НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию множеств и комбинаторику. Лекция 3: Отношения

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.03.2008 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Вятский государственный университет

|

Вам нравится? Нравится 35 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Приводятся начальные сведения об отношениях и основные понятия бинарных отношений, тождественного и универсального отношений. Даются возможные способы представления отношений

Ключевые слова: элемент множества, отношение, значение, подмножество, бинарные отношения, множества, тождественное отношение, универсальное отношение, геометрия, мощность

Основные понятия отношений

Часто в вычислениях необходимо выбирать элементы множеств, которые удовлетворяют некоторому " отношению ". Это понятие довольно общее, поэтому широко применимо. При соответствующем выборе отношения его аргументы могут быть связаны какой-либо формулой, иногда достаточно простой, если возможно найти удачное описание.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий понятие отношения ( рис. 3.1):

Рис. 3.1.

Предположим, что - множество программ; - конечное множество данных; - множество результатов.

Если мы выберем конкретное значение из , то оно может использоваться в некоторых программах из и для каждой программы из существует совокупность значений из , которые в ней используются. Таким образом, мы имеем соответствие между значениями данных и программами, и, следовательно, существуют элементы $D \times P$ , представляющие интерес. Аналогично, если мы сведем рассмотрение к $p \in P$ , то связывает соответствующие данные из с результатами из .

Можно рассматривать данные, приводящие к остановке, или результаты, которые не могут быть получены из . Следовательно, мы приходим к подмножеству $D \times R$ .

Определение. -местным отношением на множествах A_ , ..., A_n называется подмножество прямого произведения $A_1 \times...\times A_n$ .

Другими словами, элементы x_1, ..., x_n (где $x_1\in A_1, ......, x_n\in A_n$ ) связаны отношением тогда и только тогда, когда $(x_1, x_2, …..., x_n)\in R$ , а ( ) - упорядоченный набор из элементов.

Наиболее часто встречаются отношения при n = 2 ; в этом случае они называются бинарными отношениями. Следовательно, бинарные отношения между множествами и являются просто подмножеством $A \times B$ . Если эти множества эквивалентны (скажем, равны ), то будем говорить, что подмножество A^2 определяет отношения на .

Отношения не являются чем-то новым. Можно построить отношения, которые несомненно будут знакомы вам.

Пример 1. Пусть $A = \left\{ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} \right\}$ .

Тогда $R = \left\{(x, y): x, y \in A, \mbox{где x - делитель y и x \le 5}\right\}$ .

В явном виде

$\begin{array}{l} R = \left\{ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),(1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), (2, 2), (2, 4), (2, 6),\\ (2, 8), (2, 10), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8), (5, 5), (5, 10)} \right\} \\ \end{array}.$

Пример 2 (шахматы). Пусть $F = \left\{ {a, b, c, d, e, f, g, h } \right\}, R = \left\{ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } \right\}$ и пусть $S = F \times R$ .

Таким образом, - множество всех клеток, обозначаемых парами (x, y) , где $x \in F, y \in R$ .

Определим бинарное отношение для ладьи на множестве так, что $(s, t) \in C$ тогда и только тогда, когда и - элементы и ладья может пройти от к одним ходом на пустой доске.

$C \subseteq S \times S и C = \left\{ ((f_s, r_s), (f_t, r_t)) : (f_s=f_t и r_s \ne r_t) \mbox{ или } (f_s \ne f_t и r_s=r_t) \right\}.$

Напомним, что ладья может изменять либо горизонтальную координату, либо вертикальную, но не обе одновременно.

В общем случае ряд различных отношений на множестве зависит от $\left| A \right|$ . Большая часть этих отношений не представляет интереса, но отдельные оказываются полезными.

Определение 1. Для любого множества определим тождественное отношение I_A и универсальное отношение U_A следующим образом:

$I = \left\{ (a, a) : a \in A \right\}, U = \left\{ {(a, b) : a \in A, b \in А} \right\}.$

Таким образом, U_A = A^2 . Так как $\emptyset \subseteq A^2$ , то $\emptyset$ является отношением на и называется пустым отношением.

Пусть отношение определено в соответствии с изображением на рис. 3.2. Свяжем с каждым бинарным отношением между и - область определения D(R) и область значений $\Re (R)$ . Они определяются следующим образом.

Определение 2. Область определения - это множество значений , таких, что пара (x, y) принадлежит отношению $R: D(R) = \left\{ x : (x, y) \in R \right\}$ , а область значений $\Re (R)$ это множество значений , таких, что пара (x, y) принадлежит отношению $R: \Re (R) = \left\{ y : (x, y) \in R \right\}$ .

Рис. 3.2.

Пример 3. Пусть отношение такое же, как и в примере 1, $R = \left\{(x, y): x, y \in A, \mbox{где x - делитель y и x \le 5}\right\}$ . В явном виде $\begin{array}{l} R = \left\{ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), (2, 2), (2, 4), (2, 6),\\ (2, 8), (2, 10), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8), (5, 5), (5, 10)} \right\}\\ \end{array}$ .

Тогда $D (R) = \left\{ {1, 2, 3, 4, 5 } \right\}$ , т. е. $\Re (R) = A$ .

Хотя каждое отношение является множеством и может быть обозначено прописной буквой, иногда отношения обозначаются строчными греческими буквами: $\rho ,\tau ,\sigma$ .

Например:

a) $(a, b) \in \rho$ , т. е. (a, b) находится в $\rho$ ;

б) $a \rho b: a$ связано с отношением $\rho$ ;

в) $b \in \rho (a)$ .

Определение 3. Пусть - бинарное отношение. Определим обратное отношение $R^{-1}$ следующим образом:

$R^{-1} = \left\{ { (x, y) : (y, x) \in R} \right\}.$

Таким образом, $R^{-1}$ связывает те же пары элементов, что и , но "в другом порядке". Следовательно, если $R \subseteq A \times B$ , то $R^{-1} \subseteq B \times A, D(R^{-1}) = \Re (R)$ и $\Re (R^{-1}) = D(R)$ .