НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 11: Автоматы с магазинной памятью

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 33 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

10.3*. Автоматы с магазинной памятью с однобуквенными переходами

Теорема 10.3.1. Каждый МП-автомат эквивалентен некоторому МП-автомату $\lalg Q , \Sigma , \Gamma , \Delta , I , F \ralg$ , где |Q| = 2 и каждый переход $\lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta$ удовлетворяет требованиям |x| = 1, $| \beta | \leq 1$ и $| \gamma | \leq 2$ .

Доказательство. Пусть исходным МП-автоматом распознается контекстно-свободный язык $L \subseteq \Sigma ^*$ . Согласно теореме 8.4.6 язык $L \sminus \{ \varepsilon \}$ порождается некоторой контекстно-свободной грамматикой $\lalg N , \Sigma , P , S \ralg$ , в которой каждое правило имеет вид $A \tto a \gamma$ , где $A \in N$ , $a \in \Sigma$ , $\gamma \in N ^*$ и $| \gamma | \leq 2$ . Аналогично тому, как было сделано при доказательстве теоремы 10.2.1, положим $\Gamma = N$ , Q = {1,2}, I = {1},

$\begin{gathered*} F = \begin{cases} \{ 1 , 2 \}, & \; \text{если}\; \varepsilon \in L ,\\ \{ 2 \}, & \; \text{если}\; \varepsilon \notin L , \end{cases} \\ \Delta = \{ \langle \langle 2 , a ,\! A \rangle ,\! \langle 2 ,\! \gamma \rangle \rangle \mid ( A \to a \gamma ) \in P \} \cup \{ \langle \langle 1 , a ,\! \varepsilon \rangle ,\! \langle 2 ,\! \gamma \rangle \rangle \mid ( S \to a \gamma ) \in P \} . \end{gathered*}$

Теорема 10.3.2. Каждый МП-автомат эквивалентен некоторому МП-автомату $\lalg Q , \Sigma , \Gamma , \Delta , I , F \ralg$ , в котором каждый переход $\lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta$ удовлетворяет требованиям |x| = 1, $| \beta | \leq 1$ и $| \gamma | \leq 1$ .

Доказательство. Пусть исходным МП-автоматом распознается контекстно-вободный язык $L \subseteq \Sigma ^*$ . Согласно теореме 8.4.6 язык $L \sminus \{ \varepsilon \}$ порождается некоторой контекстно-вободной грамматикой $G = \lalg N , \Sigma , P , S \ralg$ , в которой каждое правило имеет один из следующих трех видов: $A \tto a$ , $A \tto a B$ , $A \tto a B C$ , где $A \in N$ , $B \in N$ , $C \in N$ , $a \in \Sigma$ . Легко добиться того, чтобы в правилах грамматики G вспомогательные символы в правой части (то есть символы B и C ) были отличны от начального символа S.

Положим $Q = N \cup \{ \bot \}$ , где $\bot \notin N$ . Далее, положим $\Gamma = N$ ,

$I = \{ S \} ,\qquad F = \begin{cases} \{ S , \bot \}, &\mathspace\text{если}\mathspace \varepsilon \in L ,\\ \{ \bot \}, &\mathspace\text{если}\mathspace \varepsilon \notin L , \end{cases}$

$\begin{align*} \Delta &= \{ \lp \lp A , a , \varepsilon \rp , \lp B , C \rp \rp \mid ( A \tto a B C ) \in P \} \cup {} \\ &\myqquad \cup \{ \lp \lp A , a , \varepsilon \rp , \lp B , \varepsilon \rp \rp \mid ( A \tto a B ) \in P \} \cup {} \\ &\myqquad \cup \{ \lp \lp A , a , D \rp , \lp D , \varepsilon \rp \rp \mid ( A \tto a ) \in P \commaand D \in N \sminus \{ S \} \} \cup {} \\ &\myqquad \cup \{ \lp \lp A , a , \varepsilon \rp , \lp \bot , \varepsilon \rp \rp \mid ( A \tto a ) \in P \} . \end{align*}$

Упражнение 10.3.3. Найти для языка, порождаемого грамматикой

$\begin{align*} S \; & {\to} \; a T T , \\ S \; & {\to} \; \varepsilon , \\ T \; & {\to} \; b T U , \\ T \; & {\to} \; c , \\ U \; & {\to} \; a T , \end{align*}$

МП-автомат, в котором каждый переход $\lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta$ удовлетворяет требованиям |x| = 1, $| \beta | \leq 1$ и $| \gamma | \leq 1$ .

Упражнение 10.3.4. Найти для языка, порождаемого грамматикой

$\begin{align*} S \; & {\to} \; a T U , \\ T \; & {\to} \; a U T , \\ T \; & {\to} \; b , \\ U \; & {\to} \; b T , \\ U \; & {\to} \; a , \end{align*}$

МП-автомат, в котором каждый переход $\lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta$ удовлетворяет требованиям | x | = 1

, $| \beta | \leq 1$ и $| \gamma | \leq 1$ .

Дальше >>

Математическая теория формальных языков

Математическая теория формальных языков

Автоматы с магазинной памятью

10.3*. Автоматы с магазинной памятью с однобуквенными переходами

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Математическая теория формальных языков

Математическая теория формальных языков

Автоматы с магазинной памятью

10.3*. Автоматы с магазинной памятью с однобуквенными переходами

Вопросы и ответы

Студенты