Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Лекция 8:

Неоднозначность в контекстно-свободных грамматиках

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >

7.2. Однозначные контекстно-свободные грамматики

Определение 7.2.1. Вывод в контекстно-свободной грамматике называется левосторонним ( левым, leftmost derivation), если на каждом шаге вывода заменяется самое левое из всех вхождений вспомогательных символов (то есть каждый шаг вывода имеет вид u A \theta \Rightarrow u \beta \theta, где ( A \tto \beta ) \in P, u \in \Sigma ^* и \theta \in \ns ^* ). Иногда в левосторонних выводах вместо \Rightarrow пишут \lmarrow. Правосторонний ( правый ) вывод определяется аналогично. В правосторонних выводах вместо \Rightarrow пишут \rmarrow.

Пример 7.2.2. Вывод

S \Rightarrow SS \Rightarrow Sab \Rightarrow SSab \Rightarrow
 abSab \Rightarrow ababab
из примера 7.1.2 не является левосторонним.

Лемма 7.2.3. Для каждого слова, выводимого в контекстно-свободной грамматике, существует левосторонний вывод.

Лемма 7.2.4. Пусть G - контекстно-свободная грамматика над алфавитом \Sigma. Пусть w \in \Sigma ^*. Тогда существует взаимно-однозначное соответствие между левосторонними выводами слова w в грамматике G и деревьями вывода в грамматике G, кроной которых является w.

Пример 7.2.5. Рассмотрим дерево вывода из примера 7.1.2. Ему соответствует левосторонний вывод

S \mymathrel{\lmarrow}
 SS \mymathrel{\lmarrow}
 SSS \mymathrel{\lmarrow}
 abSS \mymathrel{\lmarrow}
 ababS \mymathrel{\lmarrow}
 ababab .

Определение 7.2.6. Контекстно-свободная грамматика называется неоднозначной (ambiguous), если существует слово, которое имеет два или более левосторонних вывода (устаревший термин - неопределенная грамматика). В противном случае контекстно-свободная грамматика называется однозначной (unambiguous).

Пример 7.2.7. Контекстно-свободная грамматика из примера 7.1.2 неоднозначна. Слово ababab имеет два левосторонних вывода:

S \mymathrel{\lmarrow}
 SS \mymathrel{\lmarrow}
 SSS \mymathrel{\lmarrow}
 abSS \mymathrel{\lmarrow}
 ababS \mymathrel{\lmarrow}
 ababab
и
S \mymathrel{\lmarrow}
 SS \mymathrel{\lmarrow}
 abS \mymathrel{\lmarrow}
 abSS \mymathrel{\lmarrow}
 ababS \mymathrel{\lmarrow}
 ababab .

Пример 7.2.8. Пусть \Sigma = \{ \trm{p} , \trm{\#} ,
\trm{)} , \trm{(} ,
\trm{\lnot} , \trm{\land} , \trm{\lor} \}. Контекстно-свободная грамматика

\begin{align*}
S \; & {\to} \; S \trm{\lor} D , & C \; & {\to} \; \trm{\lnot} C , \\
S \; & {\to} \; D ,              & C \; & {\to} \; \trm{(} S \trm{)} , \\
D \; & {\to} \; D \trm{\land} C ,& C \; & {\to} \; V , \\
D \; & {\to} \; C ,              & V \; & {\to} \; V \trm{\#} , \\
     &                           & V \; & {\to} \; \trm{p} 
\end{align*}
порождает множество всех булевых формул, составленных из переменных p, p#, p##, ..., с помощью скобок и операторов \trm{\lnot}, \trm{\land} и \trm{\lor}. Эта грамматика является однозначной.

Определение 7.2.9. Контекстно-свободный язык называется существенно неоднозначным (inherently ambiguous), если каждая контекстно-свободная грамматика, порождающая этот язык, является неоднозначной.

Пример 7.2.10. Язык, порождаемый контекстно-свободной грамматикой из примера 7.1.2, не является существенно неоднозначным. Он порождается однозначной грамматикой

\begin{align*}
S \; & {\to} \; TS , \\
S \; & {\to} \; T , \\
T \; & {\to} \; ab , \\
T \; & {\to} \; aSb .
\end{align*}

Пример 7.2.11. Пусть \Sigma = \{ a , b , c \}. Контекстно-свободный язык {akbmcn | k = m или m = n} является существенно неоднозначным. Доказательство этого факта можно найти в [АхоУль, с. 234-236].

Упражнение 7.2.12. Однозначна ли контекстно-свободная грамматика

\begin{align*}
K \; & {\to} \; a , \\
K \; & {\to} \; b , \\
K \; & {\to} \; K \trm{+} K ,\\
K \; & {\to} \; K \trm{-} K 
\end{align*}
с алфавитом \Sigma = \{a,b,\trm{+},\trm{-}\}?

Упражнение 7.2.13. Однозначна ли контекстно-свободная грамматика

\begin{align*}
K \; & {\to} \; a , \\
K \; & {\to} \; b , \\
K \; & {\to} \; \trm{+} K K , \\
K \; & {\to} \; \trm{-} K K 
\end{align*}
с алфавитом \Sigma = \{a,b,\trm{+},\trm{-}\}?

Упражнение 7.2.14. Однозначна ли контекстно-свободная грамматика

\begin{align*}
K \; & {\to} \; a , \\
K \; & {\to} \; b , \\
K \; & {\to} \; \trm{(} K \trm{+} K \trm{)} , \\
K \; & {\to} \; \trm{(} K \trm{-} K \trm{)} 
\end{align*}
с алфавитом \Sigma = \{a,b,\trm{+},\trm{-},\trm{)},\trm{(}\}?

Упражнение 7.2.15. Однозначна ли контекстно-свободная грамматика

\begin{align*}
E \; & {\to} \; E c E , \\
E \; & {\to} \; E d E , \\
E \; & {\to} \; a E b , \\
E \; & {\to} \; i ?
\end{align*}

Упражнение 7.2.16.Найти однозначную контекстно-свободную грамматику, эквивалентную грамматике

\begin{align*}
S \; & {\to} \; a S , \\
S \; & {\to} \; a S b , \\
S \; & {\to} \; c .
\end{align*}

Упражнение 7.2.17.Найти однозначную контекстно-свободную грамматику, эквивалентную грамматике

\begin{align*}
S \; & {\to} \; a S aaaa , \\
S \; & {\to} \; a S aa , \\
S \; & {\to} \; aa S a , \\
S \; & {\to} \; b .
\end{align*}

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >
Юлия Маковецкая
Юлия Маковецкая

Упражнение 2.1.25

Евгения Гунченко
Евгения Гунченко

Сдавала тест экстерном, результат получен 74 после принятия данного результата и соответственно оплаты курса, будет ли выдано удостоверение о повышении квалификации?

Юрий Фролов
Юрий Фролов
Украина
Руслан Мухамедьяров
Руслан Мухамедьяров
Россия, Казань, КФУ