Моделирование многомерных нелинейных систем.

Определение матрицы Якоби

В методе Ньютона на каждом шаге итерационного процесса поиска необходимо формировать матрицу Якоби, при этом каждый элемент матрицы можно определить:

1. аналитически, как частную производную ,
2. методом численного дифференцирования, как отношение приращения функции к приращению аргумента, т.е.

В результате частная производная по первой координате х₁ определится как

где .

Метод Ньютона имеет преимущества по сравнению с другими методами. Но для метода Ньютона так же существует проблема сходимости, с увеличением числа неизвестных область сходимости уменьшается, а в случае больших систем, сходимость обеспечивается если начальная точка близка к искомому решению.

На рисунке 10.4 представлена укрупнённая схема алгоритма (блок-схема) метода Ньютона. На рисунках 10.5 и 10.6 представлены схемы алгоритмов метода Ньютона с различными способами определения матрицы Якоби.

Рис. 10.4. Блок-схема алгоритма метода Ньютона

Рис. 10.5. Схема алгоритма метода Ньютона (аналитическое определение матрицы Якоби)

Рис. 10.6. Схема алгоритма метода Ньютона (определение матрицы Якоби с помощью численного дифференцирования)