НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию множеств и комбинаторику. Лекция 6: Сочетания

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.03.2008 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Вятский государственный университет

|

Вам нравится? Нравится 35 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Приводятся сведения о сочетаниях и основных свойствах сочетаний. Рассматривается возможность применения их для вычисления суммы различных степенных рядов

Ключевые слова: подмножество, элемент множества, сочетание, класс эквивалентности, множества, размещения без повторений, перестановка, сумма ряда

Любое подмножество из элементов множества , содержащего элементов, называется сочетанием C_n^k из элементов по . Сочетания различаются компонентами .

Примечание. Если объединить все размещения из элементов по , состоящие из одних и тех же элементов (не учитывая расположения) в классы эквивалентности, то каждому классу будет соответствовать ровно одно сочетание C_n^k и наоборот:

$C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}$

Пример. Для множества $S = \left\{ {a, b, c, d} \right\}$ из предыдущего примера число различных двухэлементных сочетаний C_4^2 = 4!/(2! 2!) = 6 .

$S_c = \left\{ {(a ,b)(a, c)(a, d)(b, c)(b, d)(c, d)} \right\}.$

Задача. Сколько различных комбинаций может выпасть в спортлото "5 из 36":

$C_{36}^5 = 36! / 5!(36 - 5)! = 36! / 5! 31! = 376992,$

а в спортлото "6 из 45" - $C_{45}^6 = 8145060$ .

Сочетания с повторениями

Сочетаниями из элементов по элементов с повторениями называются группы, содержащие элементов, причем каждый элемент принадлежит к одному из типов.

Например. Для множества $S = \left\{ {a, b, c, d} \right\}$ двухэлементные сочетания с повторениями $\tilde S_c = \left\{ {(a, a)(a, b)(a, c)(a, d)(b, b)(b, c) (b, d)(c, c)(c, d)(d, d)} \right\}$ .