Пусть K - поле (например, K= R - поле действительных чисел). Многочисленные конкретные примеры линейных пространств, с которыми мы уже столкнулись (линейные пространства строк Kn, столбцов $$\hat K^n$$, пространства прямоугольных и квадратных матриц $$\mM_{m,n}(K) $$ и $$\mM_{n}(K)$$, пространство многочленов K[x], пространство непрерывных вещественных функций C[0,1] на отрезке [0,1] и т. д.), оправдывают введение и рассмотрение понятия линейного пространства K V над полем K как множества V с операцией сложения ( $$V\times V\to V$$, $$(a,b)\mapsto a+b$$ ) и операциями умножения на элементы $$c\in K $$ ( $$V\to V$$, $$v\mapsto cv$$ ), удовлетворяющими следующим условиям:
I.1) ассоциативность сложения (т. е. (u+v)+w=u+(v+w) для всех $$u,v,w\in V$$ );
I.2) коммутативность сложения (т. е. u+v=v+u для всех $$u,v\in V$$ );
I.3) существование нейтрального элемента 0 для операции сложения (т. е. v+0=v для всех $$v\in V$$ );
I.4) существование противоположного элемента -v для всякого $$v\in V $$ (т. е. v+(-v)=0 );
II.1) $$1\cdot v=v $$ для всех $$v\in V $$ ;
II.2) (rs)v=r(sv) для всех $$r,s\in K$$, $$v\in V $$ ;
III.1) r(v1+v2)=rv1+rv2 для всех $$r\in K$$, $$v_1,v_2\in V $$ ;
III.2) (r+s)v=rv+sv для всех $$r,s\in K$$, $$v\in V$$.
Приведем вывод ряда следствий из этих аксиом линейного пространства (хотя, конечно, в каждом конкретном случае они достаточно очевидны).
Уравнение u+x=v для $$u,v\in {}_K V $$ имеет, причем единственное, решение x=(-u)+v.
Действительно, прибавляя -u к левой и правой части, получаем, что x = (-u)+v. С другой стороны, u+(-u)+v=v.
Если x+x=x для $$x\in {}_K V$$, то x=0.
Действительно, прибавляя к левой и правой части противоположный элемент -x, получаем, что x=(-x)+x+x=(-x)+x=0.
0v=0 для любого $$v\in {}_K V$$.
Действительно, если x=0v (здесь $$0\in K$$ ), то x+x=0v+0v=(0+0)v=0v=x, и поэтому $$x=0\in {}_K V$$.
r0=0 для $$r\in K$$, $$0\in V$$.
Действительно, если x=r0, то x+x=r0+r0=r(0+0)=r0=x, и поэтому x=0.
(-1)v=-v для всех $$v\in V$$.
Действительно, (-1)v+v=(-1+1)v=0v=0, т. е. (-1)v=-v.
rv=0 для $$r\in K$$, $$v\in V $$ тогда и только тогда, когда либо r=0, либо v=0.
Действительно, если $$r\neq 0$$, то в поле K существует элемент $$r^{-1}\in K$$, и поэтому v=1v=r-1rv=r-10=0.
r(u-v)=ru-rv для всех $$r\in K$$, $$u,v\in V$$.
Действительно, r(u-v)+rv=r(u-v+v)=ru, т. е. r(u-v)=ru-rv.
-(-v)=v для всех $$v\in V$$.
Действительно, v+(-v)=0, и поэтому -(-v)=v.
Пусть K V - линейное пространство над полем K. v1,...,vr с коэффициентами $$k_1,...,k_r\in K$$
Систему элементов $$v_1,...,v_r \in {}_K V $$ назовем линейно зависимой, если найдутся элементы $$k_1,...,k_r\in K $$ такие, что
а) не все ki равны нулю (т. е. хотя бы один элемент ki отличен от нуля);
б) k1v1+k2v2+...+krvr=0.
Для краткости в этой ситуации мы будем говорить, что "нетривиальная" линейная комбинация элементов v1,...,vr равна нулю (конечно, тривиальная линейная комбинация всегда равна нулю, 0v1+...+0 vr=0 ).
k1=k2=...=kr=0.
Теорема 9.2.1. Система элементов $$v_1,...,v_r \in {}_K V $$ линейно зависима тогда и только тогда, когда для некоторого i, $$1\le i\le r$$,$$v_i=\sum_{j\neq i}l_jv_j,\quad l_j\in K$$
(т. е. элемент vi является линейной комбинацией остальных элементов системы v1,...,vr ).
Доказательство.
v1,...,vr линейно зависима, т. е.$$k_1v_1+...+k_rv_r=0,\quad k_i\neq 0.$$
Тогда$$v_i=\sum_{j\neq i}\frac{(-k_j)}{k_i}v_j.$$
v1,...,vr линейно зависима, поскольку $$-1\neq 0$$.Пример 9.2.2. Если в системе элементов $$v_1,...,v_r\in {}_K V $$ есть нулевой элемент, скажем, vi=0, то система v1...,vr линейно зависима.
Действительно, 0 v1+...+1 vi+...+0 vr=0, или, другим способом, $$v_i=0=\sum\limits_{j\neq i}0 v_j$$.
Пример 9.2.3. Если vi=vj для $$i\neq j$$, то система $$v_1,...,v_r\in {}_K V $$ линейно зависима.
Действительно, 0 v1+...+1 vi+...+(-1) vj+...+0 vr=0, или, иначе, $$v_i=v_j+\sum\limits_{\substack{k\neq i\\ k\neq j}}0 v_k$$.
Пример 9.2.4. Система строк $$\varepsilon_1,...,\varepsilon_n\in {}_K K^n$$, где$$\begin{align*} \varepsilon_1=(1,0,...,0),\\ \varepsilon_2=(0,1,...,0),\\ \quad ...\\ \varepsilon_n=(0,0,...,1), \end{align*}$$ линейно независима. Кроме того, любая строка $$\alpha=(k_1,...,k_n)\in {}_K K^n $$ является линейной комбинацией элементов $$\varepsilon_1,...,\varepsilon_n$$, а именно, $$\alpha=(k_1,...,k_n)=k_1\varepsilon_1+...+k_n\varepsilon_n$$.
Действительно,$$k_1\varepsilon_1+...+k_n\varepsilon_n=(k_1,...,k_n),$$
и поэтому если$$k_1\varepsilon_1+...+k_n\varepsilon_n=(0,...,0),$$
то k1=k2=...=kn=0,
следовательно, система строк $$\{\varepsilon_1,...,\varepsilon_n\} $$ линейно независима.
Пример 9.2.5. Пусть $$v_1,v_2,v_3\in {}_{ R} V $$ - линейно независимая система в линейном пространстве R V. Тогда u1=v1+v2, u2=v1+v3, u3=v2+v3 -
также линейно независимая система.
Действительно, если k1 u1 + k2 u2 + k3 u3 = 0,
то$$\begin{mult}
0 = k_1 (v_1+v_2) + k_2 (v_1+v_3) + k_3 (v_2+v_3) ={}
\\
{}=(k_1+k_2)v_1 + (k_1+k_3)v_2 + (k_2+k_3)v_3,
\end{mult}$$
поэтому$$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
k_1 + k_2 = 0,\\
k_1 + k_3 = 0,\\
k_2 + k_3 = 0.
\end{array}
\right.$$
Следовательно, k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0, и система элементов u1,u2,u3 линейно независима.
Упражнения 9.2.6.
Замечание 9.2.7. Для системы строк в Kn $$\begin{align*} \alpha_1 = (a_{11},
..., a_{1n}),\\ \quad ...\\ \alpha_r = (a_{r1}, ...,
a_{rn})
\end{align*}$$
вопрос о ее линейной зависимости равносилен существованию ненулевого решения (k1,...,kr) следующей однородной системы линейных уравнений:$$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
a_{11} x_1 + ... + a_{r1} x_r = 0,\\
\dotfill\\
a_{1n} x_1 + ... + a_{rn} x_r = 0
\end{array}
\right.$$
с транспонированной матрицей A*, где$$A =
\begin{pmatrix}
a_{11} ... a_{1n}\\
\hdotsfor{3}\\
a_{r1} ... a_{rn}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
\vdots\\
\alpha_r
\end{pmatrix}.$$
Таким образом, метод Гаусса дает нам в этом случае алгоритмическое решение задачи о линейной зависимости строк.
Теорема 9.2.8. Пусть $$A=(a_{ij}) \in \mM_n(K) $$ - квадратная матрица. Тогда следующие условия равносильны:
|A|=0 ;A1, ..., An матрицы A линейно зависима (в пространстве строк Kn );A линейно зависима (в пространстве столбцов $$\hat K^n$$ ).Доказательство.
A линейно зависимы, скажем, i -я строка Ai является линейной комбинацией остальных, $$A_i = \smash[b]{\sum\limits_{j \neq i} l_j A_j}$$, то, как мы показали, |A|=0, т. е. $$2) \Longrightarrow 1)$$.|A|=0. Тогда k1 A1 + ... + kn An = 0
в том и только в том случае, если (k1, ..., kn) является решением однородной системы линейных уравнений с матрицей A*. Так как |A*| = |A| = 0, то существует ненулевое решение (k1, ..., kn), т. е. система строк A1, ..., An матрицы A линейно зависима. Итак, $$1) \Longrightarrow 2)$$.|A*| = |A|, то $$1) \iff 3)$$.Задача 9.2.9. Пусть $$A=(a_{ij})\in M_n(K)$$, $$B=(b_{ij})\in M_n(K)$$, где bij=Aji. Покажите, что если |A|=0, то |B|=0.
Теорема 9.2.10. Любая система из m строк в Kn при m > n линейно зависима.
Доказательство. Если$$\begin{align*} \alpha_1 = (a_{11}, ..., a_{1n}),\\ \quad
...\\ \alpha_m = (a_{m1}, ..., a_{mn}),
\end{align*}$$
то равенство $$k_1 \alpha_1 + ... + k_m \alpha_m = 0 $$ равносильно тому, что (k1, ..., km) является решением следующей однородной системы линейных уравнений:$$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
a_{11} x_1 + ... + a_{m1} x_m = 0,\\
\dotfill\\
a_{1n} x_1 + ... + a_{mn} x_m = 0.
\end{array}
\right.$$
Так как число n уравнений меньше числа m переменных, то однородная система обладает ненулевым решением, т. е. система $$\alpha_1, ..., \alpha_m $$ линейно зависима.
Следствие 9.2.11. Если система $$\alpha_1, ..., \alpha_r \in K^n $$ линейно независима, то $$r \leq n$$.
Лемма 9.2.12. Если система элементов $$\alpha_1,...,\alpha_r\in {}_K V $$ линейного пространства K V над полем K линейно независима, $$\beta \in {}_K V $$ и система $$\alpha_1, ..., \alpha_r, \beta $$ линейно зависима, то $$\beta $$ является линейной комбинацией элементов $$\alpha_1,...,\alpha_r$$.
Доказательство. Пусть$$k_1 \alpha_1 + ... + k_r \alpha_r + k_{r+1} \beta = 0, \quad k_1,...,k_{r+1}\in K,$$
где не все ki, $$1 \leq i \leq r+1$$, равны нулю. Если бы kr+1=0, то нетривиальная линейная комбинация $$k_1 \alpha_1 + ... + k_r \alpha_r = 0$$, равная нулю, означала бы, что система $$\alpha_1, ..., \alpha_r $$ линейно зависима, что противоречит предположению.
Итак, $$k_{r+1} \neq 0$$, и поэтому$$\beta = \frac{-k_1}{k_{r+1}} \alpha_1 + ... + \frac{-k_r}{k_{r+1}} \alpha_r.$$
Лемма 9.2.13 (единственность представления элемента линейного пространства KV в виде линейной комбинации линейно независимой системы элементов). Пусть $$\{\alpha_1,...,\alpha_r\} $$ - линейно независимая система элементов линейного пространства K V и$$\beta=k_1\alpha_1+...+k_r\alpha_r=k'_1\alpha_1+...+k'_r\alpha_r,\quad k_i,k'_i\in K.$$
Тогда k1=k'1,...,kr=k'r.
Доказательство. Действительно,$$(k_1-k'_1)\alpha_1+...+(k_r-k'_r)\alpha_r= 0,$$
и поэтому k1 - k'1=0,...,kr - k'r=0.
Пусть $$S\subseteq {}_K V$$. Наиболее важные для нас случаи:
а) S - конечное подмножество элементов в K V ;
б) S = K V.
Подсистема $$v_1,...,v_r \in S \subseteq {}_K V $$ называется максимальной линейно независимой подсистемой в S, если:
1) v1,...,vr - линейно независимая система;
2) v1,...,vr,v - линейно зависимая система для всякого $$v \in S$$, или, что эквивалентно,
2') любой элемент $$v \in S $$ является линейной комбинацией элементов v1,...,vr.
Максимальная линейно независимая подсистема v1,...,vr в S = KV (если в K V существует такая конечная система) называется базисом линейного пространства K V. K V с конечным базисом v1,...,vr называется
Пример 9.3.1. Как мы уже видели, система строк$$\begin{align*} \varepsilon_1 = (1,0,...,0),\\ \varepsilon_2 =
(0,1,...,0),\\ \quad ... \\ \varepsilon_n = (0,0,...,1)
\end{align*}$$
является базисом линейного пространства строк Kn.
Лемма 9.3.2. Любую линейно независимую подсистему v1,...,vr в $$S \subseteq K^n $$ можно дополнить до максимальной линейно независимой подсистемы в $$S \subseteq K^n$$.
Доказательство. Если v1,...,vr - максимальная линейно независимая подсистема в $$S \subseteq K^n$$, то все доказано. Если нет, то найдется элемент $$v \in S $$ такой, что v1,v2,...,vr,v=vr+1 - линейно независимая подсистема в S. После конечного числа шагов процесс остановится, так как любые системы из n+1 элементов в линейном пространстве Kn оказываются линейно зависимыми.
Следствие 9.3.3. Любой ненулевой элемент $$0 \neq v \in S \subseteq K^n $$ дополняем до максимальной линейно независимой подсистемы в S.
Следствие 9.3.4. В S= Rn (или S=Kn для бесконечного поля K ) бесконечно много различных базисов. Если поле K конечно, |K|=q (например, K= Z2 ), то число элементов в Kn равно qn, и поэтому число базисов в Kn конечно. Найдите их число.
Замечание 9.3.5. Пусть строки $$a_1,...,a_s\in K^n $$ линейно независимы, s<n. Тогда существуют такие строки $$a_{s+1},...,a_n\in K^n$$, что {a1,...,an} - базис линейного пространства Kn. Практическое нахождение строк as+1,...,an можно осуществить следующим образом. Запишем строки a1,...,as по столбцам и приведем полученную матрицу к ступенчатому виду: $$\varphi(a_1^*,...,a_s^*)=A_{\textup{ступ}}, % \varphi(a_1^*,...,a_s^*)=A_{\textup{ступ}}$$, где $$(a_1^*,...,a_s^*),A_{\textup{ступ}}\in M_{n,s}(K)$$, $$\varphi $$ - последовательность элементарных преобразований строк. Так как строки a1,...,as линейно независимы, то в $$A_{\textup{ступ}} $$ имеется ровно s ненулевых строк (первые s строк). Пусть $$\hat
b_{s+1},...,\hat b_n\in \hat K^n $$ - столбцы, на i -м месте которых стоит 1, а остальные элементы равны 0, i=s+1,...,n. Припишем эти столбцы справа к матрице $$A_{\textup{ступ}}$$. Пусть $$B\in \mM_n(K) $$ - полученная матрица. Применяя к матрице B последовательность элементарных преобразований строк, обратную к $$\varphi$$, приходим к матрице $$\tilde B$$. При этом $$(\tilde B)^* $$ - матрица, в которой первые s строк - это a1,...,as, а последующие строки дополняют их до базиса линейного пространства Kn.
Пусть K V - линейное пространство, $$S_1\subseteq {}_K V$$, $$S_2\subseteq {}_K V$$. S2 элементов u1,...,us S1 элементов v1,...,vr, если каждый элемент $$u_i \in S_2$$, $$1 \leq i \leq s$$, является линейной комбинацией элементов v1,...,vr системы S1,$$u_i = \sum_{j=1}^r m_{ij} v_j,\quad m_{ij}\in K.$$
S3 элементов w1,...,wt линейно выражается через систему S2,$$w_k = \sum_{i=1}^s l_{ki}
u_i,\ \ l_{ki}\in K,\quad
1\leq k\leq t,$$
то$$w_k = \sum_{i=1}^s l_{ki} u_i = \sum_{i=1}^s \sum_{j=1}^{r} (l_{ki} m_{ij}) v_j = \sum_{j=1}^{r} \biggl(\,\sum_{i=1}^{s} l_{ki} m_{ij}\biggr) v_j,$$
т. е. система S3 линейно выражается через систему S1.
S1 и S2 называются
Следствие 9.4.1. Отношение "быть эквивалентными системами", $$S_1 \sim S_2$$, является отношением эквивалентности.
Следствие 9.4.2. Если элемент $$v\in {}_K V $$ является линейной комбинацией элементов v1,...,vr системы S1, $$S_1\sim S_2$$, где S2 - система элементов u1,...,us, то элемент v является линейной комбинацией элементов u1,...,us системы S2.
Следствие 9.4.3. Любая (конечная) система элементов $$S \subseteq {}_K V $$ эквивалентна своей максимальной линейно независимой подсистеме.
Следствие 9.4.4. Любые две (конечные) максимально независимые подсистемы любой системы $$S \subseteq {}_K V $$ эквивалентны.
Замечание 9.4.5. Если $$A,B\in \mM_{m,n}(K) $$ и матрица B получена из матрицы A конечным числом элементарных преобразований 1-го, 2-го и 3-го типов, то каждая строка матрицы B является линейной комбинацией строк матрицы A (поскольку от матрицы B мы можем вернуться к матрице A с помощью элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типов, то каждая строка матрицы A является линейной комбинацией строк матрицы B ). Таким образом, в линейном пространстве строк Kn системы строк A1,...,Am матрицы A и B1,...,Bm матрицы B линейно выражаются друг через друга.
Теорема 9.4.6 (основная теорема о линейной зависимости). Пусть в линейном пространстве K V линейно независимая система элементов v1,...,vr линейно выражается через другую систему элементов u1,...,us. Тогда $$r \leq s$$.
Доказательство. Допустим противное: пусть r > s. В силу нашего предположения$$\begin{align*} v_1 = a_{11} u_1+ ... + a_{1s} u_s,\\ \quad
... \\ v_r = a_{r1} u_1 + ... + a_{rs} u_s,
\quad a_{ij}\in K.
\end{align*}$$
Так как r > s, то r строк$$\begin{align*} (a_{11}, ..., a_{1s}), \\* \quad ... \\*
(a_{r1}, ..., a_{rs})
\end{align*}$$
в линейном пространстве строк Ks линейно зависимы: найдется их линейная комбинация с коэффициентами k1, ..., kr, где $$k_i \neq 0 $$ для некоторого i, равная нулевой строке $$(0,...,0)\in K^s$$. Но тогда и линейная комбинация элементов v1, ..., vr с этими же коэффициентами k1, ..., kr, равна нулю, k1v1+...+krvr=0. Таким образом, система элементов v1,...,vr линейно зависима, что приводит нас к противоречию.
Следствие 9.4.7. Две эквивалентные конечные линейно независимые системы в линейном пространстве K V содержат равное число элементов.
Следствие 9.4.8.Для системы $$S \subseteq KV,$$ где KV —конечномерное линейное пространство, любые две (конечные) максимальные линейно независимые подсистемы содержат одинаковое число элементов r(S), называемое рангом системы S.
Следствие 9.4.9. Если S = K V и K V - конечномерное линейное пространство, то любые два базиса в K V состоят из одного и того же числа элементов n, это число n называется размерностью линейного пространства K V, обозначение: $$\dim {}_K V = n$$.
Как мы видели ранее, одним из базисов в линейном пространстве строк K Kn является система строк$$\begin{align*} \varepsilon_1=(1,0,...,0),\\ \quad ...\\
\varepsilon_n=(0,0,...,1),
\end{align*}$$
и поэтому $$\dim {}_K K^n=n$$.
Следствие 9.4.10. Если в конечномерном линейном пространстве K V одна система элементов S1 линейно выражается через другую систему S2, то $$r(S_1)\leq r(S_2)$$.
Следствие 9.4.11. Если в линейном пространстве K V система M из m элементов имеет ранг r, то любая ее подсистема S из s элементов ( $$s\leq m$$ ) имеет ранг не меньше чем r+s-m.
Доказательство. Действительно, если R - максимальная линейно независимая подсистема в M, |R|= r, то $$R\setminus (R\cap S)\subset M \setminus S$$, и поэтому $$|R\setminus (R\cap S)| \leq m-s$$. Следовательно, $$|R\cap S|\geq r-(m-s)=r+s-m$$.
Следствие 9.4.12. Для системы строк $$v_1,...,v_r\in K^n $$ следующие условия эквивалентны:
v1,...,vr является базисом линейного пространства строк Kn (т. е. максимальной линейно независимой подсистемой строк в K^n ; и тогда r=n );r=n );r=n и система строк v1,...,vn линейно независима;r=n и каждая строка $$v\in K^n $$ представима в виде линейной комбинации$$v=\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n,\quad \lambda_1,...,\lambda_n\in K.$$
Доказательство. Мы уже показали, что $$1)\Longrightarrow 2)$$. Покажем, что $$2)\Longrightarrow 1)$$. Если v1,...,vr - линейно зависимая система строк, $$\lambda_1v_1+...+\lambda_rv_r=0 $$ с некоторым $$\lambda_i\neq 0$$, то нулевая строка имеет два различных представления$$0 = 0\cdot v_1 + ... + 0 \cdot v_r = \lambda_1v_1+...+\lambda_rv_r,\quad \lambda_i\neq 0.$$
При этом r=n, так как любые базисы в K^n содержат n элементов.
Ясно, что $$1)\Longrightarrow 3)$$. Покажем, что $$3)\Longrightarrow 1)$$. Для любой строки $$v\in K^n $$ система строк v1,...,vn,v линейно зависима ( n+1>n ). Так как v1,...,vn - линейно независимая система, то $$v=\lambda_1v_1+...+\lambda_{nvn} $$ для некоторых $$\lambda_1,...,\lambda_n\in K$$.
Ясно, что $$1)\Longrightarrow 4)$$. Покажем, что $$4)\Longrightarrow 1)$$. Допустим, что v1,...,vn - линейно зависимая система. Тогда ее максимально линейно независимая подсистема $$v_{i_1},...,v_{ir}$$, r<n, является максимальной линейно независимой подсистемой в Kn, что противоречит r=n.
Пусть K - поле (например, K= R - поле действительных чисел). Многочисленные конкретные примеры линейных пространств, с которыми мы уже столкнулись (линейные пространства строк Kn, столбцов $$\hat K^n$$, пространства прямоугольных и квадратных матриц $$\mM_{m,n}(K) $$ и $$\mM_{n}(K)$$, пространство многочленов K[x], пространство непрерывных вещественных функций C[0,1] на отрезке [0,1] и т. д.), оправдывают введение и рассмотрение понятия линейного пространства K V над полем K как множества V с операцией сложения ( $$V\times V\to V$$, $$(a,b)\mapsto a+b$$ ) и операциями умножения на элементы $$c\in K $$ ( $$V\to V$$, $$v\mapsto cv$$ ), удовлетворяющими следующим условиям:
I.1) ассоциативность сложения (т. е. (u+v)+w=u+(v+w) для всех $$u,v,w\in V$$ );
I.2) коммутативность сложения (т. е. u+v=v+u для всех $$u,v\in V$$ );
I.3) существование нейтрального элемента 0 для операции сложения (т. е. v+0=v для всех $$v\in V$$ );
I.4) существование противоположного элемента -v для всякого $$v\in V $$ (т. е. v+(-v)=0 );
II.1) $$1\cdot v=v $$ для всех $$v\in V $$ ;
II.2) (rs)v=r(sv) для всех $$r,s\in K$$, $$v\in V $$ ;
III.1) r(v1+v2)=rv1+rv2 для всех $$r\in K$$, $$v_1,v_2\in V $$ ;
III.2) (r+s)v=rv+sv для всех $$r,s\in K$$, $$v\in V$$.
Приведем вывод ряда следствий из этих аксиом линейного пространства (хотя, конечно, в каждом конкретном случае они достаточно очевидны).
Уравнение u+x=v для $$u,v\in {}_K V $$ имеет, причем единственное, решение x=(-u)+v.
Действительно, прибавляя -u к левой и правой части, получаем, что x = (-u)+v. С другой стороны, u+(-u)+v=v.
Если x+x=x для $$x\in {}_K V$$, то x=0.
Действительно, прибавляя к левой и правой части противоположный элемент -x, получаем, что x=(-x)+x+x=(-x)+x=0.
0v=0 для любого $$v\in {}_K V$$.
Действительно, если x=0v (здесь $$0\in K$$ ), то x+x=0v+0v=(0+0)v=0v=x, и поэтому $$x=0\in {}_K V$$.
r0=0 для $$r\in K$$, $$0\in V$$.
Действительно, если x=r0, то x+x=r0+r0=r(0+0)=r0=x, и поэтому x=0.
(-1)v=-v для всех $$v\in V$$.
Действительно, (-1)v+v=(-1+1)v=0v=0, т. е. (-1)v=-v.
rv=0 для $$r\in K$$, $$v\in V $$ тогда и только тогда, когда либо r=0, либо v=0.
Действительно, если $$r\neq 0$$, то в поле K существует элемент $$r^{-1}\in K$$, и поэтому v=1v=r-1rv=r-10=0.
r(u-v)=ru-rv для всех $$r\in K$$, $$u,v\in V$$.
Действительно, r(u-v)+rv=r(u-v+v)=ru, т. е. r(u-v)=ru-rv.
-(-v)=v для всех $$v\in V$$.
Действительно, v+(-v)=0, и поэтому -(-v)=v.
Пусть K V - линейное пространство над полем K. v1,...,vr с коэффициентами $$k_1,...,k_r\in K$$
Систему элементов $$v_1,...,v_r \in {}_K V $$ назовем линейно зависимой, если найдутся элементы $$k_1,...,k_r\in K $$ такие, что
а) не все ki равны нулю (т. е. хотя бы один элемент ki отличен от нуля);
б) k1v1+k2v2+...+krvr=0.
Для краткости в этой ситуации мы будем говорить, что "нетривиальная" линейная комбинация элементов v1,...,vr равна нулю (конечно, тривиальная линейная комбинация всегда равна нулю, 0v1+...+0 vr=0 ).
k1=k2=...=kr=0.
Теорема 9.2.1. Система элементов $$v_1,...,v_r \in {}_K V $$ линейно зависима тогда и только тогда, когда для некоторого i, $$1\le i\le r$$,$$v_i=\sum_{j\neq i}l_jv_j,\quad l_j\in K$$
(т. е. элемент vi является линейной комбинацией остальных элементов системы v1,...,vr ).
Доказательство.
v1,...,vr линейно зависима, т. е.$$k_1v_1+...+k_rv_r=0,\quad k_i\neq 0.$$
Тогда$$v_i=\sum_{j\neq i}\frac{(-k_j)}{k_i}v_j.$$
v1,...,vr линейно зависима, поскольку $$-1\neq 0$$.Пример 9.2.2. Если в системе элементов $$v_1,...,v_r\in {}_K V $$ есть нулевой элемент, скажем, vi=0, то система v1...,vr линейно зависима.
Действительно, 0 v1+...+1 vi+...+0 vr=0, или, другим способом, $$v_i=0=\sum\limits_{j\neq i}0 v_j$$.
Пример 9.2.3. Если vi=vj для $$i\neq j$$, то система $$v_1,...,v_r\in {}_K V $$ линейно зависима.
Действительно, 0 v1+...+1 vi+...+(-1) vj+...+0 vr=0, или, иначе, $$v_i=v_j+\sum\limits_{\substack{k\neq i\\ k\neq j}}0 v_k$$.
Пример 9.2.4. Система строк $$\varepsilon_1,...,\varepsilon_n\in {}_K K^n$$, где$$\begin{align*} \varepsilon_1=(1,0,...,0),\\ \varepsilon_2=(0,1,...,0),\\ \quad ...\\ \varepsilon_n=(0,0,...,1), \end{align*}$$ линейно независима. Кроме того, любая строка $$\alpha=(k_1,...,k_n)\in {}_K K^n $$ является линейной комбинацией элементов $$\varepsilon_1,...,\varepsilon_n$$, а именно, $$\alpha=(k_1,...,k_n)=k_1\varepsilon_1+...+k_n\varepsilon_n$$.
Действительно,$$k_1\varepsilon_1+...+k_n\varepsilon_n=(k_1,...,k_n),$$
и поэтому если$$k_1\varepsilon_1+...+k_n\varepsilon_n=(0,...,0),$$
то k1=k2=...=kn=0,
следовательно, система строк $$\{\varepsilon_1,...,\varepsilon_n\} $$ линейно независима.
Пример 9.2.5. Пусть $$v_1,v_2,v_3\in {}_{ R} V $$ - линейно независимая система в линейном пространстве R V. Тогда u1=v1+v2, u2=v1+v3, u3=v2+v3 -
также линейно независимая система.
Действительно, если k1 u1 + k2 u2 + k3 u3 = 0,
то$$\begin{mult}
0 = k_1 (v_1+v_2) + k_2 (v_1+v_3) + k_3 (v_2+v_3) ={}
\\
{}=(k_1+k_2)v_1 + (k_1+k_3)v_2 + (k_2+k_3)v_3,
\end{mult}$$
поэтому$$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
k_1 + k_2 = 0,\\
k_1 + k_3 = 0,\\
k_2 + k_3 = 0.
\end{array}
\right.$$
Следовательно, k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0, и система элементов u1,u2,u3 линейно независима.
Упражнения 9.2.6.
Замечание 9.2.7. Для системы строк в Kn $$\begin{align*} \alpha_1 = (a_{11},
..., a_{1n}),\\ \quad ...\\ \alpha_r = (a_{r1}, ...,
a_{rn})
\end{align*}$$
вопрос о ее линейной зависимости равносилен существованию ненулевого решения (k1,...,kr) следующей однородной системы линейных уравнений:$$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
a_{11} x_1 + ... + a_{r1} x_r = 0,\\
\dotfill\\
a_{1n} x_1 + ... + a_{rn} x_r = 0
\end{array}
\right.$$
с транспонированной матрицей A*, где$$A =
\begin{pmatrix}
a_{11} ... a_{1n}\\
\hdotsfor{3}\\
a_{r1} ... a_{rn}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
\vdots\\
\alpha_r
\end{pmatrix}.$$
Таким образом, метод Гаусса дает нам в этом случае алгоритмическое решение задачи о линейной зависимости строк.
Теорема 9.2.8. Пусть $$A=(a_{ij}) \in \mM_n(K) $$ - квадратная матрица. Тогда следующие условия равносильны:
|A|=0 ;A1, ..., An матрицы A линейно зависима (в пространстве строк Kn );A линейно зависима (в пространстве столбцов $$\hat K^n$$ ).Доказательство.
A линейно зависимы, скажем, i -я строка Ai является линейной комбинацией остальных, $$A_i = \smash[b]{\sum\limits_{j \neq i} l_j A_j}$$, то, как мы показали, |A|=0, т. е. $$2) \Longrightarrow 1)$$.|A|=0. Тогда k1 A1 + ... + kn An = 0
в том и только в том случае, если (k1, ..., kn) является решением однородной системы линейных уравнений с матрицей A*. Так как |A*| = |A| = 0, то существует ненулевое решение (k1, ..., kn), т. е. система строк A1, ..., An матрицы A линейно зависима. Итак, $$1) \Longrightarrow 2)$$.|A*| = |A|, то $$1) \iff 3)$$.Задача 9.2.9. Пусть $$A=(a_{ij})\in M_n(K)$$, $$B=(b_{ij})\in M_n(K)$$, где bij=Aji. Покажите, что если |A|=0, то |B|=0.
Теорема 9.2.10. Любая система из m строк в Kn при m > n линейно зависима.
Доказательство. Если$$\begin{align*} \alpha_1 = (a_{11}, ..., a_{1n}),\\ \quad
...\\ \alpha_m = (a_{m1}, ..., a_{mn}),
\end{align*}$$
то равенство $$k_1 \alpha_1 + ... + k_m \alpha_m = 0 $$ равносильно тому, что (k1, ..., km) является решением следующей однородной системы линейных уравнений:$$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
a_{11} x_1 + ... + a_{m1} x_m = 0,\\
\dotfill\\
a_{1n} x_1 + ... + a_{mn} x_m = 0.
\end{array}
\right.$$
Так как число n уравнений меньше числа m переменных, то однородная система обладает ненулевым решением, т. е. система $$\alpha_1, ..., \alpha_m $$ линейно зависима.
Следствие 9.2.11. Если система $$\alpha_1, ..., \alpha_r \in K^n $$ линейно независима, то $$r \leq n$$.
Лемма 9.2.12. Если система элементов $$\alpha_1,...,\alpha_r\in {}_K V $$ линейного пространства K V над полем K линейно независима, $$\beta \in {}_K V $$ и система $$\alpha_1, ..., \alpha_r, \beta $$ линейно зависима, то $$\beta $$ является линейной комбинацией элементов $$\alpha_1,...,\alpha_r$$.
Доказательство. Пусть$$k_1 \alpha_1 + ... + k_r \alpha_r + k_{r+1} \beta = 0, \quad k_1,...,k_{r+1}\in K,$$
где не все ki, $$1 \leq i \leq r+1$$, равны нулю. Если бы kr+1=0, то нетривиальная линейная комбинация $$k_1 \alpha_1 + ... + k_r \alpha_r = 0$$, равная нулю, означала бы, что система $$\alpha_1, ..., \alpha_r $$ линейно зависима, что противоречит предположению.
Итак, $$k_{r+1} \neq 0$$, и поэтому$$\beta = \frac{-k_1}{k_{r+1}} \alpha_1 + ... + \frac{-k_r}{k_{r+1}} \alpha_r.$$
Лемма 9.2.13 (единственность представления элемента линейного пространства KV в виде линейной комбинации линейно независимой системы элементов). Пусть $$\{\alpha_1,...,\alpha_r\} $$ - линейно независимая система элементов линейного пространства K V и$$\beta=k_1\alpha_1+...+k_r\alpha_r=k'_1\alpha_1+...+k'_r\alpha_r,\quad k_i,k'_i\in K.$$
Тогда k1=k'1,...,kr=k'r.
Доказательство. Действительно,$$(k_1-k'_1)\alpha_1+...+(k_r-k'_r)\alpha_r= 0,$$
и поэтому k1 - k'1=0,...,kr - k'r=0.
Пусть $$S\subseteq {}_K V$$. Наиболее важные для нас случаи:
а) S - конечное подмножество элементов в K V ;
б) S = K V.
Подсистема $$v_1,...,v_r \in S \subseteq {}_K V $$ называется максимальной линейно независимой подсистемой в S, если:
1) v1,...,vr - линейно независимая система;
2) v1,...,vr,v - линейно зависимая система для всякого $$v \in S$$, или, что эквивалентно,
2') любой элемент $$v \in S $$ является линейной комбинацией элементов v1,...,vr.
Максимальная линейно независимая подсистема v1,...,vr в S = KV (если в K V существует такая конечная система) называется базисом линейного пространства K V. K V с конечным базисом v1,...,vr называется
Пример 9.3.1. Как мы уже видели, система строк$$\begin{align*} \varepsilon_1 = (1,0,...,0),\\ \varepsilon_2 =
(0,1,...,0),\\ \quad ... \\ \varepsilon_n = (0,0,...,1)
\end{align*}$$
является базисом линейного пространства строк Kn.
Лемма 9.3.2. Любую линейно независимую подсистему v1,...,vr в $$S \subseteq K^n $$ можно дополнить до максимальной линейно независимой подсистемы в $$S \subseteq K^n$$.
Доказательство. Если v1,...,vr - максимальная линейно независимая подсистема в $$S \subseteq K^n$$, то все доказано. Если нет, то найдется элемент $$v \in S $$ такой, что v1,v2,...,vr,v=vr+1 - линейно независимая подсистема в S. После конечного числа шагов процесс остановится, так как любые системы из n+1 элементов в линейном пространстве Kn оказываются линейно зависимыми.
Следствие 9.3.3. Любой ненулевой элемент $$0 \neq v \in S \subseteq K^n $$ дополняем до максимальной линейно независимой подсистемы в S.
Следствие 9.3.4. В S= Rn (или S=Kn для бесконечного поля K ) бесконечно много различных базисов. Если поле K конечно, |K|=q (например, K= Z2 ), то число элементов в Kn равно qn, и поэтому число базисов в Kn конечно. Найдите их число.
Замечание 9.3.5. Пусть строки $$a_1,...,a_s\in K^n $$ линейно независимы, s<n. Тогда существуют такие строки $$a_{s+1},...,a_n\in K^n$$, что {a1,...,an} - базис линейного пространства Kn. Практическое нахождение строк as+1,...,an можно осуществить следующим образом. Запишем строки a1,...,as по столбцам и приведем полученную матрицу к ступенчатому виду: $$\varphi(a_1^*,...,a_s^*)=A_{\textup{ступ}}, % \varphi(a_1^*,...,a_s^*)=A_{\textup{ступ}}$$, где $$(a_1^*,...,a_s^*),A_{\textup{ступ}}\in M_{n,s}(K)$$, $$\varphi $$ - последовательность элементарных преобразований строк. Так как строки a1,...,as линейно независимы, то в $$A_{\textup{ступ}} $$ имеется ровно s ненулевых строк (первые s строк). Пусть $$\hat
b_{s+1},...,\hat b_n\in \hat K^n $$ - столбцы, на i -м месте которых стоит 1, а остальные элементы равны 0, i=s+1,...,n. Припишем эти столбцы справа к матрице $$A_{\textup{ступ}}$$. Пусть $$B\in \mM_n(K) $$ - полученная матрица. Применяя к матрице B последовательность элементарных преобразований строк, обратную к $$\varphi$$, приходим к матрице $$\tilde B$$. При этом $$(\tilde B)^* $$ - матрица, в которой первые s строк - это a1,...,as, а последующие строки дополняют их до базиса линейного пространства Kn.
Пусть K V - линейное пространство, $$S_1\subseteq {}_K V$$, $$S_2\subseteq {}_K V$$. S2 элементов u1,...,us S1 элементов v1,...,vr, если каждый элемент $$u_i \in S_2$$, $$1 \leq i \leq s$$, является линейной комбинацией элементов v1,...,vr системы S1,$$u_i = \sum_{j=1}^r m_{ij} v_j,\quad m_{ij}\in K.$$
S3 элементов w1,...,wt линейно выражается через систему S2,$$w_k = \sum_{i=1}^s l_{ki}
u_i,\ \ l_{ki}\in K,\quad
1\leq k\leq t,$$
то$$w_k = \sum_{i=1}^s l_{ki} u_i = \sum_{i=1}^s \sum_{j=1}^{r} (l_{ki} m_{ij}) v_j = \sum_{j=1}^{r} \biggl(\,\sum_{i=1}^{s} l_{ki} m_{ij}\biggr) v_j,$$
т. е. система S3 линейно выражается через систему S1.
S1 и S2 называются
Следствие 9.4.1. Отношение "быть эквивалентными системами", $$S_1 \sim S_2$$, является отношением эквивалентности.
Следствие 9.4.2. Если элемент $$v\in {}_K V $$ является линейной комбинацией элементов v1,...,vr системы S1, $$S_1\sim S_2$$, где S2 - система элементов u1,...,us, то элемент v является линейной комбинацией элементов u1,...,us системы S2.
Следствие 9.4.3. Любая (конечная) система элементов $$S \subseteq {}_K V $$ эквивалентна своей максимальной линейно независимой подсистеме.
Следствие 9.4.4. Любые две (конечные) максимально независимые подсистемы любой системы $$S \subseteq {}_K V $$ эквивалентны.
Замечание 9.4.5. Если $$A,B\in \mM_{m,n}(K) $$ и матрица B получена из матрицы A конечным числом элементарных преобразований 1-го, 2-го и 3-го типов, то каждая строка матрицы B является линейной комбинацией строк матрицы A (поскольку от матрицы B мы можем вернуться к матрице A с помощью элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типов, то каждая строка матрицы A является линейной комбинацией строк матрицы B ). Таким образом, в линейном пространстве строк Kn системы строк A1,...,Am матрицы A и B1,...,Bm матрицы B линейно выражаются друг через друга.
Теорема 9.4.6 (основная теорема о линейной зависимости). Пусть в линейном пространстве K V линейно независимая система элементов v1,...,vr линейно выражается через другую систему элементов u1,...,us. Тогда $$r \leq s$$.
Доказательство. Допустим противное: пусть r > s. В силу нашего предположения$$\begin{align*} v_1 = a_{11} u_1+ ... + a_{1s} u_s,\\ \quad
... \\ v_r = a_{r1} u_1 + ... + a_{rs} u_s,
\quad a_{ij}\in K.
\end{align*}$$
Так как r > s, то r строк$$\begin{align*} (a_{11}, ..., a_{1s}), \\* \quad ... \\*
(a_{r1}, ..., a_{rs})
\end{align*}$$
в линейном пространстве строк Ks линейно зависимы: найдется их линейная комбинация с коэффициентами k1, ..., kr, где $$k_i \neq 0 $$ для некоторого i, равная нулевой строке $$(0,...,0)\in K^s$$. Но тогда и линейная комбинация элементов v1, ..., vr с этими же коэффициентами k1, ..., kr, равна нулю, k1v1+...+krvr=0. Таким образом, система элементов v1,...,vr линейно зависима, что приводит нас к противоречию.
Следствие 9.4.7. Две эквивалентные конечные линейно независимые системы в линейном пространстве K V содержат равное число элементов.
Следствие 9.4.8.Для системы $$S \subseteq KV,$$ где KV —конечномерное линейное пространство, любые две (конечные) максимальные линейно независимые подсистемы содержат одинаковое число элементов r(S), называемое рангом системы S.
Следствие 9.4.9. Если S = K V и K V - конечномерное линейное пространство, то любые два базиса в K V состоят из одного и того же числа элементов n, это число n называется размерностью линейного пространства K V, обозначение: $$\dim {}_K V = n$$.
Как мы видели ранее, одним из базисов в линейном пространстве строк K Kn является система строк$$\begin{align*} \varepsilon_1=(1,0,...,0),\\ \quad ...\\
\varepsilon_n=(0,0,...,1),
\end{align*}$$
и поэтому $$\dim {}_K K^n=n$$.
Следствие 9.4.10. Если в конечномерном линейном пространстве K V одна система элементов S1 линейно выражается через другую систему S2, то $$r(S_1)\leq r(S_2)$$.
Следствие 9.4.11. Если в линейном пространстве K V система M из m элементов имеет ранг r, то любая ее подсистема S из s элементов ( $$s\leq m$$ ) имеет ранг не меньше чем r+s-m.
Доказательство. Действительно, если R - максимальная линейно независимая подсистема в M, |R|= r, то $$R\setminus (R\cap S)\subset M \setminus S$$, и поэтому $$|R\setminus (R\cap S)| \leq m-s$$. Следовательно, $$|R\cap S|\geq r-(m-s)=r+s-m$$.
Следствие 9.4.12. Для системы строк $$v_1,...,v_r\in K^n $$ следующие условия эквивалентны:
v1,...,vr является базисом линейного пространства строк Kn (т. е. максимальной линейно независимой подсистемой строк в K^n ; и тогда r=n );r=n );r=n и система строк v1,...,vn линейно независима;r=n и каждая строка $$v\in K^n $$ представима в виде линейной комбинации$$v=\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n,\quad \lambda_1,...,\lambda_n\in K.$$
Доказательство. Мы уже показали, что $$1)\Longrightarrow 2)$$. Покажем, что $$2)\Longrightarrow 1)$$. Если v1,...,vr - линейно зависимая система строк, $$\lambda_1v_1+...+\lambda_rv_r=0 $$ с некоторым $$\lambda_i\neq 0$$, то нулевая строка имеет два различных представления$$0 = 0\cdot v_1 + ... + 0 \cdot v_r = \lambda_1v_1+...+\lambda_rv_r,\quad \lambda_i\neq 0.$$
При этом r=n, так как любые базисы в K^n содержат n элементов.
Ясно, что $$1)\Longrightarrow 3)$$. Покажем, что $$3)\Longrightarrow 1)$$. Для любой строки $$v\in K^n $$ система строк v1,...,vn,v линейно зависима ( n+1>n ). Так как v1,...,vn - линейно независимая система, то $$v=\lambda_1v_1+...+\lambda_{nvn} $$ для некоторых $$\lambda_1,...,\lambda_n\in K$$.
Ясно, что $$1)\Longrightarrow 4)$$. Покажем, что $$4)\Longrightarrow 1)$$. Допустим, что v1,...,vn - линейно зависимая система. Тогда ее максимально линейно независимая подсистема $$v_{i_1},...,v_{ir}$$, r<n, является максимальной линейно независимой подсистемой в Kn, что противоречит r=n.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.