НОУ ИНТУИТ | Теория и методы разработки управленческих решений. Лекция 13: Экономико-математические модели и принятие решений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 11.08.2009 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 119 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Кратко рассматриваются такие макроэкономические модели, как динамическая модель межотраслевого баланса Леонтьева, паутинообразная модель спроса-предложения, модель экономического цикла, модель экономического роста, модель межотраслевых взаимодействий, Уортоновская модель, модель мирового хозяйства, различные модели налогообложения и др. Уделяется внимание вопросам применения математических моделей для принятия решений в малом бизнесе. Подробно рассматриваются математические модели управления запасами, от классической модели до ее обобщений –моделей с дефицитом, с непрерывной поставкой и др.

Ключевые слова: поток, единица, мощность, коэффициенты, функциональные зависимости, функция, равновесная цена, гипотеза, запаздывания, окрестность, товар, операции, основной капитал, константы, индекс, затраты, минимум, норма, прибыль, премия за риск, производные, ПО, линейным дифференциальным уравнением, траектория, реакция, параметр, быстродействие, расходы, цикла, активы, равенство, регулирование, отношение, вектор, деление, активность, таблица, линк, учетная ставка, моделирование, интервал, макромодель, принятия решений, фирма, стоимость, НДС, знание, проблема моделирования, список, устойчивость, потенциал, блок-схема, математическая модель, конечные, поиск, оптимизация, сценарий, матрица, управляющие, анализ, сходимость, деятельность, трансфертное ценообразование, графика, значение, панорама, конкурентное окружение, рисковый, ЛПР, менеджер, сегментация, оценка риска, потенциальный конкурент, оплата, мониторинг, альтернативные, SWOT, место, математическое моделирование, опыт, поддержка, АРМ, экспертные оценки, статистика, работ, вероятность, пуассоновское распределение, дерево целей, совместная работа, Размещение, плата, дифференциал, оптимальный план, запись, область определения, предел, график, минимизация, натуральное число, Гипербола, целое число, производная функции, алгоритм, площадь, высота, множества, отрезок, неравенство, оптимальность, тождество, Приращение, точность, погрешность, определение, индикатор, обобщение, обобщенная функция, множитель, заработная плата, Абсолютной погрешностью, математическим ожиданием, случайная величина, MIN, вывод

Примеры типовых макроэкономических моделей

Модель межотраслевого баланса (модель В. Леонтьева). Каждая из n отраслей производит свой (обобщенный) продукт. Выпуск распределяется в заданной пропорции между конечным потреблением, другими отраслями и внутренними потребностями отрасли. Кроме того, описывается прирост производственных мощностей. Модель описывается уравнениями:

$\upsilon_j(t)=\sum_{j=1}^n \left[a_{ij} \upsilon_j(t)+b_{ij}\frac{dV_j(t+ \tau_i)}{dt}\right]+P_j(t), i=1,2,\dots, n$

где $\upsilon_j(t)$ - поток выпуска продукта в момент времени (единица измерения = единица продукта / единица времени);

V_j(t) - мощность - го производства или максимальный выпуск;

P_j(t) - поток конечного (непроизводственного) потребления;

$a_{ij}$ - коэффициенты прямых сырьевых затрат (количество продукта , необходимое для производства продукта );

$b_{ij}$ - количество фондообразующего продукта идущее на единичный прирост мощности в отрасли ;

$\tau_j$ - продолжительность строительства мощности в отрасли j .

Таким образом, выпуск $\upsilon_j(t)$ расходуется на покрытие сырьевых и фондообразующих затрат и конечное потребление.

Эконометрические модели народного хозяйства (типа Брукингской и Уортоновской). В основе этих моделей лежат: 1) балансовые соотношения; 2) функциональные зависимости - производственная функция и функция потребительского спроса.

Производственная функция задает зависимость национального дохода от стоимости основных фондов (капитала) и от используемых трудовых ресурсов :

Функция спроса P=S(c,q) задает зависимость вектора конечного потребления, т.е. набора потребляемых товаров, от вектора с цен на эти товары и дохода .

Паутинообразные модели имеют дело с динамикой спроса и предложения. Пусть - спрос, - предложение, - цена, - равновесная цена, - объем производства, - равновесный объем производства. Равновесные и находят из условия совпадения спроса и предложения D(P)=S(P) .

Однако более реалистичной является гипотеза запаздывания предложения. Например, пусть при цене в прошлый период $P_{t-1}$ объем предложения в данный период есть $S(t)=S(P_{t-1})$ . Считаем, что цена P_t устанавливается на рынке так, чтобы был куплен весь объем выпущенной продукции X_t. Следовательно,

$X_t=D(P_t)=S(P_{t-1})$

Пусть спрос и предложение достаточно точно описываются линейными функциями от цены

$D=\alpha_a P\\ S=\beta +bP$

Такое предположение вполне естественно, если в модели рассматривается окрестность точки равновесия, а функции спроса и предложения гладкие. Тогда

$X_t=\alpha+aP_t=\beta+bP_{t-1}$

( 1)

Равновесие наступает, когда

$X^*=\alpha+a P^*=\beta+b P^*$

( 2)

Вычитая (1) из (2), получаем, что

$X*-X_t=a(P^*-P_t)=b(P^*-P_{t-1})$

( 3)

Обозначим x_t=X^*-X_t; p_t=P^*-P_t - отклонения от равновесия. Из (3) получим $x_t=ap_t=bp_{t-1}$ , откуда $p_t=\frac b a p_{t-1}$ Решение этого уравнения имеет вид $p_t=p_0(\frac b a)^t$

В зависимости от того, чему равно $\frac b a$ , получим либо затухающие колебания $(|\frac b a|)<1 ,$ сходящиеся к P=P^* и X=X^* , либо колебания c возрастающей амплитудой $(|\frac b a|)$ . В промежуточном случае a=b амплитуда колебаний постоянна.

Тот же результат справедлив и в модели с непрерывным временем. Будем считать, что спрос меняется не только в зависимости от цены, но и в зависимости от ее динамики, т.е.

$D=D(P, \frac{dP}{dt}); S=S(P)$

Тогда аналогом (13.1) является уравнение $X=\alpha+a P+a_1\frac{dP}{dt}=\beta +bP$ , решением которого является $p+p_0 e^{ct}$

В рассматриваемых моделях считалось, что производители ожидают, что цена останется, как в предшествующий период (и устанавливают объем изготавливаемого товара исходя из этих ожиданий). Модель может быть усовершенствована. Для установления объема изготавливаемого товара производителям более реалистично считать, что в момент времени цена на товар будет равна $P_{t-1}- \rho(P_{t-1}-P_{t-2})$ , где $0<\rho <1$ , т.е. цена изменится в направлении, обратном тому, в котором она изменялась в прошлый период. Тогда $X_t=\alpha+aP_t=\beta+b(1- \rho)P_{t-1}+b \rhoP_{t-2}$ , следовательно, $x_t=ap_t=b(1-\rho)p_{t-1}+b\rho p_{t-2}$

Дальнейшее развитие модели состоит во введении в нее запасов. Ожидая повышения цен, продавцы создают запасы товара.

Запасы в момент времени обозначим Q_t . Тогда изменение запасов за период времени от t-1 до t есть $Q_t-Q_{t-1}=S_t-D_t$ . В модели цену можно устанавливать различными способами, например, $P_t=P_{t-1}-\lambda(Q_{t-1}-Q_{t-2})$ или $P_t=P_{t-1}-\lambda(Q_{t-1}-Q*)$ , где - запасы в точке равновесия. В первом случае получим P_t=P*+(P_0-P*)c^t , где $c=1-\lambda(b-a)$ , а во втором - $P_t=(2-\lambda(b-a))P_{t-1}-P_{t-2}$ .

Модель экономического цикла. Сначала рассмотрим простую модель без учета запаздывания, а также без учета экспорта-импорта, налогов и государственных расходов.

( 4)

$DK=\gamma (\nu Y-K)$

( 5)

$DY+\lambda (C+DK_Y)$

( 6)

где $D=\frac{d}{dt}$ - символ операции дифференцирования; - реальный чистый доход, - реальное потребление, - объем основного капитала, $A,s<1, \nu, \gamma, \lambda$ - положительные константы. Более точно, - сумма всех видов конечных доходов, полученных в народном хозяйстве, деленная на индекс инфляции (т.е. реальный валовой национальный продукт за вычетом затрат на возмещение основного капитала); - общие затраты на потребительские товары конечных покупателей в народном хозяйстве, деленные на индекс инфляции; K - объем основного капитала всего народного хозяйства (в сопоставимых ценах).

Уравнение (4) вытекает из теории Кейнса, а именно, из соотношения: потребление = национальный доход - сбережения + автономное потребление. Значит, - часть дохода, идущая на сбережения, - предельная склонность к сбережениям, - автономное потребление (та доля потребления, которая не зависит от дохода, своеобразный прожиточный минимум).

Уравнение (5) допускает несколько интерпретаций. Рассмотрим две из них.

1. В первой интерпретации - это норма капитальных вложений в основной капитал. Допустим, существует оптимальный объем основного капитала и он равен некоторой доле от национального дохода - $\nu Y$ , где $\nu$ - оптимальное соотношение "капитал-выпуск". Тогда уравнение (5) означает, что норма капитальных вложений в основной капитал пропорциональна превышению оптимального объема основного капитала над действительным.

2. Основное соотношение, описывающее капитальные вложения, имеет вид:

$\frac{DK}{K}=\gamma(\frac{P}{(1+c)rK}-1)$

( 7)

где P - реальная прибыль, - норма процента, - премия за риск. Из соотношения (7) легко получить (5).

В уравнении (6) $DY=\frac{dY}{dt}$ - рост производства (поскольку все производство = всему доходу = ). Рост производства зависит от избытка спроса. Потребление ( ) + накопление (оно превращается в капитальные вложения ) - чистый национальный доход ( ) - это и есть избыток спроса (то, что потребляется и накопляется, может быть не равно чистому доходу).

Для равновесной системы все производные по времени равны 0. Равновесные значения Y, C и таковы:

$\dot Y=\dot C=\frac A s$

( 8)

$\dot K=\frac{\nu A}{s}$

( 9)

Этот результат не предназначен для непосредственного практического использования, т.к. в модели не учитываются ограничения на выпуск, накладываемые рабочей силой и объемом основного капитала. Однако он нужен, чтобы найти отклонения от равновесия $Y=Y*+B_1e^{x_1t}-B_2e^{x_2t}$ - решение системы (4)-(5)-(6)-(8)-(9), где B_1, B_2 зависят от $\lambda, \gamma, \nu, s$ . В зависимости от B_1 и B_2 получим согласно теории линейных дифференциальных уравнений следующие четыре варианта траекторий : 1) незатухающие колебания (экономические циклы); 2) затухающие колебания; 3) взрывоподобные колебания; 4) взрывоподобная, но не колебательная траектория.

Довольно часто в экономике реально осуществляется приближение к первому варианту - экономические циклы.

Усложним модель, введем запаздывание. В модели (4)-(6) предполагается мгновенная реакция потребления на изменение дохода. На самом деле это неверно. Вместо уравнения (4) напишем

$DC=\alpha((1-s)Y+A-C)$

( 10)

где $\alpha$ - параметр, определяющий быстродействие системы.

Теперь добавим запасы. Вместо уравнения (6) получим

$DY=\lambda (C+DK-Y)+\mu (S^0-S)$

( 11)

( 12)

( 13)

где S^0 - оптимальный уровень запасов, равен некоторой постоянной величине + часть потребления и капитальных вложений, - фактический уровень запасов. Уравнение (11) отражает тот факт, что рост производства зависит от избытка спроса и от превышения оптимальных запасов над фактическими. (Уравнения (10) и (11) аналогичны соответствующим соотношениям для паутинообразных моделей.)

Добавим в систему экспорт-импорт, налоги и государственные расходы. Теперь с учетом (11)-(13) получим модель в виде системы уравнений

$DC=\alpha((1-s)(Y-T)+A-C)$

( 14)

$DK=\gamma(\nu Y-k)$

( 15)

$DY=\lambda(C+DK+G+E-I-Y)+ \mu (S^0-S)$

( 16)

( 17)

( 18)

( 19)

$T=\tau Y-B$

( 20)

где - реальный импорт, - реальный объем налогов за вычетом государственных трансфертных платежей, - реальный экспорт, - реальные государственные расходы на товары и услуги.

В уравнении (14) национальный доход, идущий на потребление и накопление, уменьшился на сумму налогов, т.е. по сравнению с (10) произошла замена $Y\to Y-T$ .

Далее заметим, что теперь - общее потребление товаров как отечественного, так и импортного производства, а теперь есть рост основного капитала частного сектора. Накопление основного капитала частного сектора входит в .

Уравнение (16) отличается от (11) на величину G+E-I , т.к. - рост производства зависит от избытка спроса, который теперь равен тому, что общество расходует (т.е. потребляет ( ) + вкладывает ( ) + экспорт ( ) + государственные расходы ( )) за вычетом того, что общество получает (национальный доход ( ) + импорт ( )).

Уравнение (17) предполагает, что желаемый уровень запасов есть линейная функция валового сбыта, а валовой сбыт это: 1) сбыт потребительских товаров отдельным потребителям ; 2) сбыт капитальных благ фирмам (капитальные вложения) ; 3) сбыт товаров в государственном секторе ; 4) сбыт иностранным производителям .

Уравнение (18) означает, что изменение запасов равно всем товарам (Y+I) минус весь сбыт (C+DK+G+E) .

Уравнение (19) предполагает, что импорт - это доля всего сбыта.

Уравнение (20) предполагает, что налоги - линейная функция доходов, тогда $\tau$ - аналог процентной ставки. То, что в уравнении имеется отрицательная константа , говорит о том, что $\frac T Y$ - возрастающая функция , т.е. чем больше доход, тем больше налог.