НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 4: Основные свойства автоматных языков

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

3.3. Лемма о разрастании для автоматных языков

Лемма 3.3.1 (pumping lemma, лемма о разрастании, лемма о накачке, лемма-насос). Пусть L автоматный язык над алфавитом $\Sigma$ . Тогда найдется такое положительное целое число p, что для любого слова $w \in L$ длины не меньше p можно подобрать слова $x , y , z \in \Sigma ^*$ , для которых верно xyz = w, $y \neq \varepsilon$ , $| x y | \leqslant p$ и $x y ^i z \in L$ для всех $i \geqslant 0$ .

Доказательство. Пусть язык L распознается конечным автоматом $\langle Q , \Sigma , \Delta , I , F \rangle$ , содержащим только переходы с метками длины единица. Положим p = |Q|. Пусть слово w является меткой успешного пути

$\langle q_0 , e_1 , q_1 , e_2 , \ldots , q_n \rangle$

и $| w | = n \geqslant p$ . Согласно принципу Дирихле найдутся такие индексы j и k, что $0 \leqslant j < k \leqslant p$ и q_j = q_k (ведь множество индексов $\{ 0 , 1 , \ldots , p \}$ содержит p+1 натуральных чисел, а значения q_i берутся из множества, содержащего всего p элементов). Выберем слова x, y и z так, что |x| = j, |y| = k - j и xyz = w.

Пример 3.3.2. Пусть $\Sigma = \{ a , b \}$ . Рассмотрим автоматный язык

$L = \{ (ab)^n \mid n \geqslant 0 \ \cup \{ a (ab)^n \mid n \geqslant 0 \} .$

Положим p = 3. Тогда для любого слова $w \in L$ длины не меньше p найдутся слова $x , y , z \in \Sigma ^*$ , соответствующие утверждению леммы 3.3.1. Действительно, если w = abu для некоторого слова u, то положим $x = \varepsilon$ , y = ab, z = u ; иначе w = aabu и можно положить x = a, y = ab, z = u.

Упражнение 3.3.3. Является ли автоматным язык

$\{ a^m b a^m \mid m \geqslant 0 \} ?$