеем fij=gij, т. е. F=(fij)=(gij)=G.Теорема 7.0.11 (о задании любого линейного отображения линейных пространств столбцов матрицей). Пусть$$f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m \text{ -}$$ линейное отображение линейных пространств столбцов, т. е.
f(X+X')=f(X)+f(X') для всех $$X,X'\in U$$,f(cX)=cf(X) для всех $$c\in K$$, $$X\in U$$.Тогда найдется (и единственная) $$(m\times n)$$ -матрица F=(fij) такая, что определяемое с ее помощью линейное отображение совпадает с линейным отображением f.
Доказательство. Пусть$$e_j =
\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
1\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\vphantom{0}\\
\vphantom{\vdots}\\
\scriptstyle \kern-3mm -\;j\\
\vphantom{\vdots}\\
\vphantom{0}
\end{matrix}\;,\quad
f(e_j) =
\begin{pmatrix}
f_{1j}\\
\vdots\\
f_{ij}\\
\vdots\\
f_{mj}
\end{pmatrix} \in V = \hat K^m,\ \ f_{ij}\in
K.$$
Получили $$(m\times n)$$ -матрицу F=(fij).
Для любого$$X=
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix} \in U = \hat
K^n$$
имеем X=x_1e_1+...+x_ne_n.
Тогда$$\begin{mult}
\smash[b]{\begin{pmatrix}
y_1\\
\vdots\\
y_m
\end{pmatrix}} = f(X) =
x_1f(e_1)+...+x_nf(e_n)={}
\\
{}=
x_1
\begin{pmatrix}
f_{11}\\
\vdots\\
f_{m1}
\end{pmatrix} +... +
x_n
\begin{pmatrix}
f_{1n}\\
\vdots\\
f_{mn}
\end{pmatrix},
\end{mult}$$
т. е.$$\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c}
y_1 {}={} f_{11}x_1 {}+...+{} f_{1n}x_n,\\
\vdots \vdots \vdots\\
y_m {}={} f_{m1}x_1 {}+...+{} f_{mn}x_n.
\end{array}$$
Итак, линейное отображение f задается $$(m\times n)$$ -матрицей F=(fij).
Как мы показали, матрица F=(fij) определена однозначно.
Теорема 7.1.1. Если U, V, W - линейные пространства над полем K,$$U \stackrel{f}{\to} V \stackrel{g}{\to} W,$$
f и g - линейные отображения линейных пространств, то их произведение$$h=gf: U\to W$$
является линейным отображением.
Доказательство. Пусть $$u,u_1,u_2\in {}_KU $$ и $$\lambda\in K$$. Тогда$$\begin{align*} h(u_1+u_2) = (gf)(u_1+u_2) = g(f(u_1+u_2)) ={} \\ \quad {}=g(f(u_1)+f(u_2)) = g(f(u_1)) + g(f(u_2))= h(u_1)+h(u_2);\\ h(\lambda u) = (gf)(\lambda u) = g(f(\lambda u)) = g(\lambda f(u)) = \lambda (g(f(u))) = \lambda h(u). \end{align*}$$
Если $$U=\hat K^n$$, $$V=\hat K^m$$, $$W=\hat K^r$$ - пространства столбцов над полем K, линейное отображение $$f: \hat K^n\to \hat K^m $$ задается $$(m\times n)$$ -матрицей F=(fij), линейное отображение $$g: \hat K^m\to \hat K^r $$ задается $$(r\times m)$$ -матрицей G=(gij), то вычислим однозначно определенную матрицу линейного отображения $$h=gf: \hat K^n\to\hat K^r$$.
Пусть$$\begin{gathe}
X=
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix} \in \hat K^n,\\
Y=
\begin{pmatrix}
y_1\\
\vdots\\
y_m
\end{pmatrix} = f(X) \in \hat K^m,\quad
Z=
\begin{pmatrix}
z_1\\
\vdots\\
z_r
\end{pmatrix} = g(Y) \in \hat K^r.
\end{gathe}$$
Тогда для $$1 \leq k \leq r $$$$\begin{mult}
z_k=\sum_{i=1}^{m}g_{ki}y_i =
\sum_{i=1}^{m} g_{ki}\biggl(\,\sum_{l=1}^{n}f_{il}x_l\biggr)=
\sum_{i=1}^{m}\sum_{l=1}^{n}g_{ki}f_{il}x_l={}
\\
{}\stackrel{(*)}{=} \sum_{l=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}g_{ki}f_{il}x_l=
\sum_{l=1}^{n}\biggl(\,\sum_{i=1}^{m}g_{ki}f_{il}\biggr)x_l=
\sum_{l=1}^{n}h_{kl}x_l,
\end{mult}$$
где$$h_{kl}=\sum_{i=1}^{m}g_{ki}f_{il}=g_{k1}f_{1l}+...+g_{km}f_{ml},$$
т. е. матрицей линейного отображения h=gf является $$(r\times n)$$ -матрица H=(hkl).
Замечание (*). Использованное в доказательстве равенство$$\sum_{i=1}^{m}\biggl(\,\sum_{l=1}^{n}\gamma_{il}\biggr)= \sum_{l=1}^{n}\biggl(\,\sum_{i=1}^{m}\gamma_{il}\biggr)$$ означает разный порядок суммирования элементов прямоугольной $$(m\times n)$$ -матрицы $$(\gamma_{il})\in M_{m,n}(K)$$.
Это вычисление приводит нас к следующему определению произведения согласованных по размеру матриц.
Определение 7.2.1. m строки матрицы G совпадает с длиной m столбца матрицы F ). Тогда определим H=GF как $$(r\times n)$$ -матрицу H=(hkl), где$$h_{kl}=\sum_{i=1}^{m}g_{ki}f_{il}= g_{k1}f_{1l}+...+g_{km}f_{ml}.$$
Таким образом, нами фактически доказана
Теорема 7.2.2. Для диаграммы$$\hat K^n \stackrel{f}{\to} \hat K^m \stackrel{g}{\to} \hat K^r$$
с линейными отображениями, задаваемыми матрицами $$F\=(f_{ij})\in M_{m,n}(K) $$ и $$G=(g_{ij})\in M_{r,m}(K) $$ соответственно, произведение$$h=gf: \hat K^n\to \hat K^r$$
является линейным отображением, задаваемым матрицей H=(hij), являющейся произведением H=GF матриц линейных отображений G и F.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.