Автор: Елена Ардаширова
Форма обучения:
дистанционная
Стоимость самостоятельного обучения:
бесплатно
Доступ:
свободный
Документ об окончании:
Вам нравится? Нравится 25 студентам
Уровень:
Для всех
Длительность:
4:06:00
Студентов:
2243
Выпускников:
799
Качество курса:
4.12 | 3.73
В курсе даются понятия производной и дифференциала функции одной переменной. Изучаются дифференциальные теоремы о среднем, формула Тейлора. Проводится исследование функций одной переменной.
В курсе рассматривается геометрический смысл производной, даётся определение касательной. Рассматриваются вопросы дифференцируемости функции, вычисляются производные сложной функции, обратной функции, основных элементарных функций. Вводятся понятия производной и дифференциала высших порядков. Доказываются теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях. Рассматриваются вопросы раскрытия неопределённостей с помощью правила Лопиталя. Изучаются формулы Тейлора и Маклорена. Даётся схема построения графика функции.
Темы: Математика
Специальности: Математик
Предварительные курсы
Дополнительные курсы
- Математический анализ. Ряды
- Дифференциальные уравнения
- Введение в математический анализ
- Математический анализ. Интегральное исчисление
- Математический анализ. Интегрирование
- Математический анализ
- Линейные дифференциальные уравнения и системы
- Дифференциальные уравнения и краевые задачи
- Приближенные и численные методы решения дифференциальных уравнений
- Математический анализ - 1
- Математический анализ - 2
План занятий
Занятие
Заголовок <<
Дата изучения
Производная. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции
Вводится понятие производной функции в точке, рассматривается её геометрический и физический смысл. Даются определение касательной и нормали к кривой и выводятся их уравнения. Понятия правой и левой производной функции в точке, бесконечной производной, гладкой функции рассматриваются на примерах. Вводится понятие дифференцируемой в точке функции, рассматривается связь дифференцируемости и существования производной. Доказывается непрерывность дифференцируемой функции. Даётся определение дифференциала функции и рассматривается его геометрический смысл.
-
Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производные некоторых основных элементарных функций. Дифференцирование сложной функции
Даются правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций. Вычисляются производные функций Доказывается правило дифференцирования сложной функции и рассматривается инвариантность формы дифференциала.
-
Понятие обратной функции. Производная обратной функции. Производные гиперболических функций. Логарифмическое дифференцирование. Применение дифференциалов в приближённых вычислениях
Вводится понятие обратной функции и формулируется правило её дифференцирования. Вычисляются производные функций , а также гиперболических функций. Составляется таблица производных основных элементарных функций. Рассматривается приём логарифмического дифференцирования для отыскания производной сложной функции. Выводится формула для приближённого вычисления значения функции.
-
Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Вектор-функция скалярного аргумента
Вводится понятие производной высшего порядка, определяются правила вычисления производных суммы и произведения функций. Даётся определение дифференциала высшего порядка и выводится его связь с производными. Рассматриваются функции, заданные параметрически, изучается вопрос их дифференцирования. Вводится понятие вектор-функции скалярного аргумента, её предела и непрерывности. Рассматривается производная вектор-функции по её аргументу. Формулируются правила дифференцирования.
-
Производная. Правила и формулы дифференцирования
Вычисляются производные функций по определению. Вычисляются производные функций с помощью арифметических правил и таблицы производных элементарных функций. Вычисляются производные сложных функций.
-
Правила и формулы дифференцирования. Геометрический и физический смысл производной
Вычисляются производные степенно-показательных функций. Строятся касательные и нормали к графикам функции в точках, находится угол пересечения между кривыми. Решаются задачи, связанные со скоростью.
-
Дифференцируемые функции и дифференциал. Приближенное вычисление значений функций
Вычисляется дифференциал различных функций. С помощью дифференциала вычисляются приближённые значения функции.
-
Дифференцирование функций, заданных параметрически. Производная вектор-функции. Производные и дифференциалы высших порядков
Вычисляются производные функций, заданных параметрически и производные вектор-функций. Вычисляются производные и дифференциалы высшего порядка для различных функций, в том числе для заданных параметрически.
-
Теоремы о среднем значении
Формулируются и доказываются теоремы Роля, Лагранжа и Коши. Рассматриваются их взаимосвязь. Дается геометрическая интерпретация теорем Роля и Лагранжа.
Оглавление
- Введение
- Теорема 1 Ролля (доказательство)
- Геометрическая интерпретация теоремы Ролля
- Существенность условий теоремы Роля на примерах
- Теорема 2 Лагранжа о конечных приращениях (доказательство)
- Связь теоремы Ролля и Лагранжа
- Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа
- Формула Лагранжа (формула конечных приращений)
- Пример применения теоремы Лагранжа
- Теорема 3 Коши (доказательство)
- Связь теорем Ролля, Лагранжа, Коши
-
Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя)
Рассматриваются неопределенности при вычислении пределов, формулируется и доказывается правило Лопиталя для их раскрытия. Рассматривается применение правила Лопиталя при неопределtнностях. Рассматриваются конкретные примеры вычисления пределов.
Оглавление
- Введение
- Виды неопределенностей
- Теорема 4 правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0 (доказательство)
- Пример раскрытия неопределенности 0/0
- Замечание о существовании пределов отношения функций и производных. На примере
- Многократное применение правила Лопиталя
- Теорема 5 (2-е правило Лопиталя)
- Односторонние пределы и правило Лопиталя
- Теорема 6 раскрытие неопределенностей. Пример
-
Формула Тейлора. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
Выводится формула Тейлора для многочлена степени n, дается определение формулы Маклорена для многочлена. Вводится понятия формулы Тейлора для функции и вычисляется остаточный член в форме Лагранжа. Рассматривается остаточный член в форме Пеано. Раскладываются по формуле Маклорена некоторые элементарные функции. Получение асимптотических оценок для элементарных функций из формулы Маклорена.
Оглавление
- Введение
- Вывод формулы Тейлора для многочлена степени n
- Формула Тейлора и формула Маклорена для многочлена степени n
- Пример разложения многочлена по степеням x, x-1
- Многочлен Тейлора для функции y=f(x)
- Формула Тейлора для функции y=f(x) с остаточным членом
- Вычисление остаточного члена формулы Тейлора
- Формула Тейлора для функции y=f(x) с остаточным членом в форме Лагранжа
- Связь формулы Тейлора и формулы Лагранжа
- Формула Маклорена для функции y=f(x)
- Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
- Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- Использование формулы Маклорена для получения асимптотических оценок элементарных функций и вычисления пределов
-
Теоремы о среднем. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
Решаются задачи на применение теорем Роля, Лагранжа и Коши. С помощью правила Лопиталя раскрытия неопределенностей вычисляются пределы.
-
Формула Тейлора
Раскладываются функции по формуле Тейлора и Маклорена. С помощью разложений Тейлора вычисляются приближённые значения. Используя основные разложения, вычисляются пределы.
Оглавление
-
Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции
Дается определение монотонной функции и доказывается связь между интервалами знакопостоянства производной и монотонности функции. Изучаются достаточные условие возрастания функции в точке. Вводятся понятия локального экстремума, максимума и минимума. Рассматриваются необходимое и достаточное условия эстремума
Проводится исследование функций на максимум и минимум при помощи второй производной.
-
Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба кривой
Решается задача нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. Вводятся понятия выпуклости вверх и вниз, точки перегиба кривой. Доказываются необходимое и достаточное условия точки перегиба.
-
Асимптоты графика функции
Даются определение асимптот: вертикальной, наклонной и горизонтальной. Доказываются формулы для вычисления коэффициентов наклонной асимптоты.
Приводится схема построения графика функции.
Оглавление
-
Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных
Проводится исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Формулируется достаточное условие точки перегиба с помощью производных высшего порядка. Рассматривается метод хорд и касательных для решения уравнения.
-
Монотонность функции. Локальные экстремумы
Решаются задачи на нахождение интервалов возрастания и убывания функций. Проводится исследование функций на экстремум.
-
Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба кривой. Асимптоты графика функции
Применяется правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Решаются прикладные задачи. Определяются интервалы выпуклости и точки перегиба. Строятся асимптоты для графиков функций.
Оглавление
-
