НОУ ИНТУИТ | Практикум по компьютерной геометрии. Лекция 6: Кривые и поверхности в компьютерной геометрии, II

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 27.12.2010 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 14 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Алгоритм вычисления радиус-вектора B-кривой

Пусть даны опорные точки $p_1, \dots , p_n$ и их веса $\omega_1, \dots , \omega_n,$ а также расширенное множество неубывающих узлов $\{t_1, \dots ,t_{n+m} : t_1 \le \dots \le t_{n+m}\}.$ Опишем алгоритм вычисления радиус-вектора B -кривой

$r(t)=\frac{\sum_{i=1}^n N_{i,m}(t) \omega_i p_i}{\sum_{i=1}^n N_{i,m}(t) \omega_i}.$

Фиксируем t. Положим $t_0 = -\infty, t_{n+m+1} = + \infty.$ Тогда существует единственное такое, что $t \in [t_{i_0},t_{i_0+1}),$ где $0 \le i_0 \le n + m.$
Для определенного выше индекса если $1 \le i_0 \le n + m,$ вычисляем единственное ненулевое значение ненормированного B -сплайна первого уровня (m=1):

$M_{i_0,1}(t)=\frac{1}{t_{i_0+1}-t_{i_0}}\\ (1 \le i_0 \le n+m-1)$
Напомним, что было выбрано на первом шаге, так чтобы $t \in [t_{i_0}, t_{i_0+1}).$ При этом, в силу условия $1 \le i_0 \le n + m - 1,$ знаменатель $t_{i_0+1} - t_{i_0} < \infty,$ а в силу условия $t \in [t_{i_0}, t_{i_0+1})$ имеем $t_{i_0+1} - t_{i_0} > 0.$ Следовательно, $0 < M_{i_0, 1}(t) > \infty.$ Для индекса находящегося вне множества $\{1, \dots , n+m-1\},$ значение $M_{i_0,1}$ не вычисляется.
С помощью соотношений Кокса - де Бура вычисляем все отличные от нуля в точке ненормированные сплайны -го порядка $M_{j,m}(t)$ при $1 \le j \le n$ :

$M_{j, m}(t)= \frac{(t_{j+m}-t)M_{j+1, m-1}(t)+(t-t_j)M_{j, m-1}(t)}{t_{j+m}-t_j}$

В частности,

$M_{i_0, s}(t)=\frac{(t-t_{i_0})^{s-1}}{(t_{i_0+1}-t_{i_0}) \dots (t_{i_0+s}-t_{i_0})},\\ N_{i_o, s}(t)=\frac{(t-t_{i_0})^{s-1}}{(t_{i_0+1}-t_{i_0}) \dots (t_{i_0+s-1}-t_{i_0})},$ ( 6.6)

где $1 \le s \le m, t \in [t_{i_0}, t_{i_0+1}).$ Положив в (6.6) получим

$N_{1,s}(t)=\frac{(t-t_1)^{s-1}}{(t_2-t_1) \dots (t_s-t_1)},\\ 1 \le s \le m,\\ t \in [t_1, t_2).$
Лемма 6.5. Имеет место соотношение:

$N_{1, m}(t)= \begin{cases} 1, \qquad \mbox{если } t_1= \dots = t_m,\\ 0, \qquad \mbox{иначе}. \end{cases}$
Вычисляем нормированные сплайны $N_{j, m}(t)$ для каждого $1 \le j \le n$ по формуле $N_{j, m}(t) = (t_{j+m} - t_j)M_{j, m} (t)$ (при этом $1 \le j,j + m \le n + m$ ).
Окончательно вычисляем по формуле

$r(t)=\frac{\sum_{i=1}^nN_{i, m}(t) \omega_i p_i}{\sum_{i=1}^n N_{i, m}(t) \omega_i}$

Алгоритм де Бура вычисления радиус-вектора B-кривой

Теорема 6.4. Радиус-вектор r(t) B -кривой:

$r(t)=\frac{\sum_{i=1}^nN_{i, m}(t) \omega_i p_i}{\sum_{i=1}^n N_{i, m}(t) \omega_i}=\frac{\omega r}{\omega}$

может быть вычислен с помощью следующего алгоритма:

Для заданного $t \in [t_{i_0},t_{i_0+1}) (m \le i_0 \le n)$ вычисляем величины $r_i^{(k)}, \omega_i^{(k)}$ при $k = 1, \dots , m - 1, i = i_0 - m + k + 1, \dots , i_0$ по рекуррентным формулам:

$r_i^{(k)}=\frac{t_{i+m-k}-t}{t_{i+m-k}-t_i}r_{i-1}^{(k-1)}+\frac{t-t_i}{t_{i+m-k}-t_i}r_i^{(k-1)},\\ \omega_i^{(k)}=\frac{t_{i+m-k}-t}{t_{i+mk}-t_i}\omega_{i-1}^{(k-1)}+\frac{t-t_i}{t_{i+m-k}-t_i} \omega_i^{(k-1)},\\ r_o^{(0)}= \omega_i p_i, \omega_i^{(0)}=\omega_i, i=i_0-m+1, \dots, i_0$
Вычисляем r(t) по формуле

$r(t)=\frac{r_{i_0}^{(m-1)}}{\omega_{i_0}^{(m-1)}}$

Данный алгоритм иллюстрируется следующей диаграммой ( $t \in [t_{i_0}, t_{i_0+1})$ ):

$\begin{matrix} r_{i_0-m+1}^{(0)}& r_{i_0-m+2}^{(0)}& \dots & r_{i_0-1}^{(0)}& r_{i_0}^{(0)}\\ & r_{i_0-m+2}^{(1)}& \dots & r_{i_0-1}^{(1)}&r_{i_0}^{(1)}\\ & & \ddots & \vdots & \vdots \\ & & & r_{i_0-1}^{(m-2)}& r_{i_0}^{(m-2)}\\ & & & &r_{i_0}^{(m-1)} \end{matrix}$

Поверхности, определяемые матрицами опорных точек и весов

Поверхности Безье

Определение 6.2.1. Пусть дано (m +1) * (n+1) точек в пространстве R^3, образующих прямоугольную матрицу (сетку Безье):

$P_{mn}=\begin{pmatrix} p_{00} &\dots &p_{0n}\\ p_{10} &\dots &p_{1n}\\ \vdots &\ddots &\vdots \\ p_{m0} &\dots &p_{mn} \end{pmatrix}$

Поверхностью Безье порядка m * n, соответствующей сетке $P_{mn},$ называется поверхность

$S_{00}(u, v; m, n)=(1-v+Fv)^n(1-u+Fu)^mp_{00}=\\ =(1-u+Fu)^m(1-v+Fv)^np_{00},\\ 0 \le umv \le 1$

( 6.7)

где E - оператор сдвига вперед по первому индексу, F - оператор сдвига вперед по второму индексу:

$Ep_{ij}=p_{(i+1)j},\\ Fp_{ij}=p_{i(j+1)}.$

Операторы E и F очевидно коммутируют друг с другом: $EFp_{ij} = FEp_{ij} = p_{(i+1)(j+1)} .$ Поэтому $(1-v + Fv)^n(1 -u + Eu)^mp_{00} = (1 - u + Eu )^m(1 -v + Fv)^np_{00},$ т. е. формула (6.7) непротиворечива.

Определение 6.2.2. Рациональная поверхность Безье, построенная по точкам $p_{ij}$ с весами $\omega_{ij}$ определяется следующим образом:

$S_{00}(u, v; 1,1)=\frac{(1-u+Eu)(1-v+Fv) \omega_{00}p_{00}}{(1-u+Eu)(1-v+Fv) \omega_{00}}$

( 6.8)

Формула (6.8) означает, что мы строим поверхность Безье в $R_+^{k+1}$ по точкам $(\omega_{ij}; р_{ij} ,\omega_{ij}) \in R_+^{k+1},$ а затем применяем преобразование $\varphi R_+^{k+1} \to R^ k , \varphi (x, \omega) =\frac{x}{\omega}.$

Задача 6.2.1. Наглядно изучить влияние опорных точек и их весов на рациональную поверхность Безье, меняя исходные данные pts (опорные точки) и $\omega$ (их веса) в нижеследующей программе. В матрице весов стоят двумерные векторы, но используется только их первая компонента. Вторая компонента фиксирована. Это связано с неспособностью Mathematica применять функцию BezierFunction к матрицам из скаляров.

Пример 6.2.1. Рациональная поверхность Безье с возможностью непосредственного управления весами с помощью движков.

In[12]: =
       DynamicModule [ {pts, a, w0, pw, w, g, f, w6, w7, wl0, wll, i, j, out, 
           ins, u, v, n, pts0}, 
         pts = {{{0, 0, 0}, {0, 1, 0), {0, 2, 0}, {0, 3, 0}},
              {{1, 0, 0}, {1, 1, 1}, {1, 2, 1}, {1, 3, 0}}, 
            {{2, 0, 0}, {2, 1, 1}, {2, 2, 1}, {2, 3, 0}},
              {{3, 0, 0}, {3, 1, 0}, {3, 2, 0} , {3, 3, 0}}}; pts0 = Flatten [pts, 1] ; 
           n = Length [pts0] ; 
         Row[ 
            {Manipulate [w0 = {{{2, a}, {3, a}, {4, a}, {5, a}},
                    {{3, a}, {w5, a}, {w6, a}, {6, a}}, {{4, a}, {w9, a}, {wl0, a}, {7, a}}, 
                  {{9, a}, {12, a}, {14, a}, {32, a}}}; 
               w = Table[w0[ [i, j , 1] ] , {i, 1, 4}, {j, 1, 4}]; 
                      pw = Table [w0[ [i, j , 1] ] pts [ [i , j ] ] , {i , 1, 4} , { j , 1, 4} ] ; 
                      g = BezierFunction[w0]; f = BezierFunction[pw]; 
               Show[{Graphics3D[{PointSize[Large], Red, Map[Point, pts] ,
                     Green, Text[ToString[# - 1] , pts0[[#]]  + {0.01, 0.04, 0.04}] & /@
                        Range[n]}], 
                  Graphics3D[{Gray, Dashed, Line[pts], Line[Transpose[pts]]}], 
                    ParametrioPlot3D[f [u, v] / g [u, v] [ [1] ] , {u, 0, 1}, {v, 0, 1}, 
                          PlotStyle -> FaceForm[out, ins] ] }] , 
               Column[{Control[{{ins, Green, "Внутренний цвет"}, Green}],
                 Control[{{out, Red, "Внешний цвет"}, Red}]}, Right], 
               {{w5, 10}, 1, 100}, {{w6, 10}, 1, 100}, {{w9, 10}, 1, 100}, 
                {{wl0, 10}, 1, 100}] 
              MatrixForm [pts] } , "   " ] , 
          Initialization : ->
              (pts = {{{0, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 2, 0}, {0, 3, 0}}, 
                     {{1, 0, 0}, {1, 1, 1}, {1, 2, 1}, {1, 3, 0}}, 
                     {{2, 0, 0}, {2, 1, 1}, {2, 2, 1}, {2, 3, 0}},
                     {{3, 0, 0}, {3, 1, 0}, {3, 2, 0}, {3, 3, 0}}}; pts0 = Flatten [pts, 1] ; 
                 a = 1; n = Length[pts0])]

Геометрический смысл поверхности Безье

Поверхность Безье можно получить следующим образом:

Строим (n + 1) кривую Безье по столбцам матрицы $P_{mn}$ :

$r_j(u) = (1 - u + Eu)^mp_{0_j}, \\ j = 0, \dots ,n.$
Далее, начиная с каждой точки кривой Безье строим кривые Безье, имеющие опорные точки на кривых $r_j(u) (0 \le j \le n) ,$ соответствующие одному и тому же значению параметра u.

При этом соответствующий оператор перехода от опорной точки, взятой на кривой r_j(u) , к следующей опорной точке, взятой на кривой $r_{j+1}(u) ,$ в терминах узлов сетки pij описывается оператором сдвига F по второму индексу. Следовательно,

$S(u,v) = (1-v + Fv)^nr_0(u) = (1-v + Fv)^n (1-u + Eu )^m p_{00} = S_{00}(u,v;m,n),$

где m и n - количество шагов по первому и второму индексу соответственно, начиная от угловой точки сетки Безье, 00 - индекс этой угловой точки, с которой мы начинаем образовывать все остальные узлы сетки операторами сдвига E и F. Имеем

$S_{00}(u,v;0,0)=p_{00},\\ S_{00}(u, v;1,1) = (1-u + Eu)(1 -v + Fv)p_{00} =\\ = (1 - u)(1 - v)p_{00} + (1 - u)vp_{01} + u(1 - v)p_{10} + uvp_{11}$

( 6.9)

$S_{00}(u, v;2,2) = (1-u + Eu)^2(1 -v + Fv)^2p_{00} =\\ = (1 - u + Eu)(1 -v + Fv)S_{00}(u, v; 1,1) = \\ = (1 - u)(1 - v)S_{00}(u, v; 1,1) + (1 - u)vS_{01}(u, v; 1,1)+\\ + u(1 - v)S_{10}(u, v; 1,1) + uvS_{11}(u, v; 1,1).$

( 6.10)

Здесь через $S_{ij}$ обозначены четырехугольные листы Безье, построенные из точек p ij, взятых в качестве угловых точек, аналогично формуле (6.9).

Аналогично формуле (6.10), любая точка на поверхности Безье степени m*n может быть представлена в виде точки четырехугольного листа Безье с углами в точках соответственно подобранных поверхностей Безье порядка (m-1)*(n-1):

$S_{00}(u, v; m, n) = (1 - u)(1 - v)S_{00}(u, v;m-1,n- 1)+\\ + (1 - u)vS_{01}(u, v;m-1,n-1)+u(1- v)S_{10}(u, v;m-1,n- 1)+\\ + uvS_{11}(u,v;m-1,n-1).$

Поверхность Безье можно представить в следующим виде:

$S_{00}(u,v;m,n) = F(u,m)PF^{\top}(v,n),$

где $P = (p_{ij})$ и

$F(u,m) = (f_0(u,m), \dots ,f_m(u,m) ) ,\\ F(v,n)= ( f_0(v,n), \dots ,f_n(v,n) ) ,\\ f_i ( \xi,k) = C_k^i(1- \xi)^{k-i} \xi^i.$

Аналогично обычной поверхности Безье, рациональная поверхность Безье $S_{00}(u, u; 1,1)$ может быть получена с помощью следующего алгоритма:

соединяем $p_{00}$ и $p_{01}$ рациональной кривой Безье $S_{00}(0, v)$ с весами $\omega_{00}$ и $\omega_{01}$ ;
соединяем $p_{10}$ и $p_{11}$ рациональной кривой Безье $S_{00}(1, v)$ с весами $\omega_{10}$
фиксируем соединяем точки $S_{00}(0,v_0)$ и $S_{00}(1,v_0)$ с весами $(1 - v_0 + Fv_0) \omega_{00}$ и $(1 - v_0 + Fv_0) \omega_{10}$ рациональной кривой Безье и берем на ней точку с параметром $u = u_0 \in [0,1] .$

Полученная точка и будет точкой с параметрами (u_0,v_0) на рациональной поверхности Безье, построенной по $(p_{ij},\omega_{ij})_{i,j=0}^1.$

Деление поверхности Безье

Деление поверхностей Безье целиком основано на делении кривых Безье. Как мы уже знаем, каждая из кривых Безье (обычных или рациональных), построенных по столбцам сетки опорных точек $P_{mn},$ может быть разделена в параметрической точке $u = u^* \in [0,1]$ без изменения ее формы. При таком делении получаются две поверхности Безье (составляющие вкупе исходную поверхность) и соответствующие им две матрицы опорных точек Безье, каждая из которых имеет тот же порядок, что и исходная матрица: $P_{тп}^a$ и $P_{тп}^b.$ Затем, каждую из получившихся двух поверхностей Безье надо поделить в параметрической точке v = v^* (с помощью деления кривых Безье, построенных по строкам соответствующих матриц). В итоге получится четыре поверхности Безье и соответствующие им четыре матрицы опорных точек: $P_{mn}^{ac}, P_{mn}^{ad}, P_{mn}^{bc}$ и $P_{mn}^{bd}.$ Эти четыре поверхности Безье будут лежать на исходной поверхности Безье, делить ее на четыр е части и в совокупности составлять исходную поверхность.

Новые сети опорных точек $P_{mn}^{ac}, P_{mn}^{ad}, P_{m n}^{bc}$ и $P_{mn}^{bd}$ получаются из исходной сети $P_{mn}$ по следующим формулам, аналогичным формулам (5.26):

$p_{ij}^{ac} = (1-u^*+Eu^*)^i(1-v^*+Fv^*)^jp_{00}\\ p_{(m-i)j}^{bc} = ( (1 - u^*)E^{-1} + u^* )^i (1 -v^* + Fv^*)^jp_{m0},\\ p_{i(n-j)}^{ad} = (1-u^*+ Eu^*)^i ( (1 - v^*)F^{-1} + v^* )^j p_{0n},\\ p_{(m -i)(n-j)}^{bd} = ( (1 - u^*)E^{-1} + u^* )^i ( (1 - v^*)F^{-1} + v^* )^j p_{mn}.$

Дальше >>

Практикум по компьютерной геометрии

Практикум по компьютерной геометрии

Кривые и поверхности в компьютерной геометрии, II

Алгоритм вычисления радиус-вектора B-кривой

Алгоритм де Бура вычисления радиус-вектора B-кривой