Пути и циклы в графах

Орциклы и циклы

Особую группу составляют замкнутые пути. Путь a₁, a₂, ...,a_q называется замкнутым, если в нем начальная вершина a₁ и конечная вершина a_q совпадают. Так, например, для графа на рис. 8.3 можно составить несколько замкнутых путей:

М₁: a₃, a₆, a₁₁,

М₂: a₁₁, a₃, a₄, a₇, a₁, a₁₂, a₉,

М₃: a₃, a₄, a₇, a₁₀, a₉, a₁₁.

Пути М₁ и М₃ являются замкнутыми простыми орцепями, называемыми контурами или простыми орциклами, поскольку в них одна и та же вершина используется только один раз (за исключением начальной и конечной). Путь М₂ не является контуром, так как вершина х₁ используется в нем дважды.

Контур, проходящий через все вершины графа, имеет особое название – гамильтонов контур. Путь М₃ является гамильтоновым контуром. Он показан штриховой линией на рис. 8.3.

Рис. 8.3. Орциклы в графе

Для неориентированного графа замкнутым маршрутом является неориентированный двойник замкнутого пути, т. е. замкнутым маршрутом является маршрут, в котором совпадают начальные и конечные вершины.

Для неориентированного графа понятия цикла и гамильтонова цикла аналогичны понятиям орцикла и гамильтонова контура в орграфе.

Эйлеровым циклом в графе называется цикл, содержащий все ребра графа. Граф, содержащий эйлеров цикл, называется эйлеровым графом.

Эйлеровым путем в графе называется путь, содержащий все ребра графа по одному разу. Граф, содержащий эйлеров путь, называется полуэйлеровым графом.

ТЕОРЕМА. Связный неориентированный граф G содержит эйлеров цикл тогда и только тогда, когда число вершин нечетной степени равно нулю 0.

ТЕОРЕМА. Связный неориентированный граф G содержит эйлеров путь тогда и только тогда, когда число вершин нечетной степени равно нулю 0 или 2.

Эйлер первым в своей знаменитой задаче о Кенигсбергских мостах поставил вопрос о существование такого цикла.

На реке Преголя в Кенигсберге было два острова. Они соединялись между собой и с берегами реки семью мостами, как схематично показано на рис. 8.4. Задача заключалась в том, чтобы за одну прогулку обойти все семь мостов, проходя по каждому мосту только один раз, и вернуться в исходное место.

Если каждый берег реки и острова считать вершинами графа, а каждый мост – ребром, то карту рис. 8.4,а можно представить в виде графа на рис. рис. 8.4,б и ответ на поставленный вопрос зависит теперь от существования эйлерова цикла в этом графе. Эйлер установил, что указанный граф не содержит эйлерова цикла, и этот результат ознаменовал рождение теории графов.

Рис. 8.4. а – схема Кенигсбергских мостов; б – эквивалентный граф