НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 4: Основные свойства автоматных языков

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

3.4. Примеры неавтоматных языков

Пример 3.4.1. Рассмотрим язык $L = \{ a b^n a^n \mid n \geqslant 0 \}$ над алфавитом $\Sigma = \{ a , b \}$ . Утверждение леммы 3.3.1 не выполняется ни для какого натурального числа p. Действительно, если w = ab^pa^p, то x = ab^k, y = b^m, z = b^p-k-ma^p для некоторых $k \geqslant 0$ и $m \geqslant 1$ или $x = \varepsilon$ , y = ab^l, z = b^p-la^p для некоторого $l \geqslant 0$ . В обоих случаях $x y y z \notin L$ . Таким образом, язык L не является автоматным.

Упражнение 3.4.2. Пусть $\Sigma = \{ a , b , c \}$ . При каких словах $u \in \{ a , b \}^*$ и $v \in \{ a , b \}^*$ язык $\{ u^m c v^m \mid m > 0 \}$ является автоматным?

Замечание 3.4.3. Условие, сформулированное в лемме 3.3.1, является необходимым для автоматности, но не достаточным.

Пример 3.4.4. Пусть $\Sigma = \{ a , b \}$ . Рассмотрим язык L = {a^kb^maⁿ | k=0 или m=n}. Положим p = 1. Тогда для любого слова $w \in L$ длины не меньше p найдутся слова $x , y , z \in \Sigma ^*$ , соответствующие утверждению леммы 3.3.1. Тем не менее язык L не является автоматным, так как

$L \cap \{ a b^m a^n \mid m \geqslant 0 , \; n \geqslant 0 \} = \{ a b^n a^n \mid n \geqslant 0 \} .$

Лемма 3.4.5*. Пусть L - автоматный язык над алфавитом $\Sigma$ . Тогда найдется такое положительное целое число p, что для любого слова $w \in L$ можно подобрать слова $x , y , z \in \Sigma ^*$ , для которых верно xyz = w, $| y | \geqslant [ | w | / p ]$ и $x y ^i z \in L$ для всех $i \geqslant 0$ . Здесь [m] означает целую часть числа m.

Доказательство. Пусть L распознается конечным автоматом $\langle Q , \Sigma , \Delta , I , F \rangle$ , содержащим только переходы с метками длины единица. Положим p = |Q|. Пусть слово w является меткой успешного пути $\langle q_0 , e_1 , q_1 , e_2 , \ldots , q_n \rangle$ . Обозначим l = [|w|/p]. Если l = 0, то положим $x = \varepsilon$ и $y = \varepsilon$ . Пусть l > 0 . Согласно принципу Дирихле найдутся такие натуральные числа j и k, что $0 \leqslant j < k \leqslant p$ и q_jl = q_kl. Выберем слова x, y и z так, что |x| = jl, |y| = kl - jl и xyz = w.