Теорема 9.5.1. Пусть $$A,B,C\in M_{m,n}(K)$$, B и C - ступенчатые матрицы, полученные из ненулевой матрицы A конечным числом элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типов. Тогда:
{B1,...,Bm} матрицы B и {C1,...,Cm} матрицы C в линейном пространстве строк Kn линейно выражаются друг через друга (другими словами, A, B и C в K^n совпадают: $$\langle A_1,...,A_m\rangle = \langle B_1,...,B_m\rangle = \langle C_1,...,C_m\rangle$$r1 и r2 ненулевых строк в ступенчатых матрицах B и C соответственно совпадают (при этом $$r=r_1=r_2=\dim_K \langle A_1,...,A_m\rangle $$ ; другие интерпретации числа r=r(A) будут даны в теореме 9.16.1 о ранге матрицы);B и C располагаются в одних и тех же столбцах;B и C - главные ступенчатые виды ненулевой матрицы $$A \in M_{m,n}(K)$$, то B=C.Доказательство.
Kn системы строк {A1,...,Am} матрицы A и {B1,...,Bm} матрицы B линейно выражаются друг через друга. Аналогично, системы строк {A1,...,Am} матрицы A и {C1,...,Cm} матрицы C также линейно выражаются друг через друга. Принимая во внимание транзитивность линейной выражаемости систем строк (см. следствие 9.4.2), получаем, что системы строк {B1,...,Bm} матрицы B и {C1,...,Cm} матрицы C линейно выражаются друг через друга. Следовательно,$$\langle A_1,...,A_m\rangle =
\langle B_1,...,B_m\rangle =
\langle C_1,...,C_m\rangle.$$
r1=r2 (см. следствие 9.4.10), при этом$$\begin{mult}
r=r_1=r_2=\dim \langle B_1,...,B_m\rangle={}
\\*
{}=
\dim \langle C_1,...,C_m\rangle=\dim \langle A_1,...,A_m\rangle.
\end{mult}$$
r ненулевых строк B1,B2,...,Br ступенчатой матрицы B расположены в столбцах с номерами k1,k2,...,kr, k1<k2<...<kr, а лидеры r ненулевых строк C1,C2,...,Cr ступенчатой матрицы C расположены в столбцах с номерами l1,l2,...,lr, l1<l2<...<lr. Так как системы строк {B1,B1_2,...,Br}, {C1,C2,...,Cr} линейно выражаются друг через друга, то, в силу леммы 3.5.5 и следствия 3.5.6, k1=l1 ( $$k_1 \geq \min\{l_i\}=l_1 $$ ; $$l_1 \geq \min\{k_i\}=k_1$$ ).Продолжая этот процесс, убеждаемся в том, что $$k_3=l_3,...,\allowbreak k_r=l_r$$.
r и номера столбцов l1,...,lr, $$1 \leq l_1<l_2...<l_r \leq n$$, в которых находятся главные неизвестные главных ступенчатых видов B и C, определены однозначно. Таким образом, разбиения на главные и свободные неизвестные, определяемые ступенчатыми видами B и C, совпадают. Поскольку главные неизвестные однозначно выражаются через свободные (в эквивалентных однородных системах линейных уравнений с главными ступенчатыми матрицами B и C ), при этом главный ступенчатый вид определяется этим выражением однозначно (см. замечание 3.6.9, то B=C ).Замечание 9.5.2 (матричное доказательство п. 4 теоремы о единственности главного ступенчатого вида). Для $$A\in M_{m,n}(K) $$ существуют такие обратимые матрицы $$F,G\in M_m(K) $$ (произведения матриц, соответствующих элементарным преобразованиям строк), что$$A=F\cdot B=G\cdot C.$$
Следовательно,$$B=D\cdot C,\ \ \text{где}\ \ D=F^{-1}G.$$
Используя определение главного ступенчатого вида и переставляя
столбцы матриц B и C, имеем:$$\begin{equation}\label{new7z}
B\cdot Q=
\left(
\begin{array}{c|c}
E_r \text{\large * }
\\
\hline
0 0
\end{array}
\right) =
D \cdot \left(
\begin{array}{c|c}
E_r \text{\large {*} }'
\\
\hline
0 0
\end{array}
\right) =
D\cdot C\cdot Q,
\end{equation}$$
где $$Q\in M_n(K) $$ (матрица Q - обратимая матрица, соответствующая последовательности элементарных преобразований столбцов; мы уже доказали в п. 2 и 3, что числа r и столбцы j1,...,jr, в которых стоят лидеры строк, одинаковы для ступенчатых матриц B и C, соответственно; нулевые блоки могут отсутствовать (если k=r=m )). Следовательно, матрица D имеет следующий блочный вид:$$D=
\left(
\begin{array}{c|c}
E_r
\raisebox{-3.5mm}[0pt][0pt]{\text{\large$\tilde{*}$}}
\\
\cline{1-1}
0
\end{array}
\right),$$
где матрица $$\tilde * \in M_{m,m-r}(K) $$ (если r<m ) состоит из произвольных элементов поля K. Поэтому, умножая D на$$\left(
\begin{array}{c|c}
E_r \text{\large {*} }'
\\
\hline
0 0
\end{array}
\right)$$
и приравнивая к$$\left(
\begin{array}{c|c}
E_r \text{\large * }
\\
\hline
0 0
\end{array}
\right),$$
получаем, что *=*' $$\in$$ M m-r, n-r. Умножая (9.1) справа на Q-1, получаем B=C.
Пусть K U, K V - линейные пространства над полем K. Биективное отображение$$f: {}_K U\to {}_K V,$$
для которого$$\begin{align*}
f(u_1+u_2) = f(u_1)+f(u_2),\\
f(ku) = kf(u)
\end{align*}$$
для всех $$u_1,u_2,u\in {}_K U$$, $$k\in K$$, называется изоморфизмом линейных пространств K U и K V (в этом случае будем говорить, что линейные пространства K U и K V изоморфны, обозначение: $${}_K U \cong {}_K V$$ ).
Упражнение 9.6.1. Отношение $${}_K U \cong {}_K V $$ является отношением эквивалентности.
Лемма 9.6.2. Если $$f: {}_K U\to {}_K V $$ - изоморфизм линейных пространств, $$\dim {}_K U=n$$, {e1,...,en} - базис в K U, то {f(e1),...,f(en)} - базис в K V, и поэтому $$\dim {}_K V=n=\dim {}_K U$$.
Доказательство.
f(u)=v для некоторого $$u\in {}_KU$$. Пусть u=k1e1+...+knen, где $$k_1,...,k_n\in K$$. Тогда v=f(u)=k1f(e1)+...+knf(en).k_1f(e1)+...+knf(en)=0 для $$k_1,...,k_n\in K$$. Тогда 0=k1f(e1)+...+knf(en)=f(k1e1+...+knen),
и поэтому k1e11+...+knen=0, следовательно, k1=k2=...=kn=0.Итак, в силу 1) и 2), {f(e1),...,f(en)} - базис линейного пространства KV.
Лемма 9.6.3. Если $$\dim {}_K V=n $$ и {e1,...,en} - базис линейного пространства K V, то, сопоставляя каждому элементу $$v=k_1e_1+...+k_ne_n\in {}_K V $$ однозначно определенную строчку его координат (k1,...,kn) в базисе {e1,...,en}, получаем изоморфизм линейных пространств $${}_K V\cong K^n$$, таким образом, каждое n -мерное линейное пространство K V над полем K изоморфно линейному пространству строк Kn.
Доказательство. Соответствие$$\Delta: {}_KV \in v=k_1e_1+...+k_{nen} \mapsto (k_1,...,k_n)\in K^n$$ является биекцией, для которой$$\begin{align*} \Delta(v+v') = \Delta((k_1e_1+...+k_ne_n)+(k'_1e_1+...+k'_ne_n))={} \\ \quad {}=\Delta((k_1+k'_1)e_1+...+(k_n+k'_n)e_n)={} \\ \quad {}=(k_1+k'_1,...,k_n+k'_n)= (k_1,...,k_n)+(k'_1,...,k'_n)={} \\* \quad {}=\Delta(v)+\Delta(v'); \\ \Delta(kv) = \Delta(k(k_1e_1+...+k_ne_n))= \Delta((kk_1)e_1+...+(kk_n)e_n)={} \\ \quad {}=(kk_1,...,kk_n)=k(k_1,...,k_n)=k\Delta(v). \end{align*}$$
Теорема 9.6.4. Конечномерные линейные пространства K U и K V изоморфны тогда и только тогда, когда $$\dim {}_K U=\dim {}_K V = n$$, и в этом случае $${}_K U\cong K^n \cong {}_K V$$.
Доказательство теоремы следует из лемм 9.6.2 и 9.6.3.
Упражнение 9.6.5. Покажите, что следующие линейные пространства являются бесконечномерными линейными пространствами (это означает, что в них нет базиса из конечного числа элементов):
R C[0,1] - линейное пространство вещественных непрерывных функций на отрезке [0,1] ;K K[x] - линейное пространство многочленов от переменной x с коэффициентами из поля K ;K KN - линейное пространство всех счетных последовательностей (k1,k2,...,kn,...) элементов из поля K.Упражнение 9.6.6. Докажите, что
а) $$\dim {}_K \mM_{m,n}(K)=mn $$ ;
б) $$\dim {}_{ R} \{A\in M_n( R)\mid A^*=A\}=\frac{n(n+1)}{2} $$ ;
в) $$\dim {}_{ R} \{A\in M_n( R)\mid A^*=-A\}=\frac{n(n-1)}{2}$$.
Пусть V - конечномерное линейное пространство над полем K, $$\dim V=n<\infty$$, {v1,...,vn} - базис в V, {v'1,...,v'n} - другой базис в V, $$v'_j = c_{1j}v_1+c_{2j}v_2+...+c_{nj}v_n,\quad j=1,...,n,\ \ c_{ij}\in K $$
(запись по столбцу!). $$C=(c_{ij})\in M_n(K) $$ -
Замечание 9.7.1. Так как умножение в поле K коммутативно, то левое линейное пространство K V можно рассматривать и как правое линейное пространство V_K, полагая $$v\lambda=\lambda v $$ для всех $$\lambda\in K$$, $$v\in V$$. Тогда определение (v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)C.
Ограничиваясь левыми линейными пространствами, мы можем использовать эквивалентную форму записи:$$\begin{pmatrix}
v'_1\\
\vdots\\
v'_n
\end{pmatrix} =
C^*
\begin{pmatrix}
v_1\\
\vdots\\
v_n
\end{pmatrix},$$
или, кратко,$$\mathcal E'=C^* \mathcal E$$
, где$$\mathcal E=
\begin{pmatrix}
v_1\\
\vdots\\
v_n
\end{pmatrix},\
\mathcal E'=
\begin{pmatrix}
v'_1\\
\vdots\\
v'_n
\end{pmatrix} \in \mM_{n,1}(V).$$
Если V=Kn, то $$v_1,...,v_n,v'_1,...,v'_n\in K^n$$, $$\mathcal E, \mathcal E'\in \mM_n(K) $$ и $$\mathcal E'=C^*\mathcal E $$ означает равенство квадратных $$(n\times n) $$ -матриц.
Если |C|=0, то |C*|=0 и строки матрицы C* линейно зависимы. Поэтому из$$\begin{pmatrix}
v'_1\\
\vdots\\
v'_n
\end{pmatrix} = C^*
\begin{pmatrix}
v_1\\
\vdots\\
v_n
\end{pmatrix},\ \ \text{т.\ е.}\ \
\mathcal E' = C^* \mathcal E,$$
следует, что v'1,...,v'n - линейно зависимая система в V, что приводит к противоречию с тем, что v'1,...,v'n - базис. Итак, мы показали, что $$|C|\neq 0 $$ и существует обратная матрица C-1 (тогда (C*)-1=(C-1)* ).
Другое доказательство обратимости матрицы C дает интерпретация матрицы B=C-1 как
Действительно, элементы v1,...,vn также выражаются как линейные комбинации элементов базиса {v'1,...,v'n} :$$v_i=b_{1i}v'_1+...+b_{ni}v'_n,\quad i=1,...,n,\ \ b_{ij}\in K, B=(b_{ij})\in M_n(K)$$
. Тогда $$\mathcal E=B^*\mathcal E'$$. Так как $$\mathcal E'=C^*\mathcal E$$, то$$\mathcal E=B^*(C^*\mathcal E)=(B^*C^*)\mathcal E=(CB)^*\mathcal E.$$
Так как {v1,...,vn} - базис в V, то (CB)*=E, следовательно, CB=E, и поэтому B=C-1.
Для любой обратимой матрицы $$C\in M_{n}(K)$$, $$|C|\neq 0$$, и любого базиса {v1,...,vn} конечномерного линейного пространства K V, $$\dim {}_K V=n$$, элементы $$v'_1,...,v'_n\in {}_K V$$, где$$\begin{pmatrix}
v'_1\\
\vdots\\
v'_n
\end{pmatrix} = C^*
\begin{pmatrix}
v_1\\
\vdots\\
v_n
\end{pmatrix},$$
образуют базис линейного пространства K V.
Действительно, в этом случае$$\begin{pmatrix}
v_1\\
\vdots\\
v_n
\end{pmatrix} = (C^*)^{-1}
\begin{pmatrix}
v'_1\\
\vdots\\
v'_n
\end{pmatrix},\quad
(C^*)^{-1} = (C^{-1})^*,$$
т. е. n линейно независимых элементов v1,...,vn линейно выражаются через v'1,...,v'n. По основной лемме о линейной зависимости элементы v'1,...,v'n линейно независимы. Так как $$\dim {}_K V=n$$, то {v'1,...,v'n} - базис линейного пространства K V.
Пусть {v1,...,vn}, {v'1,...,v'n} - два базиса линейного пространства K V, $$\dim {}_K V=n$$, $$C\in M_{n}(K)$$, $$|C|\neq 0$$, - (x'1,...,x'n) = (x1,...,xn) (C-1)*,
или$$\begin{pmatrix}
x'_1\\
\vdots\\
x'_n
\end{pmatrix} =
C^{-1}
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix},$$
что эквивалентно$$\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix} = C
\begin{pmatrix}
x'_1\\
\vdots\\
x'_n
\end{pmatrix}.$$
Пример 9.9.1. Пусть V= R3, v1=(2,1,-3), v2=(3,2,-5), v3=(1,-1,1). Необходимо выяснить, образуют ли элементы v1, v2, v3 базис в R3, и если да, то найти координаты строки x=(6,2,-7) в базисе {v1,v2,v3}.
Решение$$\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2\\
v_3
\end{pmatrix} = C^*
\begin{pmatrix}
e_1\\
e_2\\
e_3
\end{pmatrix},$$
где {e1,e2,e3} - стандартный базис в R3,$$C=
\begin{pmatrix}
\phm 2 \phm 3 \phm 1\\
\phm 1 \phm 2 -1\\
-3 -5 \phm 1
\end{pmatrix}.$$
Строки v1, v2, v3 образуют базис в R3 тогда и только тогда, когда матрица C обратима. Если матрица C обратима, то столбец координат строки x в базисе {v1,v2,v3} равен$$C^{-1}
\begin{pmatrix}
\phm 6\\
\phm 2\\
-7
\end{pmatrix}.$$
Для вычисления этого столбца применим алгоритм вычисления матрицы A-1B в процессе работы которого проверяется, обратима ли матрица A=C :$$\begin{align*} \left(
\begin{array}{ccc|c}
\phm 2 \phm 3 \phm 1 \phm 6\\
\phm 1 \phm 2 -1 \phm 2\\
-3 -5 \phm 1 -7
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{ccc|c}
\phm 1 \phm 2 -1 \phm 2\\
\phm 2 \phm 3 \phm 1 \phm 6\\
-3 -5 \phm 1 -7
\end{array}
\right) \to{}\\ \quad {}\to
\left(
\begin{array}{ccc|c}
\phm 1 \phm 2 -1 \phm 2\\
\phm 0 -1 \phm 3 \phm 2\\
-3 -5 \phm 1 -7
\end{array}
\right) \to
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 2 -1 \phm 2\\
0 1 -3 -2\\
0 1 -2 -1
\end{array}
\right) \to{}\\ \quad {}\to
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 2 -1 \phm 2\\
0 1 -3 -2\\
0 0 \phm 1 \phm 1
\end{array}
\right) \to
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 2 -1 2\\
0 1 \phm 0 1\\
0 0 \phm 1 1
\end{array}
\right) \to{}\\ \quad {}\to
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 2 0 3\\
0 1 0 1\\
0 0 1 1
\end{array}
\right) \to
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 0 0 1\\
0 1 0 1\\
0 0 1 1
\end{array}
\right).
\end{align*}$$
Таким образом, матрица C обратима, (1,1,1) - координаты строки x в базисе {v1,v2,v3}, x=v1+v2+v3.
Этот же результат можно было получить, используя формулу (6,2,-7)(C*)-1=(1,1,1),$$\left(
\begin{array}{ccc}
2 \phm 1 -3\\
3 \phm 2 -5\\
1 -1 \phm 1\\
\hline
6 \phm 2 -7
\end{array}
\right) \to
\left(
\begin{array}{ccc}
1 0 0\\
0 1 0\\
0 0 1\\
\hline
1 1 1
\end{array}
\right)$$
(здесь применяем элементарные преобразования столбцов).
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.