Математическая логика событий

1.3. Исчерпывающее множество событий

Следующие ниже определения не могут не затронуть смысловых особенностей высказываний о событиях. Кроме чисто формальных свойств высказываний, выражающихся в их истинности или ложности, невозможно полностью абстрагироваться от содержательной сути или от контекста, в котором они звучат.

Определение 4. Исчерпывающее множество событий (ИМС) образуют те события, совокупность высказываний, о которых покрывает весь возможный смысловой диапазон проявления объекта высказывания, и каждая допустимая ситуация характеризуется тем, что значение ИСТИНА (1) может принимать единственное высказывание из этой совокупности. (Значение 0 могут принимать все высказывания.)

Рассмотрим примеры.

1. В состав редколлегии входят трое: Иванов, Петров, Сидоров. Тогда провозглашение фамилий этих фигурантов определяет исчерпывающее множество событий при выдвижении единственного представителя коллектива в президиум собрания.
2. Наказуемое превышение скорости автомобиля делится на диапазоны: до 10%, от 10% до 20%, свыше 20%. Однако если в регламентирующем документе заданы только диапазоны до 10% и от 10% до 100%, то это не будет соответствовать исчерпывающему множеству событий. Такие нестрогие определения возможного диапазона ситуаций являются причиной юридической казуистики, требующей дальнейшего исследования прецедента.

Итак, ИМС, которому соответствует множество высказываний А= {x₁, ..., x_n}, характеризуется тем, что при соответствующих обстоятельствах одно и только одно высказывание из этого множества может принимать значение 1. Это и определяется операцией ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, которую будем обозначать .

Очевидны главные свойства высказываний о событиях из ИМС:

( 1.12)

( 1.13)

Теорема. Логическая функция от переменных-высказываний о событиях, образующих исчерпывающее множество событий, преобразуется в дизъюнкцию ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ переменных-высказываний о событиях из этого множества.

Доказательство. Поясним доказательство теоремы анализом примера. На множестве высказываний {x₁, x₂, x₃}, СДНФ имеет вид

Применив (1.12) и воспользовавшись свойством дистрибутивности ("раскрыв скобки") в соответствии с (1.3), обнаружим, что каждая вновь полученная конъюнкция может принимать значение некоторой переменной, согласно (1.13), тогда и только тогда, когда эта переменная входит в нее ровно 3 раза (п раз). Это возможно лишь в тех конъюнкциях исходной СДНФ, где переменная, а не ее отрицание, входит при условии, что другие переменные входят со знаком отрицания. На такую ситуацию указывают те значения f, которые отмечены единственной единицей в составе переменных. Для приведенного примера СДНФ принимает вид:

Теорема доказана.

Чтобы подчеркнуть, что задание ситуаций подчиняется условию операции , используем обозначение этой операции для получения окончательного вида СДНФ логической функции, заданной на ИМС:

( 1.14)

Отметим важные свойства выражения (1.14).

1. Каждая переменная, участвующая в формировании этого выражения, входит в него единственный раз.
2. Единственность вхождения переменных достигнута на основе применения закона дистрибутивности с учетом свойств высказываний на исчерпывающем множестве событий.

Назовем преобразование логической функции, приведшее к единственности вхождения переменных в каждую образующую его конъюнкцию, дистрибутивным.

В чем еще смысл Теоремы 1?

Представим себе ход рассуждения следователя, сокращающего круг подозреваемых. Первоначально он установил, что преступником мог быть либо Иванов, либо Петров, либо Сидоров, первоначально составляющие ИМС. Однако, исследовав некоторую логическую функцию f алиби или участия в преступлении, он установил, что f(Иванов = 1, Петров = 0, Сидоров = 0) = 0, в то время как f(Иванов = 0, Петров = 1, Сидоров = 0) = 1, f(Иванов = 0, Петров = 0, Сидоров = 1) = 1. Таким образом, f(Иванов, Петров, Сидоров) = Петров Сидоров. Это резко сужает круг подозреваемых, т.к. скорректированным исчерпывающим множеством событий является {Петров, Сидоров}.

1.4. Композиция исчерпывающих множеств событий. Дерево логических возможностей. Факторное пространство событий

Для строгого логического мышления, исключающего неопределенность, приходится оперировать не отдельными событиями и даже не исчерпывающими множествами таких событий (высказываниями о них), а композициями таких множеств. Между событиями, принадлежащими различным множествам, возможна зависимость, порождающая сложные высказывания. Да и сами ИМС могут определяться и инициироваться обстоятельствами, обусловленными событиями из других ИМС. Связи между ИМС, образующие сложные высказывания, отображаются деревом логических возможностей.

Рассмотрим пример.

Пансионат для ветеранов труда обеспечивает постояльцам активный отдых круглый год. Представим схемой (рис. 1.1) распорядок дня отдыхающих. Такая схема и определит дерево логических возможностей.

Уровни ветвления могут формироваться разными способами. Например, первый уровень можно сформировать на основе времен года и т.д. Однако в порядке рекомендации можно следовать правилу " события располагаются на более низких уровнях по сравнению с теми уровнями, которые занимают события, от которых зависят данные события ".

Бабушка пишет внуку: "Зимой я после завтрака катаюсь на лошади, и летом я после завтрака катаюсь на лошади, а также весной после завтрака прогулка бывает на лошади". … Что-то ей не нравится, и она строит схему своего составного высказывания: . Несколько поразмыслив, бабушка использует вынесение за скобку: . Тогда окончательный текст сообщения принимает вид: "После завтрака я катаюсь на лошади летом или зимой, а также, бывает, и весной, - вместо прогулки". Как же бабушка определила форму того логического выражения - функции, отображающей все возможные варианты, и даже пути, ведущие к свершению интересующего события?

Ответ следующий: необходимо на каждом пути в дереве логических возможностей, ведущем к заданному событию, построить конъюнкцию событий, образующих этот путь. Затем все такие конъюнкции объединить операцией дизъюнкции. Поскольку используются только исчерпывающие множества событий, очевидно, что эта дизъюнкция выполняется с помощью операции , т.е. ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (хотя можно пользоваться значком опираясь на действительный, "физический" смысл возможных событий ).

Полученная таким способом функция подвергается дистрибутивному преобразованию - "вынесению за скобки".

Отметим, что в результате такого способа построения искомая функция принимает вид, при котором каждая используемая переменная-высказывание входит не более одного раза.

Например, функция, отображающая такое событие в жизни бабушки, как езда на велосипеде, имеет вид

Рис. 1.1. Полное дерево логических возможностей

Однако далее будет показано, что не всегда единственного вхождения переменных можно добиться с помощью дистрибутивных преобразований. Иногда требуются дополнительные действия для его осуществления.

Определение 5. Совокупность всех исследуемых в данном контексте событий, т.е. множество - объединение всех рассматриваемых ИМС - образует факторное пространство событий .

Как и ранее, точку факторного пространства (ситуацию) будем обозначать {x₁, ..., x_n}.

Итак, показана возможность построения логических функций на основе высказываний о событиях из факторного пространства.

Как видно из примера, факторное пространство событий отображается ветвящейся структурой на основе отдельных исчерпывающих множеств событий, входящих в его состав. Тогда подмножества, состоящие из таких ИМС, тоже являются факторными подпространствами, которые в некотором контексте можно исследовать отдельно.

Например, можно отдельно исследовать факторное подпространство, сформированное на основе первых двух уровней ветвления (рис. 1.2) в приведенном на рис. 1.1 дереве логических возможностей. Это может быть необходимо при планировании финансовых расходов пансионата на питание.

Рис. 1.2. Факторное подпространство для исследований финансовых затрат на питание

Можно, в соответствии с поставленной задачей (в контексте исследований), формировать другие факторные пространства событий. Например, планирование использования спортивного инвентаря по времени года приводит к целесообразности факторного пространства, структура которого показана на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Факторное пространство для планирования использования спортивного инвентаря