НОУ ИНТУИТ | Эволюционные вычисления. Лекция 5: Генетические алгоритмы многокритериальной оптимизации

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 10.10.2014 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет путей сообщения

|

Вам нравится? Нравится 18 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

5.4.3.Генетический алгоритм с адаптивными весами

В [8] Gen и Cheng предложен подход на основе адаптивных весов, который использует полезную информацию о текущей популяции для коррекции весов для того, чтобы направить поиск в сторону положительной идеальной точки, что показано на рис.5.10.

Рис. 5.10. Адаптивные веса и адаптивная гиперплоскость

Здесь на каждой итерации для исследуемых решений определяются в пространстве критериев две экстремальные точки: 1) максимальная экстремальная точка z^+ ; 2) минимальная экстремальная точка z^- следующим образом:

$z^+=\{z_1^{\max},z_2^{\max},\dots,z_q^{\max}\}\\z^-=\{z_1^{\min},z_2^{\min},\dots,z_q^{\min}\}$

где $z_k^{\min}$ и $z_k^{\max}$ - минимальное и максимальное значение для -ого критерия в текущей популяции. Пусть обозначает множество решений текущей популяции. Тогда определим для данной особи максимальное и минимальное значение для каждого критерия следующим образом:

$z_k^{\max}=\max\{f_k(x)|x\in P\},\ k=1,2,\dots ,q\\z_k^{\min}=\min\{f_k(x)|x\in P\},\ k=1,2,\dots ,q$

Отметим, что гиперплоскость, определяемая двумя экстремальными точками, является минимальным гиперпараллелограммом, который содержит все текущие решения. Указанные две экстремальные точки обновляются на каждой итерации. При этом адаптивный вес -ого критерия вычисляется следующим образом

$w_k=\frac{1}{z_k^{\max}-z_k^{\min}},\ k=1,2,\dots,q$

Тогда для данной особи взвешенная целевая функция определяется согласно следующему выражению:

$\begin{align*}z(x)&=\sum_{k=1}^q w_k(f_k(x)-z_k^{\min})\\&=\sum_{k=1}^q\frac{f_k(x)-z_k^{\min}}{z_k^{\max}-z_k^{\min}}\end{align*}$

Поскольку экстремальные точки обновляются на каждой итерации, то соответственно обновляются и веса. Последнее уравнение представляет гиперплоскость, которая определяется следующими экстремальными точками во множестве текущих решений:

$(z_1^{\max},z_2^{\min},\dots,z_k^{\min},\dots,z_q^{\min})\\\dots\\(z_1^{\min},z_2^{\min},\dots,z_k^{\max},\dots,z_q^{\min})\\\dots\\(z_1^{\min},z_2^{\min},\dots,z_k^{\min},\dots,z_q^{\max})$

Она задает адаптивную движущуюся линию, которая определяется экстремальными точками $(z_1^{\max},z_2^{\min})$ и $(z_1^{\min},z_2^{\max})$ , как показано на рис.5.10. Здесь прямоугольник, определяемый этими экстремальными точками $(z_1^{\max},z_2^{\min})$ и $(z_1^{\min},z_2^{\max})$ , является минимальным прямоугольником, который содержит все текущие решения. Как показано на рис.5.10 гиперплоскость разделяет пространство критериев на два подпространства: 1) одно подпространство содержит положительную идеальную точку, обозначаемую, z^+ ;2) второе подпространство содержит отрицательную идеальную точку z^- . Все исследуемые решения Парето лежат в пространстве z^+ , при этом все точки, лежащие в z^+ , имеют значения фитнесс-функции большие, чем точки из пространства z^- . Поскольку максимальная экстремальная точка аппроксимирует положительную идеальную точку в течение процесса эволюции, гиперплоскость последовательно приближается к положительной идеальной точке. Таким образом, данный метод позволяет корректировать веса целевой функции и направляет поиск решений в сторону положительной идеальной точки. Укрупненный алгоритм метода представлен ниже.

5.4.4. Недоминируемый ГА на основе сортировки

В этом методе (Non-dominated sorting algorithm - nsGA) [9] авторы (Deb) пытаются преодолеть, по крайней мере, три проблемы: вычислительную сложность; трудности элитизма; необходимость определения параметров разделения [10]. Общая схема метода представлена на рис.5.11.

Рис. 5.11. Общая схема недоминируемого ГА на основе сортировки (минимизация)

Здесь для каждой особи выполняется ранжирование Парето. При этом, как обычно, первый фронт Парето содержит полностью недоминируемые решения, второй фронт – особи, доминируемые решениями второго фронта, и т.д. Особям первого фронта присваивается ранг 1, второго -2 и т.д. В дополнение рангу для каждой особи выполняется оценка расстояния Кроудинга (crowding)[2].

Расстояние Кроудинга является мерой близости особи к своим соседям. Большое среднее расстояние Кроудинга характеризует разнообразие особей в популяции. Далее выполняется сортировка особей согласно расстоянию Кроудинга – особь с большим расстоянием получает меньший ранг. Турнирный отбор родительских особей выполняется на основе значений ранга и расстояния Кроудинга. Укрупненный алгоритм представлен ниже.

При определении значения фитнесс-функции для двух особей предпочтение отдается точке с низшим рангом или точке, расположенной в области с меньшим числом точек, если обе точки принадлежат одному фронту. Путем комбинирования быстрого недоминируемого подхода с сортировкой, схемы элитизма и метода разделения без параметров авторам удалось получить лучшие результаты для некоторых тестовых задач.

После вычисления значения фитнесс-функции для каждой -ой особи выполняется специальная процедура отбора. Для двух особей с недоминируемыми рангами r_1 и r_2 и расстояниями Кроудинга d_1 и d_2 предпочтение отдается решению с низшим (лучшим) рангом согласно следующему правилу i<if(r_i<r_j)or((r_i=r_j)and(d_i>d_j))

5.4.5 Интерактивный ГА с адаптивными весами

Основная идея ранжирования по Парето основана на четкой классификации недоминируемых и доминируемых решений для каждой особи. Однако порой трудно определить разницу между недоминируемыми и доминируемыми решениями по значениям фитнесс-функции, основанной на ранжировании. Это показано на рис.5.12, где, например, на рис.5.12 с) очевидны различия между доминируемыми и недоминируемыми решениями с координатами z_1 , z_2 (2.2) и (8,8) соответственно, но значения фитнесс-функции, получаемые по методу awGA, не отличаются для решений 13/5 и 11/5.

Рис. 5.12. Иллюстрация различных значений фитнесс-функции для разных методов

В отличие от методов определения значений фитнесс-функций, основанных на ранжировании по Парето, в методах определения значений фитнесс-функций, базирующиеся на взвешенной фитнесс-функции, часто легче определить разницу между недоминируемыми и доминируемыми решениями. При этом процесс сортировки становится ненужным, что снижает вычислительные затраты. Для эффективного объединения взвешенных целевых функций в единую целевую функцию необходимо присваивать хорошие значения фитнесс-функции для решений, находящихся близко от фронта Парето.

В [10] предложен улучшенный интерактивный ГА с адаптивными весами, укрупненный алгоритм которого представлен ниже.

Здесь, во-первых, используются две экстремальные точки, определяемые как максимальная экстремальная точка $z^+=\{z_1^{\max},z_2^{\max},\dots,z_q^{\max}\}$ , и минимальная экстремальная точка $z^-=\{z_1^{\min},z_2^{\min},\dots,z_q^{\min}\}$ , где $z_k^{\min}$ и $z_k^{\max}$ - минимальное и максимальное значение для -ой цели в текущей популяции. Тогда адаптивный вес для -ой цели вычисляется в соответствии со следующей формулой:

$w_k=\frac{1}{z_k^{\max}-z_k^{\min}},\ k=1,2,\dots,q$

Далее, вычисляется штрафной терм p(v_i)=0 , если v_i является недоминируемым решением в недоминируемом множестве . Иначе, для доминируемого решения v_i присваивается p(v_i)=1 . Наконец, вычисляется значение фитнесс-функции для каждой особи в соответствии с выражением