НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 2: Слова, языки и грамматики

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

1.2. Операции над языками

Определение 1.2.1. Пусть $L_1 , L_2 \subseteq \Sigma ^*$ . Тогда

$L_1 \cdot L_2 \rightleftharpoons \{ x y \mid x \in L_1, \; y \in L_2 \} .$

Язык $L_1 \cdot L_2$ называется конкатенацией языков L₁ и L₂.

Пример 1.2.2. Если L₁ = {a,abb} и L₂ = {bbc,c}, то $L_1 \cdot L_2 = \{ ac , abbc , abbbbc \}$ .

Упражнение 1.2.3. При каких положительных целых числах k, l, m, n существуют алфавит $\Sigma$ , язык $L_1 \subseteq \Sigma^*$ и язык $L_2 \subseteq \Sigma^*$ , удовлетворяющие условиям $| \Sigma | = k$ , |L₁| = l, |L₂| = m, $| L_1 \cdot L_2 | = n$

Определение 1.2.4. Пусть $L \subseteq \Sigma ^*$ . Тогда

$\begin{align*} L^0 &\rightleftharpoons \{ \varepsilon \} ,\\ L^n &\rightleftharpoons \underbrace{ L \cdot \ldots \cdot L }_{n \; \text{раз}} \,, \; \text{если} \; n > 0 . \end{align*}$

Пример 1.2.5. Если L = {a^kba^l | 0 < k < l}, то L² = {a^kba^lba^m | 0 < k < l - 1, m > 1}.

Упражнение 1.2.6. Пусть $\Sigma = \{ a , b \}$ и L = {aa,ab}. Найти L³.

Определение 1.2.7. Итерацией языка (Kleene closure) языка L (обозначение L^* ) называется язык

$\bigcup \limits_{ n \in \mathbb{N} } L^n.$

Эта операция называется также звездочкой Клини (Kleene star, star operation).

Пример 1.2.8. Если $\Sigma = \{ a , b \}$ и L = {aa,ab,ba,bb}, то

$L^* = \{ w \in \Sigma ^* \mid | w | \; \vdots \; 2 \} .$

Упражнение 1.2.9. Пусть $\Sigma = \{ a , b , c , d \}$ и

$L = \{ w \in \Sigma ^* \mid | w |_a = 1, \; | w |_c = 1 \} .$

Верно ли, что $abcdcacdcabbacba \in L^*$

Упражнение 1.2.10. Существует ли такой язык L, что выполняется неравенство $L^* \neq \{ x^n \mid x \in L ,\ n \geqslant 0 \}$

Определение 1.2.11. Обращением или зеркальным образом слова w (обозначается w^R ) называется слово, в котором символы, составляющие слово w, идут в обратном порядке.

Пример 1.2.12. Если w = baaca, то w^R = acaab.

Определение 1.2.13. Пусть $L \subseteq \Sigma ^*$ . Тогда

$L \reverse \rightleftharpoons \{ w \reverse \mid w \in L \} .$

Язык L^R называется обращением языка L.

Упражнение 1.2.14. Существует ли такой язык L, что выполняется неравенство $(L \reverse)^* \neq (L^*) \reverse$ ?

Определение 1.2.15. Говорят, что слово x - префикс ( начало ) слова y (обозначение $x \sqsubset y$ ), если y = xu для некоторого слова u.

Пример 1.2.16. Очевидно, что $\varepsilon \sqsubset baa$ , $b \sqsubset baa$ , $ba \sqsubset baa$ и $baa \sqsubset baa$ .

Определение 1.2.17. Пусть $L \subseteq \Sigma ^*$ . Тогда через Pref(L) обозначается множество, состоящее из всех префиксов слов языка L:

$\mathrm{Pref} ( L ) \rightleftharpoons \{ x \mid ( \exists y \in L )\, x \sqsubset y \} .$

Множество Pref(L) называется множеством префиксов языка L.

Определение 1.2.18 Говорят, что слово x - суффикс ( конец ) слова y (обозначение $x \sqsupset y$ ), если y = ux для некоторого слова u.

Определение 1.2.19. Пусть $L \subseteq \Sigma ^*$ . Тогда через Suf(L) обозначается множество, состоящее из всех суффиксов слов языка L:

$\mathrm{Suf} ( L ) \rightleftharpoons \{ x \mid ( \exists y \in L )\, x \sqsupset y \} .$

Множество Suf(L) называется множеством суффиксов языка L.

Определение 1.2.20. Говорят, что слово x - подслово (substring) слова y, если y = uxv для некоторых слов u и v.

Определение 1.2.21. Пусть $L \subseteq \Sigma ^*$ . Тогда через Subw(L) обозначается множество, состоящее из всех подслов слов языка L. Множество Subw(L) называется множеством подслов языка L.

Определение 1.2.22. Слово a₁a₂...a_n (длины $n \geqslant 0$ ) называется подпоследовательностью (subsequence) слова y, если существуют такие слова u₀, u₁, ..., u_n, что u₀a₁u₁a₂...a_nu_n = y.

Замечание 1.2.23. Все подслова слова y являются также подпоследовательностями слова y.

Определение 1.2.24. Пусть $L \subseteq \Sigma ^*$ . Тогда через Subseq(L) обозначается множество, состоящее из всех подпоследовательностей слов языка L. Множество Subseq(L) называется множеством подпоследовательностей языка L.

Пример 1.2.25. Рассмотрим язык L = {cba, c} над алфавитом {a, b, c}. Очевидно, что $\mathrm{Subseq} ( L ) = \{ \varepsilon , a , b , c , ba , ca , cb , cba \}$ .

Определение 1.2.26. Функция $f \colon K \to L$ называется биекцией (bijection), если каждый элемент множества L является образом ровно одного элемента множества K (относительно функции f ).