Линейные подпространства линейных пространств

Линейные подпространства линейных пространств

Пусть K - поле, K V - линейное пространство над полем K. Непустое подмножество $$\varnothing \neq U \subseteq {}_K V $$ называется линейным подпространством линейного пространства K V, если:

Ясно, что K U - линейное пространство относительно тех же операций сложения элементов и умножения на элементы из поля K, что и в линейном пространстве K V.

Если U - линейное подпространство в конечномерном линейном пространстве KV, $$n=\dim {}_K V<\infty$$, то $$\dim {}_K U \leq \dim {}_K V$$. Действительно, если элементы $$u_1,...,u_s\in {}_K U $$ линейно независимы в K U, то эти элементы линейно независимы и в линейном пространстве K V, $$s \leq n$$, поэтому $$\dim {}_K U \leq \dim {}_K V$$.

Если K U - линейное подпространство линейного пространства K V, $${}_K U\subseteq {}_K V $$ и $$\dim {}_K U=\dim {}_K V=n$$, то K U=K V. Действительно, если {u1,...,un} - базис линейного пространства $${}_K U\psubseteq {}_K V$$, то эти n элементов u1,...,un линейно независимы в K V и $$\dim {}_K V=n$$, поэтому {u1,...,un} - базис линейного пространства K V. Итак, каждый элемент $$v\in V $$ имеет вид $$v=k_1u_1+...\+k_nu_n\in {}_K U$$, $$k_i\in K$$, т. е. K V=K U.

Пересечение линейных подпространств

Лемма 9.11.1. Пересечение$$U=\bigcap\limits_{i\in I}U_i$$ любого семейства линейных подпространств $$\{U_i\subset {}_K V\mid i\in I\} $$ линейного пространства K V является линейным подпространством.

Доказательство. Если $$u,u_1,u_2\in U=\bigcap\limits_{i\in I}U_i$$, $$k\in K$$, то $$u,u_1,u_2\in U_i $$ для любого $$i\in I$$, поэтому $$u_1+u_2,ku\in U_i $$ для любого $$i\in I$$, т. е. $$u_1+u_2,ku\in U=\bigcap\limits_{i\in I}U_i$$.

Следствие 9.11.2. Если U1 и U2 - линейные подпространства линейного пространства K V, то $$U_1\cap U_2 $$ - линейное подпространство в {K V (наибольшее подпространство среди подпространств, лежащих одновременно в U1 и в U2 ).

Сумма линейных подпространств

Если U1 и U2 - линейные подпространства линейного пространства K V, то сумма линейных подпространств$$U_1+U_2 = \{u_1+u_2\mid u_1\in U_1,\ u_2\in U_2\}$$ также является линейным подпространством. Действительно, если $$u_1+u_2,u'_1+u'_2\in U_1+U_2$$, $$u_1,u'_1\in U_1$$, $$u_2,u'_2\in U_2$$, $$k\in K$$, то$$\begin{align*} (u_1+u_2)+(u'_1+u'_2) = (u_1+u'_1)+(u_2+u'_2)\in U_1+U_2;\\ k(u_1+u_2) = ku_1+ku_2\in U_1+U_2. \end{align*}$$

Замечание 9.12.1. U1+U2 - наименьшее линейное подпространство среди линейных подпространств, содержащих одновременно U1 и U2. Более того,$$U_1+U_2=\bigcap_{\substack{U\subseteq {}_K V\\ U_1\subseteq U,\ U_2\subseteq U}} U.$$

Замечание 9.12.2. Если U, U1, U2, U3 - линейные подпространства в K V, то$$\begin{gathe} U\cap U = U,\quad U+U = U,\\ U_1\cap U_2 = U_2\cap U_1, \quad U_1 + U_2 = U_2 + U_1,\\ U_1\cap (U_2\cap U_3) = (U_1\cap U_2)\cap U_3,\\ U_1 + (U_2+U_3) = (U_1+U_2)+U_3,\\ U_1\cap (U_1+U_2) = U_1,\quad U_1+(U_1\cap U_2)=U_1. \end{gathe}$$

Линейная оболочка элементов линейного пространства

Пусть K V - линейное пространство, $$v_1,...,v_m\in {}_K V$$. Рассмотрим$$\langle v_1,...,v_m\rangle= \{k_1v_1+...+k_mv_m\mid k_1,...,k_m\in K\} \text{ -}$$ совокупность всех линейных комбинаций k1v1+...+kmvm элементов v1,...,vm с коэффициентами $$k_1,...,k_m\in K$$, называемую линейной оболочкой элементов v1,...,vm. Линейная оболочка $$\langle v_1,...,v_m\rangle $$ является наименьшим линейным подпространством, содержащим элементы v1,...,vm. Действительно,$$\begin{mult} (k_1v_1+...+k_mv_m)+(l_1v_1+...+l_mv_m)={} \\ {}= (k_1+l_1)v_1+...+(k_m+l_m)v_m; \end{mult}$$ k(k1v1+...+kmvm)=(kk1)v1+...+(kkm)vm; если U - линейное подпространство в K V, $$v_1,...,v_m\in U$$, то $$k_1v_1+...+k_mv_m\in U$$, следовательно, $$\langle v_1,...,v_m\rangle\subseteq U$$. Более того,$$\langle v_1,...,v_m\rangle = \bigcap_{\substack{U\subseteq {}_K V\\ v_1,...,v_m\in U}} U.$$

Замечание 9.13.1. Если $$0\neq v\in {}_K V$$, то $$\langle v\rangle=Kv=\{kv\mid k\in K\}$$, $$\dim\langle v\rangle=1 $$ ; если v=0, $$\langle v\rangle=Kv=\{0\}$$.

Замечание 9.13.2. $$\langle v_1,...,v_m\rangle= Kv_1+...+Kv_m$$.

Замечание 9.13.3. $$\dim {}_K \langle v_1,...,v_m\rangle=r\{v_1,...,v_m\} $$ ; любая максимальная линейно независимая подсистема в {v1,...,vm} является базисом линейного подпространства $$\langle v_1,...,v_m\rangle$$.

Основная лемма о линейной зависимости может быть сформулирована в следующей эквивалентной форме.

Теорема 9.13.4 (о замене). Пусть $$v_1,...,v_s\in {}_K V $$ - линейно независимая система, $$u_1,...,u_r\in \langle v_1,...,v_s\rangle$$, {u1,...,ur} - линейно независимая система элементов. Тогда $$r \leq s $$ и$$\langle v_1,...,v_s\rangle = \langle u_1,...,u_r,v_{i_{r+1}},...,v_{i_s}\rangle,$$ где$$1 \leq i_{r+1}<...<i_s \leq s.$$

Доказательство. Так как $$s=\dim_K \langle v_1,...,v_s\rangle$$, то $$r \leq s$$. Если r=s, то $$\langle v_1,...,v_s\rangle=\langle u_1,...,u_r\rangle$$. Если r<s, то найдется $$v_{i_{r+1}}\notin \langle u_1,...,u_r\rangle $$ (индекс ir+1 - минимальный с этим свойством). Продолжая этот процесс, построим базис $$\{u_1,...,u_r,v_{i_{r+1}},...,v_{i_s}\} $$ в $$\langle v_1,...,v_s\rangle$$.

Следствие 9.13.5. Пусть U, W - линейные подпространства в K V и $$U\subseteq W$$, $$\dim {}_K U=l$$, $$\dim {}_K W=m$$. Тогда $$l \leq m $$ и любой базис подпространства U можно дополнить m-l элементами до базиса подпространства W. В частности, если $$U \subseteq W $$ и l=m, то U=W.

Теорема 9.13.6 (формула размерности). Пусть U, W - линейные подпространства в K V, $$\dim {}_K V=n<\infty$$. Тогда$$\dim {}_K U+\dim {}_K W = \dim {}_K (U\cap W) + \dim {}_K (U+W),$$ или, что эквивалентно,$$\dim {}_K (U+W) = \dim {}_K U+\dim {}_K W - \dim {}_K (U\cap W).$$

Доказательство. Пусть $$\dim {}_K (U\cap W)=d$$, $$\dim {}_K U=s$$, $$\dim {}_K W=t$$. Ясно, что $$0 \leq d \leq s$$, $$d \leq t$$. При d=0 утверждение очевидно (объединение базисов в U и W дает базис в U+W ). Выберем базис v1,...,vd линейного пространства $$U\cap W $$ и дополним его до базиса v1,...,vd,u1,...,us-d линейного пространства U и до базиса v1,...,vd,w1,...,wt-d линейного пространства W. Ясно, что$$U+W=\langle v_1,...,v_d,u_1,...,u_{s-d},w_1,...,w_{t-d}\rangle.$$ Если$$\lambda_1 v_1 +...+\lambda_d v_d + \mu_1 u_1 +...+ \mu_{s-d} u_{s-d} + \gamma_1 w_1 +...+ \gamma_{t-d}w_{t-d}=0,$$ то$$\sum_{i=1}^{d}\lambda_i v_i + \sum_{j=1}^{s-d} \mu_j u_j = -\sum_{k=1}^{t-d} \gamma_k w_k \in U\cap W,$$ поэтому $$\mu_1=...=\mu_{s-d}=0$$, $$\gamma_1=...=\gamma_{t-d}=0$$. Следовательно, $$\lambda_1=...=\lambda_d=0$$. Таким образом,$$\{v_1,...,v_d,u_1,...,u_{s-d},w_1,...,w_{t-d}\}\text{ -}$$ базис линейного подпространства U+W, откуда s+t = d+(s-d)+d+(t-d)=d+(d+(s-d)+(t-d)), поэтому$$\dim {}_K U+\dim {}_K W=\dim {}_K U\cap W + \dim {}_K (U+W).$$

Теорема 9.13.7 (о существовании прямого дополнения подпространства). Пусть $$\dim {}_K V=n<\infty$$, U - линейное подпространство в K V. Тогда существует линейное подпространство W в K V такое, что$$U+W=V,\quad U\cap W=\{0\},$$ (называемое прямым дополнением подпространства U в K V ; в этом случае также говорят, что линейное пространство K V является прямой суммой линейных подпространств U и W, обозначение: $${}_K V=U\oplus W$$ ).

Доказательство. Если $$\dim {}_K U=r $$ и {u1,...,ur} - базис в K U, то дополним его до базиса линейного пространства K V: u1,...,ur,v1,...,vn-r. Пусть $$W=\langle v_1,...,v_{n-r}\rangle$$. Тогда K V=U+W, $$U\cap W=\{0\}$$.

Замечание 9.13.8. Конечно, прямое дополнение определено неоднозначно, однако все прямые дополнения линейного пространства изоморфны (а именно, все они имеют размерность $$\dim {}_K V-\dim {}_K U$$ ).

Замечание 9.13.9. Если $${}_K V=U\oplus W$$, то представление элемента $$v\in V $$ в виде v=u+w, $$u\in U$$, $$w\in W$$, определено однозначно (действительно, если v=u+w=u'+w', $$u'\in U$$, $$w'\in W$$, то $$u-u'=w'-w\in U\cap W=\{0\}$$, следовательно, u=u', w=w' ), и поэтому линейное пространство $${}_K V=U\oplus W $$ изоморфно \emph{внешней прямой} сумме $$\{(u,w)\mid u\in U,\ w\in W\} $$ линейных пространств K U и K W с естественными операциями сложения пар и их умножения на $$c\in K$$.

Пример 9.13.10 (прямого разложения). Пусть$$\begin{gathe} V=\mM_n( R),\quad U=\{A\in M_n( R)\mid A^*=A\},\\ W=\{A\in M_n( R)\mid A^*=-A\}. \end{gathe}$$ Тогда$${}_{ R} V=U\oplus W.$$ Действительно, $$A=\frac{A+A^*}{2}+\frac{A-A^*}{2}$$. Если A=A*=-A, то $$A=0\in \mM_n( R)$$.

Решетка подпространств линейного пространства

Рассмотрим частично упорядоченное множество всех линейных подпространств U линейного пространства K V:$$L({}_K V) = \{U\mid U\subseteq {}_K V\},$$ где $$U_1 \leq U_2 $$ означает $$U_1\subseteq U_2$$. Для любых двух элементов $$U_1,U_2\in L({}_K V) $$ существует точная верхняя грань $$U_1\vee U_2=U_1+U_2 $$ и точная нижняя грань $$U_1\wedge U_2=U_1\cap U_2$$, таким образом, частично упорядоченное множество $$L({}_K V) $$ является решеткой линейного пространства K V ), при этом $$L({}_K V) $$ - решетка с дополнениями (т. е. для всякого $$U\in L({}_K V) $$ существует такой элемент $$W\in L({}_K V)$$, что $$U\vee W=V$$, $$U\wedge W=\{0\}$$ ).

Теорема 9.14.1. В решетке $$L({}_K V) $$ выполнено следующее модулярное тождество Дедекинда: если $$X,Y,Z\in L({}_K V)$$, $$X\subseteq Z$$, то$$X+(Y\cap Z) = (X+Y)\cap Z.$$

Доказательство.

Замечание 9.14.2. Если $$\dim {}_K V \geq 2$$, то в $$L({}_K V) $$ не выполняется тождество дистрибутивности$$(X+Y)\cap Z=(X\cap Z)+(Y\cap Z).$$ Действительно, в $$\begin{gathe} X+Y={}_K V=K^2,\quad X\cap Z=\{0\},\quad Y\cap Z=\{0\},\\ (X+Y)\cap Z=Z\neq \{0\} = (X\cap Z)+(Y\cap Z). \end{gathe}$$

Замечание 9.14.3. Итак, мы убедились в том, что решетка $$L({}_K V) $$ всех линейных подпространств линейного пространства K V является модулярной (дедекиндовой) решеткой с дополнениями.