Пусть K - поле,$$f(t)=a_0+a_1t+...+a_nt^n\in K[t] \text{ -}$$
многочлен с коэффициентами из поля K, $$A\in M_{n}(K)$$. Тогда определим$$f(A)=a_0E+a_1A+...+a_nA^n\in M_{n}(K),$$
где$$E=E_n=
\begin{pmatrix}
1
\lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large 0 }}}\\ \ddots\\
\lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large 0 }}}
1
\end{pmatrix} \in M_{n}(K)\text{ -}$$
единичная $$(n\times n) $$ -матрица, т. е.$$f(A)=\sum_{i=0}^{n}a_iA^i,$$
здесь A0=E.
Пример 8.6.1. Пусть $$f(t)=t^2+2t+1=(t+1)^2, g(t)=t+1\in R[t]$$,$$A= \begin{pmatrix} 0 1\\ 1 0 \end{pmatrix} \in M_{2}( R).$$ Тогда$$\begin{align*} f(A) = \begin{pmatrix} 0 1\\ 1 0 \end{pmatrix}^2 + 2 \begin{pmatrix} 0 1\\ 1 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 0\\ 0 1 \end{pmatrix} ={} \\ = \begin{pmatrix} 1 0\\ 0 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 2\\ 2 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 0\\ 0 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 2\\ 2 2 \end{pmatrix}\\ \biggl( = \begin{pmatrix} 1 1\\ 1 1 \end{pmatrix}^2 = \left( \begin{pmatrix} 0 1\\ 1 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 0\\ 0 1 \end{pmatrix} \right)^2 = (g(A))^2\biggr). \end{align*}$$
Упражнение 8.6.2. Пусть$$A=
\begin{pmatrix}
a b\\
c d
\end{pmatrix} \in M_{2}(K)$$
и$$\begin{align*}
f(\lambda) = |A-\lambda E| =
\begin{vmatrix}
a-\lambda b\\
c d-\lambda
\end{vmatrix} =
(a-\lambda)(d-\lambda)-bc ={}
\\
= \lambda^2 -(a+d)\lambda+(ad-bc)\\
( = \lambda^2-tr A\lambda +|A|)\text{ -}
\end{align*}$$
характеристический многочлен матрицы A (здесь $$tr A=a+d$$ ). Тогда$$\begin{align*}
f(A) = A^2-(a+d)A+(ad-bc)E={}
\\
=
\begin{pmatrix}
a^2+bc ab+bd\\
ca+dc cb+d^2
\end{pmatrix} -
\begin{pmatrix}
(a+d)a (a+d)b\\
(a+d)c (a+d)d
\end{pmatrix} +{}
\\ \quad {}+
\begin{pmatrix}
ad-bc 0\\
0 ad-bc
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 0\\
0 0
\end{pmatrix}
\end{align*}$$
(т. е. в этом частном случае мы видим, что справедлива теорема Гамильтона Кэли о том, что матрица A является корнем своего характеристического многочлена $$f(\lambda)=|A-\lambda E| $$ для $$(2\times 2) $$ -матриц).
Теорема 8.6.3. Пусть K - поле,$$A\in M_{n}(K),$$
$$\Delta_A: K[t]\to M_{n}(K) \text{ -} $$ отображение, для которого $$\Delta_A(f(t))=f(A) $$ для $$f(t)\in K[t]$$. Тогда
K -алгебр, т. е.$$\begin{align*}
\Delta(f+g) = (f+g)(A) = f(A)+g(A)=
\Delta(f)+\Delta(g),\\
\Delta(fg) = (fg)(A) = f(A)g(A) = \Delta(f)\Delta(g),\\
\Delta(\lambda f) = (\lambda f)(A) = \lambda f(A) = \lambda\Delta(f)
\end{align*}$$
для всех $$f,g\in K[t]$$, $$\lambda\in K $$ ;K[t].Доказательство.
Пусть f(t) = a0+a1t+...+antn, g(t) = b0+b1t+...+bmtm,
где $$a_i,b_j\in K$$, и пусть $$\lambda\in K$$. Тогда
а) если $$n \geq m$$, то$$(f+g)(A)=\sum_{i=0}^{n}(a_i+b_i)A^i= \sum_{i=0}^{n}a_iA^i+\sum_{i=0}^{m}b_iA^i= f(A)+g(A)$$
(здесь bn=...=bm+1=0 );
б) если (fg)(t)=c0+c1t+...+cm+ntm+n,
где$$c_k=\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i},$$
то$$(fg)(A)=\sum_{k=0}^{m+n}c_k A^k;$$
с другой стороны,$$\begin{mult}
f(A)g(A)=
\biggl(\,\sum_{i=0}^{n}a_iA^i\biggr)\biggl(\,\sum_{j=0}^{m}b_jA^j\biggr)={}
\\*
{}=\sum_{k=0}^{m+n}\biggl(\,\sum_{i=0}^{k}a_ib_{k-i}\biggr)A^k=
\sum_{k=0}^{m+n}c_kA^k,
\end{mult}$$
т. е. (fg)(A)=f(A)g(A) ;
в)$$(\lambda f)(A) = \sum_{i=0}^{n} (\lambda a_i)A^i = \lambda \biggl(\,\sum_{i=0}^{n}a_i A^i\biggr)= \lambda f(A).$$
Если $$f(t),g(t)\in Ker \Delta$$, $$h(t)\in K[t]$$, $$\lambda\in K$$, то f(A)=0, g(A)=0, и поэтому$$\begin{align*}
(f+g)(A) = f(A)+g(A)=0+0=0,\\
(fh)(A) = f(A)h(A) = 0\cdot h(A)=0,\\
(\lambda f)(A) = \lambda f(A) = \lambda\cdot 0=0.
\end{align*}$$
Итак, $$\Ker\Delta\lhd K[t] $$ (т. е. $$Ker \Delta $$ - идеал K -алгебры K[t] ).
Так как система матриц$$E,A,A^2,...,A{n^2+1}$$
линейно зависима в Mn(K) (поскольку $$\dim_K M_{n}(K)=n^2$$ ), то найдутся (не все нулевые) элементы $$a_0,a_1,...,a_{n^2+1}\in K$$, для которых$$a_0 E+a_1 A+...+a_{n^2+1}A^{n^2+1}=0,$$
т. е.$$0\neq f(t)=a_0+a_1t+...+a_{n^2+1}t^{n^2+1}\in\Ker\Delta.$$
Итак, $$\Ker\Delta\neq 0$$.
Замечание 8.6.4. Более сильное утверждение о том, что$$|A-tE|\in\Ker\Delta,$$
является содержанием следующей теоремы. (теорема Гамильтона Кэли, $$\deg |A-tE|=n$$ ), таким образом, любая квадратная матрица A является корнем своего характеристического многочлена |A-.
Теорема 8.6.5 (теорема Гамильтона—Кэли). Пусть K - поле (или даже коммутативное ассоциативное кольцо с 1 ), $$A\in M_n(K)$$, $$p(t)=|A-tE|\in K[t] $$ - характеристический многочлен квадратной матрицы A, $$\deg p(t)=n$$. Тогда$$p(A)=0\in M_n(K).$$
Доказательство. Для матрицы$$D=A-tE=(d_{ij})\in M_n(K[t]),$$
$$d_{ij}\in K[t]$$, рассмотрим присоединенную матрицу$$B=(b_{ij})\in M_n(K[t]),$$
$$b_{ij}=D_{ji}\in K[t] $$ - d_{ji}. Тогда $$\deg(b_{ij}(t)) \leq n-1$$, и поэтому B=B(t)=B0+tB1+...+tn-1Bn-1,
где $$B_i\in M_n(K)$$. Так как p(t)=|A-,
где $$c_i\in K$$, i=0,1,...,n-1, $$D\cdot B=|D|\cdot E$$, то$$\begin{equation}\label{unuGK}
(A-tE)B(t)=p(t)E.
\end{equation}$$
Приравнивая матричные коэффициенты при степенях tk, $$0 \leq k \leq n$$, в левой и правой частях этого равенства, получаем:$$\begin{equation}\label{duGK}
\begin{alignedat}{2}
t^n: \quad -B_{n-1}=(-1)^nE,
\\
t^{n-1}: A\cdot B_{n-1}-B_{n-2}= c_{n-1}E,
\\
t^{n-2}: A\cdot B_{n-2}-B_{n-3}= c_{n-2}E,
\\ ... ...
\\
t: A\cdot B_1-B_0= c_1E,
\\
t^0: A\cdot B_0= c_0E.
\end{alignedat}
\end{equation}$$
Умножая слева равенства (8.2) на An,An-1,...,A,E соответственно, получаем$$\begin{equation}\label{triGK}
\begin{aligned} \!-A^n\cdot B_{n-1}=(-1)^nA^n,
\\ \,\phm A^n\cdot B_{n-1}-A^{n-1}\cdot B_{n-2}= c_{n-1}A^{n-1},
\\ \,\phm...
\\ \,\phm A^2\cdot B_1-A\cdot B_0= c_1A,
\\ \,\phm A\cdot B_0= c_0E.
\end{aligned}
\end{equation}$$
Складывая равенства (8.2), получаем$$M_n(K)\ni 0=p(A).$$
Замечание 8.6.6. Отметим, что равенства (8.2) показывают, что матрицы B0,B1,...,Bn-1 являются многочленами от матрицы A, в частности, BiA=ABi, i=0,1,...,n-1. Поэтому можно было подставить в (8.1) вместо переменной t матрицу A, и тогда$$\begin{mult}
M_n(K)\ni 0=(A-AE)(B_0+AB_1+...+A^{n-1}B_{n-1})={}
\\
{}\stackrel{(8.1)}{=} p(A)\cdot E=p(A).
\end{mult}$$
Замечание 8.6.7. Очевидное равенство $$|A-AE|=0\in K $$ не является доказательством теоремы Гамильтона Кэли.
Упражнение 8.6.8. Аннулирующий многочлен минимальной степени $$\varphi_A(t) $$ жордановой клетки r -го порядка$$A=
\begin{pmatrix}
\lambda 1 0 ... 0\\
0 \lambda 1 ... 0\\
0 0 \lambda ... 0\\
\vdots \vdots \vdots \ddots \vdots\\
0 0 0 ... \lambda
\end{pmatrix}$$
равен$$\varphi_A(t)=(\lambda-t)^r=|A-tE|.$$
Упражнение 8.6.9. Если$$A= \begin{pmatrix} 1 1 0\\ 0 1 0\\ 0 0 1 \end{pmatrix},$$ то$$\varphi_A(t)=(1-t)^2,\quad |A-tE|=(1-t)^3.$$
Определение 8.7.1. Пусть $$A\in M_n(K) $$ - квадратная матрица. A, если AB=E=BA
Замечание 8.7.2 (для любой ассоциативной операции). Если обратная матрица B к матрице A существует, то она однозначно определена. Действительно, пусть AB=E=BA и AC=E=CA, тогда C=EC=(BA)C=B(AC)=BE=B (это повтор того, что мы уже отмечали ранее: единственность обратного элемента, если он существует, для любого элемента B мы будем обозначать через A-1 : AA-1=E=A-1A.
Теорема 8.7.3 (об обратной матрице). Пусть $$A\in M_n(K) $$ - квадратная $$(n\times n) $$ -матрица. Тогда:
B = (bij) = A-1 существует тогда и только тогда, когда $$|A|\neq 0 $$ ;Доказательство.
а) Если AB=E, то 1=|E|=|AB|=|A|,|B|, поэтому $$|A|\neq 0 $$ и, более того, $$|A^{-1}|=|B|=\frac{1}{|A|}$$.
б) Если $$|A|\neq 0$$, то рассмотрим B=(bij), где $$b_{ij}=\frac{A_{ji}}{|A|}$$. Ясно, что AB=E=BA (принимая во внимание разложение определителя по строкам и столбцам, а также "фальшивое" разложение), т. е. B=A-1.
Следствие 8.7.4. Если $$A,B\in M_n(K)$$, то из AB=E следует, что BA=E (матрица, имеющая правую обратную, обратима (двусторонне)).
Доказательство. Если AB=E, то |A|,|B|=|AB|=|E|=1, поэтому $$|A|\neq 0$$, но тогда существует двусторонняя обратная матрица A-1. Таким образом, $$A^{-1}=A^{-1}E=A^{-1}(AB)=(A^{-1}A)B=E\cdot B=B$$, следовательно, BA=A-1A=E.
Следствие 8.7.5. Для $$A,B\in M_n(K) $$ имеем |AB|=|A|,|B|, поэтому $$|AB|\neq 0 $$ тогда и только тогда, когда $$|A|\neq 0 $$ и $$|B|\neq 0$$, т. е. обратная матрица (AB)^{-1} существует тогда и только тогда, когда существуют A-1 и B-1. Более того, в этом случае (AB)-1=B-1A-1.
Доказательство. (AB)(B-1A-1)=E=(B-1A-1)(AB).
Следствие 8.7.6. Если существуют обратные матрицы $$A^{-1}_1,...,\allowbreak A^{-1}_r $$ для $$A_1,...,A_r\in M_n(K)$$, то $$(A_1A_2\cdot...\cdot A_r)^{-1}= A^{-1}_r\cdot...\cdot A^{-1}_2A^{-1}_1$$.
Следствие 8.7.7. Если существует обратная матрица A-1 для $$A\in M_n(K)$$, то (A-1)-1=A.
Доказательство. A-1A=E=A A-1 (с точки зрения матрицы A-1 : A=(A-1)-1 ).
Упражнение 8.7.8. Пусть$$A= \begin{pmatrix} a b\\ c d \end{pmatrix} \in M_{2}(K),\quad |A|=ad-bc\neq 0.$$ Тогда:$$\begin{gathe} B = (b_{ij}=A_{ji}) = \begin{pmatrix} \phm d -b\\ -c \phm a \end{pmatrix};\\ A^{-1} = \begin{pmatrix} \phm \frac{d}{ad-bc} -\frac{b}{ad-bc}\\[3\jot] -\frac{c}{ad-bc} \phm \frac{a}{ad-bc} \end{pmatrix}. \end{gathe}$$
Упражнение 8.7.9. Пусть$$A = \begin{pmatrix} 1 1 ... 1\\ 0 1 ... 1\\ \vdots \ddots \vdots\\ 0 ... 0 1 \end{pmatrix}.$$ Тогда$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 -1 \lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large 0 }}}\\ \ddots \ddots \\ \ddots -1\\ \lefteqn{\raisebox{5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{5pt}\Large 0 }}} 1 \end{pmatrix}.$$
Упражнение 8.7.10. Найти$$\begin{pmatrix}
0 1 ... 1\\
1 0 ... 1\\
\hdotsfor{4}\\
1 1 ... 0
\end{pmatrix}^{-1} \in M_n( Q)$$
(матрица размера $$n\times n$$, на главной диагонали которой стоят нули, а все остальные элементы равны 1 ).
Упражнение 8.7.11. Пусть$$A = \begin{pmatrix} 1 2 3 ... n-1 n\\ n 1 2 ... n-2 n-1\\ n-1 n 1 ... n-3 n-2\\ \hdotsfor{6}\\ 2 3 4 ... n 1 \end{pmatrix} \in M_n( Q).$$ Тогда$$A^{-1} = \frac{1}{ns} \begin{pmatrix} 1-s 1+s 1 ... 1 1\\ 1 1-s 1+s ... 1 1\\ 1 1 1-s ... 1 1\\ \hdotsfor{6}\\ 1+s 1 1 ... 1 1-s \end{pmatrix},$$ где $$s=\frac{n(n+1)}{2}$$.
Теорема 8.7.12 (о линейных группах).
а)
б)
Доказательство.
а) Все проверки для $$\GL_n(K) $$ уже были проведены.
б) Если $$A,B\in \SL_n(K)$$, то |A|=1, |B|=1, поэтому $$|AB|=|A|\,|B|=1\cdot 1=1$$, следовательно, $$AB\in \SL_n(K)$$. Ясно, что |E|=1, т. е. $$E\in \SL_n(K)$$. Если $$A\in \SL_n(K)$$, то $$|A|=1\neq 0$$, т. е. существует A-1, при этом $$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=1$$, поэтому $$A^{-1}\in \SL_n(K)$$.
Лемма 8.7.13. Если $$A\in \GL_n(K) $$ (т. е. $$A\in M_n(K) $$ и $$|A|\neq 0$$ ), то $$|A^*|=|A|\neq 0 $$ (т. е. $$A^*\in\GL_n(K)$$ ) и, более того, (A*)-1=(A-1)*.
Доказательство.$$\begin{align*}
(A^{-1})^*A^* = (AA^{-1})^*=E^*=E;\\
A^*(A^{-1})^* = (A^{-1}A)^*=E^*=E
\end{align*}$$
(с точки зрения матрицы A^* : (A*)-1=(A-1)* ).
Определение 8.7.14. A-1=A*
Теорема 8.7.15. Совокупность ортогональных матриц $$O_n(K)=\{A\in M_n(K) \mid A^{-1}=A^*\} $$ относительно умножения матриц является группой.
Доказательство.
а) Если $$A,B\in O_n(K)$$, то A-1=A* и B-1=B*. Тогда (AB)-1=B-1A-1=B*A*=(AB)*, поэтому $$AB\in O_n(K)$$.
б) E-1=E=E*, т. е. $$E\in O_n(K)$$.
в) Если $$A\in O_n(K)$$, то для B=A-1 имеем B-1=(A-1)-1=(A*)-1=(A-1)*=B*, следовательно, $$B=A^{-1}\in O_n(K)$$.
Задача 8.7.16. Пусть $$A\in M_n(K) $$ и существует такое число k, что Ak - нулевая матрица. Покажите, что матрицы E-A, E+A обратимы (здесь E - единичная матрица в Mn(K) ).
Задача 8.7.17. Для $$A,B\in M_n(K) $$ равносильны условия:
E-AB обратима;E-BA обратима(этот факт полезен при построении теории определителей над произвольным кольцом R : в алгебраической K -теории - K_1(R) ).
Более того, можно доказать, что если $$A\in M_{m,n}(K)$$, $$B\in M_{n,m}(K)$$, то Em-AB - обратимая матрица тогда и только тогда, когда En-BA - обратимая матрица.
Задача 8.7.18. Найти число элементов в группах $$\GL_2( Z_2)$$, $$\SL_2( Z_2)$$, $$\GL_n(K)$$, где K - конечное поле из q элементов.
Упражнение 8.7.19. Рассмотрим отображение$$f: S_n\to\GL_n(K),$$
где$$f(\sigma)=\sum_{j=1}^{n} E_{\sigma(j)j}$$
(т. е. в j -м столбце единственная единица стоит в $$\sigma(j) $$ -й строке, остальные элементы нулевые). Тогда$$|f(\sigma)|=\varepsilon(\sigma)=
\begin{cases}
1, \sigma\in\mA_n,\\
-1 \sigma\in S_n\setminus\m A_n,
\end{cases}$$
поэтому $$f(\sigma)\in\GL_n(K)$$. Покажите, что f - инъективный гомоморфизм (т. е. группа $$\GL_n(K) $$ содержит подгруппу, Sn ).
Действительно, для $$\sigma,\tau\inS_n $$ имеем$$\begin{mult}
f(\sigma)f(\tau)=
\biggl(\,\sum_{j=1}^{n}E_{\sigma(j)j}\biggr)
\biggl(\,\sum_{j=1}^{n}E_{\tau(j)j}\biggr)={}
\\
{}=\sum_{j=1}^{n}E_{\sigma(i)i}E_{i=\tau(j)j}=
\sum_{j=1}^{n}E_{\sigma(\tau(j))j}=\sum_{j=1}^{n}E_{(\sigma\tau)(j)j}=
f(\sigma\tau),
\end{mult}$$
т. е. f - гомоморфизм. Если $$f(\sigma)=E$$, то$$\sigma=
\begin{pmatrix}
1 2 ... n\\
1 2 ... n
\end{pmatrix}.$$
Итак, f - инъективный гомоморфизм.
Контрольные вопросы 8.7.20.
Пусть дана квадратная матрица $$A \in M_n(K) $$ такая, что $$|A|\neq 0$$.
Первый способ. A-1=B=(bij), $$b_{ij}=\frac{A_{ji}}{|A|} $$ (к сожалению, требуется вычислить n2 определителей Aji размера $$(n-1)\times(n-1)$$ ).
Второй способ. Найдем матрицу $$X\in M_n(K) $$ такую, что AX=E (тогда, по следствию 8.7.4, XA=E, X=A-1 ). Это равносильно нахождению таких столбцов $$\hat X_1,...,\hat X_n$$, что$$A\hat X_1=\hat E_1,...,\ A\hat X_n=\hat E_n,$$
т. е. решению n систем линейных уравнений с матрицей A для коэффициентов и столбцами свободных членов $$\hat E_1,...,\hat E_n $$ (столбцы единичной матрицы). Так как $$|A|\neq 0$$, то элементарными преобразованиями строк 1-го, 2-го и 3-го типов мы можем матрицу A привести к единичной матрице E. Применяя эти преобразования одновременно к n нашим системам, получаем$$(A\mid E)\mapsto...\mapsto(E\mid B).$$
Но тогда столбцы матрицы B - решения наших n систем, AB=E (как мы уже отметили, в этом случае BA=E, B=A-1 ).
Замечания 8.8.1.
Можно предложить другое обоснование этого алгоритма. Найдутся элементарные матрицы Ti 1-го, 2-го или 3-го типа такие, что $$T_r\cdot...\cdot T_2T_1A=E$$, т. е. TA=E для $$T=T_r\cdot...\cdot T_1 $$ и, следовательно, T=A-1. Но тогда B=.
Отсюда следует также, что группа $$G=\GL_n(K) $$ порождается элементарными матрицами 1-го, 2-го и 3-го типа.
|A| равен 0, то мы не сможем привести элементарными преобразованиями матрицу A к E (ступенчатый вид матрицы A будет треугольной матрицей с хотя бы одним нулем на диагонали). Это означает, что можно не вычислять A перед применением алгоритма.Пример 8.8.2.$$\begin{gathe} A= \begin{pmatrix} 1 m\\ 0 1 \end{pmatrix},\quad |A|=1\neq 0,\\ \left( \begin{array}{cc|cc} 1 m 1 0\\ 0 1 0 1 \end{array}\right) \to \left( \begin{array}{cc|cc} 1 0 1 -m\\ 0 1 0 \phm 1 \end{array}\right), \end{gathe}$$ т. е.$$A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 -m\\ 0 \phm 1 \end{pmatrix}.$$
Пример 8.8.3. Найти обратную матрицу для матрицы$$\begin{pmatrix} 5 2 0\\ 2 1 1\\ 3 3 8 \end{pmatrix},$$ если она существует.
Решение$$\begin{align*} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 5 2 0 1 0 0\\ 2 1 1 0 1 0\\ 3 3 8 0 0 1 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 5 2 0 1 \phm 0 0\\ 2 1 1 0 \phm 1 0\\ 1 2 7 0 -1 1 \end{array} \right) \to{} \\[1mm] \quad {}\to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 2 7 0 -1 1\\ 2 1 1 0 \phm 1 0\\ 5 2 0 1 \phm 0 0 \end{array} \right) \to{} %\\ % \quad {}\to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 \phm 2 \phm 7 0 -1 \phm 1\\ 0 -3 -13 0 \phm 3 -2\\ 0 -8 -35 1 \phm 5 -5 \end{array} \right) \to{} \\[1mm] \quad {}\to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 \phm 2 \phm 7 0 -1 \phm 1\\ 0 -3 -13 0 \phm 3 -2\\ 0 \phm 1 \phm 4 1 -4 \phm 1 \end{array} \right) \to{} \\[1mm] \quad {}\to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 \phm 2 \phm 7 0 -1 \phm 1\\ 0 \phm 1 \phm 4 1 -4 \phm 1\\ 0 -3 -13 0 \phm 3 -2 \end{array} \right) \to{} \\[1mm] \quad {}\to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 2 \phm 7 0 -1 1\\ 0 1 \phm 4 1 -4 1\\ 0 0 -1 3 -9 1 \end{array} \right) \to{} %\\ % \quad {}\to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 2 7 \phm 0 -1 \phm 1\\ 0 1 4 \phm 1 -4 \phm 1\\ 0 0 1 -3 \phm 9 -1 \end{array} \right) \to{} \\[1mm] \quad {}\to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 2 0 \phm 21 -64 \phm 8\\ 0 1 0 \phm 13 -40 \phm 5\\ 0 0 1 -3 \phm 9 -1 \end{array} \right) \to{} \\[1mm] \quad {}\to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 0 0 -5 \phm 16 -2\\ 0 1 0 \phm 13 -40 \phm 5\\ 0 0 1 -3 \phm 9 -1 \end{array} \right). \end{align*}$$ Итак,$$\begin{pmatrix} 5 2 0\\ 2 1 1\\ 3 3 8 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} -5 \phm 16 -2\\ \phm 13 -40 \phm 5\\ -3 \phm 9 -1 \end{pmatrix}.$$
Случай 1. $$A\in M_n(K)$$, $$|A|\neq 0$$. Тогда существует обратная матрица A-1, и поэтому существует единственное решение X=A-1B уравнения AX=B (для уравнения YA=B существует единственное решение Y=BA-1 ). При этом можно отдельно не вычислять матрицу A-1, а применять наш алгоритм, приписывая к матрице A матрицу B, $$(A\mid B)$$, и приводя элементарными преобразованиями строк к $$(E\mid A^{-1}B)$$.
Пример 8.8.4. Пусть$$A=
\begin{pmatrix}
\phm 1 \phm 3 2\\
-2 -1 1\\
\phm 1 \phm 2 2
\end{pmatrix},\quad
B=
\begin{pmatrix}
\phm 8 -16 \phm 9\\
-6 \phm 7 -3\\
\phm 7 -13 \phm 7
\end{pmatrix}.$$
Требуется найти матрицу A^{-1}B
Решение$$\begin{align*} \left( \begin{array}{ccc|ccc} \phm 1 \phm 3 2 \phm 8 -16 \phm 9\\ -2 -1 1 -6 \phm 7 -3\\ \phm 1 \phm 2 2 \phm 7 -13 \phm 7 \end{array} \right) \to{} \\ \quad \begin{alignedat}{3} {}\to \lefteqn{\left( \begin{array}{ccc|ccc} \phm 0 \phm 1 0 \phm 1 -3 \phm 2\\ -2 -1 1 -6 \phm 7 -3\\ \phm 1 \phm 2 2 \phm 7 -13 \phm 7 \end{array} \right) \to{}} \\ {}\to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 1 0 1 -3 2\\ 0 3 5 8 -19 11\\ 1 2 2 7 -13 7 \end{array} \right) \to{} %\\ % \quad {}\to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 1 0 1 -3 2\\ 0 0 5 5 -10 5\\ 1 2 2 7 -13 7 \end{array} \right) \to{} \\ {}\to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 1 0 1 -3 2\\ 0 0 1 1 -2 1\\ 1 2 2 7 -13 7 \end{array} \right) \to{} %\\ % \quad {}\to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 1 0 1 -3 2\\ 0 0 1 1 -2 1\\ 1 0 2 5 -7 3 \end{array} \right) \to{} \\ {}\to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 1 0 1 -3 2\\ 0 0 1 1 -2 1\\ 1 0 0 3 -3 1 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 0 0 3 -3 1\\ 0 1 0 1 -3 2\\ 0 0 1 1 -2 1 \end{array} \right). \end{alignedat} \end{align*}$$ Следовательно,$$A^{-1}B = \begin{pmatrix} 3 -3 1\\ 1 -3 2\\ 1 -2 1 \end{pmatrix}.$$
Общий случай матричного уравнения AX=B, $$A\in M_{m,n}(K)$$, $$X\in M_{n,r}(K)$$, $$B\in M_{m,r}(K)$$, равносилен рассмотрению r систем линейных уравнений с матрицей A и столбцами $$\hat B_1,...,\hat B_r $$ в качестве столбцов свободных членов. Приведение матрицы A к ступенчатому виду r ступенчатых систем с одной матрицей
Замечание 8.8.5. Вычисление матрицы Y=BA-1 можно провести, используя элементарные преобразования столбцов:$$\left(\begin{array}{c}
A\\
\hline
B
\end{array}\right) \to
\left(\begin{array}{c}
E\\
\hline
BA^{-1}
\end{array}\right).$$
Замечание 8.9.1. Пусть U, V - линейные пространства, $$f: U\to V $$ - линейное отображение (т. е. f(u1+u2)=f(u1)+f(u2) и f(ru)=rf(u) для всех $$u,u_1,u_2\in U $$ и $$r\in K)$$. Если отображение f биективно, то его обратное отображение f-1 также является линейным отображением.
Доказательство. Для всех $$v_1,v_2\in V $$$$\begin{mult}
f(f^{-1}(v_1+v_2))=v_1+v_2={}
\\
{}=f(f^{-1}(v_1))+f(f^{-1}(v_2))=
f(f^{-1}(v_1)+f^{-1}(v_2)).
\end{mult}$$
Так как f инъективно, то f-1(v1+v2)=f-1(v1)+f-1(v2).
Аналогично, для $$v\in V $$ и $$r\in K $$ из f(f-1(rv))=rv=rf(f-1(v))=f(rf-1(v))
следует, что f-1(rv)=rf-1(v).
Итак, f-1 - линейное отображение.
Замечание 8.9.2. Если $$f: \hat K^n\to\hat K^m $$ - линейное отображение с матрицей $$F=(f_{ij})\in M_{m,n}(K)$$, то f - биективное отображение тогда и только тогда, когда
а) m=n,
б) $$|F|\neq 0$$.
При этом матрица линейного отображения g=f-1 равна G=F-1.
Доказательство.
m=n и $$|F|\neq 0$$, то для системы$$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
f_{11}x_1 +...+ f_{1n}x_n = y_1,\\
\dotfill\\
f_{n1}x_1 +...+ f_{nn}x_n = y_n
\end{array}
\right.$$
по правилу Крамера знаем, что решение существует и единственно, при этом$$x_i=\frac{D_i}{|F|}=
\frac{F_{1i}}{|F|}y_1+...+\frac{F_{ni}}{|F|}y_n=
g_{i1}y_1+...+g_{in}y_n,$$
где G=(gij)=F-1. Итак, g=f-1 существует и является линейным отображением с матрицей G=F-1.Для линейного отображения $$f: \hat K^n\to\hat K^m $$ с матрицей $$F=(f_{ij})\in M_{m,n}(K)$$, где$$f \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_m \end{pmatrix},\quad \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} f_{11}x_1 +...+ f_{1n}x_n = y_1,\\ \dotfill\\ f_{m1}x_1 +...+ f_{mn}x_n = y_m, \end{array} \right.$$ из нашего исследования систем линейных уравнений (метод Гаусса) имеем:
а) если m<n, то отображение f не является инъективным (даже для нулевого столбца свободных членов есть отличный от нуля прообраз (ненулевое решение));
б) если m>n, то отображение f не является сюръективным (так как если $$m>n\geq r$$, то в ступенчатой форме
Итак, если f биективно, то m=n, т. е. $$f: U\to U$$, где $$U=\hat K^n$$. Если g=f-1, то g - линейное отображение. Пусть G=(gij) - его матрица. Так как fg=1U=gf, то FG=E=GF, и поэтому $$|F|\neq 0 $$ и G=F-1.
Упражнение 8.9.3 (еще одна очень хорошая функция от матриц).
A ). Тогда:а) $$tr $$ - линейная функция,$$tr(A+B)=tr(A)+tr(B),\quad tr(\lambda A)=\lambda\tr(A)$$ для всех $$A,B\in M_n(K) $$ и $$\lambda\in K $$ ;
б) tr(E)=n ;
в) $$tr(AB)=tr(BA)$$.
K= R ), то в алгебре матриц Mn(K) единичная матрица E не представима в виде AB-BA для $$A,B\in M_n(K)$$.Поле комплексных чисел C можно найти как изоморфное подполе в кольце $$(2\times 2) $$ -матриц M_2( R) над полем действительных чисел R.
Рассмотрим совокупность C' всех $$(2\times 2) $$ -матриц вида$$\begin{pmatrix}
\phm a b\\
-b a
\end{pmatrix} \in M_{2}( R),$$
где $$a,b\in R$$. Так как$$\begin{gathe}
\begin{pmatrix}
\phm a b\\
-b a
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
\phm c d\\
-d c
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a+c b+d\\
-(b+d) a+c
\end{pmatrix},\\
\begin{pmatrix}
\phm a b\\
-b a
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\phm c d\\
-d c
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
ac-bd ad+bc\\
-(ad+bc) ac-bd
\end{pmatrix} =
%{}
%\\
%=
\begin{pmatrix}
\phm c d\\
-d c
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\phm a b\\
-b a
\end{pmatrix},
\end{gathe}$$
то подмножество C' в M2( R) замкнуто относительно операций сложения и умножения, о которых мы уже знаем, что они ассоциативны, умножение в C' коммутативно, сложение и умножение связаны
Так как$$\begin{pmatrix}
0 0\\
0 0
\end{pmatrix} \in C',\quad
-\begin{pmatrix}
\phm a b\\
-b a
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-a -b\\
-(-b) aa
\end{pmatrix} \in C',$$
то ( C',+) - абелева группа.
Итак, $$( C',{+},{\cdot}) $$ - коммутативное кольцо.
Если$$A=
\begin{pmatrix}
\phm a b\\
-b a
\end{pmatrix}
\neq
\begin{pmatrix}
0 0\\
0 0
\end{pmatrix},$$
то$$\begin{vmatrix}
\phm a b\\
-b a
\end{vmatrix} =
a^2+b^2\neq 0,$$
и поэтому существует обратная матрица$$A^{-1} =
\begin{pmatrix}
\frac{a}{a^2+b^2} \frac{-b}{a^2+b^2}\\[3mm]
-\left(\frac{-b}{a^2+b^2}\right) \frac{a}{a^2+b^2}
\end{pmatrix} \in C',$$
таким образом, C' - поле (подполе в кольце матриц M2( R) ).
Отождествляя действительное число $$a\in R $$ со скалярной матрицей$$\begin{pmatrix}
a 0\\
0 a
\end{pmatrix} \in C',$$
получаем (изоморфное) вложение поля R в C' ( $$R\subseteq C'$$ ),$$a \mapsto
\begin{pmatrix}
a 0\\
0 a
\end{pmatrix}.$$
Обозначив$$i =
\begin{pmatrix}
\phm 0 1\\
-1 0
\end{pmatrix} \in C',$$
получаем$$i^2 =
\begin{pmatrix}
\phm 0 1\\
-1 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\phm 0 1\\
-1 0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-1 \phm 0\\
\phm 0 -1
\end{pmatrix} = -1.$$
Если$$\begin{pmatrix}
\phm a b\\
-b a
\end{pmatrix} \in C',$$
то$$\begin{mult}
\begin{pmatrix}
\phm a b\\
-b a
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a 0\\
0 a
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
\phm 0 b\\
-b 0
\end{pmatrix} ={}
\\
{}=
\begin{pmatrix}
a 0\\
0 a
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
b 0\\
0 b
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\phm 0 1\\
-1 0
\end{pmatrix} =
a+bi.
\end{mult}$$
Замечание 8.10.1. Фактически, нами установлено, что отображение f из C в C',$$f((a,b)) =
\begin{pmatrix}
\phm a b\\
-b a
\end{pmatrix}$$
является изоморфизмом построенных полей C и C', т. е. биекцией, для которой f(z1+z2)=f(z1)+f(z2), f(z1z2)=f(z1)f(z2) для всех $$z_1,z_2\in C$$.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.