Показатели вариации в статистике

7.2. Свойства дисперсии, расчет дисперсии способом моментов

Дисперсия обладает рядом математических свойств. Приведем основные из них:

1. если x_i = c, где с - постоянная величина, то дисперсия будет равна нулю;
2. если из всех значений признака вычесть постоянную величину с, то дисперсия от этого не изменится:

   
3. если все индивидуальные значения признака уменьшить в d раз, то дисперсия уменьшится в d² раз:

   

На приведенных свойствах дисперсии основан один из методов ее расчета - способ моментов. Согласно ему, дисперсию можно вычислить по следующей формуле (применяется только в случае вариационных рядов с равными интервалами):

где с - значение середины интервала, находящегося в центре ряда (если количество интервалов четное, то берется середина интервала из центра ряда с наибольшей частотой);

d - величина интервалов;

- момент второго порядка;

- момент первого порядка.

По данным табл. 7.5 определим дисперсию способом моментов.

Таблица 7.5. Расчет дисперсии способом моментов

или

Если при расчете дисперсии способом моментов взять за постоянную величину с нуль, а за d - единицу, то приведенная выше формула примет следующий вид:

Таким образом получаем, что дисперсия равна разности между средней из квадратов индивидуальных значений признака и квадрата средней.

Применим данный способ расчета дисперсии. Пусть известно, что средняя арифметическая величина, рассчитанная для вариационного ряда, равна 56 дол., а средний квадрат его индивидуальных значений - 3322. Определим дисперсию.